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全国大纲版2013届高考压轴卷 数学理文试题

2013全国大纲版高考压轴卷 数学理试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项:

1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效...........

3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

一.选择题 (1)若复数,12i

i

z -=

则z 等于( ) ()

()()()

212

22

1D C B A

(2) 若{}8222<≤∈=-x Z x A ,{}

1log 2>∈=x R x B ,则()B C A R 的元素个数为( )

(A) 0

(B) 1

(C) 2 (D)3

(3)已知函数()y f x =与()x f

y 1

-=互为反函数,且函数()1y f x =+与函数()11+=-x f y 也

互为

反函数,若(),01=f 则

()20101

-f =( ) ()

()()

()

20092010

10

--D C B A

(4) 已知等比数列{}n a 中,公比,0

(A)最小值-4 (B)最大值-4 (C)最小值12 (D)最大值12

(5) 一圆形餐桌依次有A 、B 、C 、D 、E 、F 共有6个座位.现让3个大人和3 个小孩入座进餐,要求任何两

个小孩都不能坐在一起,则不同的入座方法总 数为 (

(A )6 B )12 (C )72 (D )

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144 (6) 已知函数sin()(0)y x ??=π+>的部分图象如右图所示,设P 是

图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,则tan APB ∠=( ) (A )10 (B )8 (C )87 (D )4

7

(7) 在正方形ABCD 中,,4=AB 沿对角线AC 将正方形ABCD 折成一个直二面角D AC B --,则点

B 到直线CD 的距离为( )

()

()

()

()

2223

22

32

2+D C B A

(8) 设,R a ∈函数()x x e a e x f -?+=的导函数是(),x f '且()x f '是奇函数,若曲线()x f y =的一条

切线的斜率是

,2

3

则切点的横坐标为( ) (A) 22ln -

(B)2ln - (C) 2ln (D) 2

2

ln (9) 已知()),,2,1,0(0

,2log 0,112*∈≥≠>?????≥+<+-=N n n m m x x C x x

x x f n n m 若()x f 在0=x 处连续,

则m 的值为( ) (A)

81 (B)41 (C) 2

1

(D) 2 (10)已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-,那么满足119102k k k a a a +++++=的整数k ( )

(A )有3个 (B )有2个 (C )有1个 (D )不存在

(11) 已知直线l 交椭圆805422=+y x 于N M ,两点,椭圆与y 轴的正半轴交于B 点,若BMN ?的重心

恰好落在椭圆的右焦点上,则直线l 的方程是( ) (A) 02856=--y x (B)02856=-+y x (C) 02865=-+y x (D) 02865=--y x

(12) 在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球,则小球半径r 的最大值为( )

(A)(

)R 26- (B)

(

)

R 12- (C)R 41 (D)R

31

第Ⅱ卷

注意事项:

1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然

后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2. 第Ⅱ卷共2页, 请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷....上作答无效.....

。 3.第Ⅱ卷共10小题,共90分

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 把答案填在题中横线上.

(注意:在试题卷上作答无效.........).

(13)若()1,112>∈??? ?

?

-n N n x n

的展开式中4-x 的系数为,n a 则???

?

??+

++∞→n n a a a 111lim

32 =.

(14) 当对数函数()10log ≠>=a a x y a 且的图象至少经过区域

()

0,80(,30x y M x y x y x y R y ??-≥?

?

??

=+-≤∈??????-≥???

内的一个点时,实数a 的取值范围为 . (15)已知函数(),3,2,cos ??

?

??∈=ππx x x f 若方程()m x f =有三个不同的实根,

且从小到大依次成等比数列,则m 的值为 .

(16)抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,A B 、在抛物线上,且2

AFB π

∠=

,弦AB 的中点M 在

其准线上的射影为N ,则

MN AB

的最大值为

三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效.........

) ABC ?的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 向量(),1,1-=m

,23sin sin ,cos cos ???

? ??-

=C B C B n 且.⊥ (Ⅰ)求A 的大小;

(Ⅱ)现给出下列四个条件:①;1=a ②;sin 2B b =③(

)

;0132=+-b c ④?=45B .试从中再选择两

个条件以确定ABC ?,求出你所确定的ABC ?的面积.

(18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........

) 在进行一项掷骰子放球的游戏中规定:若掷出1点或2点,则在甲盒中放一球;否则,在乙盒中放一球。现在前后一共掷了4次骰子,设x 、y 分别表示甲、乙盒子中球的个数。 (Ⅰ)求13y x ≤-≤的概率;

A

B

C

D

P

(Ⅱ)若,x y ξ=-求随机变量ξ的分布列和数学期望。 (19)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........

) 在四棱锥P ABCD -中,侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,底面ABCD 是直角梯形,

//AB CD ,90ADC ∠=,1AB AD PD ===,2CD =.

(Ⅰ)求证:BC ⊥平面PBD ;

(Ⅱ)设Q 为侧棱PC 上一点,PQ PC λ=, 试确定λ的值,使得二面角Q BD P --为45.

(20)(本小题满分12分)(注意:在试..题.卷上作答无效......

) 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知1118,35,.n n n a a S n N +*+==++∈ (Ⅰ)设23,n n n b a =-?证明:数列{}n b 是等比数列;

(Ⅱ)证明:2312322221n

n

a a a a +++

+<.

(21)(本小题满分12分)(注意:在试..题.卷上作答无效......

) 已知AOB ?的顶点A 在射线()1:30l y x x =>上,A 、B 两点关于x 轴对称,0为坐标原点, 且线段AB 上有一点M 满足 3.AM MB ?=当点A 在1l 上移动时,记点M 的轨迹为W. (Ⅰ)求轨迹W 的方程;

(Ⅱ)设()2,0,N 是否存在过N 的直线l 与W 相交于P,Q 两点,使得1?OP OQ ?=若存在,

求出直线l ;若不存在,说明理由.

(22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........

) 已知函数2

1()(21)2ln ()2

f x ax a x x a =

-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行,求a 的值; (Ⅱ)求()f x 的单调区间;

(Ⅲ)设2

()2g x x x =-,若对任意1(0,2]x ∈,均存在2(0,2]x ∈,使得12()()f x g x <,求a 的取值范

围.

2013全国大纲版高考压轴卷数学理试题答案

全国大纲版2013届高考压轴卷 数学理文试题

二、填空题:

(13)2. (14

). (15)12-

. (16

)2

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提示:

(1) D. 2(1)

1,(1)(1)i i z i i i +=

=--+

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z ==(2) C. 化简{}()10,1,0,2,2A B ?

?==+∞ ???

(3)

D.

()11()1

y f x f y x -=+?=+,,x y

互换得,

1()1

y f x -=-,

()()1111f x f x --∴-=+

()()11111,(0)1f x f x f ---∴-+==又,累加法:()()1102010f f ---=

()()()()()()()()=111111

11

011223200920102010f f f f f f f f --------????????-+-+-+

+-????????

()()=112010*********f f --?=--

(4) B. 21313

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0,4,0,0.()(8q a a a a a <=∴<<-+-≥),当且仅当13a a =时取=号 1238

44a a a ∴++≤-+=- (5) C.若A 、C 、E 坐大人,则B 、D 、F 坐小孩;

若B 、D 、F 坐大人,则A 、C 、E 坐小孩.共有

33

33272

A A =种方法.

(6) B.作PH AB H ⊥于,依题意,13

2,22AB T AH HB ==?=

=,

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又1PH =,

13

tan ,tan 22AH OB PH PH αβ∴=

===, tan tan()8

APB αβ∴∠=+=

(7) C. 作

OD AC

⊥,垂足是O ,则O 是AC 的中点,连结OB ,易 证0

90BOD ∠=,作

OE CD

⊥于E ,E 是CD 的中点,

又BO ACD ⊥平面,

BE CD

∴⊥,BE 是点B 到直线CD 的距离.

在Rt BOE

?

中,求

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BE =(8) C.

()()0101x x f x e a e f a a -''=-??=-=?=.设切点为00(,)P x y ,

则()00032x x f x e e -'=-=,解得0

122x e =-或(舍去)

,0ln2x ?= E

F

D

C

B

A

(9) B. 0001

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lim ()lim lim 2x x x f x --

-

→→→===-,因为()x f 在0=x 处连续, 所以,1(0)2f =-,即1log 22m =-,解得 1

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4m =

(10) B. 因为13(13)

13(13)n n n a n n -≤?=?

->?

,检验,1k =时,12131420a a a a a ++++++= 13(120)7(17)

121110127106

22

++=++++++++=+=,不合题意. 2k =时,

23131421

a a a a a ++++++

12(110)8(18)

11101012786636102

22

++=++

+++++++=

+=+=,满足题意 由对称性知,3666102

+=.所以,

25

k =或均满足题

(11) A.设

1122(,),(,)

M x y N x y ,又

(0,4),(2,0)

B F ,由重心坐标得1212

042,0

33

x x y y ++++== 1212

64x x y y +=???+=-?(1)

(2),所以弦MN 的中点为(3,2)-. 因为点1122(,),(,)

M x y N x y 在椭圆上, 所以,22

1122

2245804580

x y x y ?+=??+=??,作差得 121212124()()4()()0x x x x y y y y +-++-=,将(1)和(2)代入得12126

5l y y k x x -==-,

所以,直线L 为:6

2(3)5y x +=-

(12) A.

当三个小球在下、第四个小球在上相切时,小球的半径最大.设小球的最大半径为r

,四个小球的

球心分别为A,B,C,D,大球半径为

R

.则四面体A-BCD 是棱长为

2r

的正四面体,将正四面体A-BCD 补

形成正方体,则正方体棱长为

大球球心

O

体对角线中点,易

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OA =

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=,所以R r OA -==,解得

2)r R

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= (13)2. 2

2(1)(1)2n n n n a C -=-=1112()

1n a n n ?=--

23

111111111212122311

lim 212n

n a a a n n n n →∞?????????

?+++

=-+

-++-=

- ? ?

? ?

??-?

?????

?

???

?

?∴-=

??

?

(14

). 由可行域知,log a y x =的图像分别过点(3,3),(4,4),(5,3)时,a 的值分别为

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<<,所以a 的取值范围是. (15)1

2-

. 设公比为q

, 问题转化为 要cos y x =和y m =的图像有三个交点,由图像可知,

38x x xq πππ-=-=-,24x x q x xq ππ?

+=????+=?

,解得

42,3q x π==,4132m f π??∴==- ???

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(16

)2. 如图,1111

()()22

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MN AA BB AF BF =+=+, 2222

()2

AF BF AB AF BF +=+≥, 当且仅当

AF BF

=时取“=”号

2

2

2

22

2()1

12222MN AF BF AB AB AF BF AB AB AB

????

+∴= ? ?

????

+=?≤=

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MN

AB ∴

三、解答题:

(17)解:(Ⅰ),02

3

sin sin cos cos ,=-

+-∴⊥C B C B ……………1分

即,23sin sin cos cos -

=-C B C B ,2

3)cos(-=+C B ……………2分 (),cos cos ,180A C B C B A -=+∴?=++

.30,,2

3

cos ?=∴<<=

∴A A O A π又……………4分 (Ⅱ) 方法一:选择①③可确定.ABC ?……………5分

(

)

,0132,1,30=+-

=?=b c a A

由余弦定理,30cos 213221312

22?+?-???

? ??++=b b b b ……………6分 整理得.2

2

6,2,22

+=

=

=c b b ……………8分

.4

1

32

1226221sin 21+=?+??==

∴?A bc S ABC ……………10分

(Ⅱ) 方法二:选择①④可确定.ABC ?……………5分

,45,1,30?==?=B a A ,105?=∴C

(),4

2

660sin 45cos 45cos 60sin 4560sin 105sin +=

??+??=?+?=? ……………6分 由正弦定理

,230sin 45sin 1sin sin ,sin sin =?

?

?===A B a b B b A a 得……………8分 .4

1

34262121sin 21+=+???==

∴?C ab S ABC ……………10分

(18)解:依题意知,掷一次骰子,球被放入甲盒、乙盒的概率分别为

12

,.33

…………2分 (Ⅰ)若13,y x ≤-≤则只能有1,3,x y ==即在4次掷骰子中,有1次在甲盒中放球,有3次

在乙盒中放球,因此所求概率3

14

1232

.3381

P C ??=??= ???…

…5分

(Ⅱ)由于,x y ξ=-所以ξ的可能取值有0,2,4…………6分

()222

4

12240,3381P C ξ????=== ? ?????()33

134********,333381

P C C ξ????????==+= ??? ? ????????? ()44

0444111743381P C C ξ????==+= ? ?????

…………9分

所以随机变量ξ的分布列为:

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故随机变量ξ的数学期望为244017148024.81818181

E ξ=?+?+?=…………12分

(19)解法一:

(Ⅰ)平面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,所以PD ⊥平面ABCD ,………1分 所以P D A D ⊥, .……2分

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如图,以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -. 则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).A B C P ………3分

(1,1,0)DB =,(1,1,0)BC =-,

所以0BC DB ?=,BC DB ⊥,……………4分

又由PD ⊥平面ABCD ,可得PD BC ⊥,所以BC ⊥平面PBD .……………6分 (Ⅱ)平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-,…………………………………………7分

(0,2,1)PC =-,PQ PC λ=,(0,1)λ∈

所以(0,2,1)Q λλ-, ………………………………………………………………8分 设平面QBD 的法向量为(,,)a b c n =,(1,1,0)DB =,(0,2,1)DQ λλ=-, 由0DB ?=n ,0DQ ?=n ,得 所以,0

2(1)0a b b c λλ+=??

+-=?

,………………………………………………….……9分

所以2(1,1,

)1

λ

λ--n =,………………………………………………………….…10分

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所以cos 45BC BC

?=

=

=

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n n ……………………...……11分 注意到(0,1)λ∈,得1λ=. …………………………….………………12分

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法二:(Ⅰ)∵面PCD ⊥底面ABCD ,面PCD ∩底面ABCD =CD ,PD ?面PCD ,且PD ⊥CD ∴PD ⊥面ABCD ,………1分 又BC ?面ABCD ,∴BC ⊥PD ①…. .…..……2分 取CD 中点E ,连结BE ,则BE ⊥CD ,且BE =1 在Rt △ABD 中,2=

BD ,在Rt △BCE 中,BC =2. .……………………...……4分

∵2222222)2()2(CD BC BD ==+=+, ∴BC ⊥BD ②………………...……5分 由①、②且PD ∩BD =D

∴BC ⊥面PBD . ……….………………………………………….…...……6分 (Ⅱ)过Q 作QF //BC 交PB 于F ,过F 作FG ⊥BD 于G ,连结 GQ . ∵BC ⊥面PBD ,QF //BC

∴QF ⊥面PBD ,∴FG 为QG 在面PBD 上的射影, 又∵BD ⊥FG ∴BD ⊥QG

∴∠FGQ 为二面角Q -BD -P 的平面角;由题意,∠FGQ =45°. …………….…...……8分 设PQ =x ,易知3,5==PB PC

∵FQ //BC ,∴即PC PQ BC FQ =x BC PC PQ FQ 52

=?= PC

PQ

PB PF =x PB PC PQ PF 5

3

=?=即

∵FG //PD ∴

即PB BF PD FG =x PD PB BF FG 5

1

1-=?=………………..…...……10分 在Rt △FGQ 中,∠FGQ =45° ∴FQ =FG ,即

=x 5

2

x 511-

∴)12(5125-=+=x ……..….........……11分 ∵PQ PC λ= ∴5)12(5λ=- ∴12-=λ……..…............……12分

(20)解:(Ⅰ)

1135,n n n a S ++=++()1352,n n n a S n -∴=++≥

()1123,2232,n n n n n n n a a a a a n ++∴-=+?=+?≥即 …………2分

当2n ≥时,

()111122323223232,232323

n

n n n n n n n n n n n n n n a b a a b a a a ++++-?-?+?-?====-?-?-?…………5分 又

122

11221

232,234,2,b b a b a b =-?==-?=∴

= ∴数列{}n b 是以2为首项,公比为2的等比数列。…………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知2,232,n

n

n

n n b a =∴-?=232,n n n

a ∴=?+

2211

12232233321222n

n n

n n

n n

n a ??

==<=? ??+??????

?+? ? ?????

…………9分 2323

123

22221222223333n

n n a a a a ????????∴+

+++<++++?? ? ? ?????

??

????

=22133121 1.12

313

n

n

????

-?? ?

?????????

=-

< ???

-…………12分 (21)解:(Ⅰ)因为A,B 两点关于x 轴对称,

所以AB 边所在直线与y 轴平行.

A

B

C

D

P

Q E

F

G

设(),,M x y

由题意,得(

)()

,,,3,A x B x AM MB ?

=

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)

2

2

3,1,3

y y

y x ∴

-+=-=

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所以点M 的轨迹W 的方程为()2

2

10.3

y x x -=>…………4分 (Ⅱ)假设存在,设()()()1122:22,,,,l y k x x P x y Q x y =-=或,

当直线():2l y k x =-时,由题意,知点P,Q 的坐标是方程组()2

213

2y x y k x ?-

=???=-?

的解, 消去y 得 ()

2222

34430,k x k x k -+--= …………6分

所以(

)

()()()2

2

222244343361030k

k k k k ?=----=+>-≠且

22121222443

,,33

k k x x x x k k ++==--…………7分

直线l 与双曲线的右支(即W )相交两点P,Q,2212122

2443

0,0,33

k k x x x x k k +∴+=>=>-- 即2

3.k >①…………8分

()()()2121212122224y y k x k x k x x x x ??=-?-=-++??

()()22212121212124OP OQ x x y y k x x k x x k ∴?=+=+-++

()2222

22

22243435124333

k k k k k k k k k +-=+?-?+=--- …………10分

要使1,OP OQ ?=则必须有2

2

351,3

k k -=-解得21,k =代入①不符合。 所以不存在直线l ,使得1,OP OQ ?=…………11分

当直线:2l x =时,()()2,3,2,3,5,P Q OP OQ -?=-不符合题意, 综上:不存在直线l ,使得1,OP OQ ?=…………12分 (22)解:2

()(21)f x ax a x

'=-++

(0)x >. ………………1分

(Ⅰ)(1)(3)f f ''=,解得2

3

a =. ………………3分 (Ⅱ)(1)(2)

()ax x f x x

--'=

(0)x >. ………………4分

①当0a ≤时,0x >,10ax -<,

在区间(0,2)上,()0f x '>;在区间(2,)+∞上()0f x '<,

故()f x 的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,)+∞. ………………5分 ②当102a <<

时,1

2a

>, 在区间(0,2)和1

(,)a

+∞上,()0f x '>;在区间1(2,)a

上()0f x '<,

故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞,单调递减区间是1(2,)a

. …………6分

③当12a =时,2

(2)()2x f x x

-'=, 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………7分

④当12a >

时,1

02a <<, 在区间1(0,)a

和(2,)+∞上,()0f x '>;在区间1(,2)a

上()0f x '<,

故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞,单调递减区间是1(,2)a

. ………8分 (Ⅲ)由已知,在(0,2]上有max max ()()f x g x <. ………………9分 由已知,max ()0g x =,由(Ⅱ)可知, ①当1

2

a ≤

时,()f x 在(0,2]上单调递增, 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+, 所以,222ln 20a --+<,解得ln 21a >-,故1

ln 212

a -<≤. ……………10分 ②当12a >

时,()f x 在1(0,]a 上单调递增,在1

[,2]a

上单调递减, 故max 1

1

()()22ln 2f x f a a

a

==---. 由12a >可知11

ln ln ln 12e

a >>=-,2ln 2a >-,2ln 2a -<,

所以,22ln 0a --<,max ()0f x <,

综上所述,ln 21a >-. ………………12分