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22.1(1)多边形的内角和

D A

E B

C 22.1多边形的内角和导学单（3.28）

学习目标：

1、知道多边形的定义及其边、顶点、对角线等概念，会判断一个多边形是否是凸多边形．

2、经历探索多边形内角和定理的过程，掌握多边形内角和定理，会运用定理进行有关计算．

3、初步感受化归、类比、从特殊到一般等数学思想，发展合情推理意识，提高主动探索能力．

学习重难点：

多边形内角和定理的探索、归纳及运用定理进行简单计算．通过动手实践、观察分析、探索并归纳多边形内角和定理．学习过程：一、课前预习 1、知识回顾

（1）请问三角形的定义是什么？

（2）三角形的内角和是；

（3）在ABC 中，已知35,64A B ∠=∠=，那么C ∠= 。 2、预习课本66~68页，写下你认为重要的知识点和存在的疑惑：

3、简单应用

（1）六边形的内角和是，十二边形的内角和是 .

（2）如果多边形的内角和为1080，那么它是边形. 二、课堂学习

概念学习：1．这是几边形？

提问：我们能否参照三角形的定义，尝试给多边形下个定义？

多边形：叫做多边形。说明：三角形是最简单的多边形．由n 条线段组成的多边形就称为n 边形．如由四条线段组成的多边形就称为四边形，由五条线段组成的多边形就称为五边形． 2．学生生活举例（展示生活中含多边形的例子）

3．凸多边形与凹多边形：

对于一个多边形画出它任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，

那么这个多边形叫做凸多边形，否则叫做凹多边形．

4．多边形中的有关概念：

概念1：多边形的边：组成多边形的每一条线段叫做多边形的边．

概念2：多边形的顶点：相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．

概念3：多边形的内角：多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．概念4：多边形的对角线：联结多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线．

提出问题我们知道三角形内角和是180，那么四边形边形的内角和是多少度？

五边形、六边形、七边形……n边形呢？

学生尝试探究、解决问题：

多边形内角和定理：n边形的内角和等于 .

想一想、试一试：刚才我们采用的是从n边形的一个顶点出发画出所有的对角线，把这个n 边形分割成(n-2)个三角形，然后利用三角形的内角和定理得到n边形的内角和，请问你还有其它分割方法得到n边形的内角和吗？请以五边形为例，想想其他的分割方法。

学生活动展示探究成果，交流分割方案．

例1：求十二边形内角和. 例2：已知一个多边形的内角和为2160°，

求这个多边形的边数．

E A

1、画出图中多边形的所有对角线：

2、求下列图形中x的值：

3、用图中添辅助线的方法能推导出多边形的内角和吗？

4、已知一个多边形的每个内角都是160，它是几边形？

四、课堂小结

本节课你有什么收获和体会？

1、六边形的内角和为.

2、已知一个多边形的内角和为1260°，求这个多边形的边数．

3、如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加几度．

4、几边形的内角和是六边形内角和的2倍？

提高题：

1、一个多边形除了一个内角等于α，其余角的和等于700°，求这个多边形的边数，及α的值。

2、四边形共有对角线；

五边形共有对角线；

六边形共有对角线；

------

n边形共有对角线（n为大于3的整数）；

多边形的内角和与外角和

6．4多边形的内角和与外角和 1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式；(重点) 2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点) 一、情境导入多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步．提出问题： (1)小明是沿着几边形的广场在跑步？ (2)你知道这个多边形的各部分的名称吗？ (3)你会求这个多边形的内角和吗？导入：小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂．二、合作探究探究点一：多边形的内角和定理【类型一】利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是() A．四边形B．五边形 C．六边形D．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°.设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B. 方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键．【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为() A．1620°B．1800° C．1980°D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D. 方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多

边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝() A．450°B．540° C．630°D．720° 解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝540°，故选B. 方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x ＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个少算的内角的取值范围．探究点二：多边形的外角和定理【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正() A．八边形B．九边形 C．十边形D．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C. 方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是() A．五边形B．四边形 C．三角形D．不能确定解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴这个多边形是三角形．故选C. 方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系

多边形及其内角和讲义(学生用)

多边形内角和第一部分知识点回顾定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。分类2：多边形非正多边形： 1、n边形的内角和等于180°（n-2）。多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。 3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6/。镶嵌拼成360度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在同一平面内。多边形的分类：不叫三边形 2、镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。 3、常见的一些正多边形的镶嵌问题： (1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。 (2)只用一种正多边形镶嵌地面：只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。 (3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌。第二部分经典习题类型一：多边形内角和及外角和定理应用 1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数. 【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少 . 【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。类型二：多边形对角线公式的运用 2．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）. A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】一个十二边形有几条对角线。

多边形的内角和与外角和知识点-例题-习题

第二十四讲多边形的内角和与外角和【要点梳理】知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2 n n -； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．知识点二、多边形内角和 n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．要点诠释： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n -g °；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n °； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形凹多边形

多边形的内角和1教案沪科版

20.1 多边形的内角和（1）教学目标 (一)教学知识点： 1.理解多边形及正多边形的定义. 2.掌握多边形的内角和公式. (二)能力训练要求: 1.经历探索多边形内角和公式的过程， 2.探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力. (三)情感与价值观要求:经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系教学重点：多边形的内角和. 教学难点：探索多边形的内角和公式过程. 教学过程：一．.巧设情景问题，引入课题：引导学生回忆已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？（学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形）二.讲授新课 1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可.多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图. 把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))图(1)的多边形是凹多边形我们探讨的一般都是凸多边形. 多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：如图

多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA。好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题(出示投影片§4.7.1A)(课本P108的图) (1)一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流. (2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和.你知道他们是怎么做的吗？ (3)还有其他的方法吗？ (学生讨论、画图、归纳自己的方法) 在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形.进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法. 请同学们完成课本的“想一想”。（学生画图，归纳，猜想）（从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n－3)条对角线，这时n边形被分割成(n－2)个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为(n－2)·180°）大家想一想，n边形的内角和公式中，字母n取值有没有范围？（必须是大于3的自然数.）同学们口答一下：12边形的内角和是多少呢？（1800°）请同学们“想一想”：观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？ 1．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形. 2．正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形.

多边形内角和与外角和(提高)知识讲解

多边形内角和与外角和（提高）知识讲解【学习目标】 1.理解多边形的概念； 2.掌握多边形内角和与外角和公式； 3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【要点梳理】知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图：要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2 n n ； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．知识点二、多边形内角和定理 n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点诠释： (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形凹多边形

(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180 n n g° ；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360 n ° ； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念 1．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗? 【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明．按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝。【答案】220° 【变式2】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）. A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C.

多边形的内角和1

多边形的内角和教学目的 1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。 2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和公式，并会利用它进行有关计算。重点、难点 1．重点：多边形的内角和定理。 2．难点：多边形的内角和定理的推导。教学过程一、复习提问 1．什么叫三角形? 2．三角形的内角和是多少? 3．什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少? 二、新授 1．多边形的概念，三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。你能说出什么叫四边形、五边形吗? 如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写)

D D C A C E A B B 图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE 。一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n 边形，又称多边形。与三角形类似如图，∠A 、∠D 、∠ 下面所示的图形也是多边形，但不在我们现在研究的范

C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，延长AB、CB得四边形ABCD 的两个外角∠CBE和∠ABF，这两个外角是对顶角。一个n边形有n 个内角，有2n个外角。如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，线段AC是四边形ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。 8.3.3 问：(1)四边形有几条对角线?(两条AC、BD) (2)五边形有几条对角线? 以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。 (3)六边形有几条对角线?n边形呢? 六边形有9条对角线。从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，(除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点，就有n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，所以n边形一共有条对角线。大家可以加以验证：当n=3时，没有对角线，当n=4时，有2条；

多边形及其内角和教案设计

多边形的内角和教案一、教学目标 1、掌握多边形的内角和公式，并能熟练运用。 2、通过探索多边形的内角和公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力，体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、通过探索多边形内角和公式，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。 4、通过猜想，推理等数学活动，感受数学活动充满探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习热情。二、教学重点、难点重点：探索多边形的内角和公式。难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形，利用三角形内角和180度求出多边形内角和。三、教学方法：学生自主探究、合作交流与教师启发引导相结合. 四、教具准备 ①每个小组一张“探究实验报告单”（活动1） ②每人一张“类比探索五边形、六边形、七边形的内角和的答题纸”（活动2） ③多媒体课件五、教学过程（一）创设情境，引入新课问题1：把一个长方形纸片剪去一个角还剩几个角？【学生给出的答案可能是 ---三个角、四个角、五个角，教师演示动画。】问题2：你知道所得图形的内角和吗？你知道102边形的内角和吗？【根据学生的回答，教师指出本课内容，板书课题: 多边形的内角和。】（二）合作交流，探索新知活动1：猜想验证四边形的内角和问题：（1）任意四边形的内角和等于多少度？（2）你是怎样得到的？你能找到几种方法？【问题（1）学生很容易猜到360°，问题（2）组织学生四人一组拿出课前老师发给每个小组的探究实验报告，讨论并记录探究方法。在讨论的过程中，教师给出合格、良好、优秀的“自我评价标准”，每个小组对照评价表给出自我评价，教师深入到学生讨论中，以“边听—边问—边导”的形式，适时对各小组进行点拨。讨论结束后，小组学生代表用实物投影展示探究实验报告，说明求四边形内角和的方法，并讲述想法。教师对学生找到的不同方法都给予肯定和评价，并加以总结，归纳学生提出的探究方法：度量、剪拼、分割。教师将常用的3种分割方法板书到黑板上。重点引导学生比较三种不同的分割方法----即从四边形的一个顶点引对角线；从四边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段；从四边形的内部任取一点，连接这点与各顶点的线段,分别将四边形分成了几个三角形，如何利用三角形的内角和180°求出四边形的内角和360°，如何将四边形内角和的表示与边数n联系起来。】

《多边形的内角和与外角和》教案

《多边形的内角和与外角和》教案第1课时教学目标 (一)教学知识点： 1．理解多边形的定义． 2．掌握多边形的内角和公式． (二)能力训练要求 1．经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 2．探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力． (三)情感与价值观要求经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系．教学重难点教学重点：多边形的内角和．教学难点：探索多边形的内角和公式过程．教学过程：一．巧设情景问题，引入课题：引导学生回忆已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？提问：若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导．(学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形) 二．讲授新课 1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可．多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图．把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))，图(1)的多边形是凹多边形，我们探讨的一般都是凸多边形．

多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角．如图(3) 多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．多边形的表示方法与三角形、四边形类似．可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA．好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题． (1)一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流． (2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和．你知道他们是怎么做的吗？ (3)还有其他的方法吗？ (学生讨论、画图、归纳自己的方法) 在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形．进而求出内角和，这种由未知转化为已知的思想在数学中经常用到． (从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n －3)条对角线，这时n边形被分割成(n－2)个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为(n－2)·180°)

多边形及内角和知识点汇总

知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。分类1：分类2：多边形 1、n边形的内角和等于180°（n-2）。多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。 3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6/。镶嵌拼成360度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。

知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。（2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形. 凸多边形凹多边形图 1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。要点诠释： (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3) 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。

(完整版)多边形的内角和与外角和练习题及其答案

多边形的内角和与外角和 ?基础巩固题一、填空题 1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______. 2.五边形的内角和等于______度. 3.十边形的对角线有_____条. 4.正十五边形的每一个内角等于_______度. 5.内角和是1620°的多边形的边数是________. 6.用正n边形拼地板,则n的值可能是_______. 二、选择题 7.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 10.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080° 11.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 12.用下列两种正多边形能拼地板的是( ) A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形 C.正六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形三、解答题 13.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和. 14.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数.

15.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数. ? 强化提高题 16.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的 23 , 求这个多边形的边数及内角和. 17.如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长. E F D B C A

多边形及其内角和练习题(含答案)

9.2 多边形的内角和与外角和练习一一、填空题 1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______. 2.五边形的内角和等于______度. 3.十边形的对角线有_____条. 4.正十五边形的每一个内角等于_______度. 5.内角和是1620°的多边形的边数是___. 6.用正n边形拼地板,则n的值可能是_______. 二、选择题 7.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 10.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080° 11.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 12.用下列两种正多边形能拼地板的是( ) A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形 C.正六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形三、解答题 13.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和. 14.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数. 15.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数.11．3 多边形及其内角和 16.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的2/3, 求这个多边形的边数及内角和. 17.如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长. 19.若两个多边形的边数之比是1:2,内角和度数之比为1:3, 求这两个多边形的边数. 20.如果多边形恰有四个内角是钝角,那么多边形的边数共有几种可能? 其中最多是几边形?最少是几边形? 21.下列地板是由正方形、正六边形、正十二边形拼成的,试说明由这三种正多边形能拼地板的理由. 22.已知四边形ABCD中,∠A:∠B=7:5,∠A-∠C=∠B,∠C=∠D-40°, 求各内角的度数.

多边形的内角和及边角关系

4.7(1)自学提纲湖北省鹤峰县邬阳民族学校吴韦君主题：多边形的内角和及边角关系学习目标：明确多边形内角和公式和对角线条数公式的来历，并能熟练运用这两个公式自学指导：一、新课准备什么是多边形？什么是多边形的边、顶点、内角、内角和？二、新知探索思考一：多边形的内角和怎样求？三角形的内角和是，那么四边形的内角和是多少？五边形的内角和又是多少？六边形的内角和又是多少？你是怎么求出来的，请画图说明. 那么，对于任一个n多边形，内角和是多少？怎样理解这个公式？思考二：多边形的边角关系 1.如果一个三角形的两边相等，那么是否就有两个内角对应相等？那么反过来若知道一个三角形的两个内角相等，那么是否就有两条边相等？对于三角形的这个特点，我们可以用一句话来概括

C 2.那么对于任一多边形，如果它的各边都相等，那么是否可以得到它的各个内角也相等，如果不是，请举出一个反例。 3. 那么对于任一多边形，如果它的各内角都相等，那么是否可以得到它的各边也相等，如果不是，请举出一个反例。 4.什么是正多边形？对于一个正n 边形，它的每个内角是多少？思考三：多边形的对角线 1.什么是对角线？三角形有没有对角线？ 2.四边形有没有对角线？过四边形的一个顶点可以画多少条对角线，总共可以画多少对角线？ 3.过五边形的一个顶点可以画多少条对角线？总共可以画多少条对角线？ 4. 过六边形的一个顶点可以画多少条对角线？总共可以画多少条对角线？ 5.那么过n 边形的一个顶点可以画多少条对角线？总共可以画多少条对角线？三、自学能力检测 1.求七边形的内角和与对角线的总条数. 2.已知一个多边形的内角和是1080°，求它的边数。 3.在一个四边形中，若两对角互补，那么另两个内角是什么关系？ 4.把一个长方形桌面，锯掉一个角之后，剩下残余桌面的内角和是多少? 5.如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 6.如图，在六边形ABCDEF 中，每个内角都相等，且AB=1，BC=2，CD=3.5，DE=2.5，边形的周

初二多边形及其内角和

11.3多边形及其内角和一、选择题： 1.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 4.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080° 5.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 6.下列命题：①多边形的外角和小于内角和,②三角形的内角和等于外角和,③多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和,④四边形的内角和等于它的外角和.其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加( ) A.180° B.90° C. 360° D.540° 8.过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角和的( ) A.4倍 B.5倍 C.6倍 D.3倍 ABCD?A?B?C?D?D的外角等于、( ) 、9.在四边形的度数之比为中，、2∶3∶4∶3，则A.60° B.75° C.90° D. 10.在各个内角都相等的多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，那么这个多边形的边数是 ( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 11.如图，AB∥CD∥EF,则下列各式中正确的是( ) A.∠1＋∠2＋∠3＝180° B.∠1＋∠2－∠3＝90° C.∠1－∠2＋∠3＝90° D.∠2＋∠3－∠1＝180° ?A??B??C?A:?B:?C?1:2:3?A?90???B在下列条件中：①③②12.?A??B??C?ABC是直角三角形的条件有中，能确定( ) ④Ａ.①②Ｂ.③④Ｃ.①③④Ｄ.①②③ 二、填空题 1.五边形的内角和等于______度. 2.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______.

多边形及内角和知识点汇总

知识要点梳理知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。（2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形. 凸多边形凹多边形图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。要点诠释： (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3) 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。知识点四：多边形的内角和公式 1.公式：边形的内角和为. 2.公式的证明：证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得到边形的内角和为. 证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于. 证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数，即. 要点诠释： (1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。 (2)内角和定理的应用： ①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数。知识点五：多边形的外角和公式 1.公式：多边形的外角和等于360°. 2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加外角和为，外角和等于.注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。要点诠释： (1)外角和公式的应用： ①已知外角度数，求正多边形边数；

多边形内角和与外角和知识总结及相应例题

多边形内角和与外角和知识总结及相应例题一、内容综述：多边形（n边形）：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。凸多边形：如果沿着多边形任何一条边作直线，多边形均在直线的同侧。凹多边型：多边形存在若干这样的边，如果沿着这条边作直线，多边形在直线的两侧。正多边形：多边形的各边都相等且各角都相等。对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。 n边形的内角和=(n-2)·180°。任意多边形的外角和都为360°（外角和是指：每个顶点取且只取一个外角）。注意：(1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关； (2)凸多边形的内角α的范围：0°＜α＜180°。二、例题分析：例1、(1)22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？ (2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？ (3)几边形的内角和是2160°？是否存在一个多边形内角和为1000°？ (4)已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求边数．分析：以上基础知识的掌握是解决下列问题的关键，通常利用方程的思想解决。解：（1）（22-2）×180°=3600° 3600°÷22=（）° 180°-（）°=（）° （2）设n边形的内角和是八边形内角和的2倍则（n-2）×180°=2×（8-2）×180°

n=14 （3）设n边形的内角和是2160° 则（n-2）×180°=2160° n=14 设n边形内角和为1000°，则（n-2）×180°=1000° 因为n不是整数，不符合题意。所以假设不成立，故不存在一个多边形内角和为1000° (4)因为一个多边形内角和等于外角和的2倍，所以：设边数为n。根据题意得：（n-2）×180°=2×360°，n=6 例2、(1)已知多边形的每个内角都是135°，求这个多边形的边数； (2)每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数分析：利用每一个内角和它的外角互补的关系解：（1）因为多边形的每个内角都是135°，所以它的每一个外角都是45°， 360°÷45°=8，这个多边形是8边形。（2）因为每个外角都相等，则每一个内角也都相等。设外角为x则内角为9x，因为每一个内角与它的外角互为邻补角，所以：x+ 9x=180° x=18° 因为多边形的外角和为360°，所以360°÷18°=20，此多边形为20边形。例3、(1)某多边形除一个内角α外，其余内角的和是2750°．求这个多边形的边数． (2)已知n边形恰有四个内角是钝角．这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？解：（1）因为凸多边形的每一个内角α的范围是：0°＜α＜180°，所以设这个多边形的边数为n，

多边形及其内角和(含答案)

7．3 多边形及其内角和基础过关作业 1．四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（） A．80° B．90° C．170° D．20° 2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（） A．9 B．8 C．7 D．6 3．内角和等于外角和2倍的多边形是（） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 4．六边形的内角和等于_______度． 5．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．6．如图，你能数出多少个不同的四边形？ 7．四边形的四个内角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？?为什么？ 8．求下列图形中x的值：

综合创新作业 9．（综合题）已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，?DF 平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？ 10．（应用题）有10个城市进行篮球比赛，每个城市均派3个代表队参加比赛，规定同一城市间代表队不进行比赛，其他代表队都要比赛一场，问按此规定，?所有代表队要打多少场比赛？ 11．（创新题）如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．

12．（1）（2005年，南通）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形为（） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形（2）（2005年，福建泉州）五边形的内角和等于_______度． 13．（易错题）一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（? ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个培优作业 14．（探究题）（1）四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？六边形有几条对角线？ …… 猜想并探索： n边形有几条对角线？（2）一个n边形的边数增加1，对角线增加多少条？ 15．（开放题）如果一个多边形的边数增加1，?那么这个多边形的内角和增加多少度？若将n边形的边数增加1倍，则它的内角和增加多少度？数学世界攻其不备壁虎在一座油罐的下底边沿A处．它发现在自己的正上方──油罐上边缘的B?处有一只害虫．壁虎决定捕捉这只害虫．为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击如图7-3-5．结果，?壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问：壁虎沿着螺旋线爬行是最短的路程吗（线段AB除外）？

22.1(1)多边形的内角和

多边形的内角和与外角和

多边形及其内角和讲义(学生用)

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多边形的内角和1教案沪科版

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