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北师大版九年级数学上册：第一章特殊平行四边形教案

第一章特殊平行四边形

1菱形的性质与判定

第1课时菱形的定义和性质

1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系．

2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理的能力．3．在证明菱形的性质和运用性质定理解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力．

重点

理解并掌握菱形的概念与性质定理．

难点

菱形性质定理的证明及运用．

一、情境导入

课件出示教材第2页情境图，提出问题：

你能从这几幅图中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？

学生：图片中有八年级学过的平行四边形．

教师：请同学们观察，这些平行四边形与下图的平行四边形ABCD相比较，还有什么不同点吗？

学生：这些平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等．

教师：同学们观察得很仔细．像这样，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

二、探究新知

1．菱形的性质

教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．你能列举一些这样的性质吗？

学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．

教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流．

学生讨论交流后，教师点评．

教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：

(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？

(2)菱形中有哪些相等的线段？

学生分小组进行折纸活动后讨论交流，回答问题，教师点评，并进一步讲解：

①菱形是轴对称图形，有两条对称轴．对称轴是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直．②菱形的四条边相等．

2．证明菱形的性质

教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明．

课件出示：

已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.

求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；(2)AC⊥BD.

分析：①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等．

②因为菱形是平行四边形，所以点O 是对角线AC 与BD 的中点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论．

学生写出证明过程，进行组内交流对比，教师点评．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，

∴AB ＝CD ，AD ＝BC(菱形的对边相等)．又∵AB ＝AD ，

∴AB ＝BC ＝CD ＝AD. (2)∵AB ＝AD ，

∴△ABD 是等腰三角形．又∵四边形ABCD 是菱形，

∴OB ＝OD(菱形的对角线互相平分)．在等腰三角形ABD 中， ∵OB ＝OD ， ∴AO ⊥BD ，

即AC ⊥BD. 三、举例分析

例如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O, ∠BAD ＝60°，BD ＝6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长．

分析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°，所以可以得到等边△ABD ，BD ＝6，菱形的边长也是6.

②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB ；由菱形的对角线互相平分，可以得到OB ＝3，根据勾股定理可以求出OA 的长度；再一次根据菱形的对角线互相平分，即AC ＝2OA ，求出AC 的长．

解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD(菱形的四条边相等)， AC ⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，

OB ＝OD ＝12BD ＝1

2×6 ＝3(菱形的对角线互相平分)．

在等腰三角形ABD 中，

∵∠BAD ＝60°，

∴△ABD 是等边三角形． ∴AB ＝BD ＝6.

在Rt △AOB 中，由勾股定理，得 OA 2＋OB 2＝AB 2，

∴OA ＝AB 2－OB 2＝62－32＝3 3.

∴AC＝2OA＝63(菱形的对角线互相平分)．

四、练习巩固

教材第4页“随堂练习”．

五、小结

1．什么叫做菱形？

2．菱形有哪些性质？

六、课外作业

教材第4～5页习题1.1第1～4题．

本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质．学生已经学习了平行四边形的性质，这是本节课的知识基础．关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上进一步强化条件得到的．课堂上通过折纸活动，让学生直观地感知图形的特点，激发学生学习的兴趣和积极性，教师要引导学生积极思考，抓住表面现象中的本质．在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较，优化证明方法，有利于提高学生的逻辑思维水平．

第2课时菱形的判定

1．探索证明菱形的判定方法，掌握证明的基本要求、方法及思路．

2．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

3．经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理的能力．

4．在具体问题的证明过程中，有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想，提高学生解决问题的能力．

重点

菱形判定定理的证明及应用．

难点

菱形的判定方法的综合运用．

一、复习导入

1．菱形的定义是什么？

2．菱形有哪些性质？

教师：同学们对菱形的性质都掌握得很好，那么怎样判定一个四边形是菱形呢？这就是我们这节课所要研究的内容．

二、探究新知

1．菱形的判定方法一

教师：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这可以作为菱形的第一种判定方法．

2．菱形的判定方法二

课件出示：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．

教师转动木条，提出问题：

(1)转动木条，这个四边形总有什么特征？

(2)继续转动木条，什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形？

引导学生猜想：当木条互相垂直时，平行四边形的一组邻边相等，此时四边形为菱形．

教师：你能证明你的猜想吗？

学生独立完成，指名板演，教师点评．

已知：如图，在?ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥BD. 求证： ?ABCD 是菱形．

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC. 又∵AC ⊥BD ，

∴BD 是线段AC 的垂直平分线． ∴BA ＝BC.

∴四边形ABCD 是菱形(菱形的定义)． 3．菱形的判定方法三

教师：已知线段AC ，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD ，使AC 为菱形的一条对角线吗？

学生独立尝试作图，教师点评，并进一步讲解用尺规作菱形的方法：

如图，分别以A ，C 为圆心，以大于1

2AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B ，D ，依次

连接A ，B ，C ，D.

教师：你能说明得到的四边形为什么是菱形吗？

学生小组讨论交流，找到原因：该四边形四边相等．教师：你能证明四边相等的四边形是菱形吗？学生独立完成，指名板演，教师点评．

已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA. 求证：四边形ABCD 是菱形．

证明：∵AB ＝CD ，AD ＝BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵AB ＝BC ，

∴四边形ABCD 是菱形(菱形的定义).

教师：你能用折纸等办法得到一个菱形吗？学生动手操作，教师巡视指导．

三、举例分析

例已知：如图，在?ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝5，OA ＝2，OB ＝1. 求证：?ABCD 是菱形．

思考：(1)观察题目中的数据，AB，OA，OB有什么数量关系？

(2)利用勾股定理的逆定理能否判定△ABO是直角三角形？

(3)如果可以得到直角三角形，那么利用菱形的哪一个判定定理进行判断？

四、练习巩固

1．教材第7页“随堂练习”．

2．教材第7页习题1.2第1题．

五、小结

1．怎样判定一个四边形是菱形？

2．通过本节课的学习，你还学到了哪些知识？

六、课外作业

教材第7页习题1.2第2，3题．

在本节课中，课前复习为本节课的探究作了有效的铺垫．学生资源的灵活运用提高了学生参与探究的兴趣，证明思路的分析过程让学生体会了逆向思维、一题多解等数学思想．另外，学生通过经历试验—猜想—证明—应用的探索过程提高了自身的科学素养．

第3课时菱形的性质与判定的应用

1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法．2．经历菱形的性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法．

重点

菱形的性质定理与判定定理的综合应用及菱形面积的求法．

难点

等宽纸条交叉部分为菱形的证明及菱形面积的综合应用．

一、复习导入

1．如图①，在菱形ABCD中，AB＝6.

(1)求AD，DC，BC的长．

(2)对角线AC与BD有什么位置关系？

(3)若∠ADC＝120°，求AC的长．

图①

图②

2．如图②，在?ABCD 中添加一个条件使其成为菱形．

添加方式1：________________________________________________________________________.

添加方式2：

________________________________________________________________________.

二、探究新知 1．课件出示：

如图，四边形ABCD 是边长为13 cm 的菱形，其中对角线BD 长10 cm .求：

(1)对角线AC 的长度； (2)菱形ABCD 的面积．

解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，

∴∠AED ＝90°(菱形的对角线互相垂直)， DE ＝12BD ＝1

2×10＝5(cm )(菱形的对角线互相平分)．

∴在Rt △ADE 中，由勾股定理可得：

AE ＝AD 2－DE 2＝132－52＝12(cm )．

∴AC ＝2AE ＝2×12＝24(cm )(菱形的对角线互相平分)． (2)S 菱形ABCD ＝ S △ABD ＋ S △CBD ＝2×S △ABD ＝2×1

×BD ×AE

＝BD ×AE ＝10×12 ＝120( cm 2)．

注意：学生对于第一个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程不规范；对于第二个问题，学生很容易求一边上的高，经过讨论、交流、点拨后学生能接受这种方法．在实际过程中教师应追问学生菱形的面积和对角线有什么关系，引起学生的思考，进而突破这一教学难点．

2．课件出示教材第87页图1－7，提出问题：两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD 是菱形吗？为什么？

分析：由图可知，重叠部分为平行四边形，且相邻的两边对应的高相等，由平行四边形的面积，可证平行四边形ABCD 为菱形．三、举例分析

例 (变式训练)如上图，四边形ABCD 是菱形，其中对角线BD 长12 cm ，AC 长16 cm .求：

(1)菱形的边长；

(2)菱形一条边上的高．

分析：灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积进而求出一边上的高．教师：同学们，在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么感悟或经验？教师引导学生总结经验，帮助学生形成解题思路．四、练习巩固

1．教材第9页“随堂练习”第1，2题．

2．教材第10页习题1.3第5题．

五、小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？

六、课外作业

1．教材第9页习题1.3第1～4题．

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F.当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

本节课的教学内容是菱形的性质定理与判定定理的综合运用．通过课前复习，加深学生对菱形的性质定理及判定定理的记忆．在教学中，通过例题讲解，帮助学生总结经验并形成解题思路．学生对于几何题的规范答题是在课堂上需要重点强调的，这是培养学生严谨细致的数学素养的一个手段．同时，在教学中应注意学生解题的反思过程，例如由例题及变式训练完成反思过程后，学生的思维得到了升华，同时对于同类题目的突破方式有了初步的框架，能促进以后的学习，从本质上讲学习就是在学生不断反思中完成的．

2矩形的性质与判定

第1课时矩形的定义和性质

1．了解矩形的概念，理解并掌握矩形的性质定理．

2．经历探索矩形的概念和性质定理的过程，发展学生合情推理的意识．

3．培养学生严谨的推理能力，掌握几何思维方法，体会逻辑推理的思维价值．

重点

矩形的性质定理的理解及应用．

难点

矩形的性质定理的应用．

一、情境导入

课件出示教材第11页情境图，提出问题：

这三幅图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？

学生讨论交流后汇报，教师点评，并进一步讲解：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

教师：你还能举出一些生活中矩形的例子吗？

二、探究新知

1．探究矩形的性质定理

教师出示一个平行四边形活动框架，完成以下探究．

(1)改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？

学生：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有的性质．

(2)用橡皮筋做出两条对角线，这两条对角线有什么关系？学生：橡皮筋的长度相等，因此矩形的两条对角线相等． (3)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？学生：矩形是轴对称图形，它有2条对称轴． (4)你认为矩形还具有哪些特殊性质？

学生：矩形的四个角都是直角，对角线相等．教师：你能证明这些结论吗？

学生独立完成，指名板演，教师点评，得到如下定理：

矩形的四个角都是直角．矩形的对角线相等．

2．探究直角三角形的性质定理

课件出示教材第12页图1－9，提出问题：如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点E ，那么BE 是Rt △ABC 中一条怎样的特殊线段？它与AC 有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？

学生观察、思考后发现：AE ＝12AC ，BE ＝1

BD ，BE 是Rt △ABC 的中线．

由此归纳直角三角形的一个性质定理：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、举例分析

例1 如图，在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝4 cm ，求这个矩形对角线的长．

分析：利用矩形对角线相等且平分得到OA ＝OB ，由于∠AOB ＝60°，∴△AOB 为等边三角形，则OA ＝AB ＝4 cm ，∴AC ＝BD ＝2OA ＝8 cm .

例2 如图，在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 是△ABC 的高，E 是AB 的中点，求证：DE ＝1

AC.

分析：本题可从E 是AB 的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．可以取BC 的中点F ，也可以取AC 的中点G.

学生分四人小组，合作探究不同的证法．

证法一：取BC 的中点F ，连接EF ，DF ，如图①. ∵E 为AB 中点，∴EF ∥AC.∴∠FEB ＝∠A.

∵∠A ＝2∠B ，∴∠FEB ＝2∠B.∵DF ＝1

BC ＝BF ，∴∠1＝∠B.∴∠FEB ＝2∠B ＝2∠1＝∠1

＋∠2.

∴∠1＝∠2.∴DE ＝EF ＝1

AC.

证法二：取AC 的中点G ，连接DG ，EG ，如图②. ∵CD 是△ABC 的高，

∴在Rt △ADC 中，DG ＝1

2AC ＝AG .

∵E 是AB 的中点，∴GE ∥BC.∴∠1＝∠B. ∴∠GDA ＝∠A ＝2∠B ＝2∠1.

又∠GDA ＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝2∠1. ∴∠2＝∠1.∴DE ＝DG ＝1

AC.

四、练习巩固

1．教材第13页“随堂练习”．

2．如图，从矩形ABCD 的顶点C 作对角线BD 的垂线与∠BAD 的平分线相交于点E.求证：AC ＝CE.

分析：要证AC ＝CE ，可以考虑证明∠E ＝∠CAE.∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE ＝∠BAE ，且∠CAE ＝∠DAE －∠DAC.

另外一个条件是CE ⊥BD ，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，则AF ∥CE ，可以将∠E 转化为∠FAE ，∠FAE ＝∠BAE －∠FAB.现在只要证明∠BAF ＝∠DAC 即可，而实际上，∠BAF ＝∠BDA ＝∠DAC ，问题迎刃而解．

五、小结

1．什么叫矩形？ 2．矩形有哪些性质？ 3．矩形有几条对称轴？

六、课外作业

教材第13～14页习题1.4第1～4题．

本节课依据新课标的要求，设计的每个环节都是以学生为主体，在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，提高学生的探索创新思维和创造能力．首先，从矩形的定义和平行四边形的性质引入，提出问题，让学生猜想矩形应具有的性质，调动学生的思维积极性，激发探究欲望．教学过程中，先利用平行四边形活动框架，让学生通过观察、测量、思考、讨论等活动，得出矩形的性质．在解决问题的过程中发展了学生的合情推理意识．再引导学生进行推理证明及应用，通过探索证明，发展了学生的思维能力，帮助他们在自主探索与合作交流过程中真正理解和掌握矩形的性质定理，体验数学学习过程中的探索性、挑战性以及推理的严谨性．第2课时矩形的判定

1．理解和掌握矩形的判定定理．

2．经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力．

3．通过对比已学的知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法．

重点

理解和掌握矩形的判定定理．

难点

矩形的判定定理的应用．

一、情境导入

课前准备小木板和橡皮筋，制作一个如图所示的平行四边形活动框架．用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？

二、探究新知

1．矩形的判定定理1

根据上面的实践活动提出问题：

(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？

(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？

学生讨论交流后回答，教师点评，并归纳：

矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．

矩形的判定定理1的证明过程：

(1)学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；

(2)对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；

(3)请学生交流大体思路；

(4)用规范的数学语言写出证明过程；

(5)同学之间进行交流，找出自己还存在的问题．

2．矩形的判定定理2

教师：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．

学生讨论交流后回答，教师点评，并引导学生归纳：

矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．

矩形的判定定理2的证明过程：

(1)学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；

(2)对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；

(3)请学生交流大体思路；

(4)用规范的数学语言写出证明过程；

(5)同学之间进行交流，找出自己还存在的问题．

三、举例分析

例1实际问题：

(1)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形？

(2)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是菱形？

(3)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是矩形？

学生分小组讨论后回答，教师点评，并总结：

先利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明是平行四边形，再由“对角线相等的平行四边形是矩形”得证．

例2如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求?ABCD的面积．

学生独立完成，指名板演，教师点评．

四、练习巩固

1．教材第16页“随堂练习”．

2. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, CM∥BD，DM∥AC.

求证：四边形OCMD是矩形．

五、小结

1．通过本节课的学习，你有什么收获？

2．矩形的判定定理有哪些？

六、课外作业

教材第16页习题1.5第1～3题．

对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华．课堂是学生展示自己的一个舞台，在课堂教学中，给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生学习的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的．几何教学对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有些学生可能要差一点，课堂教学不能过急．此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法．还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生．

第3课时矩形的性质与判定的应用

1．能够运用矩形的性质定理和判定定理解决问题．

2．经历矩形的性质与判定的应用过程，发展学生的推理论证能力．

3．通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学的严谨性．

重点

矩形的性质定理与判定定理的应用．

难点

灵活地运用矩形的性质定理与判定定理解决问题．

一、复习导入

1．如图①，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5 cm，则∠DAO ＝__________，AC＝__________ cm，S矩形ABCD＝__________ cm2.

2. 如图②，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件________________，可使它成为矩形．

二、探究新知

课件出示：如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED ＝3BE.求AE 的长．

学生小组合作完成本题的求解，教师点评并板书：解：∵ 四边形ABCD 是矩形，

∴AO ＝BO ＝DO ＝1

2BD(矩形的对角线相等且互相平分)，

∠BAD ＝90°(矩形的四个角都是直角)． ∵ED ＝3BE ， ∴BE ＝OE.

又∵ AE ⊥BD ，

∴AB ＝AO.

∴AB ＝AO ＝BO.

即 △ABO 是等边三角形． ∴∠ABO ＝60°.

∴∠ADB ＝90°－∠ABO ＝30°. 在Rt △AED 中， ∵∠ADE ＝30°， ∴AE ＝12AD ＝1

×6＝3.

注意：本题的解法不唯一，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己不同的意见．

三、举例分析

例如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E.求证：四边形ADCE 是矩形．

证明：∵AD 平分∠BAC ，AN 平分∠CAM ， ∴∠CAD ＝12∠BAC ，∠CAN ＝1

2∠CAM.

∴∠DAE ＝∠CAD ＋∠CAN ＝1

(∠BAC ＋∠CAM)

＝1

×180°

＝90°.

在△ABC 中，

∵AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线， ∴AD ⊥BC.

∴∠ADC ＝90°. 又∵CE ⊥AN ，

∴∠CEA ＝90°.

∴四边形ADCE 为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．四、练习巩固

1．在上一题中，条件不变，连接DE ，交AC 于点F(如图①)． (1)试判断四边形ABDE 的形状，并证明你的结论． (2)线段DF 与AB 有怎样的关系？请证明你的结论．

图①

图②

2．如图②，四边形ABCD 是由两个全等的等边△ABD 和△CBD 组成，点M ，N 分别是BC 和AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．

五、小结

通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑问？

六、课外作业

教材第18～19页习题1.6第1～5题．

本课时，是综合运用矩形的性质定理和判定定理，应给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生学习的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的．在教学过程中，不应加大习题量，题目在精不在多，扎实地讲解和学习比大量练习要有效果得多．把关注学生能力的培养提到首位，达到本节课所要完成的真正目标．

3正方形的性质与判定

第1课时正方形的定义和性质

1．理解正方形的概念和性质定理，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．

2．在探索正方形的性质定理的过程中，发展学生的合情推理能力．

3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神，激发学生学习的积极性与主动性．

重点

理解正方形的定义和性质．

难点

选择适当的方法解决有关正方形的问题．

一、情境导入

教师：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候，我们往往会先折一张正方形的纸片．那么大家能用一张长方形的纸片折出一个正方形吗？

学生动手操作，引导学生在动手操作中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．教师：结合菱形和矩形的定义，想一想，什么样的四边形是正方形？

学生思考后回答，教师点评，并归纳：

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

说明：其定义包括了两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形(菱形)；②有一个角是直角的平行四边形(矩形)．所以说正方形既是菱形又是矩形．

教师：这节课我们就来深入地了解正方形．(板书课题)

二、探究新知

教师：正方形都具有哪些性质呢？

学生：由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．

教师：你能详细说一说正方形的性质吗？

学生：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．由学生的回答归纳出：

正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等．

正方形的性质定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分．

教师：同学们能尝试完成这两个定理的证明吗？

学生独立完成，并相互交流，教师点评．

教师：正方形有几条对称轴？

学生思考或者画图验证．

三、举例分析

例1如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF.BE 与DF 之间有怎样的关系？请说明理由．

解：BE ＝DF，且BE⊥DF.理由如下：

(1)∵四边形ABCD 是正方形，

∴BC ＝DC，∠BCE ＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)．

∴∠DCF ＝180°－∠ BCE ＝180°－90°＝90°.

∴∠BCE ＝∠ DCF.

又∵ CE ＝CF，

∴△BCE ≌△DCF.

∴BE ＝DF.

(2)延长BE 交DF 于点M(如图)．

∵△BCE ≌△DCF，

∴∠CBE ＝∠ CDF.

∵∠DCF ＝90°，

∴∠CDF ＋∠ F ＝90°.

∴∠CBE ＋∠ F ＝90°.

∴∠BMF＝90°.

∴BE⊥DF.

例2平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．

学生尝试画图，教师点评，并进一步讲解，课件出示如下图：

四、练习巩固

1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？

第1题图第2题图

2．如图，在正方形ABCD中，点F为对角线BD上一点，连接AF，CF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．

五、小结

通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？

六、课外作业

教材第22页习题1.7第1～4题．

本节课教学的主要内容是探究并证明正方形的性质定理．教材只是提供了最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．让学生通过搜集材料亲自去感受数学在实际生活中的应用，体会数学的实际价值．培养学生善于观察生活、搜集数学信息、对信息进行整理的能力．

第2课时正方形的判定

1．掌握正方形的判定定理，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的证明和计算．

2．经历探究正方形的判定定理的过程，发展学生综合推理的能力、主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．

3．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点．

重点

掌握正方形的判定定理．

难点

合理恰当地利用特殊平行四边形的性质与判定进行有关的证明和计算．

一、复习导入

1．我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？

2．让学生回答以下问题：

(1)怎样判断一个四边形是矩形？

(2)怎样判断一个四边形是菱形？

(3)怎样判断一个四边形是平行四边形？

(4)怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？

教师：你有什么方法判定一个四边形是正方形？这就是本节课要探究的内容．

二、探究新知

1．正方形的判定定理

课件出示教材第22页图1－20，提出问题：

将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？

学生动手操作，教师巡视指导，并讲解：

因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可．教师：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？

引导学生总结出正方形的判定定理：

对角线相等的菱形是正方形．

对角线垂直的矩形是正方形．

有一个角是直角的菱形是正方形．

教师：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有什么关系？

教师：同学们能尝试完成这3个定理的证明吗？

学生独立完成，教师点评．

2．中心四边形

学生以小组的形式，在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、梯形和直角梯形中选择一种自己感兴趣的四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性．

平行四边形

矩形

菱形

正方形

等腰梯形

直角梯形

梯形

引导学生得出结论：

平行四边形的中点四边形是平行四边形；矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形是正方形；等腰梯形的中点四边形是菱形；

直角梯形的中点四边形是平行四边形；梯形的中点四边形是平行四边形．三、举例分析

例如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，BF ∥CE ，CF ∥BE.求证：四边形BECF 是正方形．

证明：∵BF ∥CE ，CF ∥BE ，

∴四边形BECF 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠ABC ＝90°，∠DCB ＝90°.

又∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，

∴∠EBC ＝12∠ABC ＝45°，∠ECB ＝1

2∠DCB ＝45°.

∴∠EBC ＝∠ECB.

∴EB ＝EC.

∴?BECF 是菱形(菱形的定义)．在△EBC 中，

∵∠EBC ＝45°，∠ECB ＝45°，

∴∠BEC ＝90°.

∴菱形BECF 是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．四、练习巩固

1．教材第24页“随堂练习”． 2．完成下列问题：

图①

图②

(1)如图①，在△ABC中，EF为△ABC的中位线．

①若∠BEF＝30°，则∠A＝________.

②若EF＝8 cm，则AC＝________．

(2)如图②，在AC的下方取一点D，连接AD，CD.取CD和AD的中点G、H，问EF和GH 有怎样的关系？EH和FG呢？

(3)如图③，四边形EFGH的形状有什么特征？

五、小结

1．通过本节课的学习，你有哪些收获？

2．正方形的判定定理有哪些？

六、课外作业

教材第25页习题1.8第1～4题．

不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．

北师大版九年级数学上册知识点总结

北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

北师大版数学九年级上册知识点归纳

北师大版《数学》（九年级上册）知识点归纳第一章证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b