(A) 4,3,2,1,0,15)(==x x x p ； (B) 3,2,1,0,6
5)(2
=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==
x x p ； (D) 5,4,3,2,1,25
1)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ）
(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=- (C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D
4、设随机变量),(~2
σμN X ，则随着σ的增大，概率()
σμ<-X P （ ）。 (A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定
5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2
σμN X 的一个样本，X 与2
S 分别为样本均值与样
本方差，则下列结果错误．．
的是（ ）。 （A ）μ=X E ； （B ）2
σ
=X D ；（C ）
())1(~122
2
--n S n χσ； （D ）()
)(~22
1
2
n X
n
i i
χσμ∑=-。
三、（本题满分12分） 试卷中有一道选择题，共有４个答案可供选择，其中只有１个答案是正确的。任一考生若会解这道题，则一定能选出正确答案；如果不会解这道题，则不妨任选１个答案。设考生会解这道题的概率为０.８，求：（１）考生选出正确答案的概率？
（２）已知某考生所选答案是正确的，他确实会解这道题的概率？
四、（本题满分12分）设随机变量X 的分布函数为?????>≤≤<=1
1100
)(2
x x Ax
x x F ，试求常数A 及X 的概率密度函数)(x f 。
五、（本题满分10分）设随机变量X 的概率密度为x
e x
f -=2
1)(，)(+∞<<-∞x ，试求数学期望)(X E 和方差)(X D 。
六、（本题满分13分）设总体X 的密度函数为???
??<≥=-0
01)(22
x x xe
x f x
σσ ，其中0>σ 试求σ的矩估计量和极大似然估计量。
七、（本题满分12分）某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24
设测定值总体服从正态分布,但参数均未知，问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。（已知6041.4)4(995.0=t ）
八、（本题满分8分）设)X ,,X ,(X 1021 为来自总体)3.0,0(2
N 的一个样本，求
?
?????>∑=101244.1i i X P 。（9
87.15)10(2
9.0=χ）
概率试统计模拟一解答
一、填空题（本题满分18分，每题3分）
1、0.6；
2、
2719； 3、34； 4、21； 5、)10(2n χ；6、)1(22
1--n t n S α 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、Ｄ； 2、Ｃ； 3、Ｂ； 4、Ｃ； 5、Ｂ
三、（本题满分12分）解：设Ｂ－考生会解这道题，Ａ－考生解出正确答案 （１）由题意知：8.0)(=B P ，2.08.01)(=-=B P ，1)(=B A P ，25.04
1
)(==
B A P ， 所以85.0)()()()()(=+=B A P B P B A P B P A P , （２）941.0)
()()()(≈=
A P
B A P B P A B P
四、（本题满分12分）解：A A f F =?==+2
1)1()01(，而0
11)1lim(
)1()01(+→===+x f F ，1=A
对)(x F 求导，得??
?≤≤=其它0
1
02)(x x x f
五、（本题满分10分）解：0)(=X E ；2=DX
六、（本题满分13分）矩估计：X dx e
x EX x ===
-
∞
+?
σσσ
σ
,1
2202
,
极大似然估计：似然函数()n x n
i x x x e x L n
i i 2121
21,∑
??
? ??==-
σ
σσ,
()∑-∑+-===n
i i n
i i i x x n x L 12
12ln ln ,ln σ
σσ
()02,ln 122=∑+-=??=n i i i x n x L σ
σσσ， ∑==n i i x n 1221σ 七、（本题满分12分）解：欲检验假设 0100:,25.3:μμμμ≠==H H 因2
σ未知，故采用t 检验，取检验统计量n S
X t 0
μ-=
，今5=n ，252.3=x ，013.0=S ，
01.0=α，=--)1(2/1n t α6041.4)4(995.0=t ，拒绝域为 ≥-=
n s
X t 0
μ=--)1(2/1n t α6041.4，因t 的观察值
6041.4344.05
/013.025.3252.3<=-=
t ，未落入拒绝域内，故在01.0=α下接受原假设。
八、（本题满分8分）因)3.0,0(~2
N X i ，故)10(~3.022
10
1χ∑=??
?
??i i X
{}
1.016)10(3.0/44.13.0/44.121012221012=>=?
??
???>=??????>∑∑==χP X P X P i i i i
概率统计模拟题二
本试卷中可能用到的分位数：
8595.1)8(95.0=t ，8331.1)9(95.0=t ，306.2)8(975.0=t ，2662.2)9(975.0=t 。
一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、设事件B A ,互不相容，且,)(,)(q B P p A P ==则=)(B A P .
2、设随机变量X 的分布函数为：????
???≥<≤<≤--<=21
216.0113.010
)(x x x x x F
则随机变量X 的分布列为 。
3、设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)2,1(N 和)1,0(N ，则
(1)P X Y +≤= 。
4、若随机变量X 服从[1,]b -上的均匀分布，且有切比雪夫不等式2
(1),3
P X ε-<≥
则 b = ,ε= 。
5、设总体X 服从正态分布)1,(μN ，),,,(21n X X X 为来自该总体的一个样本，则
∑=-n
i i
X
1
2)(μ服从 分布
二、选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、设()0,P AB =则有（ ）。
(A)A B 和互不相容 (B)A B 和相互独立；(C)()0P A =或()0P B =；(D)
()()P A B P A -=。
2、设离散型随机变量X 的分布律为：()(1,2),k P X k b k λ=== 且0b >，则λ为（ ）。 (A)
11b +； (B) 1
1
b -； (C) 1b +； (D) 大于零的任意实数。 3、设随机变量X 和Y 相互独立，方差分别为6和3，则)2(Y X D -=（ ）。 (A) 9；(B) 15； (C) 21；(D) 27。
4、对于给定的正数α，10<<α，设αu ，)(2
n αχ，
)(n t α，),(21n n F α分别是)1,0(N ，)(2n χ，)(n t ，),(21n n F 分布的下α分位数，则下面结论中不正确．．．
的是（ ） （A ）αα--=1u u ； （B ）)()(2
21n n ααχχ-=-；
（C ）)()(1n t n t αα--=； （D ）)
,(1),(122
11n n F n n F αα=-
5、设),,,(21n X X X (3≥n )为来自总体X 的一简单随机样本，则下列估计量中不是．．总体期望μ的无偏估计量有（ ）。
(A)X ； (B)n X X X +++ 21； (C))46(1.021X X +?； (D)321X X X -+。 三、（本题满分12分）
假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：
（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
四、（本题满分12分） 设随机变量X 的分布密度函数为1()1x f x ?
0, x
试求： （1）常数A ； （2）X 落在11
(,)22
-内的概率； （3）X 的分布函数)(x F 。 五、（本题满分12分）
设随机变量X 与Y 相互独立，下表给出了二维随机变量),(Y X 的联合分布律及关于X 和
Y 边缘分布律中的某些数值,试将其余数值求出。
六、（本题满分10分）设一工厂生产某种设备，其寿命X (以年计)的概率密度函数为：
()???
???
?<≥=-0
00
414x x e x f x
工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 七、（本题满分12分）
设),,,(21n X X X 为来自总体X 的一个样本，X 服从指数分布，其密度函数为
??
?<≥=-0,
00
,);(x x e x f x λλλ，其中0>λ为未知参数，试求λ的矩估计量和极大似然估计量。 八、（本题满分12分）
设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为18岁。
模拟二参考答案及评分标准 [基本要求：①卷面整洁，写出解题过程，否则可视情况酌情减分；
②答案仅供参考，对于其它解法，应讨论并统一评分标准。] 一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、q p --1；
2、???
? ??-4.03.03.0211；3、21)0(=Φ；4、2,3==εb ；5、)(2
n χ
注：第4小题每对一空给2分。
二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、D ；2、A ；3、D ；4、B ；5、B 三、（本题满分12分）解：设A={甲河流泛滥}，B={乙河流泛滥}……………………………1分 (1)
由题意，该地区遭受水灾可表示为B A ，于是所求概率为：
)()()()(AB P B P A P B A P -+= ……………………………2分
)/()()()(A B P A P B P A P ?-+=……………………………2分 27.03.01.02.01.0=?-+=…………………………………2分
(2))()()/(B P AB P B A P =
…1分 )
()
/()(B P A B P A P ?=………2分 15.02
.03
.01.0=?=
………………………………………………2分 四、（本题满分12分）解：(1)由规范性 dx x f ?
+∞
∞
-=)(1………………1分
dx x A ?
--=
1
1
2
1……1分 πA x
A =-=1
1
arcsin …1分 1=∴A ………………………………………………………1分
(2)dx x
X P ?--=<<-11211
1}2121{π ……………………………………2分
31arcsin 1
121
=-
=
x
π
……………………………………2分
(3)00)(1==-
dx x F x ，时 ……………………………………………1分
)2
(arcsin 1
11
1)(111
2
π
π
π+
=
-=
≤≤-?
-x dx x
x F x x
，时………………1分
111
1
)(11
1
2
=-=
>?
-dx x
x F x π，时………………………………………1分
??
???>≤≤-+-<=∴1
111)
2(arcsin 11
)(x x x x x F X ππ
的分布函数为
………………1分 五、（本题满分12分）
解： 241
81616181=-=?=+
a a …………………………………………………1分 43
411141=-=?=+e e ……………………………………………………1分
121
81241414181=--
=?=++b b a …………………………………………2分 2
1
4814181=?=??=f f ……………………………………………………2分
83
812181=-=?=+c f c …………………………………………………2分 3
1
412141=?=
??=g g b ……………………………………………………2分 4
1
12131=-
=?=+d g d b …………………………………………………2分 六、（本题满分10分）
解：设一台机器的净赢利为Y ，X 表示一台机器的寿命，……………………1分
??
?
??
≤≤<-=->=00102003001001100X X X Y ……………………………………………………3分
{}41
14
411P -∞
-=?e dx e X x ＋＝＞……………………………………………………2分
{}41104
14
110---==≤
()64.331200100414
1=???
? ??--=--
e e
E η………………………………………………2分 七、（本题满分12分） 解：(1)由题意可知 λ
λ1
);()(=
=?
+∞
∞
-dx x f X E …………………………………2分
令 11A m =，即X =λ
1
，…………………………………………………………2分
可得X 1=
λ，故λ的矩估计量为 X
1?=λ
………………………………………2分 （2） 总体X 的密度函数为???<≥=-0,
00
,);(x x e x f x λλλ……………………1分
∴ 似然函数 ??
???≥=∏=-其它
，00
,,)(211
n n
i x x x x e L i
λλλ，……………………………2分
当),2,1(0n i x i =≥时，取对数得 ∑=-=n
i i
x
n L 1
ln )(ln λ
λλ，…………………1分
令 01)(ln 1=-=∑=n
i i x n d L d λλλ，得x 1=λ………………………………………1分
∴ λ的极大似然估计量为 X
1?=λ
………………………………………………1分
八、（本题满分12分）
解：由题意，要检验假设 18:;18:10≠=μμH H ……………………………2分 因为方差未知，所以选取统计量 n
S X T 0
μ-=
…………………………………2分
又 306.2)8(,5.12,21,9,18975.00=====t s x n μ……………………2分 得统计量T 的观测值为 55.23
5.1218
21≈-=
t ……………………………………2分
)8(975.0t t > ，即落入拒绝域内，……………………………………………2分 ∴ 能以95%的概率推断该市犯罪的平均年龄不是18岁。……………………2分
2009-2010 学年第 一 学期末考试试题3（A 卷）概率论与数理统计
本试卷中可能用到的分位数：
0.975(8) 2.3060t =，2622.2)9(975.0=t ,0.975 1.96u =，0.9 1.282u =
一、填空题（本题满分15分，每空3分） 1、设111
(),(|),(|)432
P A P B A P A B =
==，则)(B P = 。 2、设随机变量X ~)1,0(N ，)(x Φ为其分布函数，则)()(x x -Φ+Φ=__________。
3、设随机变量X ~)5(E (指数分布)，其概率密度函数为50
5,()0
0,x x e f x x ->?=?≤?,用切比雪夫
不等式估计{}
2P X EX -≥≤ 。
4、设总体X 在(1,1)μμ-+上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为 。
5、设随机变量X 的概率密度函数为 1,[0,1]32,
[3,6]()90,.
x x f x ?∈???∈=?
????
若若其他 若k 使得{}2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________。
二、单项选择题（本题满分15分，每题3分）
1、A 、B 、C 三个事件不都．．发生的正确表示法是（ ）。 （A ）ABC （B ）
ABC （C ）A B C ?? （D ）A B C ??
2、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ ）。
（A ）+∞<<∞+=x x x F －,11)(2
1 （B ）200()0
1x F x x
x x
≤??=?>?
+?
（C ）-3()e ,-x F x x =∞<<+∞ （D ）
431()arctan ,-42F x x x π
=
+∞<<+∞ 3、设1)(=X E ，()2D X =，则=+2)2(X E （ ）。
（A ）11 （B ）9 （C ）10 （D ）1
4、设0121,,,X X X 是来自总体），90(~N X 的一部分样本，则
210
2
2
1X 3X
X +服从（ ）。
（A ）)1,0(N （B ）)3(t （C ）)9(t （D ）)9,1(F
5、设总体X ～),(2σμN ，其中2
σ已知，)(x Φ为)1,0(N 的分布函数，现进行n 次独立
实验得到样本均值为x ，对应于置信水平1-α的μ的置信区间为x x εε-+（，），则ε由（ ）确定。
（A
）1/2αΦ=-?? （B
）1/2αΦ=-?? （C
）1αΦ=-?? （D
）αΦ=??
三、（本题满分12分）某地区有甲、乙两家同类企业，假设一年内甲向银行申请贷款的概率为0.3，乙申请贷款的概率为0.2，当甲申请贷款时，乙没有申请贷款的概率为0.1； 求：（1）在一年内甲和乙都申请贷款的概率？
（2）若在一年内乙没有申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率？ 四、（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度函数为(1)01
()0
kx x x f x -<
数0>k ，
试求：（1）k ；（2）??????<<-
212
1
X P ；（3）分布函数()F x . 五、（本题满分12分）设随机变量X 与Y 相互独立，其分布律分别为
求：（1）()Y X ,的联合分布律； （2）Y X Z =
的分布律； （3）??
?
??Y
X
E . 六、（本题满分12
分）设
()
Y X ,的联合概率密度为
()其他
1
0,100)1(,<<<
?
?-=y x y
x A y x f ,
（1） 求系数A ;
（2） 求X 的边缘概率密度()x f x ，Y 的边缘密度()y f y ； （3） 判断X 与Y 是否互相独立； （4） 求{}1P X Y +≤. 七、（本题满分12分）
正常人的脉搏平均72次/每分钟，现在测得10例酏剂中毒患者的脉搏，算得平均次数为67.4次，样本方差为2
5.929。已知人的脉搏次数服从正态分布，试问：中毒患者与正常人脉搏有无显著差异?（0.05α=）
八、（本题满分10分）1．已知事件A 与B 相互独立，求证A B 与也相互独立.
2. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1,,n X X 是X 的简单随机样本，已知样本方差2
S 是总体方差的无偏估计，试证：
()
22
1
S X +是λ的无偏估计. 2009-2010 学年第 一 学期期末考试试题答案及评分标准3（A 卷）概率论与数理统计 一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、
61； 2、1；3、100
1；4、X ；5、[]31， 二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、 D ；2、B ；3、A ；4、C ；5、A 三、（本题满分12分）
解：A ={甲向银行申请贷款 } B ={乙向银行申请贷款} （1）()()(()(1()))P A P B A P P AB A P B A ==- 3
分
0.3(10.1)0.27=?-= 3分 （2）
()(|)
(|)()
P A P B A P A B P B =
3分
380
= 3分
四、（本题满分12分）解 （1） 由?
??+∞
∞
-=-=-==
1
1
26/)()1()(1k dx x x k dx x kx dx x f .
得 6k =. 3分
（2）?=-=??????<<-21
021)1(6212
1
dx x x X P 3分
（3）()?
∞
-=
x
dt t f x F )( 2分, 当0≤x 时 =)(x F 0 1分
当10<)(x F 320
23)1(6x x dx x x x
-=-?
1分
当1≥x 时 =)(x F 1 1
分
23
0,0()32,011,1x F x x x x x ≤??=-<≤??>?
… 1分
五、（本题满分12分） （1）（X ，Y ）的联合分布为：
4分
（2） Y
X
Z =
的分布律为： Z
P
4分
（3）?
?
?
??Y X E =1522 4分 六、（本题满分12分） 解：（1）由于
1),(=??
+∞∞-+∞
∞
-dydx y x f 2分
所以：21210011[][]122A x x y -
=,11
122
A ??=, A =4 1分 （2）当10<21
00
1()4(1)4(1)[
]2(1)2
x f x x ydy x y x =-=-=-?
所以：
?
?
?<<-=其他01
0)1(2)(x x x f X 2分 当10<21
00
1()4(1)4[]22
y f y x ydx y x x y =-=-
=?
所以：?
?
?<<=其他01
02)(y y x f Y 2分
（3） 所有的,(,)x y ∈-∞+∞，对于(),()()x y f x y f x f y =都成立
∴X 与Y 互相独立 2分 （4） {}1
1
14(1)x P X Y x dx
ydy -++≤=-?
?
2分
121
0014(1)[]2x x y dx -+=-?1
30
14(1)2x dx =-?
223341012112[]2334x x x x x x =-
-++-11242
=?= 1分 七、（本题满分12分） 解：由题意得，),(~2
σμN X
H 0：720==μμ H 1：720=≠μμ 2分
)1(~/0
-μ-=
n t n
S X T 3分
0H 的拒绝域为{()}1/29W t t α-=> 3分
其中 929.5,4.67,10===S X n 代入
2622.2)9(453.210
/929.5724.67975.0=>=-=
t t 2分
所以，拒绝H 0 ，认为有显著差异。 2分 八、（本题满分10分）
1 、 A 与B 相互独立 ()()()P AB P A P B ∴=） 1分
从而()
()P AB P A B = 1()P A B =-
1[()()()]P A P B P AB =-+- 2分
()
p AB ()()()()1P A P B P A P B
=-
-+ ()()()]P A P B P A =-[1-()()()
1P A P B =-
因此：A 与B 相互独立 2分 2、X 服从参数为λ的泊松分布，则λλ==)(,)(X D X E
n
X D X E λ
λ=
=)(,)( 2分
λ=)(2S E ，22)(λλ+=i X E ，故()
λ=??
?
?
??+221S X E ， 2分
因
此
()
22
1
S X +是
λ
的无偏估计.
1分
期末考试试题4
试卷中可能用到的分位数：0.975(25) 2.0595t =，0.975(24) 2.0639t =，0.975 1.960u =，
645.195.0=u
一、单项选择题（每题3分，共15分）
1、设()0.3P A =，()0.51P A B ?=，当A 与B 相互独立时，()P B =（ ）. A. 0.21 B. 0.3 C. 0.81 D. 0.7
2、下列函数中可作为随机变量分布函数的是（ ）.
A. 11,01,()0,x F x ≤≤?=??其它
B. 21,
0,(),01,1, 1.x F x x x x -
=≤
C. 30,0,(),01,1, 1.x F x x x x
D. 40,0,(),01,2, 1.x F x x x x
=≤
3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则()E X =（ ）. A.
14 B. 1
2
C. 2
D. 4 4、设随机变量X 与Y 相互独立，且~(0,9)X N ，~(0,1)Y N . 令2Z X Y =-，则()D Z =（ ）.
A. 5
B. 7
C. 11
D. 13
5、设12,,,n X X X 是来自正态总体2
(0,)X N σ 的一个样本，则统计量2
2
1
1
n
i
i X
σ
=∑服从
（ ）分布. A. (0,1)N B.
2(1)χ C. 2()n χ D. ()t n
二、填空题（每题3分，共15分）
1、若()0P A >，()0P B >，则当A 与B 互不相容时，A 与B .（填“独立”或“不独立”）
2、设随机变量2
~(1,3)X N ，则{24}P X -≤≤= .（附：(1)0.8413Φ=）
3、设随机变量(,)X Y 的分布律为：
则a b += .
4、设X 的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计{|()|5}P X E X -≥≤ .
5、某单位职工的医疗费服从2(,)N μσ，现抽查了25天，测得样本均值170x = 元，样本方差2
2
30S =，则职工每天医疗费均值μ的置信水平为0.95的置信区间 为 .（保留到小数点后一位） 三、计算题（每小题10分，共60分）
1、设某工厂有,,A B C 三个车间，生产同一种螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%和40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，现从该厂产品中抽取一件，求：(1) 取到次品的概率；(2) 若取到的是次品，则它是A 车间生产的概率.
2、设连续型随机变量X 的分布函数为2e ,0,
()0,
0x A x F x x -?->=?≤?.
试求：(1) A 的值；(2) {11}P X -<<；(3) 概率密度函数()f x . 3、设二维随机变量(,)X Y 的分布律为：
（1）求X 与Y 的边缘分布律； （2）求()E X ；
（3）求Z X Y =+的分布律.
4、设相互独立随机变量X 与Y 的概率密度函数分别为：
2,01,()0,x x f x <
?其它 2,
01,
()0,
y y f y <
（1）求X 与Y 的联合概率密度函数(,)f x y ；（2）求11
{0,1}24
P X Y <<
<<. 5、设总体X 的概率密度函数为：1,01,()0
,x x f x θθ-?≤≤=??其它
其中，0>θ为未知参数. 12,,,n X X X 为来自总体X 的一个简单随机样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计.
6、已知某摩托车厂生产某种型号摩托车的寿命X （单位：万公里）服从2
(10,0.1)N ，在采用新材料后，估计其寿命方差没有改变. 现从一批新摩托车中随机抽取5辆，测得其平均寿命
为10.1万公里，试在检验水平0.05α=下，检验这批摩托车的平均寿命μ是否仍为10万公里？
四、证明题（10分）设12,X X 是来自总体(,1)N μ(μ未知)的一个样本，试证明下面三个估计量都是μ的无偏估计，并确定哪一个最有效
1122133X X μ∧
=+，2121344X X μ∧=+，31211
22X X μ∧=+.
X 学年第 一 学期末考试试题5 概率论与数理统计
本试卷中可能用到的分位数：
3406.1)15(90.0=t ，3368.1)16(90.0=t ，7531.1)15(95.0=t ，7459.1)16(95.0=t
8413.0)1(=Φ ， 6915.0)5.0(=Φ ，5.0)0(=Φ
一、填空题 (每小题3分，本题共15分) 1、设,A B 为两个相互独立的事件, 且)()(,9
1
)(B A P B A P B A P ==
，则=)(A P 。 2、设随机变量X 的分布函数为00()sin 0212
x F x x x x ππ??
?
=≤≤??
?
>??，则{||}6P X π<= 。
3、若随机变量),2(~p B X ，),3(~p B Y ，若9
5
}1{=
≥X P ，则=≥}1{Y P 。 4、设,,,n X X X ???12是n 个相互独立且同分布的随机变量，()i E X μ=，
()(,,,),i D X i n ==???812对于∑==n
i i X n X 11，根据切比雪夫不等式有
{4}P X μ-<≥ 。
5、设（12,X X ）为来自正态总体2
~(,)X N μσ的样本，若122CX X +为μ的一个无偏估计, 则C = 。
二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)
1、对于任意两个事件A 和B , 有()P A B -等于（ ） （A ）()()P A P B - （B ）()()P A P AB - （C ）()()()P A P B P AB -+ （D ）()()()P A P B P AB +-
2、下列)(x F 中，可以作为某随机变量的分布函数的是（ ）。
(A)?????≥<≤<=11108.00
5.0)(x x x e x F x (B)????
?
????
≥<≤--<=01
02sin 20)(x x x x x F ππ
(C)???????≥<≤<≤<=21212.0103.000)(x x x x x F (D)????
???≥<≤<≤<=61
654.0501.000
)(x x x x x x F
3、设离散型随机变量X 的分布律为{},(1,2,)k
P X k b k λ===???，且b 0,>则λ为（ ）
（A ）大于零的任意实数 （B ）1b λ=+ （C ）11b λ=+ （D ）1
1
b λ=- 4、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布, 则随机变量32Z X =-的数学期望为（ ）
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5、设随机变量X 与Y 相互独立，都服从正态分布)3,0(2N ，）
（921,,,X X X 和),,,(921Y Y Y 是分别来自总体X 和Y 的样本，则29
22
2
1
921Y
Y Y X X X U +++++=
服从（ ）
(A) )8(~t U (B) )9,9(~F U (C))9(~t U (D) )8(~
2χU
三、（本题满分12分）某工厂有三部制螺钉的机器A 、B 、C ，它们的产品分别占全部产品的25%、35%、40%，并且它们的废品率分别是5%、4%、2%。今从全部产品中任取一个，试求：（1）抽出的是废品的概率；（2）已知抽出的是废品，问它是由A 制造的概率。 四、（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度函数为||
(),()x f x Ae x -=-∞<<+∞，求:
（1）常数A; （2）}10{<()201,01
,0x y x y f x y --≤≤≤≤?=?
?
其它，试求：（1）,X Y 的边缘概率密度函数(),()X Y f x f y ；
（2）判断,X Y 是否相互独立,是否相关。 六、（本题满分10分）设随机变量X 服从正态分布)2,3(2
N ，试求: (1) }52{≤。 (3) 若X 与Y 相互独立，Y 服从正态分布(2,4)N ，求(321)D X Y -+。
七、（本题满分12分）设总体),10(~p B X , 其中10<
八、（本题满分12分） (1)从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm ）的均值125.2=x ，标准差01713.02==s s 。假设钉子的长度),(~2σμN X ，求总体均值μ的置信水平为90.0的置信区间。
(2)设),(~211σμN X ，),(~2
22σμN Y ，X 与Y 相互独立，而）
（m X X X ,,,21 和),,,(21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的样本，若),(~b a N Y X -，求b a ,。
X 学年第一学期期末考试试题5答案及评分标准 概率论与数理统
计
一、填空题（本题满分15分，每小题3分） 1、
32；2、12； 3、2719；4、112n
-；5、-1 二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分） 2、 B ；2、A ；3、C ；4、D ；5、C 三、（本题满分12分）
解：设A 1={抽出的产品由A 制造}，A 2={抽出的产品由B 制造}，
A 3={抽出的产品由C 制造}, B={抽出的产品是废品} ·········
1分 由全概率公式：)()()(3
1
i i i A B P A P B P ∑== 4分
%%%%%=?+?+?255354402％ ().=
69
003452000
6分 由贝叶斯公式：)
()
()(11B P B A P B A P =
9分
)
()()(11B P A B P A P ?=
%%?=
255692000
().=25
036269 12分 四、（本题满分12分）解：（1） 由于
||()1x f x dx Ae dx +∞
+∞
--∞
-∞
==?
?
2分
即 0
21x A
e dx +∞
-=?
故 1
2
A =
3分 （2）1
01{01}2x P x e dx -<<=? 5分 = 1
10.3162
e --≈ ·································· 6分
（3）||
1()2x
x F x e dx --∞=
?
当0x <时，11()22
x x x
F x e dx e -∞=
=? ······················································ 9分
当0x ≥时，00111()1222
x x x x
F x e dx e dx e ---∞=+=-?? ······························· 12分
五、（本题满分12分） 解：（1）1
03(2)01
()(,)2
0X x y dy x x f x f x y dy +∞
-∞
?--=-≤≤?=
=???
??
其它 ···················· 2分 103(2)01()(,)2
0Y x y dx y y f y f x y dx +∞
-∞
?--=-≤≤?
==???
??
其它 ···························· 4分 （2）因为()()(,)X Y f x f y f x y ≠，所以X ，Y 不独立。 ····································· 5分
1
035
()()()212X E X xf x dx x x dx +∞
-∞==-=?
? ··················································· 7分 1035
()()()212Y E Y yf y dy y y dy +∞-∞==-=?? ···················································· 9分
11001
()(,)(2)6
E XY xyf x y dxdy dx xy x y dy +∞+∞-∞-∞==--=???? ························· 11分
因为2
15(,)()()()()0612Cov X Y E XY E X E Y =-=-≠，所以X 与Y 相关。····· 12分
六、（本题满分10分）解： (1) )2,3(~2N X
∴ }52{≤ 有}{c X P ≤=0.5=)2
3
(
-Φc ·································································· 5分 302
3
=?=-∴
c c 7分 （3）(321)D X Y -+ =94DX DY + =52
10分
七、（本题满分12分）
解：（1）??10,1010
X
EX p X p
p ==?= ··················································· 5分 (2)i i i n
x x 10x 10
i 1
L(p)C
p (1p)-==
-∏ ·
·································································· 7分 l n L (p )＝
1
1
1
ln ln (10)ln(1)i
n
n
n
x n
i
i
i i i c x p n x p ===++--∑∑∏ ·
······························· 9分
概率论与数理统计习题集及答案
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。
概率论与数理统计练习题
概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望
概率论与数理统计知识点总结(详细)
《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)
《概率论与数理统计》在线作业
第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题
您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题
您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题
您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题
您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题
您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题
概率论与数理统计课程教学大纲
概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。
第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计
概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它
(完整版)概率论与数理统计课程标准
《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的
进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配
概率论与数理统计习题解答
第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；
（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B
（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==
《概率论与数理统计》课程教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念
1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法；
概率论与数理统计习题答案
习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,
概率论与数理统计学习地总结
概率论与数理统计 学习报告 学院 学号： 姓名：
概率论与数理统计学习报告 通过短短一学期的学习，虽然学习、研究地并不深入，但该课程的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我，让我对它在生活中饰演的角色充满遐想；它将我带入了一个由随机变量为桥梁，通过表面偶然性找出其内在规律性，从而与其它的数学分支建立联系的世界，让我对这种进行大量的随机重复实验，通过分析研究得出统计规律性的过程产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程，但也不得不说课后在它上面花的时间并不多，因此学得还不深入，但它真的深深地吸引了我，我一定会找时间进一步深入地学习它。 先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。 概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础，基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的
随机因素作用下，发生随机现象。这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，揭示其规律性，作出决策，也可根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。 至今，概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中，并随着计算机的普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是许多新兴学科，如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能的数学理论基础，而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等。 概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究，其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中的某些参数或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论，在方法上是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的，从所研究地对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，依据试验数据所获取的信息，对整体进行推断，是归纳而得到结论的。因此掌握它特有的学习方法是很重要的。 在学习的过程中，不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些
概率论与数理统计复习题--带答案
概率论与数理统计复习题--带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；
9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000
《概率论与数理统计》课程重点与难点要记
《概率论与数理统计》课程重点与难点要记 第一章：随机事件及其概率 题型一：古典概型 1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。 2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。 3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。 4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除 的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要） 课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16 题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率 1。3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。 2。设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。 3。设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。 课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12， 13 题型三：全概率与贝叶斯公式 1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率； （2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。 2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”，以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1）求收到信号“1”的概率？ 2）现已收到信号“1”，求发出信号是“1”的概率？ 课后习题：P23：7，8，9，12 P31：19，26，27，28 第二章：随机变量及其分布 题型一：关于基本概念：概率分布律、分布函数、密度函数 1．一房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19
概率论与数理统计结课论文
概率论与数理统计课程总结报告——概率论与数理统计在日常生活中的应用 姓名： 学号： 专业：电子信息工程
摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与 数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。 关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式 基本知识 §1.1 概率的重要性质 1.1.1定义 设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率。 概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） 1.1.2 概率的一些重要性质 （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率） （vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=?
概率论与数理统计知识点总结(完整超详细版)35387
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1 )S (=P
概率论与数理统计作业与解答
概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹?设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示? 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为 E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC; 或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ). (和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB) 2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率 ★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率 A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝. C 6 (C 2 )6 32 C 8C 4(C 2)4 80 0.2238, P(B) 8 皆 0.5594, P(A) 8 /143 ★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品?现从中任取3件?求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99 ⑴冷 0.724.⑵虫产 0.2526. C 50 1960 C 50 392 5. 从1?9九个数字中?任取3个排成一个三位数?求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率? 4 (1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-, 9 ⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5, 9 或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5. 9 9 6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝. 1 1 2 C m C M m C m m(2M - m -1) M (M -1) 6 — C 16 143 P(C)二 C 8 CJC 2 ) 30 0.2098. 143 C 16
概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案
. 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥=
10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）
