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2016年世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛试题及答案

2016年世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛试题及答案

九年级 第1页 九年级 第2页

绝密★启用前

世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛

(2016年10月)

选手须知:

1、本卷共三部分,第一部分:填空题,共计50分;第二部分:计算题,共计12分;第三部分:解答题,共计58分。

2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。

3、比赛时不能使用计算工具。

4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。

九年级试题(A卷)

(本试卷满分120分 ,考试时间90分钟 )

一、填空题。(每题5分,共计50分)

1、边长为4的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′,两图叠成一个“蝶形风筝”(如图所示阴影部分),则这个风筝的面积是 。

2、2

31

+=

x ,则=+-+92223x x x 。

3、[]a 为不超过a 的最大整数,令,53=a ][22a a b -=,则=+3)2(b 。

4、已知五个实数89,91,95,x,101,这五个数与他们平均数的差分别为-6,-4,y,z,6,则x+y+z= 。

5、如图矩形纸片ABCD ,AB =5cm ,BC =10cm ,CD 上有一点E ,ED =2cm ,AD 上有一点P , PD =3cm ,过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ,将纸片折叠,使P 点与E 点重合,折痕与PF 交于Q 点,则PQ 的长是____________cm 。

6、如图,反比例函数y =k

x (x >0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ,分别与AB 、BC 相交于

点D 、E .若四边形ODBE 的面积为6,则k 的值为 。

7、若有理数x ,y ,z 满足)2)(2()2(2++=+z y x 则=

-2)(z y

8、如图,边长为1的菱形ABCD 中,?=∠60DAB .连结对角线AC ,以AC 为边作第二个菱形

11D ACC ,使 ?=∠601AC D ;连结1AC ,再以1AC 为边作第三个菱形221D C AC ,使 ?=∠6012AC D ;……,按此规律所作的第n 个菱形的边长为 .

9、120人参加数学竞赛,试题共有5道大题,已知第1、2、3、4、5题分别由96、83、74、66、35人做对,如果至少做对3题便可获奖,则这次竞赛至少有 人获奖

10、已知函数m x x y ---=322

与x 轴有四个交点,则m 的取值范围为

二、计算题。(每题6分,共计12分)

11、对于正数x ,规定1

2)(22

+=x x x f ,例如58)2(,1)1(==f f 。求:

f(2016)+f(2015)+f(2014)+f(2013)……+f(2)+f(1)+f(错误!未找到引用源。)+……f(2014

1

错误!未找到引用源。)+f(20151错误!未找到引用源。)+f(2016

1

)的值。

C 2

D 2

C 1

D 1

C

D A

B

A

B C

D E y

x

O

M

省 市 学校 姓名 赛场 参赛证号

∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕

密 封 线 内

不 要 答 题

九年级 第3页 九年级 第4页

12、已知三个关于x 的一元二次方程 0,0,0222=+-=+-=+-b ax cx a cx bx c bx ax 恰有一个公共

的实数根,求

ab

c

ac b bc a 2

22+

+的值

三、解答题。(第13题6分,第14题8分,第15题10分,第16题10分,第17题12分,第18题12

分,共计58分)

13、若a>0,b<0,且022

11=-++ b

a b a ,求a b

14、已知非零实数a ,b 满足a b a b a a =++-+-++-4)1)(5(31682

2

,求1

-b a 的值

15、设a 为正整数,如果关于x 的方程0)28(522=+-++a x x 有两个有理根,求所有a 的值。

16、如图1,已知矩形ABED ,点C 是边DE 的中点,且2AB AD =.

(1)保持图1中的ABC ?固定不变,绕点

C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中的位置(当垂线段A

D 、B

E 在直线MN 的同侧)。试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系?并给予证明;

(2)保持图2中的 ABC ?固定不变,继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置(当垂线段

AD 、BE 在直线MN 的异侧)。试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系?并给予证明。

17、已知821,......,a a a 均为正数,且,4......,20......821821<=+++a a a a a a 证明:821,......,a a a 之中至少有一个数小于1。

18、已知0)24)((4)2(2

=----z y y x z x ,试求x y 24-与z 的关系

∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕

密 封 线 内 不 要 答 题

E

D

C

B

A

图1

E

D

C

B

A

图2

M N

N

M

图3

A

B

C D

E

(第16题图)

九年级 第1页 九年级 第2页

九年级A

一、填空题(每题5分,共计50分) 1、3

3

1632-

2、3 3, 25 4、103 5、413

6、2

7、0

8、错误!未找到引用源。()1

3-n 9、42 10、0

11、解:f(2)+ f(错误!未找到引用源。)=2, f(3)+ f(错误!未找到引用源。)=2 f(2016)+ f(

2016

1

)=2 f(2016)+f(2015)+f(2014)+f(2013)……+f(2)+f(1)+f(错误!未找到引用源。)+…… f(

20141错误!未找到引用源。)+f(20151错误!未找到引用源。)+f(2016

1

)=2*2015+1=4031 12、解:设0x 是这三个方程的公共实数根,则

0,0,0020020020=+-=+-=+-b ax cx a cx bx c bx ax 将这三个式子相加整理得到0)1)((020=+-++x x c b a 又因为04

3

)2

1

(12

002

0>+

-=+-x x x ,故0=++c b a 3)(3)(333333222=+-=+-+=++=++abc

b a ab ab

c b a b a abc c b a ab c ac b bc a 三、解答题(第13题6分,第14题8分,第15题10分,第16题10分,第17题12分,第18题12分,共计58分)

13、解:由

022

11=-++ b

a b a 得0222=-+b ab a 2分 因式分解为0))(2(22

2

=-+=-+b a b a b ab a 2分 因为a>0,b<0,则b a 2-= 1分 所以

2

1

-=a b 1分 14、由题意得:5,0)1)(5(2

≥≥+-a b a 1分

44)4(16822-=-=-=+-a a a a a 1分

)1)(5(3)1)(5(34

)1)(5(344)1)(5(316822222=+-+-=+-+-+=++-+-+-=++-+-++-b a b a b a b a b a b a b a b a a 2分

又因为03≥-b ,0)1)(5(2

≥+-b a 故0)1)(5(32=+-=

-b a b 2分

则5,3==a b , 1分 故1

-b a

=25 1分

15、解:由于方程的两根均为有理数,所以0≥?,且为完全平方数 2分

,0889)28(825≥--=+--=?a a 1分

1,08,8

9

8=-≤-a a 2分

当a -8=0时,a =8; 1分 当a -8=1时,a =7; 1分 经检验a =8,a =7符合题意, 2分 故a =7,8. 1分

16、解:

(1)DE=AD+BE. 1分 如图(2),在Rt △AD C 和Rt △BE C 中,∵∠ACD+∠CAD=90°, ∠ACD+∠BCE=90°. ∴∠CAD=∠BCE. 2分 又∵AC=BC, ∠ADC=∠CEB=90°, ∴Rt △AD C ≌Rt △CEB .

∴DC=BE,CE=AD.∴DC+CE= BE+AD,即DE=AD+BE. 2分 (2)DE=BE-AD. 1分

如图(3),在Rt △AD C 和Rt △CEB 中,∵∠ACD+∠CAD=90°, ∠ACD+∠BCE=90°, ∴∠CAD=∠BCE. 2分 又∵∠ADC=∠CBE=90°,AC=CB, ∴Rt △AD C ≌Rt △CBE .

∴DC=BE,CE=AD.∴DC-CE=BE-AD, 即DE=BE-AD. 2分

17、

证明:假设821,......,a a a 都不小于1,可设)8,......,2,1,0(,1=≥+=i b b a i i i 2分

则)1)......(1)(1(.......,12......821821821b b b a a a b b b +++==+++ 3分

13)......(1............)......(1821821821=++++≥++++++=b b b b b b b b b 3分

与4......821