北京市首都师范大学附属中学2021届高三数学开学考试试题(含解析)

北京市首师附中2020-2021学年度第二学期入学考试

高三数学试卷

一、单选题

1.设a,b 为实数，若复数1+21i

i a bi

=++，则 A. 31,22

a b == B. 3,1a b == C. 13,22

a b =

= D. 1,3a b ==

【答案】A 【解析】 【分析】

先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．

【详解】由121i i a bi +=++可得1+2i ＝（a ﹣b ）+（a +b ）i ，所以12a b a b -=??+=?

，解得32a =，1

2b =，

故选A ．

【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．

2.过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为（ ） A. 6 B. 9

C. 12

D. 无法确定

【答案】C 【解析】

试题分析：AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则A,B 到准线的距离之和为12，即

12121212x x p AB x x p ++=∴=++=

考点：直线与抛物线相交问题

3.已知集合11,2,2A ?

?=????

，集合2

{|,}B y y x x A ==∈，则A B ?=（ ）

A. 12??????

B. {}2

C. {}1

D. φ

【答案】C

【解析】 试题分析：因，故,选C.

考点：交集运算.

4.一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为( ) A. 179元 B. 199元 C. 219元 D. 239元

【答案】C 【解析】 【分析】

设购买的商品的标价为x 元，根据题意列出不等式即可得到答案.

【详解】设购买的商品的标价为x 元，由题意，0.120x ?>，且0.1(100)0.18x x ?>-?，解得200225x <<. 故选：C

【点睛】本题考查利用函数模型的选择问题，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题. 5.已知,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//a b 的一个充分条件是（ ） A. //a α，//b α

B. //a α，b β//，//αβ

C. a α⊥，b β⊥，//αβ

D. αβ⊥，a α⊥，b β//

【答案】C 【解析】 【分析】

在A 中，a 与b 相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的性质可得a ∥b ；在B 、D 中，均可得a 与b 相交、平行或异面；

【详解】由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 在A 中，//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；

在B 中，//a α，//b β，//αβ，则a 与b 相交、平行或异面，故B 错误；

在C 中，由a α⊥，//αβ，则a β⊥，又b β⊥，由线面垂直的性质可知//a b ，故C 正确； 在D 中，αβ⊥，a α⊥，//b β，则a 与b 相交、平行或异面，故D 错误． 故选C ．

【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

6.若双曲线()222210,0x y a b a b

-=>>的渐近线与圆()2

221x y -+=相切，则双曲线的离心率

为( )

A. 2

B.

2

C.

3

【答案】C 【解析】 【分析】

利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系.

【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1，

1=，

所以223a b ，c e a =

===

3

. 故选：C.

【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.

7.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB BC AA ==,点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( )

A.

2

B.

2

C.

34

D. 1

【答案】C 【解析】 【分析】

画出图形，将平面11AB C 沿1AC 翻折，使其与平面1ACC 在共面，将折线段转化为直线段距离最小，从而求出MP +PQ 的最小值.

【详解】

如图1，显然当Q 是P 在底面ABCD 的射影时MP PQ +才可能最小，将平面11AB C 沿1AC 翻折，

使其与平面1ACC 在共面，如图2所示，此时易得130CAC ∠=，3

AM =

显然当,,M P Q 三点共线时，MP PQ +取得最小值，此时min 133sin 604

MQ AM CAB =∠==. 故选：C.

【点睛】本题考查立体几何翻折问题中的最值问题，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大.

8.已知椭圆C ：22

143

x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上点A 满足212.AF F F ⊥若

点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ?的最大值为( ) A.

3

2

B.

33

2

C.

94

D.

154

【答案】B 【解析】 【分析】

由已知可得点A ，1F ，2F 的坐标，再利用数量积运算法则和点P 的纵坐标的取值范围即可得出最大值．

【详解】由椭圆C ：22

143

x y +=可得：24a =，23b =，()2211.1,0c a b F =-=∴-，

()21,0F ．

212AF F F ⊥，31,2A ??

∴ ???

．

设(),P x y ，则22

1.43

x y +=又33y -≤≤，

()1233

331,0,222F P F A x y y ??∴?=+?=≤

???

． 12F P F A ∴?的最大值为

332

． 故选B ．

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于基础题．

9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

A.

13

B.

23

C. 1

D.

43

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知中的三视图可得，该几何体是一个俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥的的体积公式，即可求解.

【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是一个如图所示的三棱锥1

D ABE

-，

其底面ABE的面积为

1

222

2

S=??=，高为2

h=，

所以该三棱锥的体积为

114

22

333

V Sh

==??=，故选D.

【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由

三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.

10.已知数列12

1,,,4

a a成等差数列，

123

1,,,,4

b b b成等比数列，则21

2

a a

b

-

的值是 ( )

A.

1

2

B.

1

2

- C.

1

2

或

1

2

- D.

1

4

【答案】A

【解析】

由题意可知：数列1,a1,a2，4成等差数列，设公差d，

则4=1+3d，解得d=1，

∴a1=1+2=2，a2=1+2d=3.

∵数列1,b1,b2,b3，4成等比数列，设公比为q，

则4=q4,解得q2=2，

∴b2=q2=2.

则21

2

211

22

a a

b

--

==.

本题选择A选项.

二、填空题

11.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．

【答案】()()

2,02,5

-

【解析】

【分析】

利用函数的图象以及函数的奇偶性，判断函数值0

y＜的x的取值集合即可．

【详解】由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．

【点睛】本题考查函数的图象的判断函数的奇偶性的应用，是基础题．

12.函数2

log(1),01,

(){

2,10

x x

f x

x x

+≤≤

=

-≤<

的值域是______________．

【答案】[]

2,1

-

【解析】

试题分析：当01

x

≤≤时，112

x

≤+≤，所以()

2

0log11

x

≤+≤；当10

x

-≤<时，220

x

-≤<.所以函数的值域是[]

2,1

-.

考点：1.函数的值域及其求法；2.对数函数的值域；3.分段函数的图像与性质

13.若函数()

x

y e f x

= 2.71828...

e=

（是自然对数的底数）在()

f x的定义域上单调递增，则称函数()

f x具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为

①=2x f x -（） ②=3x f x -（） ③3=f x x （） ④2

=2f x x +（

） 【答案】①④ 【解析】 ①()2

2x

x

x

x

e e

f x e -??

=?= ???

在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()33x

x x x e e f x e -??=?= ???

在R 上单调递减，故()x f x -=3不具有M 性质；

③()3

x

x

e f x e x =?，令()3

x

g x e x =?，则()()3

2

232x

x

x

g x e x e x x e

x '=?+?=+，∴当

2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3

x x e f x e x =?在(),2-∞-上单调递

减，在()2,-+∞上单调递增，故()3

f x x =不具有M 性质；

④()()2

2x

x

e f x e

x

=+，令()()22x g x e x =+，则

()()()2

222110x x x g x e x e x e x ??'=++?=++>??

，∴()()

22x x e f x e x =+在R 上单调递

增，故()2

2f x x =+具有M 性质．

【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可． 2.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；

(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．

(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．

3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．

14.已知幂函数()y f x =的图像经过点14,2?

? ???

，则()2f =______.

【解析】 【分析】

先设幂函数()a

f x x =，根据其图像经过点14,2?? ???

，求得函数，再求()2f .

【详解】设幂函数()a

y f x x ==，

因为其图像经过点14,2?? ???

，

所以142a

=

， 解得12

a =-

，

所以()12

22

-==

f

故答案为：

2

【点睛】本题主要考查幂函数的定义及求函数值，属于基础题.

15.已知平面向量a ，b 满足0a b ?=，2a =，3b =，则a b +=______.

【解析】 【分析】

根据平面向量a ，b 满足0a b ?=，2a =，3b =，利用向量求模公式求解. 【详解】因为平面向量a ，b 满足0a b ?=，2a =，3b =，

所以()

2

22

222+=

+=

+?+=+=a b a b a a b b

【点睛】本题主要考查平面向量的模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

三、解答题

16.已知函数2

1()cos

sin cos 2222

x x x f x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若32

()10

f α=

，求sin 2α的值. 【答案】（1）2，；（2）

7

25

. 【解析】

【详解】（1）由已知，f （x ）=

所以f （x ）的最小正周期为2，值域为；

（2）由（1）知，f （）=

所以3cos 45

πα?

?

+= ??

?， 所以

.

[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想.

17.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，2

()2f x x x =+现已画出函数()f x 在

y 轴左侧的图象，如图所示．

(1)画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调区间； (2)求函数()f x 在R 上的解析式．

【答案】（1）如图所示：

()f x 的单调递减区间为：(,1)-∞- ，(0,1)

单调递增区间为：(1,0)-，(1

+)∞， （2）220+2(),02x x x f x x x x ≤?=?>-?

，

【解析】 【分析】

（1）根据偶函数关于y 轴对称，即可画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，再由函数图像即可写出其单调区间．

（2）已知0x ≤时的解析式，只需计算出0x >的解析式，根据0,x >则0,x -<与()()f x f x =-即可使用0x ≤时的解析式解出0x >的解析式．

【详解】（1）如图所示：

()f x 的

单调递减区间为：(,1)-∞- ，(0,1)

单调递增区间为：(1,0)-，(1

+)∞， （2）令0,x >则0,x -<

所以2

2

()()2()2f x x x x x -=-+-=-

又函数()f x 为偶函数，即()()f x f x =- 所以当0x >时2

()2f x x x =-

所以220+2(),02x x x f x x x x ≤?=?>-?

，

【点睛】本题考查偶函数的图像性质，根据图像写函数的单调区间，已知偶函数的一半的函数解析式，求整个函数的解析式，属于基础题．

18.已知函数()()2

2

1f x x ax a a R =+++∈，设()f x 在[]

1,1-上的最大值为()g a ，

(Ⅰ)求()g a 的表达式；

(Ⅱ)是否存在实数,m n ，使得()g a 的定义域为[],m n ，值域为[]5,5m n ？如果存在，求出

,m n 的值；如果不存在，请说明理由．

【答案】(Ⅰ()22,02

)?2,0a a a g a a a a -+

m n ?=-??=+??【解析】 【分析】

(Ⅰ)函数()f x 图象的对称轴为2

a

x =-

，然后通过讨论对称轴的位置，结合函数的单调性求解函数的最大值，得到函数的最大值的表达式；(Ⅱ) 假设存在符合题意的实数,m n ，则

()[)2,.g a ∈+∞ 可得若[],a m n ∈，有()[]5,5g a m n ∈，即0.m n <<由此得()2 2g a a a =++，且为单调递增函数，从而列出方程组，即可求出结果．

【详解】(Ⅰ)因为函数()f x 图象的对称轴为2

a

x =-， 所以当02

a

-≤，即0a ≥时，()()2()12max g a f x f a a ===++； 当02

a

-

>，即0a <时，()()2()1 2.max g a f x f a a ==-=-+ 所以()2

2,0

22,0a a a g a a a a -+

(Ⅱ)假设存在符合题意的实数m ，n ，则

由(Ⅰ)可知，当a R ∈时，()[

)2,.g a ∈+∞

所以若[],a m n ∈，有()[]

5,5g a m n ∈，则0.m n <<

所以()2

2g a a a =++，且为单调递增函数.

所以()()2

252

25g m m m m g n n n n =++=??=++=???

,

所以22m n ?=??=+??【点睛】本题主要考查二次函数的单调性及其应用，属于中档题．二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解，二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. 19.已知函数()()ln f x x x a a R =-+∈．

(Ⅰ)若函数()f x 的最大值为3，求实数a 的值；

(Ⅱ)若当()1,x ∈+∞时，()()()31'22f x k xf x a k x ??

>-++-≤ ???

恒成立，求实数k 的取

值范围；

(Ⅲ)若1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：121x x <．

【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ1)?,22??

-????

；证明见解析. 【解析】 【分析】

(Ⅰ)求出函数()f x 的定义域，利用导函数符号判断函数的单调性，由单调性求解函数的最

大值，然后求出a 即可；(Ⅱ)化简恒成立的不等式为3ln 112x x a k x a x ??

-+>-+-+- ???

，

得到()()ln 13.x x k x +>-令()()()ln 13g x x x k x =+--，利用函数的导数符号判断函数的

单调性，得到()()g g 112x k >=+，然后求解k 的范围；(Ⅲ1)?

x ，2x 是函数()f x 的两个零点，可得()()()1222222222211111

ln ln 2ln f x f f x f x x x x x x x x x ??

????-=-=---=+-

? ? ???????

，

构造函数()1

2ln h x x x x

=+

-，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，推出()121f x f x ??

< ???

，得到121 x x <，即可证明结论．

【详解】(Ⅰ)函数()f x 的定义域为()0,.+∞ 因为()11'1x

f x x x

-=-=， 所以在()0,1内，，()f x 单调递增； 在()1,+∞内，

，()f x 单调递减．

所以函数()f x 在1x =处取得唯一的极大值，即()f x 的最大值()1ln11f a =-+． 因为函数()f x 的最大值为3， 所以ln113a -+=， 解得 4.a =

(Ⅱ)因为当()1,x ∈+∞时，()()()31'22f x k xf x a k x ??

>-++-≤ ???

恒成立，

所以3ln 112x x a k x a x ??

-+>-

+-+- ???

， 所以()()ln 13x x k x +>-，

即()()ln 130x x k x +-->．令()()()ln 13g x x x k x =+--， 则

因为2k ≤， 所以

．

所以()g x 在()1,+∞单调递增. 所以()()112g x g k >=+， 所以 120k +≥，

所以1.2k ≥-即实数k 的取值范围是1,22??

-

????

； (Ⅲ)由(Ⅰ)可知：()10,1x ∈，()21,x ∈+∞．

所以

()2

1

0,1.x ∈ 因为1x ，2x 是函数()f x 的两个零点， 所以()()120f x f x ==． 因为

()()()1222222222211111

ln ln 2ln .f x f f x f x x x x x x x x x ??

????-=-

=---=+- ? ? ???

????

令()1

2ln h x x x x

=+

-， 则()22

222

2121(1)'1x x x h x x x x x

-+--=--==-． 所以在()1,+∞，，()h x 单调递减．

所以()()10h x h <=． 所以()1210f x f x ??-<

???，即()121f x f x ??

< ???

． 由(Ⅰ)知，()f x 在()0,1单调递增，

所以12

1x x <

， 所以12 1.x x <

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或

()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即

可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.

20.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对

边分别为a ，b ，c sin A cos B a =． （1）求角B ；

（2）若3b =，sin C

A =，求a ，c ． 【答案】（1）6

B π

=；（2）3,

a c ==【解析】 【分析】

（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B 的大小． （2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可． 【详解】（1）在ABC ?中， 由正弦定理

sin sin

a b

A B

=sin sin cos B A A B =． 又因为在ABC ?中

sin 0A ≠． cos B B =．

法一：因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠． 所以sin tan cos 3

B B B ==

， 所以6

B π

=

．

cos 0B B -=即2sin 06B π?

?

-= ??

?

， 所以()6

B k k Z π

π-

=∈，因为0B π<<，

所以6

B π

=

．

（2）由正弦定理得

sin sin a c A C

=，

而sin C A =，

所以c = ，①

由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2

2

92cos 6

a c ac π

=+-，

即229a c +=， ②

把①代入②得3,a c ==【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

21.已知数列{}n a 的前n 项和(

)*

n S n N

∈满足21n

n S

a =-，数列{}n

b 满足22log n n b a =+．

(Ⅰ)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； (Ⅱ)令n

n n

b c a =

，若2

21n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，求实数x 的取值范围； (Ⅲ)数列{}n a 中是否存在,,(m n k a a a m n k <<，且 *,,)m n k N ∈使m a ，n a ，k a 成等差数

列？若存在，求出,,m n k 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(Ⅰ1

)2n n a -=，1n b n =+；(Ⅱ){|1x x ≤-或3}x ≥；(Ⅲ) 不存在，理由见解析．

【解析】 【分析】

(Ⅰ)利用已知条件通过1n n n a S S -=-，说明数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，从

而可求出{}n a 的通项公式，然后求解n b 的通项公式；(Ⅱ)求出n

n n

b c a =

，判断数列的单调性，结合2

21n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，得到2221x x ≤--求解即可；(Ⅲ)假设存在*

,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列，推出

1112222n m k ---?=+，

说明是与条件矛盾，得到结论． 【详解】(Ⅰ)根据题意，数列{}n a 满足21n n S a =-，

当1n =时，111a S ==．当2n ≥时，11n n n a S S -=-=，122n n n a a a -=-， 即12n n a a -=．

所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.

所以1

2n n a -=，*n N ∈；

又由已知22log n n b a =+，得1

22log 2 1.n n b n -=+=+

(Ⅱ)依题意得()1111

1()22n n n n n b n c n a --+=

==+，*n N ∈． 因为()()1

111111212()1()

()1()02

2

2222n

n n n n n n n c c n n n ---++??-=+-+=--=-< ???

， 所以当1n =时，n c 取得最大值1 2.c =

因为2

21n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，

所以222 1.x x ≤-- 解得1x ≤-或3x ≥，

所以实数x 的取值范围是{|1x x ≤-或3}x ≥；

(Ⅲ)假设存在*,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列，

则2n m k a a a =+，即1112222.n m k ---?=+ 两边同时除以12m -，得1212.n m k m -+-=+① 因为12n m -+为偶数，12k m -+为奇数，这与①矛盾．

所以不存在*

,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列.

【点睛】本题主要考查数列的应用，通项公式以及数列的单调性，反证法的应用，属于难题．反证法的适用范围：（1）否定性命题与存在性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容

易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．