同济大学 应用统计 试题07年-12年
11-12年
一、填空题（24分，每空3分）
1、 设()19,,X X 是从总体()1,2N 中抽取的样本，记9119i i X X ===∑则()9211i i X =??
E - ?
??
∑=，()29
211i i X =??E - ???
∑=，设
0.1P k ?
? ??>=????
，则k =（结果可用分位数表示）.
2、 设第一组样本观测值()()14,,3,3,1.5,4x x =- ，则其经验分布函数观测值() 4
F x =.第二组样本观测值()()1234,,,0,2,1,2y y y y =--，则第二组样本在两组混合样本中的秩和是.
X 其中01λ<<未知，设
()14,,X X 是从中抽取的样本，其观测值
()()1234,
,,0,1,1,2x x x x =，则λ的极大似然估计值是.
4、 设()19,,X X ，()19,,Y Y 分别是取自正态总体()2
1,N μσ，()
22,N μσ的两
个简单随机样本，其中1μ、2μ、2
σ均未知，且两总体独立，则在置信水平0.95下，12
μμ-的单测置信上限为；若对如下的检验问题0H ：12μμ≥，1H ：12μμ<，当显著性水平
0.05α=时，样本()1919,x x y y 落在拒绝域内，则当0.1α=时，对该检验问题应作.
（填接受0H 或拒绝0H 或不能确定）.
二、（10分）设某高校高等数学课程考试的不及格率为0.2，现对教学方法进行了改革并加强了学风建设，一学期结束时进行了高数课程考试，从参加的考试学生中抽取了400个，发现有60个学生不及格，试用大样本方法检验教学改革后是否显著降低了学生的不及格率，取0.05α=（已知0.95 1.645μ=，0.975 1.96μ=）
三、（10分）根据某市公路交通部门某年中前6个月交通事故记录，统计得星期一至星期日发生交通事故的次数如下：
问交通事故发生是否与星期几无关？取0.05α=，已知()2
0.95612.592χ=.
四、（10分）在一条河附近有一家化工厂，为调查河水被污染的情况，调查人员在河的4个位置取样，分别是：①紧靠化工厂，②距化工厂10km ，③距化工厂20km ，④距化工厂30km.在每个位置取4个水样，测量水中溶解氧的含量（溶解氧含量越低说明污染越严重），得到如下数据：
在5%的显著性水平下检验各取样位置的水中溶解氧含量之间是否有显著差异？（已知
()0.953,128.74F =，()0.954,12 5.91F =）.
五、（10分）比较用两种不同的饲料（低蛋白与高蛋白）喂养大白鼠对体重增加的影响，结果如下：
0.05α=）？（已知8m =，8n =时，()520.95P T ≥=，()840.05P T >=）
六、(14分)设()1,,n X X 为来自总体()
2
,N μσ的样本()2n ≥，其中μ、2σ均未知，
⑴ 求常数C 使得 ()2
211
n
i i C X X
σ==-∑为无偏估计，并问此时的无偏估计是否为有效估计？
为什么？⑵ 求常数k 使得 (
)
2
221
n
i i k X X
σ==-∑的均方误差达最小；
⑶ 比较⑴、⑵你能得出什么结论？
七、（12分）设n 组样本(),i i x Y ，1,,i n = 之间有关系式()
i i i Y x x βε=-+，其中
()2
0,i N εσ ，1,,i n = ，1
1n
i i x x n ==∑，且1,,n εε 相互独立，(),i i x y 为n 组样
本观测值，
1、 求β的最小二乘估计 β；
2、 证明 β是形如1
n
i i
i C Y =∑估计量的最小方差无偏估计.
八、（10分）设总体X 服从几何分布，即()()
1
1x P X x p p -==-，1,2,x = ，其中
01p <<未知，()14,,X X 是取自这个总体的一个样本，对如下的检验问题
0H ：12p =
， 1H ：1
2
p > 导出显著性水平3
16
α=的最大功效检验.
10-11年
一、填空题（24分，每空3分）
1、 设()110,,X X ，()110,,Y Y 分别是取自正态总体()2
11,N μσ、()
222,N μσ的两个
简单随机样本，其中1μ，2μ，21σ，2
2σ均未知，并且两总体独立，则在置信水平0.9下，
12
e σσ的单侧置信下限为；对如下的检验问题0H ：2212
σσ≤，1H ：22
12σσ>，当显著性水平0.05α=时，该检验问题的拒绝域为（结果可用分位数表示）.
2、 样本观测值()15,,x x 为()3,2,1,2,0-，则次序统计量的观测值
()()()
1
5,,
x x =.经验分布函数的观测值 ()5F
x =.
3、 设总体X 的密度函数为()1e 2x
f x θ
θ-=，x -∞<<+∞，0θ>未知，()
1,,n X X 是取自总体X 的一个样本，记11n i i X X n ==∑，()
2
2
1
1n i i S X X
n =-∑ ，2
21
1n i i A X n =∑ ，则
()
X E =，()2S E =，()2A E =，θ的矩估计为.
二、（10分）某医院研究吸烟与呼吸道疾病之间的关系，对500名居民进行调查得如下表的
在0.05α=下检验吸烟是否与呼吸道疾病有关（已知()2
0.951 3.84χ=）
三、（10分）一批教师在一段长时间内对一门课程的打分有12%为优、18%为良、40%为中，18%为及格，12%为不及格，现在一个新教师在一学期内对学该课程的150名学生打分为22个优，34个良，66个中，16个及格，12个不及格.在显著性水平0.05α=下，检验该新教师是否与一批教师对该门课程打分的各档成绩比例一致.（已知
()2
0.95
49.488χ=，()20.95511.071χ=）
四、（10分）某从事债券交易服务的交易公司，其中最为盈利的一种服务是债券设计，他们需要确定是否不同的债券设计得到的平均收益是相同的.为此考虑债券设计的4个品种：1号到4号债券，对每一种债券设计选出4份客户收益登记表，构成下面的一张债券设计数据表，假设第i 号债券收益()
i X
服从()
2
,i N μσ（单位：人民币10元），试检验这4种债券
设计的平均收益是否有显著差异（取显著性水平0.05α=）.
已知()0.953,128.74F =，()0.954,12 5.91F =
五、（10分）用两种不同方法冶炼的某种金属材料，分别取样测定某种杂质的含量，所得数据如下（单位为万分率）
假设这两种方法冶炼时杂质含量的方差相同，试用秩和检验法检验新方法是否显著降低了杂质含量（取0.05α=）？（已知8m =，8n =时，()520.95P T ≥=,()840.95P T ≤=）
六、(12分)设总体X 的密度函数??
???>=-其余
0022x e
x x f x θθ
θ/),(，未知）0>θ(．设
),,(n X X X 21是从该总体X 中抽出的样本．
(1)求θ的极大似然估计量?θ； (2)问?θ是否是θ的最小方差无偏估计？
七、（14分）为了研究大学生高等数学成绩x 与物理成绩y 的关系，在一大群学生中随机抽取8名学生，调查他们的成绩得到数据如下：
1、 试求0β、1β、2σ的无偏估计；
2、 试推导如下检验问题0H ：028β=，1H ：028β>的拒绝域，并用推得的拒绝域检验0β是否可以认为显著大于28.（取0.05α=）（已知()0.956 1.9432t =，()0.9756 2.47t =）
八、（10分）设总体()2,X B p ，即()()221x
x P X x p p x -??==- ???
，0,1,2x =，其中
p 未知，
01p <<，()123,,X X X 是取自这个总体的一个样本，对如下的检验问题
0H ：12p =
， 1H ：13
p =， 导出显著性水平7
64
α=的最大功效检验.
09-10年
一、填空题（20分）
1、 (3分)设样本观测值为()3,2,0,2,1,1--，则经验分布函数()6F x 的观测值 ()6F
x 在0.8x =处的值为.
2、 (3分)设()18,,X X ,()18,,Y Y 分别是来自正态总体()21,N μσ，()
2
2,N μσ
的两个简单随机样本，其中1μ，2μ，2σ均未知，且两总体独立，则在置信水平0.95下
()
3
21μμ-的单侧置信上限为.(结果可用分位数表示)
3、 (每空2分，共计8分)设()1234,,,X X X X 是来自0-1分布()1,B p 的样本，01p <<未知，对假设检验问题，0H ：12p =，1H ：1
3
p =，现有二个检验A 和B ，其拒绝域分别为(){}0,
0,0,0A W =
，(){}1,1,1,1B W =，则检验A 的显著性水平为，B 的显著性
水平为，且检验优于检验.
4、 (每空3分)设()110,,X X 是从总体()
20,N σ中抽取的样本，其中2
0σ>未知，
则2
1021i i X =??
E ???
∑=
，设0.1P k ?? ?
?>=?
???
，则k =.(结果可用分位数表示)
二、(8分)某产品的正品率原为0.9，现对这种产品进行新工艺试验，并在新工艺下抽取了400件产品，发现有370件正品，试用大样本方法检验这次新工艺是否显著提高了产品的正品率？取显著性水平0.05α=(已知0.95 1.645μ=，0.975 1.96μ=)
三、(8分)对男性和女性的体育运动偏好进行调查，得到如下的列联表
在显著性水平0.05下能否认为性别与体育运动偏好是有关的？（()2
0.952 5.991χ=）
问第1班组的劳动生产率是否比第2班组的劳动生产率有显著的提高（取）？（已知5=m ，6=n 时()210.05P T <=，()95.039=≤T P ，其中T 为二组混合样本中第1组样本的秩和统计量）
五、(12分)某谷物采用三种不同肥料，每种肥料施于四块相同条件的农田上，其收获量数据如下：（假定收获量服从方差相同的正态分布）
在显著性水平下
1．检验这三种肥料的收获量有无显著差异； 2．进一步检验在采用2A 、3A 种肥料下，收获量是否有差异．（已知()0.992,98.02F =，()0.993,9 6.99F =，()0.9959 3.25t =）
六、(14分)设总体X 服从几何分布，其概率函数()()
1
1x P X x p p -==-，1,2,,
x = 01p <<未知，()1,n X X 为总体中抽取的样本，
1、 求1p 的极大似然估计估计?1p ；
2、 问?1
p
是否是1p 的有效估计？
七、(14分)为了考察一种硝酸盐在水中的溶解度(单位:克)Y 受温度(单位:C 0) x 的影响,做了9次试验,得数据如下:
i x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 i y 15 18 22 27 29 34 40 48 55
假定溶解度),(~210σββx N Y +.
(1) 求0β和1β、2σ的无偏估计，并写出经验回归函数； (2) 在显著性水平05.0=α下，检验原假设:
0H 1β=0是否成立(用t 检验法或F 检验法的
其中一种方法解题)，并证明t 检验法与F 检验法是等价的.（已知()365.27975.0=t ，
()0.951,7 5.59F =，()0.951,9 5.12F =）
八、(14分)设()1,,n X X 是取自正态总体()
2,N μσ的一个样本，其中μ、2
σ均未知，
对于假设检验问题0H ：0μ≤，1H ：1μ=，试求在显著性水平0.05下的最大功效检验.
08-09
一、填空题（共12分）
1、 设总体()
2,X N μσ ，μ、2
σ均未知，()116,,X X 为从中抽取的样本，则μ的0.95的单侧置信上限为 ()0.95154S
X t *
+ .
e μ-的0.95的单侧置信上限为 ()0.95154S X t e *??--
? ???
.
（结果可用分位数表示）
2、 设总体()
21,X N μσ ，总体()
22,Y N μσ ，1μ,2
μ，2σ 均未知，()19,,X X 是从中抽取的样本，()15,,Y Y 是从中抽取 的样本，且X 与Y 独立，则()()
9
52211i j i j D X X Y Y ==??-+-= ???
∑∑424σ，
()
()
9215210.71174i i j j X X P Y Y ==??
- ? ?> ?
- ???
∑∑= 0.9 .(已知()0.94,8 2.81F =) 二、（10分）某企业为比较白班与夜班的生产效率是否有
明显差异，随机抽取了7个工作日进行观察，各日产量比
较如下
试据此在显著性水平下用秩和检验判断白班与夜 班生产是否存在显著差异.(已知()370.025P T <=, ()680.025P T >=，其中T 为第一组样本在二组混合样本
中的秩和).
答案：T=55,不能拒绝原假设。
三、（10分）对唇疱疹的5种处理（包括安慰剂），随机地指定 给25个病人，下述数据表显示的是从开始出现症状到完全好转 试问在显著性水平5%下能否认为5种处理的效果有差异； (已知()0.954,20 2.87F =) （SSA=50,SSe=38,F=6.58,拒绝原假设。）
四、（10分）某种动物配种的后代按体格的属性分为三类， 随机抽查100个后代，经检查各类体格的数目是55，40，5，
按照某种遗传模型其比率之比为()()2211p p p p --：2：
， 问数据与模型是否相符，取显著性水平0.05α=. （已知()20.951 3.841χ=，()20.952 5.991χ=，()20.9537.815χ=
）. 五、（12分）设()1,,n X X 是取自正态总体()
2
1,N σ的
一个样本，其中2
0σ>未知，试证，对于检验问题 0H ：24σ=，1H ：24σ<，
拒绝域为()()()2*2
110.951,,14n
n i i W x x x x n =??=-
∑
的
检验方案为显著性水平0.05的一致最大功效检验. 六、(12分)设()1,,n X X 是取自总体X 的一个样本， ()F x 为总体分布函数，()n F x 为经验分布函数，
1、 试证明：对任意一个(),x ∈-∞+∞与任意一个0ε> 有()()()
lim 0n n P F x F x ε→∞
-≥=；
2、 你认为这个定理能解决什么问题.
七、（18分）设总体X 的密度函数
()210
,0,x
xe x f x θθ
-?>?=???其余 其中0θ>未知， 设()1,,n X X 是从总体中抽出的简单随机样本，
1、 求θ的极大似然估计量 θ；
2、 问 θ是否是θ的有效估计量？
3、 问 θ是否是θ的相合估计. 八、（16分）为了研究家庭收入x 与家庭食品支出y 的关系， 随机抽取了8个家庭，得到数据如下：（单位百元） 1、 试求0β，1β，2
σ的最小二乘估计值；
2、 在显著性水平5%下，用t 检验法检验，是否可以认为回 归系数1β显著小于0.35；
3、 试给出030x =时，食品支出0Y 的0.95的预测区间.
(已知()0.956 1.9432t =，()0.9756 2.47t =)（本大题要求中间
过程保留三位小数）
07-08
一、填空题（共24分）
1、 设总体X 的密度函数???>=--其余，，
,0,)()
(θθx e x f x ，
n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本，记
∑==n i i X n X 11，∑=-=n i i X X n S 12
2)(1，∑
==n
i i X n A 1
221，
则=)(X E ，=)(2S E ，
=)(2A E ，θ的矩估计为 ，
θ的极大似然估计为 .
2、 设样本观测值为(-3, 2, 0, 1, -1, 4)，则经验 分布函数)(6x F 的观测值)(~6x F 在1=x 处的值为 .
3、 已知第一组样本观测值)43,42,33,38,40(),,(51=x x ，
第二组样本观测值)45,39,35,30,28,41(),,(61=y y ，则第
一组样本的次序统计量的观测值=),,()5()1(x x ，
第一组样本在两组混合样本中的秩统计量的观测值 =),,(51r r .
4、 设),,,(821X X X ，),,,(821Y Y Y 分别是取自正态总体 ),(211σμN ，),(2
22σμN 的两个简单随机样本，其中21,μμ， 2
2
21,σσ均未知，并且两个总体独立，在置信水平0.9下，12σσ 的单侧置信下限为 ，当21σσ=时，在置 信水平0.9下，12μμ-的单侧置信上限为
（结果可用分数表示）.
5、 设921,,,X X X 是取自总体),(~2σμN X 的样本， X 为样本均值，2*S 为修正的样本方差，则 =???
? ??>67025.1*22σS P ， =???
? ??<-4656.0*S X P μ . 二、（8分）设某产品的次品率原为0.1，现对这种产品
进行新工艺试验，并在新工艺下抽取400件产品，发现
28件次品，试用大样本方法检验这次新工艺是否显著地
降低了产品的次品率？取显著性水平05.0=α.
（已知645.195.0=μ，96.1975.0=μ） 三、（10分）下表为某药治疗感冒效果的列联表
试问该药疗效是否与年龄有关，取0.05α=（已知()20.952 5.991χ=）。 四、（12分）为了寻求适应某地区的水稻品种，选了四个不同 品种的种子进行实验，每一品种都在四块试验田上试种.假定这 16块试验田的面积与其他条件基本相同，并观测到各块试验 （2） 检验种子品种对水稻高产有无显著影响，取显著性水平 05.0=α，01.3)12,3(95.0=F .
五、（14分）设总体X 服从二项分布(),B m p ，其中01p <<
未知，()1,,n X X 为从中抽取的样本. 1、 试求p 的极大似然估计 p ； 2、 试证明 p 为p 的最小方差无偏估计.
六、（14分）设总体()~X P λ，其中λ未知，0λ>，()16,,X X 是取自这个总体的一个大小为6的样本，对检验问题 0H ：0.5λ=，1H ：0.5λ<，求出在显著性水平3e α-=时它的一致
最大功效检验.
七、（18分）在一元回归分析问题中，假设回归函数为01y x ββ=+，
()()n n Y x Y x ,,11 为抽取的样本，
1、 写出0β的最小二乘估计 0
β； 2、 试证明 0
β是形如1n
i i i C Y =∑的估计中的最小方差无偏估计； 3、 试在显著性水平α下给出检验问题0H ：00β=，1H ：00β≠的拒绝域.
同济大学_概率论与数理统计期中试卷
同济大学 09 学年 第一学期 专业 级《 概率统计 》期中试卷 考试形式：（ 闭卷 ） 一、填空题（共 30 分，每空2分）： 1．事件C B A ,,中至少有一个发生可表示为 ，三个事件都发生可表示为 ，都不发生可表示为 . 2．设()4.0=A P ，()3.0=B P ，()4.0=B A P ，则() =B A P . 3．一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球. 每次从中任取一球，直到第3次才取到黑球的概率为 ，至少取3次才能取到黑球的概率为 . 4．设随机变量X 的分布函数()??? ?? ??≥<≤<≤--<=31318 .0114 .010x x x x x F ，则X 的分布列为 . 5．进行10次独立重复射击，设X 表示命中目标的次数，若每次射击命中目标的概率都是4.0，则X 服从 分布，其数学期望为 ，方差为 . 6．设连续型随机变量()λe X ~，)0(>λ，则=k 时，{}4 12= >k X P . 7．已知随机变量()2~P X ，则102-=X Y 的数学期望=EY ，方差=DY . 8. 已知随机变量X 的概率密度函数为()?? ?>-<≤≤-=2 ,20 2225.0x x x x f ，则X 服从 分布，设随机变量 12+=X Y ，则=EY . 二、选择题（共10 分，每小题 2 分） 1．设事件B A ,互不相容，且()()0,0>>B P A P ，则有 （ ） （A ）()0>A B P （B ）() ()A P B A P = （C ）() 0=B A P （D ）()()()B P A P AB P =
同济大学概率统计试卷
概率统计试卷二 一、（10分）已知随机变量X 服从参数为1的泊松分布，记事件{}2,X A =≥ {}1,X B =<求()()() ,,.P P P A B A -B B A 二、(10分)对以往数据分析结果表明，当机器运转正常时，产品的合格率为９０％；而当机器发生故障时其合格率为３０％，机器开动时，机器运转正常的概率为７５％，试求已知某日首件产品是合格品时，机器运转正常的概率。 三、（１２分）设（X ，Y ）为二维离散型随机变量，X ，Y 的边缘概率函数分别为 且()01,P XY ==试求： （1）（X ，Y ）的联合概率函数；（2）X ，Y 是否相互独立？为什么？ （3）X ，Y 是否相关？为什么？ 四、（14分）设（X ，Y ）的联合密度函数为()()22,0,0,0, x y e x y f x y -+?>>?=???其余， 试求：（1）()X 1,Y 2;P <> （2）()X Y 1.P +< 五、（12分）假设一条生产流水线在一天内发生故障的概率为0.1，流水线发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日无故障这条流水线可产生利润20万元，一周内发生一次故障时，仍可获利润6万元，发生二次或二次以上故障就要亏损2万元，求一周内这条流水线所产生利润的期望值。 六、（12分）假设生产线上组装每件成品花费的时间服从指数分布。统计资料表明：该生产线每件成品的平均组装时间10分钟。假设各件产品的组装时间相互独立。试求在15小时至20小时之间在该生产线组装完成100件成品的概率。（要用中心极限定理） 七、（16分）设()1n X ,,X 是取自总体X 的一个样本，X 服从区间[],1θ上的均匀分布， 其中1,θθ<未知，求（1）*θθ的矩估计； （2）θθ的极大似然估计； （3）试问：θ是否为θ的无偏估计？若不是，试将θ修正成θ的一个无偏估计。 八、（14分）已知某种食品的袋重（单位：千克）服从正态分布() 2N μσ，，其中
概率论与数理统计-朱开永--同济大学出版社习题一答案
习 题 一 1．下列随机试验各包含几个基本事件？ （1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个 一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的 任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ?=种。 （2）观察三粒不同种子的发芽情况。 解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有81 21212=??C C C 种不同情况。 （3）从五人中任选两名参加某项活动。 解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序， 所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。 （4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。 解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。 （5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。 解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一 个一个放入盒子内（按要求）。a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。b 球因 为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球 的盒子）两个中任一个，其放法有21 2=C 个。c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=??C C 种。 2． 事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB U 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？ 解： 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。此随机试验E 的样 本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而 12345A A A A A A =U U U U ,A B S ∴=U φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。 3. 随机抽验三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”，设B 表示“三件中至少有两件是废品”，C 表示“三件都是正品”，问 ,,,,A B C A B AC U 各表示什么事件？
概率统计简明教程课后习题答案(工程代数同济大学版)
习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件两次出现的面相同}； (2) 记录某电话总机一分钟， (2) 记X为一分钟 2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设取得球的号码是偶数}，取得球的号码是奇数}，取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件： ；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)；；解是必然事件； 是不可能事件； 取得球的号码是2，4}； 取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}； 取得球的号码为奇数，且不小于取得球的号码为5，7，9}； 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6，8，10}； 取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10} 在区间[0,2]上任取一数，记，，求下列事件的表达式： ；(2)B；(3)A； 解 或 (3) 因为，所以； 或或或用事件 的运算关系式表示下列事件： (1) A出现，B,C都不出现（记为E1）； (2) A,B都出现，C不出现（记为E2）； (3) 所有三个事件都出现（记为E3）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）； (5) 三个事件都不出现（记为E5）； (6) 不多于一个事件出现（记为E6）； (7) 不多于两个事件出现（记为E7）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。 解；AB； ；； ；； ； 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，，试用Ai表示下列事件：
(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品； (4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。 解；(2)A1A2A3；(3)A1A2A3；； 6. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，，三次射击恰好命中二次}，三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和C。 解 习题二解答 1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。 解这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为A， 则有利于A的样本点数 于是 2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求 (1) 第一次、第二次都取到红球的概率； (2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。 解本题是有放回抽取模式，样本点总数记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D. ⅰ)有利于A的样本点数，故 ⅱ) 有利于B的样本点数，故 20(ⅲ) 有利于C的样本点数，故 ⅳ) 有利于D的样本点数，故 3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。 解本题是无放回模式，样本点总数 (ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利 样本点数为，所求概率为 (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为，
同济大学概率论与数理统计 复习试卷
同济大学概率论与数理统计 复习试卷 1、对于任意二个随机事件B A ,，其中1)(,0)(≠≠A P A P ，则下列选项中必定成立的是( ) （A ） ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分必要条件； (B) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分条件非必要条件； (C) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的必要条件非充分条件； (D) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的既非充分条件也非必要条件. 2、 设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，现从中随机地取出一件，结果发现取到的这件不是三等品，在此条件下取到的这件产品是一等品的概率为 ，在此条件下取到的这件产品是二等品的概率为 . 3、 对任意常数)(,,b a b a <，已知随机变量X 满足 (),()P X a P X b αβ≤=≥=. 记()b X a P p ≤<=,则下列选项中必定成立的是 ( ) (A))(1βα+-=p ； (B) )(1βα+-≥p ； (C) )(1βα+-≠p ； (D) )(1βα+-≤p . 4、 设随机变量X 的概率密度为 ???<<=其它,010,5)(4x x x f ，则使得)()(a X P a X P <=>成立的常数=a ，X Y ln 2-=的密度函数
为=)(y f Y . 5、如果22,,EY EX ∞<<∞且X 与Y 满足()(),D X Y D X Y +=-则必有 （ ） ()A X 与Y 独立； ()B X 与Y 不相关； ()()0C D Y =； ()()()0.D D X D Y = 6、 设12,,n X X X 相互独立且服从相同的分布， ∑====n i i X n X X D X E 1 111,3)(,1)(，则由切比雪夫不等式可得() ≤≥-11X P ，∑=n i i X n 121依概率收敛于 . 7、 设521,X X X 独立且服从相同的分布， ()1,0~1N X .()()2 542321X X X X X c Y +++=.当常数c = 时,Y 服从自由度为 的F 分布. 8、一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫，他断言凶犯是黑人。然而，当调查这一案件的警察在可比较的光照条件下多次重新展现现场情况时，发现受害者正确识别袭击者肤色的概率只有80%，假定凶犯是本地人，而在这个城市人口中90%是白人，10%是黑人，且假定白人和黑人的犯罪率相同，
同济大学版概率论与数理统计——修改版答案
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
(完整word版)同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)
《线性代数》期终试卷1 （ 2学时） 本试卷共七大题 一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)： 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 ()； 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随 矩阵, 则的行列式()； 3.(4分)设, , 则 ()； 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()； 5.(3分)二次型经过正交变换可化为 标准型,则()；
6.(3分)行列式中的系数是()； 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个 解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。 二、计算行列 式： (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。
(满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型， (1)写出二次型的矩阵表达式； (2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型； (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量 不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。
《线性代数》期终试卷2 （ 2学时） 本试卷共八大题 一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）： 1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵 。（） 2.若矩阵和矩阵满足，则 。（） 3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交 阵。（） 4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本 身。（） 5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有 。（）
概率论和数理统计带答案
单选 题(共 40 分) 1、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (C) A、在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 B、在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率 C、在H0成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 D、在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率 2、设,AB是两个事件,且P(A)≤P(A|B),则有 (C) A、P(A)=P(A|B) B、P(B)>0 C、P(A|B)≥P(B) D、设,AB是两个事件 3、某中学为迎接建党九十周年,举行了”童心向党,从我做起”为主题的演讲比赛.经预赛,七、八年纪各有一名同学进入决赛,九年级有两名同学进入决赛,那么九年级同学获得前两名的概率是（ ）(A) A、1/6. B、1/5. C、1/4. D、1/3. 4、设,,ABC是三个相互独立的事件，且0
同济大学-概率论与数理统计-期末考试试卷(2套)
《概率论与数理统计》期末试卷（基础卷） 一．填空题（本题满分22分，每空2分） 1、设A ,B 是两个相互独立的事件,()=0.4P A B ?,()0.2P A =, 则 ()P B = ,()P A B -= ,()P A B = . 2、设一个袋中装有两个白球和三个黑球，现从袋中不放回地任取两个球，则取到的两个球均为白球的概率为 ；第二次取到的球为白球的概率为 ；如果已知第二次取到的是白球，则第一次取到的也是白球的概率为 . 3、设X 服从区间)4,1(-上的均匀分布，则(2)P X <= ，Y 表示对X 作3次独立重复观测中事件}2|{|
同济五版习题册 概率论 参考答案-推荐下载
第一章概率论基本概念 一、填空 1.（1）AUBUC (2) (3) A B C A B C A B C -- - - -- ??A B B C AC -- -- -- ??2. 0.7 (注释: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B)-P(A)*P(B|A) ) 3. 3/7 (注释: ) ()()()()1()()()()P A B P A P B P A B P A P B P B P AB - - - ?=+-=-+-+4.77 221A ?- 5. 0.75 (注释: , 此时不能直接用BEYES 公式,因为要得到一个划分.)() (|)() P AB P B A P A = [掌握]二、选择 1.A 2.D 3.B 4.D 5.A 三、计算题 1.全概率公式求解： 设能开门记为事件A ，B0为取到0把能开门的锁，B1为取到一把能开门的锁，B2为取到两把能开门的锁 P(A)=P(B0)P(A|B0)+ P(B1)P(A|B1)+ P(B1)P(A|B1)=8/15 2.设3本一套放在一起记为A ，两套各自放在一起记为B ，两套中至少有一套放在一起记为C (1)13783710 101 ()=15 A A A P A A =(2) 35435410 101 ()=210 A A A P B A =(3) 3847354384735410 102 ()=21 A A A A A A A P C A +-=3.设购买空调记为A,购买电脑记为B,购买DVD 记为C (1) P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=0.15+0.12+0.2+-0.06-0.1-0.05+0.02 =0.28 (2)()()()()-2() P A B B C AC P A B P B C P AC P A B C -- -------- -- --- ??=++ (3)()1() P A B C P A B C --- =-??[掌握]4. 全概率公式求解：设取得正品记为A, 取到的产品来自甲厂记为B1, 取到的产品来自乙厂记为B2, 取到的产品来自丙厂记为B3, ()(1)(|1)(2)(|2)(3)(|3)0.92 P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=
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