在高中数学教学中培养学生建模能力研究

在高中数学教学中培养学生建模能力研究

张黎磊

（宜昌市第二中学）

摘要：在高中数学教学中，通过数学建模教学激发学生学习兴趣和创新思维，是培养学生探究性学习能力的一个重要手段。本文结合笔者多年高中数学教学的实践经验，从数学建模的步骤、方法、要点等几个方面阐述了如何在高中数学课堂教学中渗透数学建模思想。

关键词：高中数学数学建模数学应用

2003年，数学建模作为高中数学的教学内容已经正式写入《普通高中数学课程标准（实验稿）》中，标准中明确要求高中阶段每学期应至少安排一次较完整的数学建模、数学探究活动。同时，在《中学数学教学大纲》中也明确指出“培养学生解决实际问题的能力，并逐步形成数学创新意识”是高中数学的教目的之一。而且，近几年的高考试题也加大了对学生运用数学知识解决日常生活问题能力的考察力度，这些高考试题以建模为中心，以考查能力为目的，为数学教学提供了“从实际问题中建立数学模型，解决数学问题，从而解决实际问题”的全过程。因此，笔者认为，在高中数学教学中，开展数学建模教学活动，不仅能够培养学生运用数学知识的意识，为学生创造发展空间，也能通过将所学的数学知识用于解决实际问题，激发学生学习数学的兴趣，对于构建高中数学高效课堂具有重要的意义。

1 高中数学建模基本步骤

数学模型（mathematical model）是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构或数学符号系统。按广义的理解，一切数学上的概念、定理、公式、方程式等，及由它们构成的序列或算法系统都可称为数学模型。按狭义的理解，描述或解释某一特定对象的数学结构或数学符号系统就是数学模型。

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。

数学建模将现实世界的问题与抽象的数学知识联系起来。通过数学建模，能够预测研究对象未来的发展趋势或是提供最优化的管理决策。因此，数学建模是我们解决实际问题的一个重要工具。

概括地说，数学建模教学主要包括两个方面：一是如何对实际问题适当简化后寻找出主要变量及变量之间的关系（即模型），二是如何利用数学工具处理这个模型。前者包括：（1）理解问题；（2）简化假设；（3）建立模型。后者包括：（4）求解模型；（5）检验模型。因此，数学建模的过程实际上是培养学生运用数学意识的过程，建模能力就是实际问题模型化以及对模型的解作出解释或检验修改的能力，建模教学的主要目标是切实提高学生灵活运用所学的数学知识和方法分析解决实际问题的能力。

中学阶段的数学建模过程应该包括以下几个步骤：

理解问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路来贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。

简化假设：现实中的问题影响因素纷繁复杂。为了便于研究，我们需要对研究的对象提出假设，作出限制性条件，简化对结果影响不大的因素。

建立模型：在假设简化的基础上使用规范的数学工具表述变量之间的关系，建立数学结构。

求解模型：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算或近似计算，并对所得的结果

进行数学上的分析。

检验模型：将模型分析的结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性、适

用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。

上述步骤可由以下流程图表示：

2 高中数学课堂渗透数学建模教学的策略

用传统的教师讲、学生听的方式去进行数学建模教学，很难达到建模教学的目的，甚至可以说突破传统教学方式、促进教学方法的改革的本身也是数学建模的目的之一。

2.1 注重教材，结合社会热点，适当引入跨学科的实际问题，激发学习兴趣和求知欲。

以建模的视角来对待和处理教学内容，使学生从中体味所用的数学知识、方法和思想，在学

生头脑中储存一定数量的“基本模式”，并获得“搜集信息，将实际问题数学化，建立模型，解答问题，从而解决实际问题”的体验。

在教材的应用题教学中，首先要加强和提高阅读理解能力的培养；其次要指导学生分析产生

问题的背景材料，从中捕捉有效信息，转化为数学语言；第三，抽象、归纳其中的数量关系，建立模型。这是提高学生建模能力的有效途径。

案例1：据气象台预报，台风中心在A 市正东方向300公里的B 处，并以每小时25公里的

速度向西北方向移动。在距台风中心250公里以内的地区将受其影响。问从现在起经过几小时，台风将影响A 市？影响持续试讲多长？

这是一个简化了的台风影响测报问题。可由师生共同讨论建立一个一元二次方程的模型并求

解。然后，教师充分发挥主导作用，不断把问题改向，可以用几何方法测报吗？如果台风中心今后的动向是在某一角度范围内应如何建立测报模型？如台风在移动过程中强度会改变从而使其影响范围产生可以预料的变化，又该如何建立其数学模型？如把影响区分为若干等级发出相应的警报，如何建立其模型？还可结合课例去走访气象专家，了解台风走向测报原理等，使学生接近现实生活，教学也随之更生动活泼。

2.2 引入课外背景材料，拓展数学建模教学内容

生活中处处都能应用到数学知识。在数学教学时，可以适当引入一些生活中的背景资料和建

模问题，拓展学生的思维。鼓励学生从生活中寻找问题，并利用所学的数学知识解决问题。为学生独立进行数学建模研究打下基础。例如：①社会经济模型，现（终）值计算（利息、分期付款等）、经济图标运用（识别、分析、绘制）、方程的应用（折扣、利润、成本等）等问题；②拟合模型，数据的利用、分析与预测（线性回归、曲线拟合等问题）；③优化模型，科学规划、劳动力利用、工期效益、合理施肥、最短路、最小流等问题；④概率统计模型，彩票与摸奖、市场统计、评估预测、风险决策等问题；⑤边缘学科模型，来自理、化、生、地、医等方面的问题。

案例2：某信息研究所对猪肉的市场需求量和供给量进行了市场调查，得到以下数据：若价

格为4元/公斤，需求量80吨，供给量为56吨；价格为4.8元/公斤，需求量77吨，供给量为68吨；价格为5.6元/公斤，需求量73吨，供给量为74吨；价格为6.5元/公斤，需求量65吨，供给量为80吨；价格为7.2元/公斤，需求量60吨，供给量90吨。试分析市场的供求规律，探求市场的供需平衡点（即供给量和需求量相等的点）

实际背景 数学问题 数学模型 模型结果 理解问题 简化假设 求解模型 不符合实际 修改 符合实际 应用

实际生活中，能够直接运用数学方法解决实际问题的情形是很少见的。如案例2，文字叙述较长，背景陌生，涉及面广，人们往往难以表述为数学形式，甚至不知应从何处入手。这里，主要的困难在于如何从初看起来杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学问题，并确定其解答方案。

但是，把现实问题数学化，作为一种能力，是可以通过数学建模教学来加以培养的，这也是开展数学建模教学的主要目标。对于案例2，通过学生的阅读、讨论，然后师生共同分析，抓住问题中内含的猪肉价格和需求量、供给量之间的量化规律，可以得出表1：

表1：量化规律表

价格P（元/公斤） 4 4.8 5.6 6.5 7.2 需求量Q(吨) 80 77 73 65 60

供给量R(吨) 56 68 74 80 90

然后，对上述问题采用数据拟合的方法，将采集来的数据绘制在图表上，建立需求曲线和供给曲线，得到如下不同的方案：

方案1：将散点近似地看成在二条直线上，建立直线模型，通过求二直线的交点，来建立市场的供需平衡点；

方案2：若把散点近似地看成在二条抛物线上，则可建立抛物线模型；

方案3：若把散点近似地看成在二条指数曲线上，又可建立指数曲线；等等。

对上述方案，教师应予以充分的肯定，并给予评价、修正。有时还需深入实践中进行检验，并进行可行操作性的修正与完善。学生在这种不断修正、不断完善的过程中，来反省自己，充实自己，从而形成独立思考的习惯和良好的自我评价能力。

2.3 开展课外数学建模兴趣小组活动

组建数学建模课外活动小组。以兴趣小组的形式，组织学生收集整理生活中的数学问题，通过数学建模方法分析解决问题，锻炼学生的思维能力和分工协作、表达交流的能力。教师可以作为顾问对学生的数学建模活动提供帮助和指导。

一般可每周布置一个课例，开展小组合作方式的建模实践，并由学生轮流写成实习报告，并在班上交流，最后教师总结。课例可以与课程内容相关，也可以是无关的，但应该是开放性的；问题结果最好不唯一，甚至无结果，但却给学生留下了广阔的思维空间，促使学生进一步去探索，增强应用意识，培养他们动手操作的能力和创新能力，以及提高心理的承受能力。

案例3：如图1所示，有一条河MN，河岸的一侧有一电视塔AB，一人位于河岸另一侧P 处，手中有一个量角器和一个可以测量长度的皮尺（测量度不超过5米）.

请你设计一种测量方案（不允许过河），并给出计算建筑物的高度AB及距离PA的公式。并希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少。

图1图2

此类课例一般只是给出了问题的情境及基本要求，要求学生根据这些情境及基本要求收集的

信息，甚至需要自行假定与设计一些已知条件，提出多种多样的解决方案，进而得出或繁或简的结论，这就充分检测出学生运用既有知识分析和解决问题的能力。这种数学综合能力是难于通过临时、简单、统一的一两次题型模拟训练就形成的，而必须依靠严谨的治学态度，日积月累，长期训练形成。

学生应该对此项活动兴趣浓厚，我们将学生分成小组，进行设计和建模活动，并将建模过程

和结果写成一份书面报告。

此课例具有相当的不确定性，具有较强的灵活性和创新性。由于平时的训练，学生积极地在

自身已获得的能力结构中“采集”各种所需，分别提出了如下几种典型的测量方案：

方案1：如图2，P 位于开阔地域，被测量的数据为PC （量角器的高）和PQ(Q 为在PA 水

平直线上选取的另一测量点)的长度，仰角为=,,AB x PA y αβ=和，设则计算公式为： ,()x PC ytg x PC y PQ tg αβ-=-=+，,PQtg tg PQtg x PC y tg tg tg tg αββαβαβ

∴=+=-- 方案2：如图3，P 位于开阔地域，被测量的数据位PR （PR 在水平线上，且PR 小于5米）。

P 、Q(Q 为PR 的中点)、R 处测得仰角分别为αβγ、、，设AB=x ，PA=y ，则,,y xctg AQ xctg AR xctg αβγ===，在APR ?中，由中线公式，得：22211()22AQ AP AR PR =+-，代值计算得：222242PR x ctg ctg ctg αβγ

=-+ 222242PRctg y ctg ctg ctg ααβγ=

-+

方案3：如图4，若P 处有一可攀建筑物（如电线杆），则可在同一垂线上选两个测量点，被

测数据为PC 和CD 的长度，仰角为=,,AB x PA y αβ=和，设则,x PC x PC CD tg tg y Y

αβ---==

，图3

图4

解得,CDtg CD x PC y tg tg tg tg ααβαβ

=+=--。 说明：无论哪个方案都至少要测4个数据。

通过分组活动等实验实习课，有利于培养学生的数学建模能力，并培养他们的自信心和学习兴趣，提高他们的交流能力和团结协作的能力，使学生能够不断地有所发现和创造，有利于学生的数学综合素质的提高。

3 开展数学建模教学中应注意的几个问题

3.1 中学数学建模教学应该以学生为教学的主体

根据建构主义学习理论，知识的建构只能在学生的经验基础上，通过学生自己的学习思维活动完成。教师不能代替学生学习，而应该让学生真正参与到数学建模思维活动中来。在课堂教学中，教师应该避免通过讲授的方式直接得出数学知识和规律，而应该鼓励学生多观察、多问、多思考，通过动手建模和交流讨论，最终自己得出结论。教师只是学生探究学习过程中的引导者和激励者，为学生树立坚韧不拔、不畏艰难、勇于创新思维的习惯和个性创造条件。

3.2 中学数学建模教学应考虑到学生实际能力

高中阶段，学生普遍对数学建模问题的学习感到困难。在考试中，数学应用题也是学生容易失分的题型。在这种情况下，教师在进行数学建模教学时，应该充分考虑学生的接受能力。部分教师在教学中过于追求对思维能力的培养，提出的数学建模问题过难，挫伤了学生的学习积极性，导致学生对建模问题产生畏惧心理。所以，我们在教学中应该根据学生的实际情况，设置分层学习目标。对于数学能力较差的学生，重点是培养建模的思想，只要求完成较低难度的问题。对于数学能力较强的学生，重点是培养独立思考的能力，鼓励他们提出和解决新的问题。通过分层设置目标和教学，达到使全体学生都得到发展的目的。

3.3 中学数学建模教学应以培养学生数学思维方法为重心

中学数学教学中开展数学建模教学，最重要的目的是培养学生掌握数学的思维方法。教师在教学中，应该积极渗透函数、方程、数形结合、类比与转化等各种数学思想。通过不同类型的数学建模问题，让学生体验不同数学方法在应用过程的思维模式和特点，从而加深他们对各种数学思维方法的理解，从更高层次提升学生的数学素养。

【参考文献】

1 教育部.普通高中数学课程标准[S].2003

2 马芳华.高中数学建模教学行动研究[D].首都师范大学.2006

3 陈远才.高中数学教学中建模思想运用初探[J].新课程学习.2012.12