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高中数学函数概念与基本初等函数知识点总结

高中数学函数概念与基本初等函数知识点总结
高中数学函数概念与基本初等函数知识点总结

函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结

函数贯穿整个初中和高中阶段,不但是中考的重要内容,也是高考重要内容,所以参加高考的考生务必重视,酷课网精心为今年考生准备了本章的,希望能给考生带来意想不到的帮助。

一、命题热点

分析近几年的高考试题,可以发现函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等,以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题,而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。

2012年高考热点主要有:①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

二、知识点总结

1.映射:注意: ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一.

2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元法 ;

⑥利用均值不等式 22

22b a b a ab +≤+≤; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(χχχcos sin 、、a 等);⑨平方法;⑩ 导数法

3.复合函数的有关问题:

(1)复合函数定义域求法:

① 若f(x)的定义域为[a ,b ],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出

② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域.

(2)复合函数单调性的判定:

①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数:内函数)(x g u =与外函数)(u f y =

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.

4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。

5.函数的奇偶性:

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件....

⑵)(x f 是奇函数)()(x f x f -=-?;)(x f 是偶函数)()(x f x f =-?.

⑶奇函数)(x f 在0处有定义,则0)0(=f

⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性

⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性

6.函数的单调性:

⑴单调性的定义:

①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <;

②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x >;

⑵单调性的判定:①定义法:一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法

注:证明单调性主要用定义法和导数法。

7.函数的周期性:

(1)周期性的定义:对定义域内的任意,若有()()x f T x f =+ (其中T 为非零常数),则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。

(2)三角函数的周期:

①π2:sin ==T x y ;②π2:cos ==T x y ;③π==T x y :tan ;④ωπ

?ω?ω2:)cos(),sin(=+=+=T x y x A y ;⑤ω

πω==T x y :tan (3)与周期有关的结论:a x f a x f a x f a x f a x f 2)()0)(()2()()(的周期为或?>=--=+

8.基本初等函数的图像与性质:

⑴指数函数:)1,0(≠>=a a a y x ;⑵对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ;

⑶幂函数:αx y = ()R ∈α ;⑷正弦函数:x y sin =;⑸余弦函数:x y cos = ;

(6)正切函数:x y tan =;⑺一元二次函数:02=++c bx ax (a ≠0);

⑻其它常用函数:正比例函数:)0(≠=k kx y ;反比例函数:)0(≠=

k x k y ;③函数)0(>+=a x a x y

㈡.

⑴分数指数幂:m

n a =1

m

n m

n a a -=(以上0,,a m n N *

>∈,且1n >). ⑵.①b N N a a b =?=log ; ②()N M MN a a a log log log +=; ③N M N M a a a

log log log -=; ④log log m n a a n b b m

=. ⑶.对数的换底公式:log log log m a m N N a =.对数恒等式:log a N a N =. 9.二次函数:

⑴解析式:①一般式:c bx ax x f ++=2)(;②顶点式:k h x a x f +-=2

)()(,),(k h 为顶点; ③零点式:))(()(21x x x x a x f --= (a ≠0).

⑵二次函数问题解决需考虑的因素:

①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=,顶点坐标是???? ??--a b ac a b 4422,。 10.函数图象:

⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法

⑵图象变换:

① 平移变换:ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=,)0(>a ———左“+”右“-”;

ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“-”;

② 对称变换:ⅰ))(x f y =??

→?)0,0()(x f y --=;ⅱ))(x f y =?→?=0

y )(x f y -=; ⅲ) )(x f y =?→?=0x )(x f y -=; ⅳ))(x f y =??→

?=x y ()x f y =; ③ 翻折变换:

ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———(去左翻右)y 轴右不动,右向左翻()(x f 在y 左侧图象去掉); ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———(留上翻下)x 轴上不动,下向上翻(|)(x f |在x 下面无图象);

11.函数图象(曲线)对称性的证明:

(1)证明函数)(x f y =图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性,即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在)(x g y =的图象上,反之亦然。

注:①曲线C 1:f(x,y)=0关于原点(0,0)的对称曲线C 2方程为:f(-x,-y)=0;

曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C 2方程为:f(-x, y)=0;

曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C 2方程为:f(x, -y)=0;

曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=x 的对称曲线C 2方程为:f(y, x)=0

②f(a+x )=f(b -x) (x∈R)?y=f(x)图像关于直线x=2

b a +对称; 特别地:f(a+x)=f(a -x) (x∈R)?y=f(x)图像关于直线x=a 对称.

③()y f x =的图象关于点(,)a b 对称?()()b x a f x a f 2=-++.

特别地:()y f x =的图象关于点(,0)a 对称?()()x a f x a f --=+.

④函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称;

函数)(x a f y +=与函数()y f a x =-的图象关于直线0=x 对称。

12.函数零点的求法:

⑴直接法(求0)(=x f 的根);⑵图象法;⑶二分法.

(4)零点定理:若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。

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