圆的知识点归纳总结大全

圆的知识点归纳总结大全

一、圆的定义。

1 、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2 、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素。

1 、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2 、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3 、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4 、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。

（ 1 ）劣弧：小于半圆周的弧。

（ 2 ）优弧：大于半圆周的弧。

5 、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6 、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7 、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质。

1 、圆的对称性。

（ 1 ）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（ 2 ）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（ 3 ）圆是旋转对称图形。

2 、垂径定理。

（ 1 ）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。（ 2 ）推论：

平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3 、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（ 1 ）同弧所对的圆周角相等。

（ 2 ）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4 、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5 、夹在平行线间的两条弧相等。

6 、设⊙O 的半径为 r ， OP=d 。

7 、（ 1 ）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

（2 ）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

（直角三角形的外心就是斜边的中点。）

8 、直线与圆的位置关系。 d 表示圆心到直线的距离， r 表示圆的半径。直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线

与圆相切；

直线与圆没有交点，直线与圆相离。

2

9 、平面直角坐标系中， A （ x1 ， y1 ）、 B （ x2 ， y2 ）。

则 AB=

10 、圆的切线判定。

（ 1 ） d=r 时，直线是圆的切线。

切点不明确：画垂直，证半径。

（ 2 ）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。

切点明确：连半径，证垂直。

11 、圆的切线的性质（补充）。

（ 1 ）经过切点的直径一定垂直于切线。

（ 2 ）经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。

12 、切线长定理。

（ 1 ）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。

（ 2 ）切线长定理。

∵ PA 、 PB 切⊙O 于点 A 、 B

∴ PA=PB ，∠1= ∠ 2 。

13 、内切圆及有关计算。

（ 1 ）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（ 2 ）如图，△ABC 中， AB=5 ， BC=6 ， AC=7 ，⊙O 切△ABC 三边于点 D 、 E 、 F 。

求： AD 、 BE 、 CF 的长。

分析：设 AD=x ，则 AD=AF=x ， BD=BE=5 － x ， CE=CF=7 － x.

可得方程： 5 － x ＋ 7 － x=6 ，解得 x=3

（ 3 ）△ABC 中，∠C=90 °， AC=b ， BC=a ， AB=c 。

求内切圆的半径 r 。

分析：先证得正方形 ODCE ，

得 CD=CE=r

AD=AF=b － r ， BE=BF=a － r

b － r ＋ a － r=c

得 r=

14 、（补充）

（ 1 ）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是

圆的弦。

如图， BC 切⊙O 于点 B ， AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC= ∠ D 。（ 2 ）相交弦定理。

圆的两条弦 AB 与 CD 相交于点 P ，则 PA · PB=PC · PD 。

（ 3 ）切割线定理。

如图， PA 切⊙O 于点 A ， PBC 是⊙O 的割线，则 PA2=PB · PC 。

（ 4 ）推论：如图， PAB 、 PCD 是⊙O 的割线，则 PA · PB=PC · PD 。

15 、圆与圆的位置关系。

（ 1 ）外离： d>r1 ＋ r2 ，交点有 0 个；

外切： d=r1 ＋ r2 ，交点有 1 个；

相交： r1 － r2

内切： d=r1 － r2 ，交点有 1 个；

内含：0≤d

（ 2 ）性质。

相交两圆的连心线垂直平分公共弦。

相切两圆的连心线必经过切点。

16 、圆中有关量的计算。

（ 1 ）弧长有 L 表示，圆心角用 n 表示，圆的半径用 R 表示。

L=

（ 2 ）扇形的面积用 S 表示。

S= S=

（ 3 ）圆锥的侧面展开图是扇形。

r 为底面圆的半径， a 为母线长。

?扇形的圆心角α=

? S 侧 = ar S 全 = ar ＋ r2