等积变形习题
六年级奥数解析（七十）形体的等积变形
[ 2013-3-21 2:57:00 | By: spring ]
4
推荐
《奥赛天天练》第42讲《形体的等积变形》。
在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的等积变形。
本专题学习，需要学生熟练掌握并能灵活运用长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式。解答此类问题的关键是抓住题中隐藏的等量关系：物体在改变形状的过程中体积不变，即形状发生改变前后物体的体积相等。
《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习1
【题目】：
在底面半径是10厘米的圆柱形杯中装有7厘米高的水，把一小块铁浸入水中，这时水面上升到9厘米，问这块铁块的体积有多大？
【解析】：
这块铁块的体积就是圆柱形杯中上升的那部分水的体积（即底面半径为10厘米，高为2厘米的圆柱形体积）：
3.14×102×（9－7）＝628（立方厘米）。
《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习2
【题目】：
有甲、乙两个容器如图所示，（长度单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。
【解析】：
先求出倒入甲容器的水的体积：
3.14×62×10×1/3＝376.8（立方厘米）
再用水的体积除以乙容器的底面积，求出乙容器的水深：
378.6÷（3.14×42）＝7.5（厘米）。
注：此类习题列综合算式，先约分再计算，可以使计算更加简洁。
《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题1
【题目】：
把一块长19厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体铝块和一个棱长为7厘米的正方体铝块熔铸成一个底面周长为31.4厘米的圆柱形的铝块，求圆柱形铝块的高是多少厘米？
【解析】：
熔铸成的圆柱形铝块的体积就等于长方体铝块和正方体铝块的体积之和：19×5×3＋73＝628（立方厘米）
用圆柱形铝块的体积除以它的底面积，可以求出它的高为：
628÷[3.14×（31.4÷3.14÷2）2]＝8（厘米）。
《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题2
【题
目】：
在一个底面半径是20厘米的圆柱形水桶里，有一个底面半径为10厘米的圆柱形钢材完全浸没在水中，当钢材从桶里取出后，桶里的水面下降3厘米，求这段钢材的长。
【解析】：
圆柱形钢材的体积就等于水桶里下降的那部分水的体积（即底面半径为20厘米，高为3厘米的圆柱形体积）：
3.14×202×3＝3768（立方厘米）
所求钢材的长为：
3768÷（3.14×102）＝12（厘米）。
《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题1
【题目】：
有两个等高的圆柱体，小圆柱体底面积是50平方厘米，大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％，大圆柱体的体积为360立方厘米，求小圆柱体的体积。
【解析】：
要求出小圆柱体的体积，已知小圆柱体的底面积，还需要先求出小圆柱体的高。因为两个圆柱体等高，只求出大圆柱体的高就等于小圆柱体的高。
由“大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％”，可以求出大、小圆柱体底面直径之比为：
（1＋20％）：1＝6 ：5
则两个圆柱的底面积比为：62：52＝36 ：25
解法一：又因为小圆柱体底面积是50平方厘米，可以求出大圆柱体的底面积为：
50×36/25＝72（平方厘米）
则大圆柱体的高为：
360÷72＝5（厘米）
即小圆柱体的高也是5厘米，可以求出小圆柱体的体积为：
50×5＝250（立方厘米）。
解法二：等高的两个圆柱体的体积与底面积成正比例，即它们的体积比就等于它们的底面积之比：36 ：25
可以直接求出小圆柱体的体积为：
360÷36/25＝250（立方厘米）。
《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题2
【题目】：
甲、乙两个圆柱体容器，底面积之比为4 ：3，甲容器水深7厘米，乙容器水深3厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这是水深多少厘米？
【解析】：
当两个容器中水深相等时，容器中水的体积比就等于两个容器的底面积之比为： 4 ：3。
如果把甲容器中1厘米深的水量看作4份，则乙容器中1厘米深的水量就有3份。
甲容器中已有水量为：4×7＝28（份）
乙容器中已有水量为：3×3＝9（份）
假设后来注入两个容器中的水都是x份，由题意可得：
（28＋x）：（9＋x）＝4 ：3
解比例得：x＝48
所求水的深度为：
（28＋48）÷4＝19（厘米）。
等积变形练习题
1，一个盛水的圆柱形水桶,内底面周长为6028分米，当一个长方形的物体投入水中时，水面上升1分米，量得这个长方体的长为3.14分米，宽为1分米，他的高是多少？
2,在长为15厘米，宽为12厘米的长方体水箱中，有10厘米深的水，现沉入一个高为10厘米的圆锥形铁块（全部浸入水中），水面上升了2厘米，求圆锥的底面积?
3,甲，乙两个圆柱体容器，底面积比为4:3,甲容器水深7厘米，以容器水深3厘米，再往两容器中各注入同样多的水，直到水深相等，这时水深多少厘米？
4，一个棱长为1分米的正方体木块，从这个木块中各出一个最大的圆锥,求这个圆锥的表面积和体积？
5，用一张长3米宽1米的长方形铁皮可以做成无底的圆柱形管子，此圆柱形管子的最大面积是多少？
6，一个胶水瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立方厘米，当瓶子正放时，瓶内胶水深为8厘米，瓶子倒放时，空余部分为2厘米，则瓶内所装水的体积是多少？
7.有A.B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升水，容器B是空的。现在往两个容器中以每分钟0.4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。设B的底面半径为5厘米，那么A的底面直径是多少厘米？
8.将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米；若将这个圆柱体切成三块小圆柱体，表面积增加50.24平方厘米。现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，体积减少多少立方厘米？
9.圆钢切削成一个最大的圆锥体，切削掉的部分部分重8千克，这段圆钢重多少㎏？
10.棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？
11. 一个体积为60立方厘米的圆柱，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？
12.一车箱是长方体，长4米，宽1.5米，高4分米，装满沙，堆成一个高5分米的圆锥，底面积多少㎡
13.一个底面周长15.7m高10m的圆柱铁块，熔成一个底面积是25㎡的圆锥，圆锥的高是多少m？
14.把一个体积是18㎝3的圆柱削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体积是多少㎝3？
15.正方体钢材，棱长6分米，把它削成一个最大的圆锥体零件，零件的体积是多少？
奇妙的“等积变形”
江苏省淮安市新民路小学单广红
江苏省淮安市武墩中心小学高德洋
几何知识在小学阶段一向是学生学习的难点。高年级立体图形的表面积、体积的应用问题更主让学生望而却步。针对这种现象，迫使教者去思考: 如何在教学过程中化难为易，让学生不再惧怕数学中的几何问题。通过实践发现，“等积变形”可以减少计算上的繁琐、扫除理解上的障碍，用数学独有的内涵点燃学生的学习热情。下面就圆柱的表面积、体积的教学,来谈谈奇妙的“等积变形”体现的“巧”。
一、剪拼变形，化繁为简巧计算
圆柱表面积的计算看似简单：只要求三个面的面积和就行了。实际在学习过程中正确率非常低,有些学生分不清圆的周长和面积公式，在算侧面积时常会用“底面积×高”；有些学生好不容易列式正确,但面对长长的三道算式（底面积计算、侧面积计算、底面积×2+侧面积）而“望式生叹”，动笔就错；就连很优秀的学生也不容易把几道式子都做正确。面对此景，我联想起学生五年级学习圆的面积公式推导时用“化曲为直”
的方法，索性引导学生动手操作,去找出更快捷、简便的方法。学生迫不及待地动起手来，有了惊喜的发现：S表=2r×(r+h)。操作思考思路如下图：
学会了如此解题后，大大提高了运算速度和正确率，现在的计算量只相当于原来的。但要提醒学生注意,这只适用于圆柱的表面积是由三个面组成,遇其他情况要随机应变。
二、等积变通，移花接木巧变形
圆柱表面积通过“等积变形”简化了计算。实际，等积变形在体积计算中运用更加广泛。如最常见的测量土豆、石块等不规则物体的体积，只要在玻璃容器中放适量的水，然后完全浸没水中只要求出上升部份水的体积即可，本文不再细细赘述。下面举例来谈谈“移花接木”的变形方法计算有趣的饮料体积问题。例一个饮料瓶里面饮料深10厘米，把瓶子塞紧后倒置(瓶口向下),这时上面空白部份深为2.5厘米,已知瓶子的容积是600毫升，你能算出瓶内饮料是多少毫升吗?
在处理这一题时，典型的教学方法是：把600毫升的饮料按10 ：2.5进行按比例分配，其中即为饮料的体积。可是讲解后大部分学生仍面露茫然。笔者是这样处理的：出示此题后，用图标出题意，然后问：瓶子倒置后瓶子的大小变了没有？饮料的多少变了没有？你发现了什么？和小组同学说说发现。学生本来对这类题就充满了好奇，马上带着问题很快进入了探讨、争论的状态中去。一会儿，每个学生小脸争得红红，小手儿举得高高，发现：瓶子大小没变、饮料的多少也没变，那么空白的部份的容积就也是一样大了，所以把前面不规则的空白部份换成后面的规则的空白部份，这样就把不规则的饮料瓶子变成一个圆柱体了，如图：
所以，用“体积÷两个高的和=底面积”，再用“底面积×10”就是饮料的体积了。算术为600÷（10+2.5）×10=500(毫升)。把这位同学的思路用上面的图呈现出来，很快赢得了同学们的共鸣，学生感受到图形问题原来并不可怕，通过变形后它变得那么的神奇、有趣、简单。
三、拓展变式，异中求同巧联系
布鲁姆曾说过：“学习中经常取得成功可能会导致更大的学习兴趣。”作为教师在教学中要为学生创造获得成功的机会。勤钻研、细分析，帮助学生克服困难，获取成功。比如在体积应用教学中，物体是否完全没入水中,会引起不同的变化效果，这时要多引导学生观察、思考、归纳，充分发挥“等积变形”的神奇功能，利用规律解决各种难题。
例有一圆柱形的玻璃容器,底面半径是10厘米,高20分米,水高8厘米,在容器中垂直放入一底面直径为8厘米，高为30厘米的圆柱形物体,这时的水高为多少厘米?
这类练习学生理解起来很困难,如果我们借助媒体,将上面的问题简化成水柱的“体积变形”，并进行演示，使之形象化,可以帮助学生更清晰的明白题目所要表达的内容.如图
演示后学生明白:变化前后水的体积不变，只是水柱的形状发生了变化,由左边的半径是10厘米,高是8厘米的圆柱体变成了右面的底面是空心的圆柱了。由此不难理解列式:102×3.14×8÷〔3.14×102-3.14×(8÷2)2〕。借助媒体,形象展示了变形过程，更有效的发现了规律的内在联系。
其实，“等积变形”在数学中的运用还有很多。数学学习很讲究一个“巧”字，有的问题解答的方法有很多，若找到了巧的方法不仅易懂，更节时、高效。同样在其他知识的教、学中，也要不断的研究、分析，探索其中规律，寻出解题捷径。
作者简介
单广红，女，党员，本科学历，中学高级教师。毕业于江苏省淮安师范学校。现任江苏省淮安市新民路小学教务副主任。论文《让“错误”演绎课堂的精彩》发表在国家级核心刊物《小学教学研究》上，还有几篇文章分别被《中小学教育》、《小学教学参考》（数学版）、《山西教育》录用。多篇文章在省市级评比中获奖。参加过淮安市青年教师“十项全能基本功大赛”获得“优秀选选手”光荣称号。曾被评为“十佳教师”“优秀共青团标兵”。在去年下乡支教中深受同行和学生的好评,被区教育局表彰为“优秀支教工作者”。本人的座右铭是：只要努力，一切皆有可能！
圆柱与圆锥
奇妙的等积变形
数学课堂应帮助学生形成数学思想方法，提高学生的思维能力，从而提高课堂效率，减轻学生的学习负担。等积变形是小学阶段要渗透落实的重要思想方法之一。生活中大量存在其身影。在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的等积变形。本专题学习，需要学生熟练掌握并能灵活运用长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式。解答此类问题的关键是抓住题中隐藏的等量关系，于是我们分层设计了以下三组题目，由易到难，不断充盈学生智慧的锦囊，化繁为简。一、充分体会用等积变形的规律和特点解决问题。（叙述较明显的直柱体之间变形）
1．在一个长4米，宽3米，深2米的水池里装满水，将这个水池里的水全部抽到一个深2米的水池里时，水深1.5米，这个圆柱体水池的底面积是多少？(倒水问题)
这道题中液体的形状随着容器形状的改变而改变，此时虽然容器的形状不同，但两个水池所容纳水的体积是相等的。抓住等积变形V长=V柱，这道题即能迎刃而解。类似的题目比比皆是，到处都有其身影。如: 2. 把一块长19厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体铝块和一个棱长为7厘米的正方体铝块熔铸成一个底面周长为31.4厘米的圆柱形的铝块，求圆柱形铝块的高是多少厘米？（熔铸问题）
此题抓住V长+V正=V柱的等积变形，再配合逆向公式学以致用。
3.有一个近似圆锥形的沙堆，底面周长是25.12米，高1.8米，用这堆沙在10米宽的公路上铺3厘米厚的路面，能铺多少米？（得数保留整数）（铺路问题）
此题叙述也比较直白，抓住V锥=V长的等积变形。
布鲁姆曾说过：“学习中经常取得成功可能会导致更大的学习兴趣。”作为教师在教学中要为学生创造获得成功的机会。勤钻研、细分析，帮助学生克服困难，获取成功。例如物体是否完全没入水中,会引起不同的变化效果，这时要多引导学生观察、思考、归纳，充分发挥“等积变形”的神奇功能，利用规律解决各种难题。
4.在底面积是60平方分米的圆柱形容器里，注入4分米深的水。若把底面积是20平方分米，高是 3 分米的一个圆柱形铁棒竖直放在水中完全浸没。水面将上升多少分米？（完全浸没问题）
此题抓住V柱棒=V升柱水的等积变形。由于学生具有五年级的知识经验好理解：如果完全浸没，浸没物体的体积等于上升那部分圆柱体水的体积。
=
V上升水圆柱V3分米高圆柱铁棒
二、学会利用所学的知识用转化法解决稍复杂的等积变形。（叙述稍灵活一些的直柱体变形）
1.、在底面积是60平方分米的圆柱形容器里，注入4分米深的水。若把底面积是20平方分米，高是8分米的一个圆柱形铁棒竖直放在水中未完全浸没。水面将上升多少分米？（未完全浸没问题）
此题需要学生读懂题后，准确分析出来究竟抓住哪部分的体积变形后是相等的，与完全浸没进行区分。对于学生来说理解起来还是有困难的,如果我们借助媒体,将上面的问题简化成水柱的“体积变形”，并进行演示，使之形象化,可以帮助学生更清晰的明白题目所要表达的内容.如图
=
V水柱= V空心水柱
演示后学生明白:变化前后水的体积不变，只是水柱的形状发生了变化,由左边的底面积是60平方分米,高是4分米深的圆柱体水柱变成了右面的底面是空心的圆柱水了。由此不难找到解题方法。由于借助媒体,形象展示了变形过程，会更有效的发现规律的内在联系，解题方法多样化。（需配课件演示）
2、一个饮料瓶里面饮料深10厘米，把瓶子塞紧后倒置(瓶口向下),这时上面空白部分深为2.5厘米,已知瓶子的容积是600毫升，你能算出瓶内饮料是多少毫升吗?（饮料体积问题）
此题训练学生发挥想象用等积变形的思想把不规则图形转化为规则图形。出示此题后，用图标出题意，然后问：瓶子倒置后瓶子的大小变了没有？饮料的多少变了没有？你发现了什么？和小组同学说说发现。学生本来对这类题就充满了好奇，马上带着问题很快会进入探讨、争论的状态。他们会发现：瓶子大小没变、饮料的多少也没变，那么空白的部分的容积就一样大了，所以把前面不规则的空白部分换成后面的规则的空白部分，这样就把不规则的饮料瓶子变成一个圆柱体了，如图：（需配课件演示）
所以，用“体积÷两个高的和=底面积”，再用“底面积×10”就是饮料的体积了。算术为600÷（10+2.5）×10=500(毫升)。把这样的思路用上面的图呈现出来，利用移花接木的方法，学生会感受到图形问题原来并不可怕，通过变形后它变得那么的神奇、有趣和简单。
3、如下图，整个物体的体积相当于蓝色部分体积的（）/（）。(组合图形)
此题训练学生运用等积变形的的方法把圆锥压扁变形为底面积和体积都相等的圆柱体，使变形后圆柱的高是圆锥高的1/3，进而灵活应用图形与知识间的关系和规律更加巧妙的找到答案。
三、拓展变形，异中求同巧联系（不规则图形）
例：如下图所示，有这样一段钢材，请计算出它的体积。（单位：厘米）
在解答一些复杂的、陌生的问题时，可以根据题目中存在的相等关系，把新问题通过换角度、换方式，换叙述的方法进行变化，把新的和复杂的问题转化为已学或容易解决的问题，使知识得到内化和升华。
3
5
1
3
1
3
1
＝
＋
＋
这是一个不规则的立体图形，不能直接求出体积。方法一:通过观察发现它是圆柱的一部分，可以用两个这样的钢材拼成一个圆柱，把不规则图形转化为规则图形。借助等积变形，先求出拼成的圆柱的体积，再除以2就求出这段钢材的体积。
转化为
方法二：还可以利用分割法，用下面的圆柱体积+上面圆柱体积的一半。
方法三:还可利用平分线割补成规则的圆柱体。异中求同找到不规则图形与规则图形的联系与转化。
此处是否加题或改题。
其实，“等积变形”在数学中的运用还有很多。数学学习很讲究一个“巧”字，有的问题解答的方法有很多，若找到了巧的方法不仅易懂，更节时、高效。同样在其他知识的教学中，通过不断的研究、分析，探索其中规律，也会寻出解题捷径，实现轻负优质。
第八章组合变形构件的强度习题
第八章组合变形构件的强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形,称为（）变形。 二、计算题 1、如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N，卷筒直径D=36cm,两轴承间的距离l=80cm,轴的许用应力[]σ=80Mpa。试按第三强度理论设计轴的直径d。 2、图示手摇铰车的最大起重量P=1kN，材料为Q235钢，[σ]=80 MPa。试按第三强度理论选择铰车的轴的直径。 3、图示传动轴AB由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重G=5kN,半径R=0.6m,胶带紧边张力F1=6kN,松边张力F2=3kN。轴直径d=0.1m，材料许用应力[σ]=50MPa。试按第三强度理论校核轴的强度。 4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有F=3kN及重物Q，该轴处于
平衡状态。若[σ]=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d。 5、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm，承受集中载荷F 的作用，许用应力[σ]=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3，。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。(注：写出解题过程) 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D=1m的皮带轮，皮带紧边张力为2F=5KN，松边张力为F=2.5KN，轮重F P=2KN，已知材料的许用应力[σ]=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为l，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R，并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆的强度条件。圆杆材料的许用应力为[σ]。
热变形温度测试方法的总结(20130106)
一、外壳测试标准 参考《GB 20641-2006低压成套开关设备和控制设备空壳体的一般要求（GBT）》 9.8绝缘材料性能 9.8.1 热稳定性验证 根据GB/T 2423.2-2001所给出的方法进行试验。 对于没有技术意义，只用于装饰目的的部件不进行此项试验。 用下列试验进行检查： 将一个如同正常使用时一样安装的壳体放在加热箱中进行试验，加热箱带有混合大气和大气压力而且自然通风，如果加热箱的容积与壳体的尺寸不匹配，试验可在一个有代表性的壳体样品上进行。 1、加热箱内部的温度应为（70+2）℃。 2、壳体或样品应在加热箱放置7d（168h）。 3、建议使用电加热箱。 4、在加热箱的壁上留一个自然通风孔。 5、然后，将壳体或样品从加热箱移出，置于环境温度下，相对湿度在45%-55%之间，至少存放4d（96h）。 目测壳体或样品应没有可见的裂缝或无新裂缝，其材料不应变成粘性或油脂性，用下列方法进行。 判断： 在食指上裹一片干粗布，以5N力按压样品。 注：5N力可用下面方法获得：将样品放在天平的一个秤盘上，天平的另一称盘加载的质量等于样品的质量+500g，在食指上裹一片粗糙的干布按在样品上使天平平衡。 样品和壳体材料上应没有布的痕迹或样品和布不相粘连。
二、实验室塑料热稳定性测试方法 1、维卡热变形温度 《GB/T 1633-2000 热塑性塑料维卡软化温度的测定》 当匀速升温时，测定在第1章中给出的某一种负荷条件下标准压针刺人热塑性塑料试样表面1m m深时的温度。 2、马丁耐热温度 《GB 1035-70塑料耐热性（马丁）试验方法》 本方法是试样在等速升温环境中，在一定静弯曲力矩作用下，测定达到一定弯曲变形时的温度，以示耐热性。本方法不适用于耐热性低于60℃的塑料。 3、热变形温度 《GB/T 1634-2004 负荷变形温度的测定》 塑料试样放在跨距为100mm的支座上，将其放在一种合适的液体传热介质中，并在两支座的中点处，对其施加特定的静弯曲负荷，形成三点式简支梁式静弯曲，在等速升温条件下，在负载下试样弯曲变形达到规定值时的温度，为热变形温度。 三、分析：哪种实验室方法更贴近标准要求 马丁耐热，不用介质，不用针刺。
小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)
小学奥数精讲：等积变形求面积 “三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”． 另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平 行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。 图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则 的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转 换成易求面积的图形． 利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利 用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键． 进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目 地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。 例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积? 例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=3 1 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积． 例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角 基本概念 例题分析
三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少? 例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积． 1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米? 2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少 平方厘米？ 练习提高
第八章组合变形练习题
组合变形练习题 一、选择 1、应用叠加原理的前提条件是：。 A：线弹性构件； B：小变形杆件； C：线弹性、小变形杆件； D：线弹性、小变形、直杆； 2、平板上边切h/5，在下边对应切去h/5，平板的强度。 A：降低一半； B：降低不到一半； C：不变； D：提高了； 3、AB杆的A处靠在光滑的墙上，B端铰支，在自重作用下发生变形， AB杆发生变形。 A：平面弯曲 B：斜弯； C：拉弯组合； D：压弯组合； 4、简支梁受力如图：梁上。 A：AC段发生弯曲变形、CB段发生拉弯组合变 形 B：AC段发生压弯组合变形、CB段发生弯曲变形 C：两段只发生弯曲变 形 D：AC段发生压弯组合、CB段发生拉弯组合变形 5、图示中铸铁制成的压力机立柱的截面中，最合理的是。
6、矩形截面悬臂梁受力如图，P2作用在梁的中间截面处，悬臂梁根部截面上的最大应力为：。 A:σ max =(M y 2+M z 2)1/2/W B：σ max =M y /W y +M Z /W Z C：σ max =P 1 /A+P 2 /A D：σ max =P 1 /W y +P 2 /W z 7、塑性材料制成的圆截面杆件上承受轴向拉力、弯矩和扭矩的联合作用，其强度条件是。 A：σ r3 =N/A+M/W≤|σ| B:σ r3 =N/A+(M2+T2)1/2/W≤|σ| C:σ r3 =[(N/A+M/W)2+(T/W)2]1/2≤|σ| D:σ r3 =[(N/A)2+(M/W)2+(T/W)2]1/2≤|σ| 8、方形截面等直杆，抗弯模量为W，承受弯矩M，扭矩T，A点处正应力为σ，剪应力为τ，材料为普通碳钢，其强度条件为：。 A：σ≤|σ|，τ≤|τ| ； B: (M2+T2)1/2/W≤|σ| ； C：(M2+0.75T2)1/2/W≤|σ|； D：(σ2+4τ2)1/2≤|σ| ； 9、圆轴受力如图。该轴的变形为： A：AC段发生扭转变形，CB段发生弯曲变形 B：AC段发生扭转变形，CB段发生弯扭组合变形 C：AC段发生弯扭组合变形，CB段发生弯曲变形
习题1热变形参考答案
一、基本概念 恒载荷蠕变：拉伸时，作用在样品上的载荷恒定不变，即拉伸力保持不变的变形过程。 恒应力蠕变：拉伸时，塑性变形后，截面不断减小，但作用在样品上的应力恒定，载荷在一直变化的变形过程。 恒应变速率变形：在拉伸试验过程中，样品的变形速率保持恒定（此时要保证夹头速率不断增加）。 恒拉伸速度变形：在拉伸试验过程中，样品的拉伸速率保持恒定，即夹头移动速率恒定（应变速率是减小的）。 变形速度激活能：金属发生塑性变形时，是一个热激活的过程，在此过程中金属原子发生剧烈的热运动，这需要原子跨越一个能量“门槛值”而需要的能量就称为变形激活能 时效成形：时效成形是将零件成形和人工时效处理相结合的新型成形工艺.它能够改善合金的微观组织,提高材料强度,降低残余内应力水平,增强耐应力腐蚀能力,延长零件使用寿命。 应变硬化：常温下钢经过塑性变形后，内部组织将发生变化，晶粒沿着变形最大的方向被拉长，晶格被扭曲，从而提高了材料的抗变形能力。这种现象称为应变硬化或加工硬化。 应变速率硬化：当应变速率提高后，材料的屈服强度及拉伸极限强度都会增加。 二、问答 1. 请论述多晶体热变形激活能的理论意义，并介绍其在控制应力的蠕变变形实验中的测试方法。 答：变形激活能反应材料热变形的难易程度，也是材料在热变形过程中重要的力学性能参数。通过对激活能值的分析可以推断回复机制，激活能控制塑性变形速率,动态回复和动态在结晶，激活能Q 越大，变形速率越小，材料越难变形，高温塑性变形的显著特点就是变形速 度受热激活过程控制，即遵从Arrhenius 方程： )(e x p ..)(e x p ),(..0 0RT Q RT Q y -=-=εεσεε 1等温法： 采用将多个样品在相同应力和不同温度条件下蠕变，测量蠕变曲线在亚稳态阶段的斜率，表示成)l og(?ε和1/T 的函数关系的形式，并将结果表示在)l og(?ε和1/T 坐标上，和实验点吻合最好的直线的斜率即为Q 值 。 2时间补偿法：在蠕变稳态阶段 )()e x p()e x p()e x p(......00000θεεεεεεf RT Q t d t RT Q d t RT Q t t =??????-=-==-=?? )exp(RT Q t -=θ 可见若将ε 表示为补偿时间θ的函数，则不同温度和相同应力条件下得到的蠕变曲线相互重合，求以此来求Q 值。也可将不同温度下达到给定变形ε所需时间的对数表示成 1/T 的函数，所得直线的斜率即Q 值。 3变温法：
《材料力学》第8章 组合变形及连接部分的计算 习题解
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为 m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核 )/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =?== （正y 方向↓） )/(15.0230sin 0m kN q q z =?== （负z 方向←） )(464.34732.181 8122m kN l q M y zmaz ?=??== 出现在跨中截面 )(24181 8122m kN l q M z ymaz ?=??== 出现在跨中截面 )(51200016012061 61322mm bh W z =??== )(3840001201606 1 61322mm hb W y =??== 最大拉应力出现在左下角点上： y y z z W M W M max max max + = σ MPa mm mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33 636max =??+??=σ 因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ< 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 （2）刚度校核 =
材料力学习题组合变形
组合变形 基 本 概 念 题 一、选择题 1. 偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到 形心的距离e 和中性轴到形心距离d 之间的关系是（ ）。 A ．e = d B ．e ＞d C ．e 越小，d 越大 D ．e 越大，d 越小 2.三种受压杆件如图所示，设 杆1、杆2和杆3中的最大压应力(绝 对值)分别用1max σ、2max σ、 3max σ表示，则（ ）。 A ．1max σ=2max σ=3max σ B ．1max σ＞2max σ=3max σ C ．2max σ＞1max σ=3max σ D ．2max σ＜1max σ=3max σ 题2图 3.在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的（ ）。 A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 题3图 题4图 4. 铸铁杆件受力如图4所示，危险点的位置是（ ）。 A ．①点 B ．②点 C ．⑧点 D ．④点 5. 图示正方形截面直柱，受纵向力P 的压缩作用。则当P 力作用点由A 点移至B 点时柱内最大压应力的比值()max A σ﹕()max B σ为( )。 A ．1﹕2 B ．2﹕5 C ．4﹕7 D ．5﹕2 6. 图示矩形截面偏心受压杆件发生的变形为（ ）。 A ．轴向压缩和平面弯曲组合 B ．轴向压缩，平面弯曲和扭转组合 C ．轴向压缩，斜弯曲和扭转组合 D ．轴向压缩和斜弯曲组合 -41-
题5图 题6图 7. 图所示悬臂梁的横截面为等边角钢，外力P 垂直于梁轴，其作用线与形心轴 y 垂直，那么该梁所发生的变形是（ ）。 A ．平面弯曲 B ．扭转和斜弯曲 C ．斜弯曲 D ．两个相互垂直平面(xoy 平面和xoz 平面)内的平面弯曲 题7图 8. 图示正方形截面杆受弯扭组合变形，在进行强度计算时，其任一截面的危 险点位置有四种答案，正确的是( )。 A ．截面形心 B ．竖边中点A 点 C ．横边中点B 点 D ．横截面的角点D 点 题8图 题9图 9. 图示正方形截面钢杆，受弯扭组合作用，若已知危险截面上弯矩为M ，扭 矩为T ，截面上A 点具有最大弯曲正应力σ和最大剪应力τ，其抗弯截面模量为W 。关于A 点的强度条件是（ ）。 A ．σ≤[σ]，τ≤[τ] B ．W T M 2122)(+≤[σ] C ．W T M 2122)75.0(+≤[σ] D ．2122)3(τσ+≤[σ] 10. 折杆危险截面上危险点的应力状态是图中的（ ）。 -42-
热变形温度测定
热变形温度测定 实验目的 了解高分子材料弯曲负载热变形温度测定的基本原理。 掌握高分子材料弯曲负载热变形温度的测定方法。 实验原理 测定高分子材料试样浸在一种等速升温的合适液体传热介质中，在简支梁式的弯曲负载作用下，试样弯曲变形达到规定值时的温度，即弯曲负载热变形温度。 液体传热介质在试验过程中与试样相容性好，即不造成溶胀、软化、开裂等影响的液体。通常选用硅油比较合适。温度计及形变测定仪应定期进行校正。 热变形温度适用于控制质量和作为鉴定新材料热性能的一个指标，不代表使用温度。 本方法适用于在常温下是硬质的模塑材料和板材。 实验主要原材料及设备 实验原料PS 666D 样条尺寸 长：120mm 宽：10mm 高：15mm 实验仪器 RW-3塑料热变形温度测试仪 由架、负荷压头、硅码、中点形变测定 仪、温度计及可程序升温的保温浴槽组成，其 基本结构如图所示。 实验条件 在试样高度变化时相对应形变量的变化表中查出本实验的相对变形量为0.21mm 应加砝码质量由下式计算： W=2σbh 3l—R—T W:砝码质量,g σ:试样最大弯曲正应力，N b：试样宽度,mm h：试样高度,mm l：两支座中心距离,mm R：负载杆、压头质量,g T：变形测量的附加力，N 计算的砝码质量为2626g 选择A+C+D三个砝码 实验步骤 1.测量试样中心附近的高度h 和宽度b 精确至0 ．05mm 。 2.把试样对称地放在试样支座上，高度方向(h ＝15mm ) 必须垂直放置，拧紧负载杆和压头的固定螺钉，压头对正试样中心。 3.插入温度计，使水银球在试样中心点附近约3mm 以内、但不能触及试样或压头。 4.把装好试样的支架小心放入保温液槽内，试样应在距液面35mm 以下。加上砝码，
第八章组合变形构建的强度习题答案_百度文库.
- 1 - 第八章组合变形构件的强度习题答案 一、填空题 1、组合 二、计算题 1、解：317888010157.610(N m m 4M =???=??3 36 78810141.8410(N m m 2 T =? ?=?? 3 3 80 0.10.1r d d
σ = = ≤ 解得 d ≥30mm 2 、解：(1 轴的计算简图 画出铰车梁的内力图： 险截面在梁中间截面左侧, P T P M 18. 02. 0max
== (2 强度计算第三强度理论:( ([]σπσ ≤+= += 2 2 3 2 2 3 18. 02. 032 P P d W T M Z r [] (
( ( ( mm m d 5. 320325. 010 118. 01012. 010 8032 10 118. 01012. 032 3 2 3 2 3 6 3 2 3 2
3 ==??+????= ??+??≥ πσπ 所以绞车的轴的最小直径为32.5mm 。 3、解： - 2 - m kN 8. 1? m kN 2. 4? （1）外力分析，将作用在胶带轮上的胶带拉力F 1、F 2向轴线简化，结果如图b ．传动轴受竖向主动力： kN 1436521=++=++=F F G F ，此力使轴在竖向平面内弯曲。附加力偶为： ((m kN 8. 16. 03621?=?-=-=R F F M e ，此外力偶使轴发生变形。 故此轴属于弯扭组合变形。（2）内力分析 分别画出轴的扭矩图和弯矩图如图（c ）、（d ）危险截面上的弯矩m kN 2. 4?=M ，扭矩m kN 8. 1?=T （3）强度校核
小学奥数——三角形的等积变形附答案
小学奥数三角形的等积变形 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系． 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． ，它们所对的顶 点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等． 同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等． 例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D 是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据． 例1 用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC 等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积． 例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4． DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4． 当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．
工程力学A参考习题之组合变形解题指导
组合变形 1试分别求出图示不等截面杆的绝对值最大的正应力，并作比较。 解题思路： （1）图（a ）下部属偏心压缩，按式（12-5）计算其绝对值最大的正应力，要正确计算式中 的弯曲截面系数； （2）图（b ）是轴向压缩，按式（8-1）计算其最大正应力值； （3）图（a ）中部属偏心压缩，按式（12-5）计算其绝对值最大的正应力，要正确计算式中 的弯曲截面系数。 答案：2a 34)(a F =σ，2 b )(a F =σ，2 c 8)(a F =σ 2某厂房一矩形截面的柱子受轴向压力1F 和偏心荷载2F 作用。已知kN 1001=F ， kN 452=F ，偏心距mm 200=e ，截面尺寸mm 300,mm 180==h b 。 （1）求柱内的最大拉、压应力；（2）如要求截面内不出现拉应力，且截面尺寸b 保持不变，此时h 应为多少？柱内的最大压应力为多大？ 解题思路： （1）立柱发生偏心压缩变形（压弯组合变形）； （2）计算立柱I-I 截面上的内力（轴力和弯矩）； （3）按式（12-5）计算立柱截面上的最大拉应力和最大压应力，要正确计算式中的弯曲截 面系数；
（4）将b 视为未知数，令立柱截面上的最大拉应力等于零，求解b 并计算此时的最大压应 力。 答案：（1）MPa 648.0max t =σ，MPa 018.6max c =σ （2）cm 2.37=h ，MPa 33.4max c =σ 3旋转式起重机由工字钢梁AB 及拉杆BC 组成，A 、B 、C 三处均可简化为铰链约束。起重 荷载kN 22P =F ，m 2=l 。已知MPa 100][=σ，试选择AB 梁的工字钢型号。 解题思路： （1）起重荷载移动到AB 跨中时是最不利情况； （2）研究AB 梁，求BC 杆的受力和A 支座的约束力。AB 梁发生压弯组合变形； （3）分析内力（轴力和弯矩），确定危险截面； （4）先按弯曲正应力强度条件（12-27）设计截面，选择AB 梁的工字钢型号； （5）再按式（10-2）计算危险截面的最大应力值，作强度校核。 答案：选16.No 工字钢 4图示圆截面悬臂梁中，集中力P1F 和P 2F 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内，并且垂直 于梁的轴线。已知N 800P1=F ，kN 6.1P2=F ，m 1=l ，许用应力MPa 160][=σ，试确定截面直径d 。 解题思路： （1）圆截面悬臂梁发生在两个互相垂直平面上的平面弯曲的组合变形； （2）分析弯矩y M 和z M ，确定危险截面及计算危险截面上的y M 和z M 值； （3）由式（10-15）计算危险截面的总弯矩值； （4）按弯曲正应力强度条件（12-27）设计截面，确定悬臂梁截面直径d 。 答案：mm 5.59≥d 5功率kW 8.8=P 的电动机轴以转速min /r 800=n 转动，胶带传动轮的直径mm 250=D
等积变形(附答案)之令狐文艳创作
三角形的等积变形 令狐文艳 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系． 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等． 同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底 都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个 三角形的面积相等． 例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都 是BC)，△ABC的高是△DBC高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重 要依据． 例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、 连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC 等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积． 例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4． DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4． 当然本题还有许多种其他分法，同学们可以 自己寻找解决．
精选题10组合变形
组合变形 1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e 和中性轴到形心的距离d 之间的关系有四种答案： (A) e d =； (B) e d >； (C) e 越小，d 越大； (D) e 越大，d 越大。 答：C 2. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和 max 3σ，现有下列四种答案： (A)max1max 2max 3σσσ==； (B)max1max 2max 3σσσ>=； (C)max 2max1max 3σσσ>=； (D)max1max3σσσ<=max2。 答：C 3. 重合）。立柱受沿图示a-a (A)斜弯曲与轴向压缩的组合； (B)平面弯曲与轴向压缩的组合； (C)斜弯曲； (D)平面弯曲。 答：B 4. (A) A 点； (B) B 点； (C) C 点； (D) D 点。 答：C 5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为/2h 的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处最大正应力将是不开口杆的 倍： (A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。 答：C
6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和max 3σ，现有下列四种答案： (A)max1max 2max3σσσ<<； (B)max1max 2max3σσσ<=； (C)max1max3max 2σσσ<<； (D)max1max 3max 2σσσ=<。 答：C 7. 正方形等截面立柱，受纵向压力F 移至B 时，柱内最大压应力的比值max max A B σ σ(A) 1:2； (B) 2:5； (C) 4:7； (D) 5:2。 答：C 8. 图示矩形截面偏心受压杆，其变形有下列四种答案：(A)轴向压缩和平面弯曲的组合； (B)轴向压缩、平面弯曲和扭转的组合； (C)缩和斜弯曲的组合； (D)轴向压缩、斜弯曲和扭转的组合。 答：C 9. 矩形截面梁的高度100mm h =，跨度1m l =。梁中点承受集中力F ，两端受力130kN F =，三力均作用在纵向对称面内，40mm a =。若跨中横截面的最大正应力与最 小正应力之比为5/3。试求F 值。 解：偏心距10mm 2 h e a =-= 跨中截面轴力 N 1F F = 跨中截面弯矩max 14Fl M Fe = -（正弯矩），或 max 14 Fl M Fe =- （负弯矩）
中文ASTM D 648塑料热变形温度
ASTM D 648-07 塑料侧立式弯曲负荷下变形温度的标准测试方法 1 范围 1.1本试验方法适用于测试在特定的条件下试样发生特定变形时的温度。 1.2 本试验方法适用于测试在常温下刚性或者半刚性的，厚度在3mm[1/8in]或以上的模具成型或者薄片的试样。 注1：薄片厚度少于3mm [0.125in]但大于1mm [0.040in]可以用几片薄片复合试样来测试，但最小厚度为3mm。一种制备复合试样的方式是用砂纸把薄片的面打磨平，用胶水粘合。施加载荷的方向需垂直于每个薄片的边缘。 1.3 在SI的单位的评估值将视为标准。给定值仅提供一些信息。 1.4 本标准无意涉及所有使用过程中的安全问题。本标准是帮助用户建立适当的安全标准和卫生管理办法，并且在规定的期限内使用。 注2：这个测试方法描述为本测试办法的B方法，在技术上，方法Ae和Be分别与ISO 75-1 和ISO 75-2，1993，等价。 2 参考文献 2.1 ASTM标准D 618 测试用塑料调质实施规范。 D 883 塑料相关术语。 D 1898 塑料抽样实施规范。 D 5947 固体塑料试样外形尺寸测试方法。 E1 在液体中的玻璃温度计ASTM说明。 E77 温度计的检查和检验测试方法。 E608/E608M 矿物隔热，金属屏蔽的基体金属热电偶。 E691 为测定试验方法精密度开展的实验室间研究的实施规范。 E1137/E1137M 工业用铂阻尼式温度计。 2.2 ISO标准ISO 75-1 塑料-负荷变形温度的测定-第1部分：通用试验方法。 ISO 75-2 塑料-负荷变形温度的测定-第2部分：塑料和硬橡胶。 2.3 NIST文件NBS特别出版250-22。 3 术语 3.1 通常-本测试方法定义的塑料是跟D 883 中标准一样，除非另外说明。 4 检测方法简介 4.1 将矩形截面的试样按侧立式方式，放在载荷作用在中间的简支梁上，载荷的最大压力为0.455Mpa [66psi] 或1.82Mpa [264psi]（注3）。将试样在有载荷的作用下，浸入升温速度为2 士0.2℃/min的传热介质中。测试试样的变形量为0.25mm [0.010in]时介质的温度。记录下试样在弯曲载荷作用下的温度作为变形温度。
组合变形 习题及答案
组合变形 一、判断题 1.斜弯曲区别与平面弯曲的基本特征是斜弯曲问题中荷载是沿斜向作用的。( ) 2.斜弯曲时，横截面的中性轴是通过截面形心的一条直线。( ) 3.梁发生斜弯曲变形时，挠曲线不在外力作用面内。( ) 4.正方形杆受力如图1所示，A点的正应力为拉应力。( ) 图 1 5. 上图中，梁的最大拉应力发生在B点。( ) 6. 图2所示简支斜梁，在C处承受铅垂力F的作用，该梁的AC段发生压弯组合变形，CB段发生弯曲变形。( ) 图 2 7.拉（压）与弯曲组合变形中，若不计横截面上的剪力则各点的应力状态为单轴应力。( ) 8.工字形截面梁在图3所示荷载作用下，截面m--m上的正应力如图3（C）所示。( )
图 3 9. 矩形截面的截面核心形状是矩形。( ) 10.截面核心与截面的形状与尺寸及外力的大小有关。( ) 11.杆件受偏心压缩时，外力作用点离横截面的形心越近，其中性轴离横截面的形心越远。( ) 12.计算组合变形的基本原理是叠加原理。（） 二、选择题 1.截面核心的形状与（）有关。 A、外力的大小 B、构件的受力情况 C、构件的截面形状 D、截面的形心 2.圆截面梁受力如图4所示，此梁发生弯曲是（） 图 4 A、斜弯曲 B、纯弯曲 C、弯扭组合 D、平面弯曲 三、计算题 1.矩形截面悬臂梁受力F1=F，F2=2F，截面宽为b，高h=2b，试计算梁内的最大拉应力，并在图中指明它的位置。
图 5 2.图6所示简支梁AB上受力F=20KN，跨度L=2.5m，横截面为矩形，其高h=100mm,宽b=60mm，若已知α=30°，材料的许用应力[σ]=80Mpa,试校核梁的强度。 3.如图7所示挡土墙，承受土压力F=30KN，墙高H=3m，厚0.75m，许用压应力[σ]ˉ=1 Mpa，许用拉应力[σ]﹢=0.1 Mpa，墙的单位体积重量为 ，试校核挡土墙的强度。 图 6 图 7 4.一圆直杆受偏心压力作用，其偏心矩e=20mm,杆的直径d=70mm,许用应力[σ]=120Mpa,试求此杆容许承受的偏心压力F之值。 5.如图8所示,短柱横截面为2a×2a的正方形,若在短柱中间开一槽,槽深为a,问最大应力将比不开槽时增大几倍?
材料力学组合变形习题
材料力学组合变形习题
L 1AL101ADB （3） 偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点 到形心之距离ｅ和中性轴到形心距离ｄ之间的关系有四种答案： （A ） ｅ＝ｄ； （B ） ｅ＞ｄ； （C ） ｅ越小，ｄ越大； （D ） ｅ越大，ｄ越小。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1BL102ADB （3） 三种受压杆件如图。设杆１、杆２和杆３中的最大压应力（绝对值）分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，现有下列四种答案： （A ）max1σ＝max 2σ＝max3σ； （B ）max1σ＞max 2σ＝max3σ； （C ）max 2σ＞max1σ＝max3σ； （D ）max 2σ＜max1σ＝max3σ。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1BL103ADD （1） 在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现有四种答案： （A ）Ａ点； （B ）Ｂ点； （C ）Ｃ点； （D ）Ｄ点。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ）
（A ）max1σ＜max 2σ＜max3σ； （B ）max1σ＜max 2σ＝max3σ； （C ）max1σ＜max3σ＜max 2σ； （D ）max1σ＝max3σ＜max 2σ。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1AL108ADB （3） 图示正方形截面直柱，受纵向力Ｆ的压缩作用。则当Ｆ力作用点由Ａ点移至Ｂ点 时柱内最大压应力的比值()max A σ／()max B σ有四种答案： （A ）１：２； （B ）２：５； （C ）４：７； （D ）５：２。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1AL109ADC （2） 一空间折杆受力如图所示，则ＡＢ杆的变形有四种答案： （A ）偏心拉伸； （B ）纵横弯曲； （C ）弯扭组合； （D ）拉、弯、扭组合。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。
塑料热变形温度测试实验
塑料热变形温度测试实验 一、实验目的 1.掌握塑料热变形温度的测试原理和测试方法； 2.测定热塑性塑料的热变形温度。 二、实验原理 负荷热变形温度是衡量塑料耐热性的主要指标之一，现在世界各国的大部分塑料产品的标准中，都有负荷变形温度这一产品质量控制指标。塑料热变形温度测定的是在规定的载荷大小、施力方式、升温速度下到达规定的变形值的温度，它不是材料的最高使用温度。 1.仪器 图1 负荷变形温度测定典型设备 负荷热变形温度侧定仪由试样支架、负荷压头、砝码、中点形变测定仪、温度计及能恒速升温的加热浴箱组成，其基本结构如图1所示。试样支架两支点的距离即跨度，通常为100±2mm，负荷压头位于支架的中央，支架及负荷压头与试样接触的部位是半径 3.0mm±0.2mm的圆角。加热浴箱中的液体热介质，应选取在试验过程中对试样不造成溶胀、软化、开裂等影响的液体，对于大部分塑料，选用硅油较合适。温度计及形变测定仪应定期进行校正。 2.试样
试样为一矩形样条，可采用两种放置方式：平放式和侧立式。对于平放试验，要求使用尺寸为80mm ×10mm ×4mm 的试样，对侧立试样没有严格的规定。使用80mm ×10mm ×4mm 的ISO 样条具有以下优点：试样的热膨胀对试验结果的影响较小；斜角不会影响试验结果，不会以侧棱为底立住试样；可以更严格地规定模塑参数和试样尺寸。平放方式是实验优选。实验跨度设定为：平放64±1mm ，侧立100±2mm 。 3. 测定 这个试验方法的最大特点是试样尺寸可以在一定范围内变化，因此在侧定之前，先要精确侧量试样的尺寸，再根据试样实际的尺寸计算出负荷力的大小，计算公式为： 2 23bd F L σ= 式1 式中：F ——负荷，N ； σ——试样表面承受的弯曲正应力，MPa ； b ——试样宽度，mm ； d ——实验厚度，mm ； L ——支座间距离（跨度），mm 。 施加的弯曲正应力σ应为下列三者之一：1.80MPa （A 法），0.45MPa （B 法），8.00MPa （C 法）。测量b 和d 时，应精确到0.1mm ；测量L 时，应精确到0.5mm 。根据计算出来的负荷力，调节试样的负荷，实验设备中的负载杆及变形测量装置的附加力都应计入总负荷之中。因此，应加砝码重量W ： 12/W F g m m =-- 式2 式中：W ——应加砝码重量，g ； F ——由式1计算所得的负荷力，N ； g ——重力加速度，9.8N/g ； m 1——负载杆、压头和托盘等的质量，g ； m 2——变形测量装置的附加重量，g 。 其后按规定进行升温，当试样中点的变形量达到规定值时，选取的温度即为
组合变形习题及参考答案
组合变形 、判断题 1?斜弯曲区别与平面弯曲的基本特征是斜弯曲问题中荷载是沿斜向作用的。() 2.斜弯曲时，横截面的中性轴是通过截面形心的一条直线。() 3.梁发生斜弯曲变形时，挠曲线不在外力作用面内。() 4?正方形杆受力如图1所示，A点的正应力为拉应力。() 5.上图中，梁的最大拉应力发生在B点。() 6.图2所示简支斜梁，在C处承受铅垂力F的作用，该梁的AC段发生压弯组合变形，CB段发生弯曲变形。() 7.拉(压)与弯曲组合变形中，若不计横截面上的剪力则各点的应力状态为单轴应力。() 8.工字形截面梁在图3所示荷载作用下，截面m--m上的正应力如图3 (C)所示。
() 4
图3 9. 矩形截面的截面核心形状是矩形。() 10. 截面核心与截面的形 状与尺寸及外力的大小有关。 () 11?杆件受偏心压缩时，外力作用点离横截面的形心越近，其中性轴离横截面的 形心越远。() 12.计算组合变形的基本原理是叠加原理。() 二、选择题 1.截面核心的形状与()有关。 A 、外力的大小B 、构件的受力情况 C 、构件的截面形状 D 、截面的形心 2?圆截面梁受力如图4所示，此梁发生弯曲是() A 、 斜弯曲 B 、 纯弯曲 C 、弯扭组合 ⑹ ⑹ 血
D、平面弯曲 三、计算题 1?矩形截面悬臂梁受力F仁F, F2=2F,截面宽为b,高h=2b，试计算梁内的最大拉应力，并在图中指明它的位置。 2?图6所示简支梁AB上受力F=20KN跨度L=2.5m,横截面为矩形，其高h=100mm, 宽b=60mm,若已知a =30；材料的许用应力[c]=80Mp试校核梁的强度。 3.如图7所示挡土墙，承受土压力F=30KN墙高H=3m,厚0.75m，许用压应力 [c] - =1 MP许用拉应力[丹二Mpa,墙的单位体积重量为m问沪,试校核挡土墙的强度。 4
小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
小学数学《三角形的等积变形》练习题（含答案） 内容概述 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等． ②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． ③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ?和BCD ?夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ??=；反之，如果 BCD ACD S S ??=，则可知直线AB 平行于CD 。 例题精讲 【例1】 如右图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线长。 ① 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ② 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 【例2】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ， AD=12厘米，DE=3厘米。 ① 求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？ A C D B
小学奥数几何篇 五大模型——等积变换和共角定理(附答案)
等积变换与共角定理 我们的目标:掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型 （1）等底等高的两个三角形面积相等； （2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图1 2 : :S S a b （3）两个三角形底相等，面积比等于高之比； 在一组平行线之间的等积变形，如右图； S△ACD=S△BCD； 共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如下两图
例1. 如图三角形ABC的面积为1，其中AE＝３AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？ 例2. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。 例3.如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△ OAB、△ABC、△BCD、△CDE 、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于 例4.E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3.求阴影部分的面积
例5.如图，已知CD=5，ＤＥ＝７，ＥＦ＝１５，ＦＧ＝６，线段ＡＢ将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分是６５，那么三角形ＡＤＧ的面积是 例６. 如图，正方形的边长为１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为５，那么阴影部分的面积是 ＝ 例７. 已知正方形的边长为１０，ＥＣ＝３，ＢＦ＝２，则Ｓ 四边形ＡＢＣＤ
例8．如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2BC，DG=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。 例9. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积