2007年高考.福建卷.文科数学试题及解答
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建）
数学（文史类）
第I 卷 （选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U =|1,2,3,4,5|,且A ＝{2,3,4},B ={1,2},则?A （C U ）等于
A.{2}
B.{5}
C.{3,4}
D.{2,3,4,5}
(2)等比数列{a n }中，a 4=4,则a 2·a 6等于
A.4
B.8
C.16
D.32
(3)sin15°+cos75°+cos15°sin105°等于 A.0 B. 21
C.23
D.1
（4）“|x |<2”是“x 2-x -6<0”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（5）函数y =sin(2x +
3π)的图象 A.关于点（3π，0）对称 B.关于直线x =4
π对称 C.关于点（4
π，0）对称 D.关于直线x =3π对称
（6）如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为
AA 1、AB 、BB 1、BC 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
（7）已知f (x )为R 上的减函数，则满足)1()1(f x f >的实数x 的
取值范围是
A.（-∞，1）
B.（1，+∞）
C.（-∞，0）?（0，1）
D.（-∞，0）?（1，+∞）
（8）对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是
A.若a ·b ＝0，则a =0或b =0
B.若λa =0,则λ＝0或a =0
C.若a 2=b 2,则a =b 或a =-b
D.若a -b =a ·c ，则b =c
(9)已知m,n 为两条不同的直线，βα、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A.m n m ,,α?α?∥β，n ∥β? α∥β
B.α∥β，α?α?n m ,，?m ∥n
C.m ⊥α，m ⊥n ?n ∥α
D .n ∥m,n ⊥α?m ⊥α
(10)以双曲线x 2-y 2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是
A.x 2+y 2-4x -3=0
B.x 2+y 2-4x +3=0
C.x 2+y 2+4x -5=0
D.x 2+y 2+4x +5=0
(11)已知对任意实数x,有f （-x ）=-f (x )，g (-x )=g (x ),且x >0时f ’(x )>0,g ’ (x ) >0,则x <0时
A.f ’(x )>0,g ’(x )>0
B.f ’(x )>0,g ’(x )<0
C.f ’(x )<0,g ’(x )<0
D.f ’ (x )<0,g ’(x )<0
(12)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7” 的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为
A.2000
B.4096
C.5904
D.8320
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
（13）（x 2+
x
1）6的展开式中常数项是 .（用数字作答） （14）已知实数x 、y 满足?????≤≤≤-≥+,30,2,2y y x y x 则z =2x -y 的取值范围是 .
（15）已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 。
（16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意a ∈A ,都有a -a ;
(2)对称性：对于a ,b ∈A ，若a -b ,则有b -a;
(3)传递性：对于a ,b ,c ∈A ,若a -b ,b -c ,则有a -c .
则称“-”是集合A 的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系： .
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，tan A =
41,tan B =5
3. (I)求角C 的大小;
(II)若AB 边的长为17，求BC 边的长
（18）（本小题满分12分）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（I ）甲试跳三次，第三次才能成功的概率;
(II)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;
(III)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.
（19）（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点.
(I)求证：AB 1⊥平面A 1BD ;
(II)求二面角A -A 1D -B 的大小.
(20)（本小题满分12分）设函数f (x )=tx 2+2t 2x +t -1(x ∈R,t >0).
(I)求f (x )的最小值h (t );
(II)若h (t )<-2t +m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围.
（21）（本小题满分12分）数列{a n }的前N 项和为S n ,a 1=1,a n +1=2S n (n ∈N*).
(I)求数列{a n }的通项a n ;
(II)求数列｛na n ｝的前n 项和T .
(22)（本小题满分14分）如图，已知点F （1，0），直线l :x =-1,P 为平面上的动点，过P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且 OP ·FQ FP OF ·＝
（I ）求动点P 的轨迹C 的方程;
（II ）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M .
（1）已知2121λ+λλλ，求＝，＝BF MB AF MA 的值;
(2)求|MA |·|MB |的最小值.
数学试题（文史类）参考答案
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分.
（1）C （2）C (3)D （4）A （5）A （6）B
（7）D (8)B （9）D （10）B （11）B （12）C
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
（13）15 （14）[-5,7] (15)2
1 (16)答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理知运算能力.满分12分.
解：（I ）∵C ＝π-(A +B ),
∴tan C =-tan(A +B )=，＝15
3·4115341--+ 又∵0 ∴C=4 3π (II)由??? ????=+==,1cos sin ,41cos sin tan 22A A A A 且A ∈（0，2π）， 得sinA=.17 17 ∵,sin sin A BC C AB = ∴BC ＝AB ·2sin sin =C A . （18）本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力.满分12分. 解:记“甲第i 次试跳成功”为事件A 1，“乙第i 次试跳成功”为事件B 1. 依题意得P （A 1）＝0.7，P （B 1）＝0.6，且A 1B 1（i =1,2,3）相互独立. (I)“甲第三次试跳才成功”为事件21A A A 3，且三次试跳相互独立， ∴P （21A A A 3）＝P （1A ）P )()(32A P A =0.3×0.3×0.7=0.063. 答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063. (II)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C ， 解法一：C ＝A 111111111111B A B A B A B A B A B 、、，且++彼此互斥， ∴P （C ））（）（）（＝111111···B A P B A P B A P ++ ＝）（）（）（）（）（）（111111B P A P B P A P B P A P ++ ＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6 = 0.88. 解法二：P （C ）＝1-）（）（11·B P A P ＝1-0.3×0.4=0.88. 答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88. （III ）设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件M i （i =0,1,2）, “乙在两次试跳中成功i 次”为事件N i (i =0,1,2), ∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M 1N 0+M 2N 1,且M 1N 0、M 2N 1为互斥事件. ∴所求的概率为 ）（）（）＝（12011201N M P N M P N M N M P ++ )()(1201N P M P N P M P +）（）（＝ ＝ C 12×0.7×0.3×0.42+0.72×C 12×0.6×0.4 =0.0672+0.2352 =0.3024. 答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024. (19)本小题主要考查直线与平面的位置关系，三面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 解法一：（I ）取BC 中点O ，连结AO . ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC . ∵正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1, ∴AO ⊥平面BCC 1B 1, 连结B 1O ，在正方形BB 1C 1C 中,O 、D 分别为BC 、CC 1的中点， ∴B 1O ⊥BD , ∴AB 1⊥BD. 在正方形ABB 1A 1中，AB 1⊥A 1B ， ∴AB 1⊥平面A 1BD . (II)设AB 1与A 1B 交于点C ，在平面A 1BD 中，作GF ⊥A 1D 于F ，连结AF ，由（I ）得AB 1⊥平面A 1BD ， ∴∠AFG 为二面A -A 1B -B 的平面角. 在△AA 1D 中，由等面积法可求得AF ＝5 54， 又∵AG ＝ 12 1AB =2, ∴sin ∠AFG =4105 542==AF AG , 所以二面角A -A 1D -B 的大小为arcsin 4 10. 解法二：（I ）取BC 中点O ，连结AO . ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC . ∵正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， ∴AO ⊥平面BCC 1B 1. 取B 1C 1中点O 1，以a 为原点，OO 1的方向为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B （1,0,0）,D (-1,1,0),A 1(0,2,3),A (0,0,3),B 1(1,2,0), ∴)3,2,1 (),0,1,2(),3,2,1(11-=-=-BA AB ∵，＝03 41·,0022·111-+-=++-AB AB ∴1AB ⊥1AB ⊥1BA , ∴AB 1⊥平面A 1BD . (II)设平面A 1AD 的法向量为n =(x ,y ,z ). ).0,2,0(),3,1,1(1=--AA ∵n ⊥n ,⊥1AA , ∴???，，0·0·1AA n AD n ∵? ??==-+-,02,03y y x ∴???-==z x y 3,0 令z =1得a =(-3,0,1)为平面A 1AD 的一个法向量. 由（I ）知AB 1⊥A 1BD . ∴1AB 为平面A 1BD 的法向量. cos =22·23 3--=-4 6. ∴二面角A -A 1D -B 的大小为arccos 4 6. (20)本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.满分12分. 解：（I ）∵1)()(32-+-+=t t t x t x f （0,>∈t R x ）， ∴当x =-t 时，f (x )取最小值f (-t )=-t 2+t -1, 即h (t )=-t 3+t -1. (II)令g (t )=h (t )-(-2t +m )=-t 3+3t -1-m , 由g ’(t )=-3t 2+3=0得t =1,t =-1（不合题意，舍去）. T (0,1) 1 (1,2) g ’(t ) + 0 - g (t ) 递增 极大值1-m 递减 ∴g (t )在（0，2）内有最大值g (1)=1-m h (t )<-2t+m 在（0，2）内恒成立等价于g (t )<0在（0，2）内恒成立， 即等价于1-m <0 所以m 的取值范围为m >1 (21)本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及归的数学思想方法，以及推理和运算能力.满分12分. 解：（I ）∵a n +1=2S n ,, ∴S n+1-S n =2S n , ∴n n S S 1+=3. 又∵S 1＝a 1=1, ∴数列｛S n ｝是首项为1、公比为3的等比数列，S n =3n-1(n ∈N*). ∴当n ≥2时，a n -2S n -1=2·3n -2(n ≥2), ∴a n =.2,3·211 2≥?????=-n n n ， (II)T n =a 1+2a 2+3a 3+…+na n . 当n =1时，T 1=1; 当n ≥2时，Tn=1+4·30+6·31+2n ·3 n-2,…………① 3T n =3+4·31+6·32+…+2n ·3n -1,…………② ①-②得：-2T n =-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n ·3 n -1 =2+2·123·23 1313-----n n n ）（ =-1+(1-2n )·3n -1 ∴T n =21+(n -2 1)3n -1 (n ≥2). 又∵T n =a 1=1也满足上式， ∴T n = 21+(n-21)3n -1(n ∈N*) (22)本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分. 解法一：（I ）设点P （x ,y ）,则Q （-1，y ）,由FQ FP QF OP ··＝得： (x +1,0)·(2,-y )=(x -1,y )·(-2,y ),化简得C ：y 2=4x . (II)（1）设直线AB 的方程为： x =my +1(m ≠0). 设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),又M （-1,-m 2）. 联立方程组? ??+==1,42my x x y ,消去x 得： y 2-4my -4=0, △ =(-4m )2+12>0, ???-==+.4,42 121y y m y y 由2,,λ=λ=得： 2221112 ,2 y m y y m y λ-=+λ-+，整理得： 2 2112 1,21my my --=λ--=λ, ∴)1 1(222 121y y m +--λ+λ＝ =2 12 1·22y y y y m +-- =-2-44·2-m m =0. 解法二：（I ）由，＝得：＝0)(·F ·Q ·PF PQ FQ Q FP F QP + ∴)(PF PQ -·0)PF PQ (=+， ∴22PF PQ -=0, ∴.|PF ||PQ |= 所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：y 2=4x . (II)(1)由已知,0·2121<λλλλ，AF 21λ=…………① 过点A 、B 分别作准l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1, ||||11BB AA ＝＝…………② 由①②得：.0|BF ||BF |212 1＝，即＝λ+λλ- （II ）（2）解：由解法一： |MA |·|MB |＝（21m +）2|y 1-y M ||y 2-y M | =(1+m 2)|y 1y 2-y M (y 1+y 2)|+y M 2| =(1+m 2)|-4+m 2 ×4m +24 m | =)4 4)(1(22m m ++ =4(2+m 2+21m ) ≥4(2+2221 ·m m )=16. 当且仅当221 m m =，即m =±1时等号成立，所以||·| |最小值为16.