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高三阶段性检测数学试题
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分，不需要写出解答过程，请把答案写在答题卡相应位置上。
1．已知集合M={1,2,3}，集合N ＝{x ∣x =-a ，a ∈M}，则集合M N =___ ． 2．若i i i a a a ，其中52)13(2
+=-+-是虚数单位，则实数a 的值范围是 ． 3．若命题“R x ∈?，01)1(2
<+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 4．某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别是4,2,1,0,0,0,0，则这组数据的方差
=2s
． 5．函数x
y -=1)
2
1
(的值域是 ．
6．已知函数)8(1
2
cos 22cos 2sin tan 21)(2πf x x x x x f 则-+
=的值为 ． 7．右图是一个算法的流程图最后输出的=n ．
8．在平行四边形中，ABCD 已知?=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CD BC 与上运动（包括端点），则?的取值范围是 ． 9．已知 ,8
1
73cos 72cos 7cos ,4152cos 5cos ,213
cos
===
ππππππ
，根据这些结果，猜想出的一般结论是 ．
10．曲线12++=x xe y x
在点（0,1）处的切线方程为 ．
11．若c b a ,,>0，且c b a bc ac ab a ++=+++2,42
则的最小值为 ． 12．已知数列{n a }满足2
sin )2cos 1(,2,12
2
221π
πn a n a a a n n ++===+，则该数列的前和为 ．
13．设，，x
x f R x )2
1
()(=∈若不等式k x f x f ≤+)2()(对于任意的R x ∈恒成立，则实数
k 的取值范围是 ．
14．给出定义：若2
1
21+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，
记作{x }，即m x =}{.在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题：
①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是??
????2
1,0；
②函数)(x f y =的图像关于直线)(2
Z k k
x ∈=
对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；
④函数)(x f y =在???
??
?-
21,21上是增函数． 则其中真命题是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知9
7
)sin(,972cos 2
)20(=+-
=∈∈βαβππ
βπα），，（，，． （Ⅰ）求βcos 的值； （Ⅱ）求αsin 的值．
16．（本小题满分14分） 设不等式组??
?≤≤≤≤6060y x 表示的区域为A ，不等式组???≥-≤≤0
6
0y x x 表示的区域为B ，在区域A 中
任意取一点),(y x P ．
（Ⅰ）求点P 落在区域B 中概率；
（Ⅱ）若y x ,分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子向上的面所得的点数，求点P 落在区域B 中的概率．
17．（本小题满分14分）
设ABC ?的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且满足
0)2(=?+?+c c a ．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若32=b ，试求?的最小值．
18．（本小题满分16分）
经市场调查，某超市的一种小商品在过去的的日销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且日销售量近似满足t t g 280)(-=（件），价格近似满足102
1
20)(--=t t f （元）．
（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间)200(≤≤t t 的函数表达式； （Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 19．（本小题满分16分） 已知数列{}n a 中，2
1
1=
a ，点()()*+∈-N n a a n n n 12，
在直线x y =上． （Ⅰ）计算432,,a a a 的值；
（Ⅱ）令11--=+n n n a a b ，求证：数列{}n b 是等比数列；
（Ⅲ）设n n T S 、分别为数列{}{}n n b a 、的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列?
??
??
?+n T S n n λ为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
本小题满分16分） 设函数x
x
a a
x f 2
)(+
=（其中常数a >0，且a ≠1）． （Ⅰ）当10=a 时，解关于x 的方程m x f =)(（其中常数22>m ）；
（Ⅱ）若函数)(x f 在]2,(-∞上的最小值是一个与a 无关的常数，求实数a 的取值范围．
高三阶段性测试数学试题参考答案
一、填空题：
1． {}0 2． 2． 3． 13a -≤≤ 4． 2 5．（0，＋∞） 6
7． 100 8． [1
2
-
，1] 9 π2π
π1
cos
cos cos
2121
212
n n n n n =+++ 12． 2101 13． 2≥k 14． ①②③
二、解答题：
15．(本小题满分14分)
解：(Ⅰ) ∵cos 22cos 12
β
β+=
…………………………2分 =
9
12)
97(1=-+ …………………………4分 又∵(
,)2
π
βπ∈
∴cos β=3
1
-…………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知：sin β=3
22)31(1cos 122
=--=-β…………………………8分
由(0,
)2π
α∈、(,)2πβπ∈得（βα+）∈（2
3,
2π
π） cos （βα+）=-9
24)97(1)(sin 122
-=--=+-βα………………………10分
sin α=sin(βα+-β)=sin(βα+)cos β-cos(βα+)sin β…………13分 =
97×-()3
1
-)924(-×322 =3
1
…………………………14分
16．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设区域A 中任意一点P (,)x y B ∈为事件M ． 1分
因为区域A 的面积为136S =，区域B 在区域A 的面积为218S =， ····· 5分
故点P 落在区域B 中的概率181
()362
P M =
=．
·············· 7分 （Ⅱ）设点P (,)x y 在集合B 为事件N ， ················ 8分
甲、乙两人各掷一次骰子所得的点P (,)x y 的个数为36个，其中在区域B 中的点P (,)x y 有21个． ····························· 12分 故点P 落在区域B 中的概率217
()3612
P N =
=． ············· 14分 17．解：（Ⅰ）因为(2)0a c BC BA cCA CB +?+?=，
所以(2)cos cos 0a c ac B cab C ++=，
…2分
即(2)cos cos 0a c B b C ++=，则(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++= ………4分 所以2sin cos sin()0A B C B ++=，即1cos 2B =-，所以23
B π
=………………8分 （Ⅱ）因为2
2
2
22cos
3
b a
c ac π=+-，所以22
123a c ac ac =++≥，即4ac ≤ 当且仅当a c =时取等号，此时ac 最大值为4…………12分
所以AB CB ?=21
cos 232
ac ac π=-≥-，即AB CB ?的最小值为2-……………14分
18.（本小题满分16分）
18．解：（Ⅰ）1
()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2
y g t f t t t t t =?=-?--=--- …… 4分
＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).t t t t t t +-
≤≤≤ …………………… 8分
（Ⅱ）当0≤t ＜10时，y=1200102
++-t t
=1225)5(2+--t
y 的取值范围是[11225]，
在t ＝5时，y 取得最大值为1225； …………………… 10分 同理 当10≤t ≤y 的取值范围是[600，1，
在t ＝y 取得最小值为600． …………………… 14分 （答）总之，第5天，日销售额y 取得最大为1225元；
第日销售额y 取得最小为600元． …………………… 16分
19. （本小题满分16分）
解：（Ⅰ）由题意，.4
3
,12,21,221211==-==-+a a a a n a a n n ……… 2分 同理,16
35
,81143==
a a ……………………………………… 3分 （Ⅱ）因为,21n a a n n =-+
所以,2
1
1211111121--=--++=--=++++++n n n n n n a n a n a a a b ………… 5分
2
1
,211)2(1111111==--=---=--=++++++n n n n n n n n n b b b a n n a a a a b ………… 7分
又431121-=--=a a b ，所以数列{}n b 是以4
3
-为首项，21为公比的等比数列. 9分
（Ⅲ）由（2）得，
.23)21(32
11)
21
1(4
3,)21(3)21(43111-?=--?-=?-=?-=++-n n n n n n T b 又,)21(32,)21(31111n
n n n n n a n b n a ?+-=?+-=--=++所以
所以.233232
11)
211(21322)1(2n n n n n n n n S -+-=--??+-+=…………… 13分
由题意，记.,}{.1为常数只要为等差数列要使数列n n n n
n n c c c n
T S c -+=
+λ .211)233(23]23)21(3[)23323(12n
n n n n n T S c n
n n n n n -?-+-=-?+-+-=+=+λλλ ,1
21
1)233(2411
--
?-+-=--n n c n n λ 则).1
21
1211()233(211
1
----?-+=---n n c c n n n n λ…………………… 15分 故当.}{,21
,21为等差数列即数列为常数时n
T S c c n n n n λλ+=-=-………… 16分 （本小题满分16分）
解 （Ⅰ）f (x )＝210,0,103,0.10x
x
x
x x ?+????
① 当x ＜0时，f (x )＝
3
10x
＞3．因为m ＞22．则当22＜m ≤3时，方程f (x )＝m 无解； 当m ＞3，由10x
＝3m
，得x ＝lg 3m
． …………………… 1分
② 当x ≥0时，10x
≥1．由f (x )＝m 得10x
＋
210x
＝m ，∴(10x )2－m 10x
＋2＝0．
因为m ＞22，判别式?＝m 2
－8＞0，解得10x
＝
m ±m 2－8
2
． …………………… 3分
因为m ＞22，所以m ＋m 2－8
2
＞2＞1．所以由10x
＝
m ＋m 2－8
2
，解得x ＝lg
m ＋m 2－8
2
．
令
m －m 2－8
2
＝1，得m ＝3． …………………… 4分
所以当m ＞3时，
m －m 2－8
2
＝
4
m ＋m 2－8＜4
3＋32－8
＝1，
当22＜m ≤3时，
m －m 2－8
2
＝
4
m ＋m 2
－8
＞43＋32
－8
＝1，解得x ＝lg
m －m 2－8
2
．…………… 5分
综上，当m ＞3时，方程f (x )＝m 有两解x ＝lg 3
m
和x ＝lg
m ＋m 2－8
2
；
当22＜m ≤3时，方程f (x )＝m 有两解x ＝lg
m ±m 2－8
2
．…………………… 6分
(2) （Ⅰ）若0＜a ＜1，当x ＜0时，0＜f (x )＝3a x ＜3；当0≤x ≤2时，f (x )＝a x
＋2a
x ． (7)
分
令t ＝a x ，则t ∈[a 2，1]，g (t )＝t ＋2t
在[a 2
，1]上单调递减，所以当t ＝1，即x ＝0时
f (x )取得最小值为3．
当t ＝a 2
时，f (x )取得最大值为222a a +
．此时f (x )在(－∞，2]上的值域是(0，2
2
2a a +]，没有最小值．…………………………… 9分
（Ⅱ）若a ＞1，当x ＜0时，f (x )＝3a x ＞3；当0≤x ≤2时f (x )＝a x
＋2a
x ．
令t ＝a x ，g (t )＝t ＋2t
，则t ∈[1，a 2
]．
① 若a 2g (t )＝t ＋2t
在[1，a 2]上单调递减，所以当t ＝a 2
即x ＝2时f (x )取最小
值a 2
＋
2
a 2
，最小值与a 有关；…………………………… 11分
② a 2，g (t )＝t ＋2t
在[1，2]上单调递减，在[2，a 2
]上单调递增， (13)
分
所以当t ＝2即x ＝log a 2时f (x )取最小值22，最小值与a 无关．……………… 15分
综上所述，当a 时，f (x )在(－∞，2]上的最小值与a 无关．……………………… 16分