不等式的基本性质优秀教学设计
不等式的基本性质
【教学目标】
1. 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。
2. 掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。
【教学重难点】
1．应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。
2．灵活应用不等式的基本性质。
【教学过程】
一、引入：
不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢？”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢？转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么？
分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a
b 即可。怎么证呢？
二、不等式的基本性质：
1．实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0>-?>b a b a
0=-?=b a b a
0<-?
得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2．不等式的基本性质：
①、如果a>b ，那么bB ．(对称性)
②、如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ?a>C ．
③、如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ?a+c>b+C ．
推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ?a+c>b+d ．
④、如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac ⑤、如果a>b >0，那么n n b a > (n ∈N ，且n>1) ⑥、如果a>b >0，那么n n b a > (n ∈N ，且n>1)。 三、典型例题： 例1．比较)7)(3(++x x 和)6)(4(++x x 的大小。 分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。 例2．已知d c b a <>,，求证：d b c a ->-。 例3．已知a>b>0，c>d>0，求证： c b d a >。 四、课堂练习： 1：已知3>x ，比较x x 113+与662+x 的大小。 2：已知a>b>0，c 不等式及其解集 [教学目标] 1、了解不等式和一元一次不等式的概念； 2、理解不等式的解和解集，能正确表示不等式的解集。 [重点难点] 不等式、一元一次不等式、不等式的解、解集的概念是重点；不等式解集的 理解与表示是难点 一、课前预习： （1）如图，小明与小聪玩跷跷板，大家都不用力时，跷跷板左低右高。小明的身体质量 为 p(kg),小聪的身体质量为q(kg)，书包的质量为2kg ，怎样表示p 、q 之间的关系? （2）如图，天平左盘放三个乒乓球，右盘放5g 砝码，天平倾斜。设每个乒乓球的质量为 x （g ），则根据图形可列出怎样的关系式？ （3）公路上常有这样的标志：限速100km/h ，速度记作a ，则可以写出不等式是 （4）（x+1）0=1，x 必须满足的条件是 二、不等式的概念 1、不等式 “>”、“<”、 “ ≠”叫做不等号，不等号也可以写成“≤”、“≥” 的 形式。 总之，用不等号连接起来的式子叫做不等式。 2、一元一次不等式 类似于一元一次方程，含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元 一次不等式。 注意：分母含有未知数的不等式不是一元一次不等式，这一点与一元一次方程类似。 三、典型例题 1、用不等式表示： （1）x 的一半小于－1 ； （2）y 与4的和大于0.5； （3）a 是负数； （4）b 是非负数； 模仿练习：用不等式表示 （1）a 是正数； （2）a 是非负数； （3）a 与6的和小于5； （4）x 与2的差大于－1； （5）x 的4倍不大于7； （6）y 的一半不小于3. （7）x 2与1的和是非负数 （8）3与x 的差的一半是非正数 2、一辆48座的旅游车载有游客x 人，到一个站上又上来2个人，车上仍有空位，有数学 式子表示上述数量关系 3、某一天的最低气温是-2℃，最高气温 是6℃，该市这一天某一时刻的气温t ℃。 《基本不等式》教案 教学三维目标： 1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值. 2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程. 3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神. 教学重点、难点： 重点：基本不等式在解决最值问题中的应用. 难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值. 学情分析与学法指导： 基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习. 教学过程： 一、基础梳理 基本不等式：如果a,b 是正数，那么2a b + （当且仅当a b 时取""=号 ） 代数背景：如果22a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 ）（用代换思 想得到基本不等式） 几何背景：半径不小于半弦。 常见变形： （1）ab 22 2a b + （2）222a b + 2 2a b +?? ??? （3）b a a b + 2（a ，b 同号且不为0） 3、算术平均数与几何平均数 如果a 、b 是正数，我们称 为a 、b 的算术平均数，称 的a 、b 几何平均数. 4、利用基本不等式求最值问题（建构策略） 问题： （1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式： 已知x ，y 都大于0则 （1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当 时，和x +y 有最小值 ； （2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当 时，积xy 有最大值 . 二、课前热身 1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且，下列各式最大的是（ ） A. 22a b + B. C. 2ab D. a b + 2、已知,,a b c 是实数，求证222a b c ab bc ac ++≥++ 3、.1,0)1(的最小值求若x x x +> .)1(,10)2(的最大值求若x x x -<< 4、大家来挑错 （1）2121=?≥+ x x x x 21的最小值是x x +∴ （2）2121,2=?≥+ ≥x x x x x 则 21,2的最小值是时x x x +≥∴ 5、的最小值求若31,3-+ >a a a 三、课堂探究 1、答疑解惑 方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。 2、典例分析 例1、设02,x <<求函数y =. 例2、41,3lg lg x y x x >=++ 设求函数的最值. 变式1：将条件改为01x << 变式2：去掉条件1x > 变式3：将条件改为1000≥x 例3、若正数,3,a b ab a b ab =++满足则的取值范围是 . 变式：求a b +的取值范围. 《不等式的基本性质》教案 教学目标 1、经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同． 2、掌握不等式的基本性质． 教学重难点 不等式的基本性质的掌握与应用． 教学过程 一、比较归纳，产生新知 我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变． 请问：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，那么结果会怎样？请举几例试一试，并与同伴交流． 类比等式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变．试举几例验证猜想． 如3＜7，3+1=4，7+1=8，4＜8，所以3+1＜7+1；3-5=-2，7-5=2，-2＜2，所以3-5＜7-5；3+a＜7+a；3＜7，3-a＜7-a等．都能说明猜想的正确性． 二、探索交流，概括性质 完成下列填空． 2＜3，2×5______3×5； 2＜3，2×(-1)______3×(-1)； 2＜3，2×(-5)______3×(-5)； 你发现了什么？请再举几例试试，与同伴交流． 通过计算结果不难发现：第一个空填“＜”，后三个空填“＞”． 得出不等式的基本性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变．不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．(通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象) 三、例题解析 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： (1)x-5＞-1；(2)-2x＞3. 解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加5，得 x＞-1+5 即 x ＞4 (2)根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得 32 ＜-x 四、练习巩固，促进迁移 1、用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由． ① 6+2 ______ -3+2； ② 6×(-2)______ -3×(-2)； ③ 6÷2______ -3÷2； ④ 6÷(-2)______ -3÷(-2) 2、利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”． (1)若a ＞b ，则2a +1 _____ 2b +1； (2)若a ＜b ，且c ＞0，则ac +c ______ bc +c ； (3)若a ＞0，b ＜0， c ＜0，(a -b )c ______ 0． 3、巩固应用，拓展研究． 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据． (1)a ＞b 两边都加上-4； (2)-3a ＜b 两边都除以-3； (3)a ≥3b 两边都乘以2； (4)a ≤2b 两边都加上c ． 五、课堂小结 不等式的基本性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变． 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 3.4.1基本不等式 教材分析 本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。 教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。 课程目标分析 依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标： 1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解 决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几 何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等 式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的 能力。 2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几 何解释→应用（最值的求法、实际问题的解决） 的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽 象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会 数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手 段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学 习数学规律的方法，体验成功的乐趣。 3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从 实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过 数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤 于动手的良好品质。 教学重、难点分析 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本 不等式 2b a a b + ≤的证明过程及应用。 难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）； 2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。 教法分析 本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。 基本不等式（一） 教学目标： 1． 学会推导并掌握均值不等式定理； 2． 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点：均值不等式定理的证明及应用。 教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程： 重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2 当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0 所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到 定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab 4a ＋b ≥2ab 即 a ＋b 2 ≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 2 ＝ab 说明：1）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而， 此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）数列意义 问：a ，b ∈R －？ 例题讲解： 例1 已知x ，y 都是正数，求证： （1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； （2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14 S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以 x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2 ≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . （2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14 S 2 上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14 S 2. 八年级数学上册《不等式的基本性质》教案 教学目的： 通过操作，分析得出不等式的基本性质1。 重点：不等式的概念和基本性质1。 难点：简单的不等式变形。 教学过程： 一、创设问题情景回顾不等式概念 (出示投影1) ⑴水果店的小王从水果批发市场购进100千克梨和84千克苹果，你能用“＞”或“＜”连接梨和苹果的进货量吗？ ⑵几天后，小王卖出梨和苹果各a千克，你能用“＞”或“＜连接梨和苹果的剩余量吗？教师提示：⑴100 ________84； ⑵100－a________84-a 学生活动：学生在练习本上完成上述问题，并展开讨论。 二、想一想，认识不等式的基本性质1 1、提出问题：在不等式5＞3的两边同时加上或减去2，在横线上填“＞”或“＜”号 5＋2________3＋2；5－2________3－2 2、学生活动：⑴自己写一个不等式，在它的两边同时加上、减去同一个数，看看有什么结果？⑵讨论交流，大胆说出自己的“发现”。 3、教师活动：⑴让学生多次尝试；⑵参与学生讨论； ⑶归纳指出：不等式的两边同时加上(或都减去)同一个数或同一个代数式，不等号的方向不变。用字母表示：若a>b，则a+c>b+c用a-c>b-c。 三、做一做，进行简单的不等式变形 1、(出示投影2) 例1、用“＞”或“＜”填空 ⑴已知a>b，a+3________b+3；⑵已知a>b，a-5________b-5。 学生活动：学生独立完成此题。 [说明]解此题的理论依据就是根据不等式的性质1进行变形。 2．例2．把下列不等式化为x>a或x “基本不等式”教学设计与教学反思 一、教材背景分析 1.教材的地位和作用 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. 本节是复习课，不仅应让学生进一步理解概念，还要掌握应用基本不等式求最值，体会基本不等式在实际生活中的指导作用。 2.学情分析 在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识. 如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用. 因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质. 另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用. 3、教学重难点： 教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程；用基本不等式解决一些简单的最值问题. 教学难点：回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程；基本不等式中等号成立的条件；应用基本不等式解决实际问题. 二、教学目标 1、利用“赵爽弦图”回顾重要不等式、基本不等式，再利用教材中的“探究”回顾基本不等式的几何意义，通过基本不等式的回顾，进一步让学生体会和感悟形数统一的思想方法； 基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大（小)值问题． 知识梳理 1．基本不等式错误!≥错误! （1）基本不等式成立的条件：a〉0,b〉0 . (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时不等式取等号． 2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2）错误!＋错误!≥ 2 （a,b同号）； (3）ab≤（错误!）2(a,b∈R）； （4)错误!≥（错误!）2。 3．基本不等式求最值 （1）两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大． （2）两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小． 利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件． 热身练习 1．若a，b∈R，且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是(D） A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2错误! C。错误!＋错误!〉错误! D。错误!＋错误!≥2 A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D,利用基本不等式x＋y≥2错误!(x>0，y〉0）成立，故选D. 2．已知a,b为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A．ab≤错误! B．ab≤（错误!）2 C。错误!≥错误! D。错误!≥错误! 易知A,B成立， 对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ,所以2（a 2＋b 2)≥(a ＋b )2, 所以错误!≥(错误!）2，所以错误!≥错误!，故C 成立． 对于D,取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立． 由以上分析可知，应选D. 3．周长为60的矩形面积的最大值为（A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900 设矩形的长为x ,宽为y ， 则2（x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30, 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2 ＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝",故选A 。 4．设函数f (x )＝2x ＋错误!－1（x <0)，则f (x ）（A) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 f (x ）＝－[(－2x ）＋（－错误!）］－1≤－2错误!－1， 当且仅当x ＝－错误!时，等号成立， 所以函数f （x )有最大值，所以选A 。 5．（2017·山东卷)若直线x a ＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点（1，2）,则2a ＋b 的最小值为 8 。 因为直线错误!＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点(1,2）， 所以1a ＋错误!＝1， 所以2a ＋b ＝（2a ＋b ）(错误!＋错误!)＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2,b ＝4时,等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8. 利用基本不等式判断大小关系 下列不等式一定成立的是 9.1 不等式 教材分析：本课由实际问题中的不等关系引出不等式的概念；类比方程的解，明确不等式解和解集的概念，以及不等式解集的两种表示方法。 教学目标：了解不等式概念，理解不等式的解和解集。 教学重难点：不等式及解集概念的理解。 教学过程： 一：引出新知。 现实世界中存在大量的数量关系，包括相等关系和不等关系。用等式（包括方程），我们可以研究相等关系，而研究不等关系需要用本章的不等式，如引言中选择购物商场问题. 二：探索新知。 问题1 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 km，要在12：00之前驶过A地.你能用式子表示出车速应满足的条件吗？ 1、汽车在12:00之前驶过A地的意思是什么？ 从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50 km所用的时间不到。 从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶的路程要超过50 km。 2、如何用式子表示以上不等关系？ 设：车速为x km/h． 从时间上看： 从路程上看： （1）对于不等式而言，车速可以是80 km/h吗？78 km/h呢？ 75 km/h呢？72 km/h呢？ （2）类比方程的解，什么叫不等式的解？ 使不等式成立的未知数的值. （3）不等式还有其他解吗？如果有，这些解应满足什么条件？ 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）除了用不等式表示取值范围，还有其他表示方法吗？ 数轴 三、运用新知。 例1 请用不等式表示： （1）是负数； （2）与5的和小于-7； （3）的一半大于3. 例2 直接说出不等式的解集，并在数轴上表 示出来. 四、归纳总结 （1）什么叫不等式？ （2）什么叫不等式的解？不等式的解和方程的解的区别？（3）什么叫不等式的解集？不等式的解和不等式的解集的区别？ 《基本不等式》教学设计 一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] （2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-= 课题: 9.2.1一元一次不等式 课型:新授课主备人:徐宝永审核人: 段海涛二次审核人:七年级数学组 补偿应用补偿提高 ②不大于 3 1 2- x 的值; 小结:⑴什么叫一元一次不等式？解一元一次不等式的一般步骤是：①________ （根据不等式的基本性质2或3）；②________（根据等式的运算法则）；③_________ （根据不等式的基本性质1）；?④_____________（根据整式的运算法则）；⑤ _________（根据不等式的基本性质2或3）．⑵解一元一次不等式的注意点:①移 项要变号(同方程解法) ②当不等式两边都乘以或除以一个负数时,不等号方向改 变. 三补偿应用 1. 下列选项中，是不等式的是_____,是一元一次不等式的是____ (1) 3>2 (2) 3 2 50 < x (3)3x2+2x(4)x<3x+1 (5)x=2x+5 (6)a+b≠c (7)x-2<2x-1 (8)a-1 ≤3 (9)x2+4x<3x+1 2．在解不等式 221 35 x x +- >的下列过程中，错误的一步是（） A．去分母得5（2+x）>3（2x-1） B．去括号得10+5x>6x-3 C．移项得5x-6x>-3-10 D．系数化为1得x>13 3.（2011.重庆）解不等式2x-3< 3 1 + x ，并把解集在数轴上表示出来 4．（2012?嘉兴）解不等式2（x-1）-3＜1并把解集在数轴上表示出来 ． 四补偿提高 1、解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： ()()5 2 5 2 3 3+ > -x x()()3 2 2 14- < - - -x x； 2 2 5 3 1 - - > + x x 2.解不等式 532 1 23 x x ++ -<，小兵的解答过程是这样的． 解：去分母，得x+5-1<3x+2 ① 移项得x-3x<2-5+1 ② 合并同类项，得-2x<-2 ③ 在教学中， 仍要让学 生注意每 一步骤变 形的依据， 从而灵活 运用。 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4 2 a b + 第1课时 授课类型：新授课 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程； 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件 【板书设计】 【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+ 课题：不等式的基本性质 课型：新授课 教学目标： 知识与技能：了解实数的基本事实，能够比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式。 过程与方法：通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质，并有运用基本性质的意识。能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。 情感态度与价值观：通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，是学生掌握类比的数学方法。 教学重点：比较两个实数的大小关系，掌握不等式的基本性质。 教学难点：通过运用基本性质来证明不等式。 教学过程： 一．新知引入 以人们常用的长与短，多与少，轻与重等现实中存在的数量上的不等关系来引入数学中人们用不等式来表示事物的不等关系。 说明研究不等式的出发点是实数的大小关系，并举例说明： （i ） 设存在a,b 两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B ，当A 在点B 的 左边时，a 与b 有着怎样的大小关系？（ab) （i ）（ii ）边说边在黑板上画出数轴，呈现出相应的图形，并让全班一起回答，把答案写在对应图形的右边。 由上面两个实数的不等关系以及已经学过的等式关系，得出实数a,b 存在的三种大小关系并且构成了实数的基本事实。 a>b ? a-b>0. ab （或a 《§3.4.1基本不等式》的教学设计 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学内容解析 本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。 二、教学目标设置 1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识； 2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。 三、学生学情分析 对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。 四、教学策略分析 在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点 五、教学过程： （一）情景引入 下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。 基本不等式完整版(非 常全面) 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取 “=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时 取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时 取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则2 2111 22b a b a ab b a + ≤+≤≤+ （1）若,,,a b c d R ∈，则 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、 远耀教育 个性化辅导教案讲义 任教科目：数学 授课题目：不等式及其基本性质（一） 年级：七年级 任课教师： 授课对象： 合肥远耀个性化教育 新站校区 教研组长签字： 教学主任签字： 日期： 学生教师学科数学 时间星期时间段 教学目标： 1.通过实际问题中的数量关系的分析，体会到现实世界中有各种各样的数量关系的存在，不等关系是其中的一种； 2.了解不等式及其概念；会用不等式表示数量之间的不等关系； 3.掌握不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质对不等式进行变形； 4.通过观察、思考、探究、交流的学习过程，体验数学发现的乐趣。 教学重难点： 重点：不等式的概念和不等式的性质； 难点：不等式的性质3以及正确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示。 教学流程及授课提纲 一、学前准备 【旧知回顾】 1.平方根、立方根、算术平方根的概念以及性质，有理数无理数的的区别 2.回忆1到10的立方以及11到20的平方 【新知预习】 导入新课 在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理，并且根据这一原理设计出了一些简单机械， 并把它们用到了生活实践当中。由此可见，“不相等”处处可见. 从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式． 新课讲解 提纲： 1.认真看书24-25页内容 2.举出生活中一个不等量关系的例子。 3.注意表示不等关系的词语如“不大于”，“不高于”等等。 4.熟练掌握不等式基本性质1、基本性质2和基本性质3。 二、探究活动 【初步感悟】 合作学习： 1.如图，a与b的大小关系如何？ 【讨论提高】 a>b a+c>b+c 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 2.观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律 8＿＿12 8×4＿＿12×4 8÷4＿＿12÷4 (-4)＿＿(-6) (-4)×2＿＿(-6)×2 (-4)÷2＿＿(-6)÷2 8×(-4)＿＿12×(-4) 8÷(-4)＿＿12÷(-4) (-4)×(-2)＿＿(-6)×(-2) (-4)÷(-2)＿＿(-6)÷(-2) 想一想:你发现了什么规律? 不等式的基本性质1： 不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变. 不等式的基本性质2： 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的基本性质3： 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 应用： 1.用不等式表示下列关系 ①亮亮的年龄（记为x）不到14岁。_____________ ②七年级（1）班的男生数（记为y）不超过30人。_____________ 《基本不等式》教学设计 一、教材分析 本节课出自普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学必修五第三章第四节《基本不等式》的第一课时。本节课是在学习了不等关系，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习打下基础，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，学好基本不等式非常重要。 二、学情分析 本节授课对象是高一学生，学生已经学习了不等关系和不等式的性质，在初中学习了和的完全平方公式基础上，引导学生探究基本不等式并进行应用，高一学生学习热情高涨，探索知识兴趣强，但对数学知识迁移和类比的能力还亟待提高，运算能力也不强，探索发现能力也需进一步提高。 三、教学目标 1、知识与技能 （1）掌握基本不等式，了解推导过程； （2）运用基本不等式解决一些简单的求最值问题和证明问题； 2、过程与方法 (1)通过运算，推导，小组合作探究基本不等式； (2)通过观察，分析，探究基本不等式性质，通过实际应用解决问题； 3、情感、态度与价值观 (1)体验类比思想在探究数学知识时的重要意义与价值； (2)培养锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯； (3)感受学习数学、探索发现的乐趣与成就感。 四、教学重难点 重点：基本不等式及应用和证明； 难点：运用基本不等式应用解题。 五、教法与学法 教法：应用启发式教学，以学生为主体，引导学生在自主探究过程中经历类比发现、归纳、演绎推理等过程，体会类比和数形结合的思想。同时利用PPT 辅助教学。 学法：应用探究式学法，引导学生自主探索，探究向量的表示方法，合作学习，理解和掌握基本不等式。 六、教学过程 【环节一：巧设疑云，导入新课】 【师生活动一】回顾：求函数f （x ）=x +1 x 在（0，+∞）上的最小值 提示：证明函数在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增； 【师生活动二】请学生重温“赵爽弦图”，比较正方形ABCD 的面积S 和里面的四个小三角形面积之和S ’的大小，有怎样的不等关系？ 我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，正方形的面积为222b a S +=。 11.1生活中的不等式 主备人：杨仔艳 一、教学目标 1、感受生活中存在的大量不等关系，了解不等式的意义。 2、会用不等式表示实际问 题中数量间的不等关系。 3、经历由具体问题建立不等式的过程，初步体不等式是刻画现实世界的一种数学模型。 二、教学重难点 重点：理解不等式的意义并会列不等式 难点：列不等式 二、教学方法 启发式、讲练式相结合 三、教学过程 （一）情境创设 情境一： 小明和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg 、55kg 和75kg. 周末，他们准备去公园游乐场玩跷跷板，若小明和妈妈玩时，谁会向上跷？若小明和妈妈坐一头，爸爸坐在另一头时，谁会向上跷？你能知道游戏的结果吗？为什么？ 设计此情境的目的：自然引出课题 情境二： 1．用数学式子描述下列数量间的关系 （1）一个边长为a 米的正方形桌子的面积大于1平方米 （2）m （m ≠0）的倒数不大于5. （3）某种袋装牛奶中，每100克牛奶所含的蛋白质（x 克）不少于2.9克，脂肪（有y 克） 不少于3.1克。 （4)48座的客车载有游客x 人，到一个站又上2个人，车内仍有空位 (5)一辆轿车在公路上的行驶速度是akm/h,已知公路对轿车的限速是100km/h,那么 a 与100的关系如何？ 2．学生思考并给出答案 （二）新知探究 探究一： 1．观察刚才所列举的式子有什么特征？ 教师：提示从连接式子的符号观察并引导学生概括问题的答案 学生：都是用“＞”“＜”“≥”或“≤”号连接 教师：对学生给出的这个答案表示赞同并告诉学生这些都是不等号同时给出不等式的一个 描述性的定义。（注意补充常用不等号还有“≠”） 51≤m a ≤100， x ≥2.9， y ≥3.1， x +2＜48， a 2＞1 ， 51≤m新版人教初二不等式教案
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