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4初一奥数第04讲整式

考点·方法·破译

1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.

2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.

3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.

4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.

经典·考题·赏析

【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.

【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.

解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；

⑵不是，因为代数式是与x的商；

⑶是，它的系数为π，次数为2；

⑷是，它的系数为

，次数为3.

【变式题组】

01．判断下列代数式是否是单项式

02．说出下列单项式的系数与次数

【例２】如果与都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、

n的值.

【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.

解：由题意得

【变式题组】

01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.

02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.

【例３】已知多项式

⑴这个多项式是几次几项式？

⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？

【解法指导】n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.

解：⑴这个多项式是七次四项式；

(2)最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.

【变式题组】

01．指出下列多项式的项和次数

⑴ (2)

02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项

⑴ (2)

【例４】多项式是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值

【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.

解：因为是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.

【变式题组】

01．多项式是四次三项式，则m的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．±1

02．已知关于x、y的多项式不含二次项，求5a－8b的值.

03．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.

【例５】已知代数式的值是8,求的值.

【解法指导】由，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.

解：由得由

（3

【变式题组】

01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（）A．28 B．－28 C．32 D．－32

02．（同山）若,则的值为_______________.

03．（潍坊）代数式的值为9,则的值为______________.

【例６】证明代数式的值与m的取值无关.

【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.

证明：原式＝

∴无论m的值为何，原式值都为4.

∴原式的值与m的取值无关.

【变式题组】

01．已知,且的值与x无关，求a的值.

02．若代数式的值与字母x的取值无关，求a、b 的值.

【例７】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（）个

A．4 B．12 C．15 D．25

【解法指导】首先写出符合题意的单项式,x、y、z都是正整数，再依x+y+z ＝7来确定x、y、z的值.

解：为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z ＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当x＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．【变式题组】

01．已知m、n是自然数，是八次三项式，求m、n

值.

02．整数n＝___________时，多项式是三次三项式.

演练巩固·反馈提高

01．下列说法正确的是（）

A．是单项式B．的次数为5C．单项式系数为0D．是四

次二项式

02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）

A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b

03．若多项式的值为1，则多项式的值是（）A．2 B．17 C．－7 D．7

04．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m 元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（）

A．B．C．D．

05．若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定

06．若是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.

07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.

08．若,则代数式xy+mn值为________.

09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.

10．(河北)有一串单项式

(1)请你写出第100个单项式；

⑵请你写出第n个单项式.

11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.

12．（天津）已知x＝3时多项式的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少？

13．若关于x、y的多项式与多项式的系数

相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.

14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.

A：计时制：0.05元/分

B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.

此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.

⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；

(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.

培优升级·奥赛检测

01．（扬州）有一列数,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若,则为（）

A．2007 B．2 C．D．－1

02．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即,则下列等式

中对于任意实数a、b、c都成立的是（）

①②

③④

A．①②③B．①②④C．①③④D．②④

03．已知,那么在代数式中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（）

A．B．C．D．

04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定

05．（广安）已知_____________.

06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租金a元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b元，如果租看1本书7天归还，那么租金为____________元.

07．已知

＝_____________.

08．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，

化简后的结果是

______________.

09．已知

＝______________.

10．（全国初中数学竞赛）设a 、b 、c 的平均数为M ,a 、b 的平均数为N ,又N 、c 的平均数为

P ，若a ＞b ＞c ，则M 与P 大小关系______________. 11．(资阳)如图，对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB ，BC ，

CA 至点A 1，B 1，C 1，使得A 1B ＝2AB ，B 1C ＝2BC ，C 1A ＝2CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至点A 2，B 2，C 2，使得A 2B 1＝2A 1B 1，B 2C 1＝2B 1C 1，C 2A 1＝2C 1A 1，顺次连接A 2，B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到△A 5B 5C 5，则其面积S 5＝________________． 12．（安徽）探索n ×n 的正方形钉子板上(n 是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子

所得到的不同长度值的线段种数：

当n ＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1

有2种，若用S 表示不同长度值的线段种数，则S ＝2；

当n ＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1

n ＝2时增加了3种，即S ＝2+3＝5.

(1) 观察图形，填写下表：

(2) 写出(n －1)×(n －1)和n ×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用

式子或语言表述均可

)

n =2

n =3

n =4

n =5

(3)对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式.

13．（青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC 和△DBC的面积之间有什么关系？

探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：

⑴当AP＝1

AD时（如图②）：

∵AP＝1

AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP＝1

S△ABD．

∵PD＝AD－AP＝1

AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S△CDP＝1

S△CDA．

∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP

＝S四边形ABCD－1

S△ABD－

S△CDA

＝S四边形ABCD－1

(S四边形ABCD－S△DBC)－

(S四边形ABCD－S△ABC)

＝1

S△DBC＋

S△ABC ．

⑵当AP＝1

AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；

⑶当AP＝1

AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：________________；

⑷一般地，当AP＝1

AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，

写出求解过程；

图①

B C

图②

问题解决：当AP＝m

AD（0≤

≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：

___________．

4初一奥数第04讲 整式

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