专题02等腰三角形的存在性问题(原卷版)

专题二等腰三角形的存在性问题

【考题研究】

近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

【解题攻略】

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？

如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．

①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．

【解题类型及其思路】

解题类型：

动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题

背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景

解题思路：

几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

【典例指引】

类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】

典例指引1．

抛物线2

y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点． （1）求抛物线解析式；

（2）第一象限抛物线上有一点D ,满足∠DAB =45°,求点D 的坐标；

（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.

【举一反三】

（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．

类型二

【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】

典例指引2．

（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2

()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与

y 轴交于点C .

（l ）求抛物线的表达式；

（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；

（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ?为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.

【举一反三】

（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．

类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】

典例指引3．

（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．

（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；

（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：

①为何值时为等腰三角形；

②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

【举一反三】

如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？

（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．

【新题训练】

1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．

（1）线段OA 所在直线的函数解析式是 ；

（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段P A 最长？并求出此时P A 的长． （3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2

y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、

()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ?面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ?为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.

3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的

左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；

（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；

（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存

在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），

抛物线y＝

1

2

-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛

物线y＝

1

2

-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．

（1）求该抛物线解析式与F点坐标；

（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；

同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13

个单位长度的速度向终点E运动．过

点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．

①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．

②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．

5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是

否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2

4y ax bx =+-（0a ≠）的图象与

x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．

9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；

（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．

10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；

②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．

11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点

()2,B m 两点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ?的面积S 最大时，求此时PAB ?的面积S 及点P 的坐标；

（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ?是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.

12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．

（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△P AD为等腰三角形，求出点P的坐标；

（3）证明：当直线l绕点D旋转时，

11

AM AN

均为定值，并求出该定值．

13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求出C、D两点的坐标

（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．

15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣1

2

x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y

轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；

（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．

16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．

（1）求出二次函数的解析式；

（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；

（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；

（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣

211

433

x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．

（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +

10

CQ 的最小值； （2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．

18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

y x mx n =-++与x 轴交于点A ,B ( A 在B

的左侧)

(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .

①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;

(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ?是等腰直角三角形，求点P 的坐标.

中考数学之全等三角形的存在性(讲义)

1. 2. 3. 1.

2.

3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与 y 交于点C (0 ，4)，对称轴直线2x =与x 轴交于点D ，顶点为且DM =OC +OD ．（1）求该抛物线的解析式． （2）设点P (x ，y )是第一象限内该抛物线上的一动点，△的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）设点Q 是y 轴右侧该抛物线上的一动点，若经过点Q 直线QE 与y 轴交于点E ，是否存在以O ，Q ，E 形与△OQD 全等？若存在，求出直线QE 的解析式；请说明理由．

4. 如图，在平面直角坐标系中，直线1l 过点A (1，0)且与 y 轴平 行，直线2l 过点B (0，2)且与x 轴平行，直线1l 与2l 相交于点P ．点 E 为直线2l 上一点，反比例函数k y x =（0k >）的图象过点E 且 与直线1l 相交于点F ． （1）若点E 与点P 重合，求k 的值． （2）连接OE ，OF ，EF ．若2k >，且△OEF 的面积为△PEF 面积的2倍，求点E 的坐标． （3）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以M ，E ，F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

【参考答案】 1. （1）223y x x =-++ （2）a =7，b =2或a =7，b =-2或a =-1，b =2或a =-1，b =-2或 a =1， b =-4或a =5，b =-4或a =5，b =4 2. （1）213442 y x x =-++ （2） (18(18-+-+---，， (4(4+， 3.（1） 21242y x x =-++（2）21 4(022 S x x x =-+<<+ （3）122y x =+，y =6或7 24 y x = - 4.（1）2 （2）（3，2）（3）3(2)8，，8 (2)3，

初三数学三角形存在性问题

1.如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值． 知识点一（等腰三角形的存在性问题） 【知识梳理】 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 【例题精讲】 例1.如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标． 图1-1 【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD． ①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）． ②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．

③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）． 在Rt△OPE中， 3 cos 5 OE DOP OP ∠==， 5 2 OE=，所以 25 6 OP=． 此时点P的坐标为 25 (,0) 6 ． 图1-2 图1-3 图1-4 上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算． 代数法先设点P的坐标为(x, 0)，其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）． DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42． ①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0． 当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP． ②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）． ③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点． 代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验． 图1-5 【课堂练习】 1.如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．

二次函数中的特殊三角形存在性问题

二次函数中的特殊三角形存在性问题 例1 ：如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 例2：如图，已知一次函数y=+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．:（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标． 例3：如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．:（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

1、如图，已知抛物线22 4233 y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ．（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由． 2、二次函数21 8 y x =的图象如图所示，过y 轴上一点(0M ，2)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．⑴ 当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；⑵ 在⑴的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由；⑶ 当点A 在抛物线上运动时(点A 与点O 不重合)，求AC BD ?的值． y x O M D C B A

一次函数之全等三角形存在性

一次函数之全等三角形存在性（北师版）11.26 1.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，若x轴的负半轴、y轴的负半轴上分别 存在点E，F，使得△EOF与△AOB全等，则直线EF的表达式为( ) ? A. B. ? C. D. 1 2 2.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线上不与A，B重合 的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，若使△BCD与△AOB全等，则点C的坐标为( ) ? A. B. ? C. D.

3.(本小题16分)如图，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P(x，y)是直线y=-2x+4上的一个动点， 过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，若△EOF与△AOB全等，则点P的坐标为( ). A. B. ? C. D. 4.(本小题16分)如图，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线y=x+2上不与A，B重合的动点．过 点C的另一直线CD与x轴相交于点D，若使△ACD与△AOB全等，则点C的坐标为( ) ? A. B. ? C. D. 4 5 5.(本小题18分)如图，直线AB与x轴、y轴分别交于A，B两点，已知A(2，0)，B(0，4)，线段CD的两端点在坐标 轴上滑动（点C在y轴上，点D在x轴上），且CD=AB．若满足点C在y轴负半轴上，且△COD和△AOB全等，则满足题意的点D有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6.(本小题18分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(-3，0)， P(x，y)是直线上的一个动点（点P不与点A重合）．当△OPC的面积为时，点P的坐标为( ) ? A. B. C. D. 一次函数之等腰三角形存在性（北师版） 11.25 1.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是x轴上的动点， 若使△ABP为等腰三角形，则点P的坐标是( ) A. B. C. D.

三角形存在性问题

二次函数中三角形问题(复习补充) 1、如图，抛物线y=ax 2+bx+c经过A（-1，0） 、B（3，0）、C（0 ， 3 ）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB． （1）求该抛物线的解析式；二次函数式为y=-x2+2x+3； （2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由； （3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．2、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；y=-x2-2x+3； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3、如图，抛物线y=ax2 +bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）． （1）求抛物线的解析式；y=x2+2x-3； （2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 ①当A为直角顶点时∴点M的坐标为（0，）。 ②当D为直角顶点时∴点M的坐标为（0，） ③当M为直角顶点时，∴点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）。4、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2-ax-2经过点B．（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

一次函数中(特殊三角形)的存在性问题优秀教学设计

《一次函数中特殊三角形的存在性问题》教学设计 【教学目标】 1、知识与技能 （1）使学生体会定点与动点之间的关系，做到以静制动。 （2）通过数形结合，利用几何法和代数法求一次函数中特殊三角形的存在性问题。 2、过程与方法 （1）借助几何画板探究一次函数中特殊三角形的存在性问题，使学生初步形成正确、科学的分析解决问题的方法。 （2）学生与其他人交流的过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程。 （3）在自己动手画图的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。 3、情感态度与价值观 （1）通过新媒体手段和个性化的学习方式，培养学生交流合作的意识，激发学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心，培养学生良好的学习习惯。 （2）以小组活动形式对本节内容进行综合探索，在与他人的合作过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。 【教学重、难点】 教学重点：（1）一次函数中的动点问题； （2）两圆一中垂线求等腰三角形；外K全等求等腰指教三角形。 教学难点：（1）分类讨论思想的运用； （2）学会以静制动 【学情分析】 学生已经初步掌握了用待定系数法求解一次函数的解析式，联立方程组求解两个一次函数图像的交点，求解三个顶点为定点的三角形的面积以及用铅锤法表示有顶点是动点的三角形的面积，但是对一次函数中特殊三角形的存在问题还存在一定的困难。 【教学活动策略及教法设计】 1.活动策略 课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流中，主动发现特殊三角形中动点坐标的规律。 学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等教学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。 辅助策略：借助几何画板，使学生直观形象地观察、操作。 2、教法 演示法：通过几何画板演示两圆一中垂线和外K全等，使学生直观、形象的感知因动点的移动，在何时会出现等腰三角形和等腰直角三角形，思考在没有几何画板的时候，我们自己该如何作图，快速确定动点的位置。 实验法：让学生自己动手、在探究过程中，自己发现动点的规律 讨论法：在学生进行了自主探索之后，进行小组讨论，让他们进行合作交流，使之互

相似三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（2） 相似三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌 专题攻略 相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4． 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6． 应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 例题解析 例? 如图1-1，抛物线213482 y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由． 图1-1 【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边． △ABC 是确定的．由213482 y x x = -+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)． 于是得到BA ＝4，BC ＝12CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了． 在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以CF ． 因此)BF t ==-． 于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当BA BP BC BF ==．解得43t =（如图1-2）．

八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 动点与特殊三角形存在性问题大视野(原卷版)

专题动点与特殊三角形存在性问题大视野 【例题精讲】 题型一、等腰三角形存在性问题 例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形． 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______． 题型二、直角三角形存在性问题 例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，△B=90°，AC=60，△A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0

一次函数之全等三角形存在性

一次函数之全等三角形存在性（北师版）11.26
1.(本小题 16 分) 如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，若 x 轴的负半轴、y 轴的负半轴上分别 )
存在点 E，F，使得△EOF 与△AOB 全等，则直线 EF 的表达式为(
?
A.
B.
?
C.
D.
1
2
2.(本小题 16 分) 如图，直线
与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 是直线
上不与 A，B 重合 )
的动点．过点 C 的另一直线 CD 与 y 轴相交于点 D，若使△BCD 与△AOB 全等，则点 C 的坐标为(
?
A.
B.
?
C.
D.
3.(本小题 16 分) 如图，直线 y=-2x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P(x，y)是直线 y=-2x+4 上的一个动点， 过 P 作 AB 的垂线与 x 轴、y 轴分别交于 E，F 两点，若△EOF 与△AOB 全等，则点 P 的坐标为( ).
A.
B.
?
C.
D.

4.(本小题 16 分) 如图，直线 y=x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 是直线 y=x+2 上不与 A，B 重合的动点．过 点 C 的另一直线 CD 与 x 轴相交于点 D，若使△ACD 与△AOB 全等，则点 C 的坐标为(
? ?
)
A. C.
B. D.
4
5
5.(本小题 18 分) 如图，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，已知 A(2，0)，B(0，4)，线段 CD 的两端点在坐标 轴上滑动（点 C 在 y 轴上，点 D 在 x 轴上），且 CD=AB．若满足点 C 在 y 轴负半轴上，且△COD 和△AOB 全等，则满足 题意的点 D 有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.(本小题 18 分) 如图，直线
与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(-3，0)，
P(x，y)是直线
上的一个动点（点 P 不与点 A 重合）．当△OPC 的面积为
时，点 P 的坐标为(
)
?
A.
B.
C.
D.

等腰三角形的存在性问题

10．（2016山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC． （1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状； （2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t为何值时，PA=QA？ （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2016山东省日照市）阅读理解： 我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹． 问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM 交EF于点P，那么动点P为线段AM中点． 理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点． 由此你得到动点P的运动轨迹是：． 知识应用： 如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长． 拓展提高： 如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△A PC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q． （1）求∠AQB的度数； （2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．

12．（2016山东省日照市）如图1，抛物线 2 3 [(2)] 5 y x n =--+ 与x轴交于 点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC． （1）求m、n的值； （2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值； （3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2016山西省）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 28 y ax bx =+-与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）． （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

相似三角形存在性问题

因动点产生得相似三角形问题 例1 ２015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第2４题 如图1,在平面直角坐标系中,双曲线(k≠０)与直线y=x+２都经过点A(2, m). (1)求ｋ与ｍ得值; (2)此双曲线又经过点B(ｎ, ２),过点B得直线BＣ与直线y=x＋2平行交ｙ轴于点C,联结AB、AＣ,求△ＡBC得面积; (３)在(2)得条件下,设直线y=ｘ+２与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点Ａ、C、Ｅ所组成得三角形与△AＣＤ相似,且相似比不为1,求点E得坐标、 图１ 动感体验 请打开几何画板文件名“１5宝山嘉定２4”,拖动点E在射线CB上运动,可以体验到, △ACE与△ACD相似,存在两种情况。 思路点拨 １、直线AD/／BＣ,与坐标轴得夹角为45°. 2.求△AＢC得面积,一般用割补法. ３。讨论△ACＥ与△ＡCD相似,先寻找一组等角,再根据对应边成比例分两种情况列方程. 满分解答 (1)将点Ａ(２, m)代入ｙ＝ｘ＋２,得m=４.所以点Ａ得坐标为(２,4). 将点A(2, 4)代入,得k＝8。 (２)将点B(n, 2),代入,得n=４。 所以点Ｂ得坐标为(4, 2)、 设直线ＢＣ为y=x＋ｂ,代入点B(4, 2),得b=—2. 所以点C得坐标为(0,—2). 由A(2, ４) 、Ｂ(4, 2) 、Ｃ(0,-2),可知A、B两点间得水平距离 与竖直距离都就是２,B、C两点间得水平距离与竖直距离都就是4. 所以AＢ＝,BC＝,∠ＡBＣ＝９0°.

图２ 所以S△ＡBC＝＝=8、 (3)由Ａ(2, 4)、Ｄ(0, 2) 、C(0,—2),得AD＝,AC＝、 由于∠ＤAＣ+∠ACＤ=4５°,∠ＡCE＋∠ACＤ＝4５°,所以∠DAC＝∠ACE。 所以△ACE与△ＡCD相似,分两种情况: ①如图3,当时,CE＝AＤ=. 此时△ACD≌△CAE,相似比为1. ②如图４,当时,、解得CＥ＝.此时Ｃ、E两点间得水平距离与竖直距离都就是10,所以E(10, ８)、 图3 图4 考点伸展 第(2)题我们在计算△ＡBC得面积时,恰好△ＡBC就是直角三角形、 一般情况下,在坐标平面内计算图形得面积,用割补法、 如图5,作△AＢＣ得外接矩形ＨＣNＭ,MN/／y轴. 由S矩形HCNM=2４,S△AHC=6,S△ＡMB=2,S△BCN＝8,得S△ABC＝8. 图5 例２201４年武汉市中考第24题 如图1,Rt△ABC中,∠ＡCB＝９0°,ＡC=6 cm,BC＝８cm,动点Ｐ从点Ｂ出发,在BA边上以每秒５cｍ得速度向点Ａ匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 ｃm得速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0

二次函数与三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

全等三角形的存在性问题针对演练

第二部分 攻克题型得高分 题型八 二次函数综合题 类型四 全等三角形的存在性问题 针对演练 1. (2017常州节选)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝－12x 2 ＋bx 的图象过点A (4，0)，顶点为B ，连接AB 、BO . (1)求二次函数的表达式； (2)若点D 在线段BO 上，OD ＝2DB ，点E 、F 在△OAB 的边上，且满足△DOF 与△DEF 全等，求点E 的坐标． 第1题图 第2题图 2. (2017包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝3 2x 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (2，0)两点，与y 轴交于点C . (1)求该抛物线的解析式； (2)直线y ＝－x ＋n 与抛物线在第四象限内交于点D ，与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ，且BE ＝4EC . ①求n 的值； ②连接AC ，CD ，线段AC 与线段DF 交于点G ，△AGF 与△CGD 是否全等？请说明理由；

答案 1. (1)解：∵二次函数图象过点A(4，0)， ∴将点A(4，0)代入二次函数表达式y ＝－12x 2＋bx 可得－1 2×42 ＋4b ＝0， 解得b ＝2， ∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2 ＋2x ； (2)此二次函数的对称轴为x ＝－b 2a ＝2，∵点B 在二次函数的对称轴上， ∴B 点为(2，2) ∴OB ＝22， ∴OD ＝2BD ，∴OD ＝42 3. 如解图①，当点F ，点E 均在OA 上，且△DFO ≌△DFE ，则DF ⊥OA ， 第1题解图① ∴DF ＝43＝OF ＝EF ，此时点E 的坐标为(8 3，0)； 其他情况不存在； 如解图②，当点F 在OA 上，点E 在AB 上，

二次函数和三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（ x1，y），Q（x2，y） x 1x 2 x 2 (1) 线段对称轴是直线 (2)AB 两点之间距离公式：PQ(x1x2 ) 2( y1 y2 )2 中点公式：已知两点P x 1 , y 1 x1 x 2 , y 1y2 ,Q x2 ,y 2，则线段 PQ的中点 M为22。 Q P G O 2 、两直线的解析式为y k 1 x b 1 与y k 2 x b2 如果这两天两直线互相垂直，则有k1k21 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1L2 ：y=k2x+b2 （1）当 k1=k2， b1≠b2，L1∥ L2 （2）当 k1≠ k2，，L1 与 L2 相交 （3）K1×k2= -1时，L1 与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于 45°。判定： 具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三 角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是 60°的等腰三角形是等 边三角形。 总结：（ 1）已知 A、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求 的点（不与 A、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上 （2）已知 A、B 两点，通过“两线一圆” 可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB垂直的直线上。 （二）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同， 1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。 2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构 成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分 顶点进行讨论， 如：已知两点 A、B，在抛物线上求一点 C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即AB=AC（2）以点B为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （ 3）以点 C为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 如：已知两点 A、 B，在抛物线上求一点C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即 AB=AC （2）以点 B 为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （3）以点 C 为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步，进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 （三）关于直角三角形找点和求点的方法 1、直角三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分 别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知 边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。 2、具体方法 （ 1） k1 k21； （2）三角形全等（注意寻找特殊角，如 30°、 60°、 45°、 90 °） （3）三角形相似；经常利用一线三等角模型 （4）勾股定理； 当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法三、二 次函数的应用：

初中数学相似三角形的存在性问题(word版+详解答案)

相似三角形的存在性问题 【考题研究】 相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快． 【解题攻略】 相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 【解题类型及其思路】 相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。 2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、 3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。 【典例指引】 类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】 典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212 y x bx c = ++与直线1 32y x =+分别相交于A ，B 两 点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．

专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野(解析版)

专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野 【例题精讲】 题型一、等腰三角形存在性问题 例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形． 【答案】2. 【解析】 解：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2， ∴AC=2AB=4，BC=√42?22=2√3， ∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF=1 2 BC=√3，BF= 1 2 AC=2，EF∥BC， 由题意得：EP=t，BQ=2t，∴PF=√3-t，FQ=2-2t，

①当PF =FQ 时， 则√3-t =2-2t ， 解得：t =2-√3； ②当PQ =FQ 时，过Q 作QD ⊥EF 于D ， 则PF =2DF ， ∵BF =CF ， ∴∠FBC =∠C =30°， 由上知，EF ∥BC ， ∴∠BFP =∠C =30°， 则DF DQ ，PF ， -t 2-2t ） 解得：t = 611 ； ③当PF =PQ 时，∠PFQ =∠PQF =30°， ∴∠FPQ =120°， 而在P 、Q 运动过程中，∠FPQ 最大为90°，所以此种情况不成立； 故答案为：2-√3或 611 +． 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt ∥ABC 中，∥C =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1cm /s 的速度移动，设运动的时间为t 秒．

中考数学压轴题破解策略专题25《全等三角形的存在性》

专题25《全等三角形的存在性》 破解策略 全等三角形的存在性问题的解题策略有： （1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或列方程来求解． （2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等． 例题讲解 例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A（－2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B． （1）求抛物线的表达式； （2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N．问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与△BAN全等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意可列方程组 4240 3 2 a b b a -+= ? ? ? -= ?? ，解得 1 4 3 2 a b ? =- ?? ? ?= ?? ，

所以抛物线的表达式为213 442 y x x =-++． （2）显然OA ＝2， OB ＝3， OC ＝4． 所以5BC BA =． 若△P BD ≌△PBC ，则BD ＝ BC ＝5，PD ＝PC 所以D 为抛物线与x 轴的左交点或右交点，点B ，P 在CD 的垂直平分线上， ①若点D 为抛物线与 x 轴的左交点，即与点A 重合． 如图1，取AC 的中点E ，作直线BE 交抛物线于P 1（x 1，y 1），P 2（x 2．y 2）两点． 此时△P 1BC ≌△P 1BD ，△P 2BC ≌△P 2 B D ． 由A 、C 两点的坐标可得点E 的坐标为（－1，2）． 所以直线BE 的表达式为13 22y x =-+． 联立方程组2132213442y x y x x ?=-+????=-++?? ，解得114x y ?=??=?? 224x y ?=+??= ?? ． 所以点P 1，P 2的坐标分别为（4 ）．（4 ②若D 为抛物线与x 轴的右交点，则点D 的坐标为（8，0）． 如图2，取CD 的中点F ．作直线BF 交抛物线于P 3（x 3，y 3），P 4（x 4，，y 4）两点． 此时△P 3BC ≌△P 3BD ，△P 4BC ≌△P 4 B D ． 由C 、D 两点的坐标可得点F 的坐标为（4，2）， 所以直线BF 的表达式为y ＝2x －6． 联立方程组22613 442y x y x x =-?? ?=-++?? ，解得3318x y ?=-+??=-+?? 4418x y ?=--??=--??所以点P 3，P 4的坐标分别为（－1 ，－8＋ ），（ －1 ，－8－ ）， 综上可得，满足题意的点P 的坐标为（4 ），（4 （－1 ，－8＋ ）或（－1 ，－8－ ）． （3）由题意可设点M （0，m ），N （3，n ），且m ＞0， 则AM 2＝4＋m 2，MN 2＝9＋（m －n ）2，BN 2＝n 2． 而∠AMN ＝∠ABN ＝900 ， 所以△AMN 与△ABN 全等有两种可能： ①当AM ＝AB ，MN ＝BN 时， 可列方程组222 4259()m m n n ?+=? ?+-=?? ，解得11m n ?=??=?? 22m n ?=??=?? （舍）， 所以此时点M 的坐标为（0 ）． ②当AM ＝NB ，MN ＝BA 时，可列方程组：222 49()25 m n m n ?+=??+-=??·

等腰三角形存在性问题及真题典例分析(含解析)

等腰三角形存在性问题 几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法． 等腰三角形存在性问题 【问题描述】 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

C 21+23,0() C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13 34C C 、同理可求，下求5C ． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 故C 5坐标为（ 196,0） 解得：x = 136 3-x ()2+22=x 2 设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3， BH =2 而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．

【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3） ， （2）表示线段：5AC = 5BC （3）分类讨论：根据 55AC BC = ， （4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06?? ??? ． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ； （2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．