北师大版八年级下册-三角形手拉手模型-专题讲义

手拉手模型

1、等边三角形

条件：△OAB，△OCD均为等边三角形

结论：；；导角核心：八字导角

2、等腰直角三角形

条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形

结论：；；导角核心：

3、任意等腰三角形

条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD

结论：；；

核心图形：

核心条件：；；

例题讲解：

A类

1：在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，等边三角形要得到哪些结论？

要联想到什么模型？

证明：（1）△ABE≌△DBC；

（2）AE=DC；

（3）AE与DC的夹角为60°；

（4）△AGB≌△DFB；

（5）△EGB≌△CFB；

（6）BH平分∠AHC；

解题思路：

1：出现共顶点的等边三角形，联想手拉手模型

2：利用边角边证明全等；

3：八字导角得角相等；

2：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H. 等腰直角三角形要得到哪些结论？

要联想到什么模型？

问（1）△ADG≌△CDE是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分∠AHE？

解题思路：

1：出现共顶点的等腰直角三角形，联想手拉手模型

2：利用边角边证明全等；

3：八字导角得角相等；

3：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD，等腰直角三角形要得到哪些结论？

要联想到什么模型？

∠BAE =∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。探索GF 与多个中点，一般考虑什么？

GH 的位置及数量关系并说明理由。

解题思路：

1：有两个共顶点的等腰直角三角形，联想手拉手全等，连接BD，CE，△BAD≌△EAC

2：多个中点，联想中位线，得线段关系

B类

1：如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），

出现等边三角形，要想到哪些？

连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.

旋转60°，要做什么？

（1）如图1，猜想∠QEP=_______°；

（2）如图2，3，若当∠DAC 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3

，若∠

DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ 的长．

解题思路：

1：旋转60°，出现等边三角形

2：两个共顶点的三角形，联想手拉手全等 3：求线段长度，利用勾股定理

求线段长有哪些方法？ 有特殊的钝角，需要做什么？

2：在ABC ?中，2AB BC ==，90ABC ∠=?，BD 为斜边AC 上的中线，将ABD ?绕点D

顺时针旋转α(0180α?<

BE 与FC 相交于点H.

（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________;

（2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN =

CF 2

2

;

（3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系：.

解题思路：

线段的关系都有哪些？

出现中点要想到什么？

等腰直角三角形绕顶点旋转，是什么模型？

等腰直角三角形斜边的中线可以得到什么？

1：等腰直角三角形斜边的中线把三角形分成两个相同的等腰直角三角形 2：等腰直角三角形绕顶点旋转，联想手拉手模型 3：等腰直角三角形中出现中点，联想斜边中点 4：利用勾股定理得线段关系

3：在Rt △ABC 中，90ACB ∠=?，D 是AB 的中点，DE ⊥BC 于E ，连接CD ．

（1）如图1，如果30A ∠=?，那么DE 与CE 之间的数量关系是___________． （2）如图2，在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）如图3，如果A α∠=（090α?<

线段关系，一般有哪些？

旋转60°，要做什么，还要联想什么？

直角+中点，联想什么？

解题思路：

1：直角三角形斜边的中线是斜边的一半

2：30°的直角三角形，得到等边三角形

3：线段关系一般有和差倍，勾股定理

4：等腰三角形共顶点旋转，联想手拉手模型

C类

1：已知：在△ABC中，∠BAC=60°．

（1）如图1，若AB=AC，点P在△ABC内，且∠APC=150°，PA=3，PC=4，把△APC绕着点A 顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到△ADB，连接DP

旋转60°，要做什么，还要联想什么？

①依题意补全图1；

②直接写出PB的长；

（2）如图2，若AB=AC，点P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数；

（3）如图3，若AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=3，PB=5，∠APC=120°，请直接写出PC的长．

图1 图2图3

解题思路：

1：共点的三条线段，利用旋转，构造手拉手模型，使之放在同一三角形中

2：勾股定理，勾股数

3：沿用前两问思路，构造手拉手相似

2：在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.

（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG =AG+BG；

（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB= α（0o﹤α﹤90o），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；

给出共顶点的三条线段，要做什么？

当看到3，4，5，要来你想什么？

（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的

数量关系，并证明你的结论.

解题思路：

1：有60°角，联想等边三角形，联想手拉手

2：线段和差，联想截长补短

3：等腰三角形，构造手拉手模型

4：三条线段的关系：和差倍、勾股定理

课堂练习

A类

1：如图，已知ABC

?都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE ?和ADE

与AC CD

+相等的理由．

2：如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．

（1）求证：AE=BD；

（2）求证：MN ∥AB ．

3：已知：如图，△ABC 、△CDE 都是等边三角形，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点．

（1）求证：AD=BE ； （2）求∠DOE 的度数；

（3）求证：△MNC 是等边三角形．

B 类

1：在ABC △中，AB AC =，BAC ∠=α()060?<α

（1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，150BCE ∠=?，60ABE ∠=?，判断ABE △的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若45DEC ∠=?，求α的值

2.如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，连接对角线BD.

（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE.

①依题意补全图1；

②试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论；

（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系；

（3）如图2，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC=150°，连接FA和FC，探究线段FA、FB 和FC之间的数量关系，并证明.

（图1）（图2）

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=CD，∠ACD=α，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连接DE，AE，BD．

（1）依题意补全图1；

（2）判断AE与BD的数量关系与位置关系并加以证明；

（3）若0°＜α≤64°，AB=4，AE与BD相交于点G，求点G到直线AB的距离的最大值．请

）．

写出求解的思路（可以不写出计算结果

．．．．．．．．．

C 类

1:已知：2,4PA PB =

=，以AB 为一边做正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB

的两侧。（1）如图，当45APB ∠=时，求AB 及PD 的长

（2）当APB ∠变化， 且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应的APB ∠的大小

方法总结：

手拉手辅助线构造方法：

中考数学几何专题之手拉手模型(初三数学)

手拉手模型 【课堂导入】 什么是手拉手相似基本图形？与手拉手全等的基本图形类似，手拉手相似要比手拉手全等更具有一般性。 在上面右侧的四个图形中，每一个图形中都存在两对相似三角形，△ADE∽△ABC， △ADB∽△AEC，这两对相似三角形是可以彼此转化的。

【例1】已知：△ABC，△DEF 都是等边三角形，M 是 BC 与 EF 的中点，连接 AD，BE. （1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出 AD 与BE 的数量关系和位置关系； （2）△ABC 固定不动，将图1 中的△DEF 绕点M 顺时针旋转（0o≤≤90o）角，如图2 所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由； 【例2】以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．点E、F、M 分别是AC、CD、DB 的中点，连接FM、EM． ①如图 1，当点D、C 分别在 AO、BO 的延长线上时 F M E M ②如图2，将图1 中的△AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转60度角，其 他条件不变，判断 F M的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； E M

【例3】如图 1，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点 E，F 分别是线段 BC， AF=_______． AC 的中点，连结 EF．（1）线段B E 与A F 的位置关系是_______， BE （1）中的结论是（2）如图2，当△CEF 绕点C顺时针旋转α时（0°＜α＜180°） ，连结A F，BE， 否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【例4】如图 1，在四边形 ABCD 中，点E、F 分别是AB、CD 的中点，过点E 作AB 的垂 线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC． （1）求证：AD=BC． （2）求证：△AGD∽△EGF． （3）如图2，若AD、BC 所在直线互相垂直，求E F A D的值．

手拉手模型专题练习(全等或相似)

全等三角形是初中知识一个重点，考试时经常会以填空、选择、解答题的形式出现，所占分值比例较大，所以学习全等三角形尤为重要。全等三角形共有5种判定方式：SSSSASASA AAS HL。特殊情况下平移、旋转、对称也会构成全等三角形。 方法： 全等三角形判定方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等? 全等三角形判定方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等? 全等三角形判定方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等. 全等三角形判定方法四：AAS （角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等. 全等三角形判定方法五：HL （斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等? 附加：平移、旋转或对称的两个三角形全等? 注意事项： SSS SAS ASA AAS可用于任意三角形；HL只限于直角三角形. 注意SSA AAA不能判定全等三角形. 在证明时注意利用定理，如：等式性质、等量代换、等角重合有等角、公共边、公共角、对顶角相等、等角或同角的余角或补角相等、角平分线定义、线段中点定义等 证明全等写条件时注意书写顺序. 写全等结论时注意对应顶点的位置. 有时全等三角形会结合等腰三角形出现命题。

娱型一：手拉手模型一全等 等追三術形 届伴：46LB. 旳为等边三角刖坯论：①①6dAC/SZ> :② AFB = 60: ③OE平分_4ED （易忘） 务件：AOA目…\OCD沟为等谨总角三鬲形 站抡：①AOAC^AOSD :②亠AE￡=9（F ③OE平分_AED（务忘） 导角核心图形 弄憔RT\

三角形手拉手模型 专题讲义(无答案)

手拉手模型 1、等边三角形 条件：△OAB，△OCD均为等边三角形 结论：；；导角核心：八字导角 2、等腰直角三角形 条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形 结论：；；导角核心：

3、任意等腰三角形 条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：；； 核心图形： 核心条件：；； 例题讲解： A类 1：在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，等边三角形要得到哪些结论？ 要联想到什么模型？

证明：（1）△ABE≌△DBC； （2）AE=DC； （3）AE与DC的夹角为60°； （4）△AGB≌△DFB； （5）△EGB≌△CFB； （6）BH平分∠AHC； 解题思路： 1：出现共顶点的等边三角形，联想手拉手模型 2：利用边角边证明全等； 3：八字导角得角相等； 2：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H. 等腰直角三角形要得到哪些结论？ 要联想到什么模型？ 问（1）△ADG≌△CDE是否成立？ （2）AG是否与CE相等？ （3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分∠AHE？

解题思路： 1：出现共顶点的等腰直角三角形，联想手拉手模型 2：利用边角边证明全等； 3：八字导角得角相等； 3：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD，等腰直角三角形要得到哪些结论？ 要联想到什么模型？ ∠BAE =∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。探索GF 与多个中点，一般考虑什么？ GH 的位置及数量关系并说明理由。

手拉手模型专题训练

1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明： △ABE≌△DBC，AE=DC，AE与DC的夹角为60?，△AGB≌△DFB，△EGB≌△CFB， BH平分∠AHC，GF∥AC 2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，直线AE与CD相交于点H，求证：（1）AE=DC；（2）AE与DC的夹角为60?；（3）BH平分∠AHC. 3、如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H，求证： （1）AG=CE；（2）AG与CE之间的夹角为90度；（3）HD平分∠AHE.

4．将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图①方式放置，∠A=90°，AD边与AB边重合，AB=2AD=4。 将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度α（0°<α>180°），BD的延长线交CE于P。（1）如图②，证明：BD=CE，BD⊥CE； （2）如图③，在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求出CP的长。 ，PB=4，以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，且P、D两点在直线AB 5、已知：PA (1)如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长; (2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应∠APB的大小.

1、如图，已知△ABC的面积是3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC 与DE相交于点F，则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）. 2、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α． （1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC； （2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2； （3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由．

专题训练(三) 全等三角形的基本模型

专题训练(三)全等三角形的基本模型 ?模型一平移模型 常见的平移模型： 图3－ZT－1 1．如图3－ZT－2，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：∠A＝∠E. 图3－ZT－2 2．如图3－ZT－3，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF.求证：AE＝BF. 图3－ZT－3 ?模型二轴对称模型 常见的轴对称模型： 图3－ZT－4 3．如图3－ZT－5，∠B＝∠D，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，并说明理由． 图3－ZT－5 4．如图3－ZT－6，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD. 图3－ZT－6 5．如图3－ZT－7，A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF.求证：DE＝CF. 图3－ZT－7 6．如图3－ZT－8，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.求证：AB＝AC. 图3－ZT－8 ?模型三旋转模型 常见的旋转模型： 图3－ZT－9

7．如图3－ZT－10，已知AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE. 图3－ZT－10 ?模型四一线三等角模型 图3－ZT－11 8．如图3－ZT－12，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B. (1)求证：BC＝DE； (2)若∠A＝40°，求∠BCD的度数． 图3－ZT－12 ?模型五综合模型 平移＋对称模型：平移＋旋转模型： 图3－ZT－13 图3－ZT－14 9．如图3－ZT－15，点B，F，C，E在同一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC＝DF. 3－ZT－15 10．如图3－ZT－16，AB＝BC，BD＝CE，AB⊥BC，CE⊥BC.求证：AD⊥BE. 图3－ZT－16 详解详析

手拉手模型-含答案

手拉手模型 一．填空题（共18小题） 1．已知△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝7，BC＝17，以AC为斜边在△ABC外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为． 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则BD的长为． 3．四边形ABCD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，AD＝，CD＝14，则BD＝． 4．已知在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABC＝∠ADC＝60°，连接BD，若CD＝2，AB ＝2，则BD的长度为． 5．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝45°，CD＝，BC＝，连接AC、BD，若AC⊥AB，则BD的长度为．

6．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC 长为． 7．如图，D为△ABC内一点，且AD＝BD，若∠ACD＝∠DAB＝45°，AC＝5，则S△ABC ＝． 8．如图，线段AB绕着点A逆时针方向旋转120°得到线段AC，点B对应点C，在∠BAC 的内部有一点P，P A＝8，PB＝4，PC＝4，则线段AB的长为． 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，＝，D为△ABC外一点，连接AD、CD．若∠ADC＝30°，AC＝AD，则的值为．

10．如图，△ABC、△CDE是两个直角三角板，其中∠ECD＝∠ACB＝90°，∠CED＝45°，∠CAB＝30°，若AB＝DE＝2，将直角三角板CDE绕点C旋转一周，则|AD﹣BE|的最大值为． 11．如图，点D为等边△ABC外一点，∠ADC＝60°，连接BD，若AD＝8，△BCD的面积为，则BD的长为． 12．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝6，AD⊥AC，AD＝AC，连接BD，则BD的长为． 13．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝12，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD，且∠DAC＝120°，则BD的长为．

全等三角形模型之手拉手模型

手拉手模型 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） ) （3） AE=DC （4） AE 与DC 的夹角为60。 （5） △AGB ≌△DFB （6） △EGB ≌△CFB （7） BH 平分∠AHC （8） ` （9） GF ∥AC , % 》 H F G E D

| 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） \ （ 2） △ABE ≌△DBC （3） AE=DC （4） AE 与DC 的夹角为60。 （5） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC ! # @ 变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 、 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

* ！ 例题2：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H 问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 % （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分∠AHE : ~ 。 。 例题3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二者相交于H.

问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 — （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分∠AHE ] { ' 例题4：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD. 问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立 （2）AE 是否与CD 相等 （3）AE 与CD 之间的夹角为多少度 （4）HB 是否平分∠AHC

中考数学专题训练-旋转模型几何变换三种模型手拉手-半角-对角互补

几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? 等腰三角形 手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形） 等边三角形（包含费马点） 特殊角 旋转变换对角互补模型 一般角 特殊角 角含半角模型 一般角 等线段变换（与圆相关） 【练1】（2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BACα ∠=（060 α ?<

【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜 想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．

考点1：手拉手模型：全等和相似 包含： 等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种 位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似） 例题精讲

ni三角形手拉手模型-专题讲义

手拉手模型 1．等边三角形 导角核心：八字导角 条件：△OAB ，△OCD 均为等边三角形 结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB = 60°；③OE 平分∠AED 2．等腰直角三角形 导角核心： 条件：△OAB ，△OCD 均为等腰直角三角形 结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB = 90°；③OE 平分∠AED 3．任意等腰三角形 核心图形：核心条件：OA=OB ；OC=OD ；∠AOB=∠COD 条件：△OAB ，△OCD 均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=∠AOB ；③OE 平分∠AED 例题讲解： A 类 1．在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ， 等边三角形要得到哪些结论？ 要联想到什么模型？

证明：（1）△ABE ≌△DBC ； （2）AE=DC ； （3）AE 与DC 的夹角为60°； （4）△AGB ≌△DFB ； （5）△EGB ≌△CFB ； （6）BH 平分∠AHC ； 解题思路： 1．出现共顶点的等边三角形，联想手拉手模型 2．利用边角边证明全等； 3．八字导角得角相等； 2．如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG 、CE ，二者相交于H. 问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分∠AHE ？ 解题思路： 1．出现共顶点的等腰直角三角形，联想手拉手模型 2．利用边角边证明全等； 3．八字导角得角相等； 3．如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD ，∠BAE =∠CAD=90°， 点G 为BC 中点，点F 为BE 中点，点H 为CD 中点。探索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。 多个中点，一般考虑什么？ 等腰直角三角形要得到哪些结论？ 要联想到什么模型？ 等腰直角三角形要得到哪些结论？ 要联想到什么模型？

手拉手模型

手拉手模型 手拉手模型 特点：由两个顶角相等的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形： 例1.如图，B 是线段AC 上一点，分别以AB 和BC 为边长，在直线AC 的同一侧作两个等边三角形，△ABD 和△ECB ，连接AE 和CD ，AE 与DC 交于点H ，与BD 与BE 交于点G ，F ． （1）求证：△B CD ≌△BEA ； （2）探究△BFG 的形状，并证明你的结论．

思考：的数量关系。与DC AE （2）AE 与DC 之间的夹角为? 60 （3）DFB AGB ??? （4）CFB EGB ??? （5）BH 平分AHC ∠ （6）AC GF // 变式精练1：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1）AE 与DC 的夹角为60°； （2）AE 与DC 的交点设为H ，BH 平分∠AHC ． 思考：DC AE =；AE 与DC 之间的夹角为?60 试一试继续旋转结论是否成立。

变式精练2.以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE． （1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由； （2）延长BD交CE于点F，试求∠BFC的度数； （3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由． 练习：已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50° （1）求证：①AC=BD；②∠APB=50°； （2）如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系为，∠APB的大小为

全等三角形常见的几何模型

全等三角形常见的几何 模型 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：???????，造中心对称遇中点旋全等 遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角 旋遇，造等边三角形 旋遇自旋转构造方法0000 018090906060 （2）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和 △ BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） B H 平分∠AHC （7） G F ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。 （4） A E 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

3、（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CB N，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1)?如图1，当点D在边BC上时，求证：①?BD=CF???②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； ? (3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 例1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2， 求PCQ 的度数。

人教版中考专项复习全等三角形手拉手模型(word 版 无答案)

第1页/共1页 全等三角形--------手拉手模型 例题1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠ AHC 变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△ BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 AHC （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠例题2：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H 问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分∠AHE ？ 例题3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG ,CE,二者相交于H. 问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分∠AHE ？ 例题4：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中 AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD. 问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？ （3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分∠AHC ？ H F G E D A B C E B D A C H E B D A C H G A D C E H D A B C E

中考专题复习几何题用旋转构造手拉手模型

中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型 一、教学目标： 1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征． 2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题． 3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题． 二、教学重难点： 1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等． 2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择． 三、教学过程： 1.复习旧知 师：如图，△ABD，△BCE为等边三角形，从中你能得出哪些结论 生：（1）△ABE≌△DBC（2）△ABG≌△DBF （3）△CFB≌△EGB（4）△BFG为等边三角形 （5）△AGB∽△DGH（6）∠DHA＝60°（7）H，G，F，B四点共圆（8）BH平分∠AHC……师：我们再来重点研究△ABE与△DBC，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢 生：它们有同一个字母B，即同一个顶点B． 师：我们也可以把△DBC看作由△ABE经过怎样的图形运动得到 生：绕点B顺时针旋转60°得到． 2.引入新课 师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢 生：对应边相等． 师：我们可以称之为“等线段”． 生：有同一个顶点． 师：我们可以称之为“共顶点”． 师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动 生：旋转． 师：“手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转． 3.小题热身

图12图3 1．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C，则AF＝____BE． 2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______． 3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BE＝3，DF＝5，则EF＝_______． 师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗请你找出其中的“等线段，共顶点”． 生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD． 题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE．师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗 生：没有． 师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢 生：等线段是AD，AB，共顶点是A． 师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢 生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°． 师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的 生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时 针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等． 师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗 生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转． 师：旋转角度如何确定，方向怎么选择 生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向 应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致． 师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型” 的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢 步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”． 步骤2：选择其中一个三角形，将其中经过“共顶点”的线段旋转． 步骤3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等

专项练习(二) 全等三角形的基本模型

专项练习(二)全等三角形的基本模型?基本模型一平移模型 常见的平移模型： 图2－ZT－1 1．如图2－ZT－2，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝D B. 求证：∠A＝∠E. 图2－ZT－2 2．如图2－ZT－3，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF. 求证：AE＝BF. 图2－ZT－3 ?基本模型二轴对称模型 常见的轴对称模型： 图2－ZT－4 3．如图2－ZT－5，∠B＝∠D，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，并说明理由． 图2－ZT－5 4．如图2－ZT－6，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE. 求证：BE＝CD. 图2－ZT－6 5．如图2－ZT－7，A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF. 求证：DE＝CF. 图2－ZT－7 6．如图2－ZT－8，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.求证：AB＝AC. 图2－ZT－8

?基本模型三旋转模型 常见的旋转模型： 图2－ZT－9 7．如图2－ZT－10，O是线段AB和线段CD的中点．求证：(1)△A OD≌△BOC； (2)AD∥BC. 图2－ZT－10 8．：如图2－ZT－11，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE. 图2－ZT－11 ?基本模型四一线三等角模型 图2－ZT－12 9．如图2－ZT－13，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC ＝CE，∠ACD＝∠B. (1)求证：BC＝DE； (2)假设∠A＝40°，求∠BCD的度数． 图2－ZT－13 ?基本模型五综合模型 平移＋对称模型： 图2－ZT －14 10．如图2－ZT－15，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB ∥ED，AC∥FD.求证：AC＝DF. 图2－ZT－15 平移＋旋转模型： 图2－ZT－16 11．：如图2－ZT－17，AB＝BC，BD＝EC，AB⊥BC，EC⊥BC.求证：AD⊥BE. 图2－ZT－17 详解详析

全等三角形之手拉手模型专题

全等三角形之手拉手模型专题 基本图形1、图（1）中，C点为线段AB上一点，△ ACM △ CBN是等边三角形，AN 与BM相等吗说明理由； 如图（2）C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在 AB的异侧，此时AN与BM相等吗说明理由； 如图（3）C点为线段AB外一点，△ ACM △ CBN是等边三角形，AN与BM 相等吗 说明理由. 分析：题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明，由已知条件，利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等，证明全等，即可得到线段相等. 解：（1）相等. 证明如下：???△ ACM △ CBN是等边三角形， ??? AC=CM CN=BC 又/ ACN=/ MCN+60 / MCB M MCN+60 , ???/ ACN=/ MCB ?△ ACNm MCB ?- AN=BM （2）相等. 证明如下：???△ ACM △ CBN是等边三角形， ?AC=CM CN=BC 又/ ACN=/ MCB ?△ ACNm MCB ?AN=BM （3）相等. 证明如下：???△ ACM △ CBN是等边三角形， ?AC=CM CN=BC 又/ ACN=/ MCN+60 / MCB M MCN+60 , ?/ ACN=/ MCB ?△ ACNm MCB ?AN=BM 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键. 图(1) 图(3)

变形 2、( 1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM 和厶CBN连接AN, BM分别取BM AN的中点E，F，连接CE CF，EF.观察并猜想△ CEF的形状，并说明理由. (2)若将(1 )中的“以AC, AC BC为 腰在AB的同侧作等腰△ 那么(1)中的 结论还成立吗若成立，由. 得出AN=BM, / ANC=Z MBA ,再证 △ NFC^^ BEC得出CE=CF / BCE=/ NCF利用等边三 角形的角度60 , 得出/ ECF=60 ,证得结论成立； (2)证明过程如上(1)中的结论只有CE=CF而/ ECF只等于等腰三角形的顶角工60°,得出结论不成立. 解：(1)如图1 , △ CEF是等边三角形， 理由：???等边△人。皿和厶CBN ??? AC=MC BC=NC / ACN=/ MCB 在厶ACN和厶MCB中 NC= BC / ACN=Z MCB AC= MC ?△ ACNm MCB( SAS , ?AN=MB / ANC=/ MBA 在厶NFC和厶BEC中， NC= BC / FNC=Z EBC NF= BE ?△ NFC^A BEC( SAS , ?EC=CF ???/ BCE+Z ECN=60 , / BCE2 NCF, ?/ ECF=60 , ?△ CEF是等边三角形； (2)如图2,不成立，首先/ ACN^Z MCB ?△ ACN与厶MCB不全等. 如果有两个等腰三角形的顶角相等，那么结论也不成立， 证明方法与上面类似，只能得到CE=CF而Z ECF只等于等腰三角形的顶角工60° 点评：此题综合考查等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性 质，等腰三角形的性质等知识点. BC为边作等边△ ACM和厶CBN改为“以 ACM和厶CBN”如图2,其他条件不变，加以证 明；若不成立，请说明理

全等三角形证明中的基本模型

把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型 【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =． 求证：CF DE = 模块一 平移型全等 知识导航 知识互联网 夯实基础 全等中的基本模型 F E D C B A

【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠=? 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BD AE BF =?? =? ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =?? ∠=∠??=? ∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE = 【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF = 求证：AFC DEB △≌△ 如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由． 图1 F E D C B A 图2 F E D (C ) B A 图3 F E D C B A 常见轴对称模型 知识导航 模块二 对称型全等 能力提升

【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 ⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________． 【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． 求证：AM AN =． 常见旋转模型： 夯实基础 能力提升 知识导航 模块三 旋转型全等 E D N M C B A 43 2 1 E D C B A D O F E C B A

全等三角形常见的几何模型

1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋 全等遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2 ）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （ 3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △ EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC （1）如图1，点C 是线段 AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1) 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ? ②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。

勾股定理(手拉手模型)(人教版)

人教版八年级下册期中备考提升训练 勾股定理 ?知识点睛 旋 转 结 构 （ 手 拉 手 ：等线段共端点，考虑旋转，借助全等整合条件．常见手拉手模型举例 如图，△ABC，△ADE 均为等边三角形，则出现了AB=AC，AD=AE 等线段共端点的结构，所以连接BD，CE，可以证明△ABD≌△ACE，即把 △ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE． ?精讲精练 1.如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，△ACB 的顶点A在△ECD 的斜边D E 上．若A E=8，AD=15，则A B= ，AC= ． 2.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 在BC 边上，连接AD，过 点A 作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，AF 平分∠DAE 交BC 于F，连接BE．若D F=10，BE=6，则A B 的长为． 1

17 3.如图，已知CA=CB，CF=CE ，∠ACB =∠FCE=90°，且A，F，E 三点共线，AE 与CB 交于点D． （1）求证：AF2+AE2=AB2； （2）若A C= ，BE=3，则C E= ． 4.如图，E 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边 作一个正方形AEFG，线段GB 与线段ED，AD 分别交于点H，M． （1）求证：ED=GB； （2）判断ED 与GB 的位置关系，并说明理由； （3）若AB=2，AE= ，则G B= ． 2 2

5.（1）如图1，O 是等边△ABC 内一点，连接OA，OB，OC，且OA=3，OB=4，OC=5， 将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD，连接OD． ①旋转角是度； ②线段O D 的长为； ③求∠BDC 的度数． （2）如图2 所示，O 是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA，OB，OC，∠AOB=135°，OA=1，OB=2，求OC 的长． 小明同学借用了图1 的方法，将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD，请你继续用小明的思路解答，或是选择自己的方法求解． 3

全等三角形模型之手拉手模型

手拉手模型 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC （2）AE=DC （3）AE与DC的夹角为60。 （4）△AGB≌△DFB （5）△EGB≌△CFB （6）BH平分∠AHC （7）GF∥ AC H F G E D

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC E B D H B D E B D E B D H B D H B D

例题2：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H 问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分∠AHE 例题3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二者相交于H. 问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分∠AHE F

例题4：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD. 问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立 （2）AE 是否与CD 相等 （3）AE 与CD 之间的夹角为多少度 （4）HB 是否平分∠AHC 课程顾问签字： 教学主管签字：

初中几何专项——手拉手模型

E A D B C E A D B C E D C B A 图3图21图 O H G A B C D M P D E C B A 手拉手模型 模型 手拉手 如图，△ABC 是等腰三角形、△ADE 是等腰三角形，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE= 。 结论：△BAD ≌△CAE 。 模型分析 手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。 模型实例 例1．如图，△ADC 与△GDB 都为等腰直角三角形，连接AG 、CB ，相交于点H ，问：（1）AG 与CB 是否相等？ （2）AG 与CB 之间的夹角为多少度？ 3．在线段AE 同侧作等边△CDE （∠ACE<120°），点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点。 求证：△CPM 是等边三角形。

F E C B A H D E C B A 1．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在 BC上，且AE=CF。 （1）求证：BE=BF； （2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数。 2．如图，△ABD与△BCE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点 H．证明： （1）AE=DC； （2）∠AHD=60°； （3）连接HB，HB平分∠AHC。

B A D C P E 3 图B D A E C 图21图P D E C B A 3．将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图①方式放置，∠A=90°，AD 边与AB 边重合，AB=2AD=4。将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°<α>180°），BD 的延长线交CE 于P 。 （1）如图②，证明：BD=CE ，BD ⊥CE ； （2）如图③，在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长。