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计算方法习题集及答案

习题一

1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法

2. 试证明 n

T n i n

i x x x x x x R ∈==≤≤∞

),,(,

max 211 及.)(,max

n ij n

j ij n

i a A a A

?=≤≤∞

∈==∑

证明：

（1）令1m ax r i i n

x x ≤≤=

1/1/1/1/1

lim ()

lim [(

)]

lim [(

)]

lim n

p i r p

p p

i r r r r p p p p i i i r

x x x

x x x x n

x x x ∞

→∞

=====≤=?=∑∑∑

即r x

x ∞

≤

又1/1/1

lim ()

p p

i r

r p p i i x x x →∞

→∞

==≥=∑∑

即r x

x ∞

≥ r x

x ∞

⑵ 设1(,...)0n x x x =≠，不妨设0A ≠，

令11

m ax n

i n

j a μ≤≤==∑11111

m ax m ax m ax m ax n

ij j ij j i ij i n

i n

j j j Ax

a x a x x a x

μ∞

∞

≤≤≤≤≤≤≤≤====≤≤=∑∑∑

即对任意非零n x R ∈，有

Ax x

μ∞∞

≤

下面证明存在向量00x ≠，使得

Ax x μ∞∞

=，

设01

i j j a μ==

∑

，取向量01(,...)T

n x x x =。其中0()(1,2,...,)j i j x sign a j n ==。

显然0

1x ∞

=且0A x 任意分量为0

n n

i j j i j i i a x a ===

∑∑

，

故有00

m ax

j i j i

i j A x a

x a μ∞

====

=∑∑

即证。

3. 古代数学家祖冲之曾以113

355作为圆周率π的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？

解：1

3250.31415929210133

x =

3550.26610

0.510

113

x x

π*

---=-

=?≤?该近似值具有7为有效数字。

4. 若T (h )逼近其精确值T 的截断误差为

∑∞

-=1

2)(:)(i i

A T h T T R

其中，系数i A 与h 无关。试证明由??

???=--==--

,2,1,14)

()2(4)( )()(110m h T h T h Tm h T h T m

m m m

所定义的T 的逼近序列)}({h T m 的误差为∑∞

=+=-1

()(i m m i

m h

T h T ，

其中诸)(m i A 是与h 无关的常数。

证明：当m=0时 20

i 1

T h T =i

i h ∞

==?=∑左边（）-右边设m=k 时等式成立，即()22k

i 1

T h T =k k i

i h ∞

+=?∑（）- 当m=k+1时

()22()221

4[()][()

()()

2T h T ==41

k k k i

k k i

k i

k k i i k k k h

T T h T T h T T

∞

++++==++++

-+?

-----∑∑（）-

()2(1)21

()k k i

i h ∞++==

∑ 即证。

习题2

1. 试构造迭代收敛的公式求解下列方程：（1）4

sin cos x

x x +=

; (2)x

x 24-=。

解：

（1）迭代公式1cos sin cos sin ,()

k k

k x x x x

x x ?+++=

，'()1x ?<公式收敛

0.25098x ≈

（2）ln(4)()ln 2x x ?-=

，0 1.5x =，'0()1x ?< 局部收敛 1

ln(4)k k x x +-=

1.386x ≈

2. 方程0123=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：（1）2

11x

x +

=,对应迭代公式2111k

k x

x +

=+;

（2）231x x +=，对应迭代公式3

11k k x x +=+;

（3）1

12-=

x x ,对应迭代公式1

11-=

+k k x x 。

判断以上三种迭代公式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛公式求出5.10=x 附近的根到4位有效数字。解：

（1）2

1()1x x

?=+

2()x x

?=-

'0()1x ?< 局部收敛

（2）()x ?= 2'

2()(1)

3x x x ?-=-

+ '0()1x ?< 局部收敛

（3）()x ?= 2

31()(1)2

x x ?-

- '

0()1

x ?> 不是局部收敛迭代公式（1）：

1.466x ≈

迭代公式（2）：

1.466x ≈

3. 已知)(x x ?=在[a,b]内有一根*

x ，)(x ?在[a,b]上一阶可微，且13)(],,[<-'∈?x b a x ?，试构造一个

局部收敛于*

x 的迭代公式。解：

方程()x x ?=等价于0.5[()3]x x x ?=- 构造迭代公式10.5[()3]k k k x x x ?+=-- 令()0.5[()3]x x x φ?=--

由于()x ?在[a,b]上也一阶可微 '

[0.5(()3)]0.5()30.51

x x x ??'--=-

<< 故上述迭代公式是有局部收敛性.

4. 设)(x ?在方程)(x x ?=根*x 的邻近有连续的一阶导数，且1)(*<'x ?，证明迭代公式)(1k k x x ?=+具有局部收敛性。证明：

()x ?在*x 邻近有连续一阶导数，则'

()x ?在*x 附近连续，令'*()1x L ?=<则取1L ε=-

则 *0x x σσ?>-<当时有 ''*()()x x ??ε-< 从而 '''*'*()()()()(1)1x x x x L L ????≤-+<+-=

**'**

()()()()()x x x x x x x x ????ξσ-=-=-<-<

故 **x x σ?σ-+<(x)< 令 *a x σ=-，*b x σ=+

由定理2.1知，迭代公式1()k k x x ?+=是有局部收敛性。

5. 用牛顿法求方程0742)(23=---=x x x x f 在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。解：32()247f x x x x =---

'2()344f x x x =-- y 次迭代公式32

247344

k k k k k k k x x x x x x x +---=-

3.63x ≈

6. 试证用牛顿法求方程0)3()2(2=+-x x 在[1,3]内的根2*

=x 是线性收敛的。解：

令2

()(2)(3)f x x x =-+

()328(2)(34)f x x x x x =--=-+ y 次迭代公式1(2)(3)

k k k k k x x x x x +-+=-

故*

11(2)(3)

(2)(21)

234

k k k k k k k k k x x x x e x x x x x ++-+-+=-=--

2k k k e x x x =-=- 从而

12134

k k k

k e x e x ++=

+，k →∞时，2k x →

故k →∞，

112

k k

e e +→

故牛顿迭代公式是线性收敛的

7. 应用牛顿法于方程03=-a x , 导出求立方根3a 的迭代公式，并讨论其收敛性。解：3()f x x a =- '2()3f x x =

相应的牛顿迭代公式为3

233k k k k k

x a x a x x x

x +-+=-

迭代函数3

22()3k k

x a x x

?+=

，3

22()3x a x x

?-=

，''4()2x ax ?-=

则'0?=

，''0

?≠

习题3

1. 设有方程组

??=+-=++--=++3

103220241225321321321x x x x x x x x x (1) 考察用Jacobi 法，Gauss-Seidal 法解此方程组的收敛性； (2) 用Jacobi 法及Gauss-Seidal 法解方程组，要求当4

)

()

1(10

-∞

+<-k k x

x 时迭代终止。

解：（1）5

211

442

10A ??

=-????-??

A 是强对角占优阵。故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。

（2）2

112

12355

x x x =---

11213425x x x =-

313135

310

x x x =-++

雅克比法：

(1)

()

321

125

k k k x x x +=-

，3

(1)

()

112

5k k k x x x +=

+，2

(1)

()

313

510

310

k k k x x x +=-

，

取初始向量(0)

(0)

0x x x ===，迭代18次有18174i 10i x x --<（i=1,2,3）

1 3.999996x =-，

2 2.999974x =，

3 2.000000x =

高斯-塞德尔法：

(1)

()

321

125

k k k x x x +=-

，3

(1)

()

112

5k k k x x x +=

+，2

(1)

()

313

510

310

k k k x x x +=-

取初始向量(0)

(0)

0x x x ===，迭代8次有874i 10i x x --<（i=1,2,3）

1 4.000033x =-，

2 2.999983x =，

3 2.000002x =

2. 设有方程组???=+=+2

2221211

212111b x a x a b x a x a , )0,(1211≠a a ,

迭代公式：???

????-=-=--)(1)(1)

1(221222)(2)

1(212111

)(1k k k k x a b a x x a b a x , ,2,1=k .

求证由上述迭代公式产生的向量序列{})

(k x

收敛的充要条件是122

112112<=

a a a a γ

证明：

迭代公式(1)()

k k x Bx f +=+中的矩阵12112122

0a a B a a ??-

???

?=??

-??

，212211122det()a a

E B a a λλ-=-，

由迭代收敛的充要条件知 12211122

()11

a a B a a

ργ

<即证。 3. 用SOR 方法解下列方程组（取松驰因子2.1=ω）,要求4

)

()1(10-∞

+<-k k x

x .

?=-=+5

22121x x x x . 解：SOR 方法 1

2(1)()()

()

111111211

()k k k k x x b a x a x a ω

+=+

2(1)()

(1)

()

222212222

()k k k k x x b a x a x a ω

++=+

11122122122,1,1,4,1,5, 1.2a a a a b b ω====-===

故2

(1)

()

0.20.60.6k k k x x x +=--+，1

(1)

()(1)

20.20.3 1.5k k k x x x ++=-+-

迭代初值(0)

(0)

0x x ==

(16)

(15)

0.00005210

-∞

-=<

(16)

1.000017x x == (16)

0.999991x x ==-

4. 用选列主元高斯消去法求解方程组

??=---=-+-=+-0

232122743321321321x x x x x x x x x

解：

()3

1473147524122103332

071414033

331473147714147141400

333

33524004

203

3A D ?

???--??????

??→---→-??????--????

??---?

???--??????????→--

-→---???

?????--??

解得

()2,1,0.5χT

5. 用追赶法解三角方程组

?????

????????=????????????????????????????????--------0000121

12100012100012100012

54321x x x x x 解：高斯迶元

11100022

12100012010031210003

10121003001044

0012101400

20000155100

16?

???

-?????-?

-??

--?????

???→---??

--?

???????--?

???????

回代得

11614115563

13114432121233231125223

x x

x ==+?==+?==

+?==

+?= 解为 (

)

521116

x T

6. 用三角分解法求解方程组

????

?????=????????????????????-----765202

16184842321x x x

解：系数矩阵三角分解为： 2

810024

181621001032

220311

076

?????

???

?--=

-??

??????????----?????? 原方程可表为： 1

231

002

4852

10010328

0767χχχ

-?????????

???????-=??????????????--

??????????

解 12310052

1083

17y y y ??

???????

?????=??????????-????????

得 ()

10y T

=--

解 12324

850

103220

0761

0x x x ??-????

??????

-=-??????

??????--?????? 得291215,, 1.5316,0.2211,0.1316x ??

? ? ???

T T

--=

7. 用选主元法去法计算下列行列式的值1

423

621.

解：211

3311

51126

951

1113

243240339

530

m r r m =?

=???→???→----

322

323

539

159

155313531300

99991113000

m r r l l =?

????

→--

????→-

---

533093

0953?

???

=?-

?-= ? ?????

8. 设???

??=111014A 计算 ∞)(A cond . 解：

14110

441--110101144-11-1010A -??

????=

???

????

()

411044

110104110cond A A

A ??

+-==+≈ ?∞

∞

?∞-??

习题四

1. 给出概率积分

dx e

x f x

)(π

的数据表：试用二次插值计算)472.0(f .

解：取插值节点：

0.46x

0.47

= 2

0.48x =

()()

()()()()

()()

200201120

010*********x x y l L i i i x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x =∑=------=

++------

()()()22

0.4720.4955616

0.4720.4720.4955616

L f L ===

2. 已知y =sin x 的函数表试构造出差商表，利用二次Newton 插值公式计算sin(1.609)(保留5位小数)，并估计其误差.

解：由题意得如下差商表

()

001,,,0 1.50.997491 1.60.999570.020802

1.7

0.99166

0.02915

0.49950

k k k f

f f x

x x x x x x ????????

故 ()()()()(

)()()()

()

()()()2

2320.997490.020801.50.499501.5

1.6

1.609

0.999271.6091.6091.51.609

1.6

1.609

1.7

x x x x

N R f

ξ=+?-+-?--==

---

又 ()s i n ,f

x x = ()

()3c o s x x f

()

()3 1.5 1.7

cos 0.12884max

x x f ξ≤≤≤≤

故：()261.609 1.9210R -≤? 3. 设j x 为互异节点(n j ,,1,0 =),求证

(1)

),,1,0()(0n k x x l x

j k

j k j

=≡∑=

(2)

),,1,0(0)()(0

n k x l x x

j j k

=≡-∑=

证明：()1 令 ()k

f x x

()()0

n j j j x x x l L ==∑

又

()()()()

()

()()11

1!n n

n x f x x x n f

R L ξω

++=-=+

所以 ()

()10n f

ξ+= 故

()0n

x R =

)()k

x f x x

≡=

()2 原等式左边用二项式展开得：

()

()()()()()1

1k n

k k

j j j

n j j j j j x x x x x j x x l x l C x l x l -==??

=-++????

--∑∑

()()()()1

k k j j n j j j j j x x x

x x l C x l x x l -=??

-++??

-∑

由()1结论

()0

j j j x x x x

=≡∑ 得

()()()x

x C x

C x l

x x k

k n

k n k

j k

x j 0

1-∑-+

++-=--=

()

011k

x =

=- 即证

4. 若n n y 2=,求n y 2?和n y 4

解：

()()2

n n

y y

+=??=?

2222

n n n

++++=

-?+

112

n n y

δδ

=- ()()2

n n

n y

+-=

311

2111

2n n n n n n n n y y y y y

y y

y δδ

δδδ

δ+

-??

????=---??

? ????

???

?----

? ??

???

()(

)(

)

(){}()

(

)()

()

{}2

112

n n n n

n n

n n n

n n

n y

y y y y

y y y y y

y y

y ++++-+----????=---

-??

????--

---

211

464

222

n n n

n n n n n

n n n y

++--++---=

-+-+=

-?+?-?+=

5. 证明两点三次Hermite 插值余项是

),(,)())((!41)(12

12)

4(3++∈--=

k k k k x x x x x x f

x R ξξ

证明： ()()()3

f x x x s R =+

且 ()()()()3

0,0,0,0k

k k

k x x x x R R R R ++''

====

即 1

,k k x x

+为()3x R 的二阶零点

设

()()()()

()()2

31x R x f

x x k k x x x x s R ==-+--

令 ()()()()()()()

()()2

11k k t f t t f x x k k t t x x s

s x x x x ?+??=-

-??+----

易知 ()()()()110,0,0,0k k k k x x x x ????++''==== 又 ()0x ?=

由微分中值定理（Rolle 定理）))11

2,,,k k x x x x ξξ+???∈∈??，使得 ()()1

0,0??ξξ'

'==

进而 ()x ?''有三个零点，?()x ?'''有两个零点，?()

()4x ?有一个零点，

即 ()1,k k x x ξ+?∈使得()

()40ξ?

()

()()

()()()

()442

001x k k f

R x x x x ξξ?

=--

=+--

得

()()

()()()

114!

x k k x x f

x x R ξ=

+-- ()1,k k x x ξ+∈

6. 构造适合下列数据表的三次样条插值函数S (x )

解：已知,3,1,0,13210===-=x x x x

,31,

===-=y

边界条件 28,

2,1,0,1

+i x

i i

即2,1,1210===h h h 从而

,211

h h

h h a

()

6131

=????

????-

=h f

a h f

a b

()

18132

=???

???

a b

28,430

==m m

解 ???

????=?????

????

??-?-=????

?????????

???

32642831

18421

623

1221m m 得4,121==m m 当 []x x x 1

,∈

即

[]0,1-∈x 时

()32101212

010+=

??? ?

+++=

? ??---x x x x α

()()x x x x 210102111012

? ??

---+=+??

??++α

()()112

010+=+=

? ??---x x x x β

()()x x x x 11012

0+??

? ??++=-=β

故 ()()()()()13

++=+++=

x x x x x x s x

m m y y ββαα

同理，在[]1,0及[]3,1上均有 ()31s x x x =++

7. 用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，使与下列数据相拟合

解：依题意 ()()x x x m n 2

,1,1,4====??

故

()()()5,0

==∑=x x i

i ????

()5327,4

==∑=i i

()5327,0

=??

()7277699,4

==∑=i i

()4.2710

∑=x y i

i i

?α

()5.369321

∑=x y i

i i

?α

正则方程为 ??

=+=+5.36932172776995327

.271532751010αααα

解得

050.0,973.010

==αα

故拟合曲线为 x

y 2

.0973.0+=

习题5

1．试确定下面求积公式

-++≈1

210)]()()([)(x f x f x f C dx x f

使其具三次代数精度.

解：要公式有3次代数精度，需有

1012112222

012113333

0121(111)2

()02()3()0C dx C x x x xdx C x x x x dx C x x x x dx ----?++==?

++==??

??++==

?++==??

????

解得：0122,0,3

C x x x =

===-

故求积公式为11

2()[(0)(3

f x dx f f f -=++-

2．在区间],[b a 上导出含五个节点的Newton-Cotes 公式，并指出其余项及代数精度.

解：

0,()()()

(1)

()[!()!]

b n a

n N n

n i i n

f x dx b a B f a nh B t i dt N n N n =-=≠=-+-=

--∑?

∑

当4N =时，0127162,,90

B B B =

又n N n B B -= 故3140167,45

B B B B ====

当4N =时，有求积公式

012341464246414()()()()()()45

b a

f x dx hf x hf x hf x hf x hf x =

（＊）

其中,,1,2,3,44

i b a h x a ih i -=

=+=

由Lagrange 差值定理有：(41)

()

(,)()(41)!

i f

R f x x x ξ+==

-+∏

故余项5

()(,)()5!

b i

i f R f x x x dx ξ==

-∏?

对（＊）至少有四次代数精度

(),5f x x C ==时式（＊）左边=右边=

b a -

6C =时 ≠左边右边故（＊）式具有5次代数精度

3．分别用复合梯形公式及复合Simpson 公式计算

)

1ln(dx x x , (取步长h =1/6).

解：（1）用复合梯形公式11,2,6

a b h ===

故 6N = ()ln(1)

x f x x =

1() 1.4427ln 21716() 1.5089

6ln(1316)2413() 1.57366ln(713)3312() 1.63706ln(512)4513() 1.6992

6ln(813)11

56() 1.7604

ln(1716)2

() 1.8205

ln(3)

f a f a f a f a f a f a f b ==+==+==+==+

=+===

= 5

2()16.3582

1[()()2()] 1.6351167

ln(1)

n n n n f x x dx f a f b f x x ==∴=≈

++=+∑∑?

（2）用复合Simpson 公式：

1()() 1.4760123514()() 1.541412ln(914)517112()() 1.6055

ln()

14f x f a f x f a f x f a =+

==+

===+

1125

719112()() 1.6683

12ln(31112)9714()() 1.7299

1112

ln()

41123112()() 1.790535

ln()

124()39.2464

1()[()()4()2()] 1.6352167

n n b n n a

n n f x f a f x f a f x f a f x f x dx f a f b f x f x +=+===+

===+

==+

==∴=≈

+++=∑∑∑?

4．用变步长梯形求积公式计算

-1

dx e

, (精确到4

10-).

解：2

0,1,()x

a b f x e

-===

01[()()](1)0.683939722

2b a T f a f b e

--≈

由 1

121[()]

1121(

)

k k k k k

n k k

n b a n T T f a b a n T f ---=-=--≈+

--=+

∑

(1,2,)

k = 得：

1031()()

4421324311

()0.73137025222

131[()()]0.36568513()0.742984124444

1357

[()()()()]0.7458656228888811135791113[(

)()(

)(

)2161616

T T f T T f f T T f f f f T T f f f f f f f f e e --≈+=≈++=++=≈++++=≈++++++++2

54132

651

015(

)]0.7465845916

1121(

)0.74676425232321121

(

)0.74681

6464

||100.74681

n n x

n T T f n T T f T T e

dx ==--=-≈+=-≈+

=-<∴≈∑

∑

5．用Romberg 算法计算积分

2)sin(π

dx x , (精确到4

-).

解：

(0)

0(1)

(0)

(1)

(0)

0,,()sin 4

[()()]0.2271621[()]0.17390

40.156146

a b f x x

b a T f a f b b a b a T T f a T T T ∏===-=+=--=++

=-=

由公式 1

()(1)001

(1)()

()111((21)

)

441

k k k k

n m l l l m m m m b a

b a T T f a n T T T --=+--?--=++-???

-?=??-∑

得：

(2)

(1)

(2)

(1)

(1)(0)

(0)

(3)(2)

(3)

(2)

(1)2

13[(

)(

)]0.161288

40.157147

4140.157147411357[(

)(

)]0.1581842

40.157150

414T T f f T T T T T T

T T f f f f T T T T π

ππ

πππ=

+=-==--=

=-=

+++=-==-=(2)(1)

(1)(0)

(0)2

0.1571544140.157154

41T T T T T

-=--=

又(0)

(0)

||0.1571540.1571470.00000710T T --=-=<

即(0)

T 已经达到预定精度

取2

(0)

sin 0.1572x ds T π

≈=?

6．试构造两点Gauss 公式

-+≈1

1100)()()(x f A x f A dx x f ,

并由此计算积分(精确到4

21dx x .

解：

二次Lagendre 多项式：

222

2(1)1()4!

d x w x x dx

Gauss

点为01

x x =

=由公式11

()()()b N n a

n N n w x A dx x x w x ++=

'-?

1N =得

011

x x A A ----===

=??

()(f x dx f f -∴≈+?

令12()2

t x =-

即12

t x += 使得[0,1][1,1]→-

1 1.39912

2-=

《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；（答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为

( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )； 12、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。 13、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为，1 ,进行两步后根的所在区间为，。 15、、 16、计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为，用辛卜生公式计算求得的近似值为，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有( 12+n )次代数精度。

计算方法——第二章——课后习题答案刘师少

2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？证明令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：（1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。（2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于

数值计算方法大作业

目录第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)

4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)

数值计算方法第一章非线性方程求根 1.1迭代法程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10）

1.2牛顿法程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10）

计算方法的课后答案

《计算方法》习题答案第一章数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称

计算方法练习题与答案

练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题 1.–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限。() 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。() 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。()

4.用近似表示cos x产生舍入误差。 ( ) 5.和作为的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1.为了使计算的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为； 2.–是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为； 3.误差的来源是； 4.截断误差为； 5.设计算法应遵循的原则是。三、选择题 1．–作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s*=g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，s t是在时间t内的实际距离，则s t s*是（）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．作为的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。

四、计算题 1．，，分别作为的近似值，各有几位有效数字？ 2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？ 3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)， (2) (3) ， (4) 4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=g t2，g为重力加速度。现设g是精确的，而对t有秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。 5*. 采用迭代法计算，取 k=0,1,…, 若是的具有n位有效数字的近似值，求证是的具有2n位有效数字的近似值。练习题二一、是非题 1.单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( ) 2.牛顿法是二阶收敛的。 ( ) 3.求方程在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。( ) 4.迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( ) 5.求非线性方程f (x)=0根的方法均是单步法。 ( ) 二、填空题

西工大计算方法作业答案

参考答案第一章 1 *1x =1.7； * 2x =1.73； *3x =1.732 。 2． 3．（1） ≤++)(* 3*2*1x x x e r 0.00050；（注意：应该用相对误差的定义去求）（2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517；（3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。 4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。令3)1()1(1* 102 1 102211021)(-----?≤??=?= n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。 5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是* x 的相对误差的1/2倍；（2）n x )(* 的相对误差约是* x 的相对误差的n 倍。 6．根据******************** sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =* *****) ()()(tgc c e b b e a a e ++ 注意当20* π < >c tgc ，即1 *1 * )() (--

7．设20= y ，41.1*0 =y ，δ=?≤--2* 00102 1y y 由 δ1* 001*111010--≤-=-y y y y ， δ2*111*221010--≤-=-y y y y M δ10*991*10101010--≤-=-y y y y 即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小10 10-倍。而110 10 <<-δ，故计算过程稳定。 8. 变形后的表达式为：（1）)1ln(2--x x =)1ln(2-+-x x （2）arctgx x arctg -+)1(=) 1(11 ++x x arctg （3） 1ln )1ln()1(ln 1 --++=? +N N N N dx x N N =ΛΛ+-+- +3 2413121)1ln(N N N N 1ln )11ln()1(-++ +=N N N N =1)1ln()1 1ln(-+++N N N （4）x x sin cos 1-=x x cos 1sin +=2x tg

《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉格朗日插值多项式为。答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)＝2,f (2)＝3,f (4)＝5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。 12、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式

2020年奥鹏吉大网络教育《计算方法》大作业解答

2020年奥鹏吉大网络教育《计算方法》大作业解答 (说明：前面是题目，后面几页是答案完整解答部分，注意的顺序。) 一、解线性方程用矩阵的LU分解算法求解线性方程组用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组用高斯消去法求解线性方程组用高斯消去法求解线性方程组用主元素消元法求解线性方程组用高斯消去法求解线性方程组利用Doolittle分解法解方程组Ax=b，即解方程组 1、用矩阵的LU分解算法求解线性方程组 X1+2X2+3X3 = 0 2X1+2X2+8X3 = -4 -3X1-10X2-2X3 = -11 2、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 X1+2X2+3X3 = 1 2X1– X2+9X3 = 0 -3X1+ 4X2+9X3 = 1 3、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 2X1+X2+X3 = 4 6X1+4X2+5X3 =15 4X1+3X2+6X3 = 13 4、用高斯消去法求解线性方程组

2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 5、用无回代过程消元法求解线性方程组 2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 6、用主元素消元法求解线性方程组 2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 7、用高斯消去法求解线性方程组 123123123234 4272266 x x x x x x x x x -+=++=-++= 8、利用Doolittle 分解法解方程组Ax=b ，即解方程组 12341231521917334319174262113x x x x -? ????? ???? ??-??????=? ? ????--?????? --???? ??

数值计算方法试题集和答案

《计算方法》期中复习试题一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：， 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )； 12、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。

西安交通大学计算方法B大作业

计算方法上机报告姓名：学号：班级：

目录题目一------------------------------------------------------------------------------------------ - 4 - 1.1题目内容 ---------------------------------------------------------------------------- - 4 - 1.2算法思想 ---------------------------------------------------------------------------- - 4 - 1.3Matlab源程序----------------------------------------------------------------------- - 5 - 1.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------- - 5 - 题目二------------------------------------------------------------------------------------------ - 7 - 2.1题目内容 ---------------------------------------------------------------------------- - 7 - 2.2算法思想 ---------------------------------------------------------------------------- - 7 - 2.3 Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 8 - 2.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------- - 9 - 题目三----------------------------------------------------------------------------------------- - 11 - 3.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 11 - 3.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 11 - 3.3Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 13 - 3.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------ - 14 - 题目四----------------------------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.3Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------ - 16 - 题目五----------------------------------------------------------------------------------------- - 18 -

计算方法习题答案

计算方法第3版习题答案习题1解答 1.1 解：直接根据定义得 *411()102x δ-≤?*411()102r x δ-≤?*3*12211 ()10,()1026 r x x δδ--≤?≤?*2*5331()10,()102r x x δδ--≤?≤ 1.2 解：取4位有效数字 1.3解：433 5124124124 ()()() 101010() 1.810257.563 r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=?++? 123()r a a a δ≤ 123132231123 ()()() a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016= 1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故** * ***(()) (())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x x δδδ-= ≈== 1.5 解：设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=± 2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++ ***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤， 1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈= 现100,()1x S δ=≤，从而得() 1 ()0.00522100 S x x δδ≈ ≤ =? 1.7 解：因S ld =，故 S d l ?=?，S l d ?=?，*****()()()()()S S S l d l d δδδ??≈+?? * 2 ()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+?=, *** ** * () () 0.0744 ()0.55%13.4784 r S S S l d S δδδ= = = ≈ 1.8 解：（1）4.472 （2）4.47 1.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减 (3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解（1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357 sin ..3!5!7! x x x x x -=-+-，（2） 1 (1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N =N N +-N N +N +-? 1 (1)1ln ln N +=N +N +-N 1.11 解：0.00548。 1.12解：21 16 27 3102 ()()() -? 1.13解：0.000021

计算方法上机实习题大作业(实验报告).

计算方法实验报告班级：学号：姓名：成绩： 1 舍入误差及稳定性一、实验目的（1）通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令；（2）通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性二、实验内容 1、用两种不同的顺序计算10000 21n n -=∑，分析其误差的变化 2、已知连分数() 1 01223//(.../)n n a f b b a b a a b =+ +++，利用下面的算法计算f ： 1 1 ,i n n i i i a d b d b d ++==+ (1,2,...,0 i n n =-- 0f d = 写一程序，读入011,,,...,,,...,,n n n b b b a a 计算并打印f 3、给出一个有效的算法和一个无效的算法计算积分 1 041 n n x y dx x =+? (0,1,...,1 n = 4、设2 2 11N N j S j == -∑ ，已知其精确值为1311221N N ?? -- ?+?? （1）编制按从大到小的顺序计算N S 的程序（2）编制按从小到大的顺序计算N S 的程序（3）按两种顺序分别计算10001000030000,,,S S S 并指出有效位数三、实验步骤、程序设计、实验结果及分析 1、用两种不同的顺序计算10000 2 1n n -=∑，分析其误差的变化（1）实验步骤：分别从1~10000和从10000~1两种顺序进行计算，应包含的头文件有stdio.h 和math.h （2）程序设计： a.顺序计算

#include #include void main() { double sum=0; int n=1; while(1) { sum=sum+(1/pow(n,2)); if(n%1000==0)printf("sun[%d]=%-30f",n,sum); if(n>=10000)break; n++; } printf("sum[%d]=%f\n",n,sum); } b.逆序计算 #include #include void main() { double sum=0; int n=10000; while(1) { sum=sum+(1/pow(n,2)); if(n%1000==0) printf("sum[%d]=%-30f",n,sum); if(n<=1)break; n--; } printf("sum[%d]=%f\n",n,sum); } （3）实验结果及分析：程序运行结果： a.顺序计算

数值分析计算方法试题集及答案

数值分析复习试题第一章绪论一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-： *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差。 3、分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定不稳定 . 8、精确值 14159265.3* =π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3

数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值分析（p11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明：（1 ）(2 1122k k k k k k x a x x x x +-??=+= =? ?? （2）取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8，而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ? ?+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）

则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为00678.07 .20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。（2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 2102 1 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字

计算方法大作业非线性方程求根的新方法

计算方法大作业题目：非线性方程求根的新方法班级：xxx 学号：xxx 姓名：xxx

非线性方程求根的新方法一、问题引入在计算和实际问题中经常遇到如下非线性问题的求解： F(x)=0 (1) 我们经常采用的方法是经典迭代法：经典迭代方法不动点迭代方法是一种应用广泛的方法，其加速方法较多，如Stiffensen加速方法的局部收敛阶(以下简称为收敛阶)为2阶；牛顿迭代方法的收敛阶亦为2阶，且与其相联系的一些方法如简化牛顿法、牛顿下山法、弦截法的收敛阶阶数介于1和2之间；而密勒法的收敛阶与牛顿法接近，但计算量较大且涉及零点的选择问题，同时收敛阶也不够理想。因此本文介绍一种新的迭代方法从代数角度看，牛顿法和密勒法分别是将f(x)在xk附近近似为一线性函数和二次抛物插值函数，一种很自然的想法就是能否利用Taylor展开，将f(x)在xk附近近似为其他的二次函数?答案是肯定的.其中的一种方法是将f(x)在Xk处展开3项，此时收敛阶应高于牛顿法，这正是本文的出发点．二、算法推导设函数f(x)在xk附近具有二阶连续导数，则可将f(x)在xk处进行二阶Taylor展开，方程(1) 可近似为如下二次方程： f(xk)+f’(xk)(x-xk)+2^(-1)f’’(xk)(x-xk)^2=0，(2) 即 2^(-1)f’’(xk)x^2+(f’(xk)-xkf’’(xk))x+2^(-1)f’’(xk)xk^2-xkf’(xk)+f(xk)=0(3) 利用求根公式可得 X=xk-(f’’(xk))^(-1)(f’(xk))-sqrt((f’(xk)^2±2f’’(xk)f(xk)))(4) 其中±符号的选取视具体问题而定，从而可构造迭代公式 X k+1=xk-(f’’(xk))^(-1)(f’(xk))-sqrt((f’(xk)^2±2f’’(xk)f(xk)))(5) 确定了根号前正负号的迭代公式(5)，可称为基于牛顿法和Taylor展开的方法，简记为BNT 方法．为描述方便起见，以下将f(xk)，f’(xk)，f’’(xk)分别记为f,f’,f’’．首先，二次方程(3)对应于一条抛物曲线，其开口方向由f’’(xk)，x∈U(xk)的符号确定，其中U(xk)为xk的某邻域，其顶点为 P(xk-(f’’)^(-1)f’，fk-(2f’’)^(-1)(f’)^2)．为使(5)式唯一确定x k+1，须讨论根式前正负号的取舍问题．下面从该方法的几何意义分析(5)式中正负号的取舍． 1)当f(xk)=o时，z。即为所求的根． 2)当f(xk)>O时，根据y=f(x)的如下4种不同情形(见图1)确定(5)式中根号前的符号． (a)当f’’(xk)o时，“±”取为“一”；(b)当f’’(xk)o，f(xk)>o时，“±”取为“一”；(d)当f’’(xk)>o，f(xk)o时，“±”取为“+”；(b)当 f’’(xk)o，f(xk)>o时，“±”取为“+”；(d)当f’’(xk)>o，f(xk)

计算方法模拟试题及答案

计算方法模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵的一种变换方法。

5．改进欧拉法的公式为。三、计算题（每小题12分，共60分） 1. 求矛盾方程组； ??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2．用列主元法解方程组 ??? ??=++=++=++4 26453426352321 321321x x x x x x x x x 3．已知方程组 ???? ? ?????=????????????????????----131********x x x a a a a （1）写出雅可比法迭代公式；（2）证明2

工程计算方法及软件应用--本科生考查大作业

工程计算方法与软件应用本科生大作业考核方式：考查（成绩按各软件的课外作业成绩综合给出）。各软件讲完后1~2星期内上交作业。一、CAD/CAE软件作业（每个学生完成下列任意一题）题目一：一端固定支撑，一端集中力的梁，横截面为10x10cm，长为150cm，受集中载荷作用，P=50N。弹性模量E=70GPa，泊松比r=0.2。用ABAQUS 软件建模并计算最大应力和最大位移的位置和大小。（1）二维；（2）三维图1梁受力简图

题目二：图中所示为一个连接件，一端焊接到设备母体上，一端在圆柱销子作用下的圆孔，圆孔下半周受到30 kN的均布载荷作用，用ABAQUS 软件建模并计算最大应力和最大位移的位置和大小。图2 连接件受力简图题目三：如图3所示为一薄壁圆筒，在圆筒中心受集中力F作用，对此进行受力分析，并给出应力、位移云图，并求A、B两点位移。圆筒几何参数：长度L=0.2m；半径R=0.05m壁厚t=2.5mm。材料参数：弹性模量E=120Gpa；泊松比0.3 载荷：F=1.5kN。

图3薄壁管受力简图题目四：如图4所示为一燃气输送管道截面及受力见图，试分析管道在内部压力作用下的应力场。几何参数：外径0.6m，内径0.4m，壁厚0.2m 材料参数：弹性模量E=120Gpa；泊松比0.26 载荷P=1Mpa。图4燃气管受力简图

题目五：如图5为一三角桁架受力简图，途中各杆件通过铰链链接，杆件材料及几何参数见表1和表2所示，桁架受集中力F1=5kN、F2=2.5kN 作用，求桁架各点位移及反作用力。图5 三角桁架受力简图表1 杆件材料参数表2 杆件几何参数