第9章 直线相关与回归
第九章
双变量回归与相关环境与公共卫生学院叶晓蕾
20名糖尿病人血糖（mmol/L）与胰岛素（mU/L）测定值
病例号血糖胰岛素i Y I X i 病例号血糖胰岛素i Y i X i
1 12.21 15.2
2 14.54 16.7
3 12.27 11.9
4 12.04 14.0
5 7.88 19.8
6 11.10 16.2
7 10.43 17.0
8 13.32 10.3
9 19.59 5.9
10 9.05 18.7 11 6.44 25.1
12 9.49 16.4
13 10.16 22.0
14 8.38 23.1
15 8.49 23.2
16 7.71 25.0
17 11.38 16.8
18 10.82 11.2
19 12.49 13.7
20 9.21 24.4
资料特点：每个观察对象有两个变量。概念
类似上例的问题：
年龄-身高；
肺活量-体重；
药物剂量-动物死亡率
双变量资料
统计资料单变量资料：X
双变量资料：X，Y
多变量资料：X
1
，X
2
，…，X
K
，Y
相关与回归是研究两个或多个变量之间相互关系的一种分析方法。
数据结构
编号Y X
1……X
K
1 2
n
概念：
回归：是研究变量之间在数量上依存关系的一种方法。
相关：是研究随机变量之间相互联系密切程度和方向的方法。
直线相关与回归：只涉及两个变量，而且分析是否呈直线关系，是回归和相关分析中最简
单的一种。又称简单相关和回归。
直线相关与回归的一般步骤：
绘制散点图
直线相关分析直线回归分析
求相关系数相关系数假设检验
结论求回归系数和截距列出回归方程
回归系数假设检验
一、直线回归（linear regression ）
1. 直线回归方程
：应变量Y 的平均估计值a ：截距（intercept ）
b ：回归系数（regression coefficient ）
bX
a Y +=?Y
?bX
a Y +=注意直线回归方程与函数方程的不同
应用条件
线性（l inear）、独立性（i ndependent）、正态性（n ormal）、等方差（e qual variance）——“LINE”。
线性——自变量与应变量的关系是线性的。用散点图判断。
独立性——任意两个观察值互相独立。
正态性——在任意的自变量X的取值处，应变量y均服从正态分布。
等方差——在任意的自变量X的取值处，应变量y的
20名糖尿病人血糖（mmol/L）与胰岛素（mU/L）测定值
病例号血糖胰岛素i Y I X i 病例号血糖胰岛素i Y i X i
1 12.21 15.2
2 14.54 16.7
3 12.27 11.9
4 12.04 14.0
5 7.88 19.8
6 11.10 16.2
7 10.43 17.0
8 13.32 10.3
9 19.59 5.9
10 9.05 18.7 11 6.44 25.1
12 9.49 16.4
13 10.16 22.0
14 8.38 23.1
15 8.49 23.2
16 7.71 25.0
17 11.38 16.8
18 10.82 11.2
19 12.49 13.7
20 9.21 24.4
例1
SPSS 20名糖尿病人的血糖水平与胰岛素水平的散点图
回归直线的求法
原理（最小二乘法）(
)
∑为最小
即 Y ?-Y
2各散点距离回归直线的纵向距
离（残差）平方和为最小而得
到直线。
计算：
()()()()()()XX
XY l l n X X n Y X XY X X Y Y X X b =
--=---=∑∑∑∑∑∑
∑2
2
2
()()()()()()()()∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=--=-=-=-=-=n
Y X XY Y Y X X l n
Y Y Y Y l n X X X X l XY
YY XX
2
2
2
2
2
2
回归直线必通过点()
Y
, X X
b Y a -=
Coefficients a
18.796 1.265
14.862.000-.459
.070
-.840
-6.562
.000
(Constant)x
Model 1
B Std. Error
Unstandardized Coefficients
Beta
Standardized Coefficients
t Sig.Dependent Variable: y
a. X
Y 459.0796.18?-=
3. 直线回归的假设检验即推断总体回归系数（β）是否为零
即：SS =SS +SS 222
)
?()?()(∑∑∑-+-=-Y Y Y Y Y Y )?()?()(Y Y Y Y
Y Y -+-=-——剩余或残差（residual)
Y
?Y -（1）方差分析
查附表3，F 0.01（1，18）=8.28
P< 0.01
(2)ｔ检验
ｔ= （b －0）/ ｓb ν=n -2
2
1
1 2
-=-===-==n SS SS SS l l
SS n l SS xx xy
yy 剩余回归总剩余回归回归总总ννν06.4318
9482.471
7032.114===
=
剩
回剩
剩回回MS MS SS SS F νν0699.0582
.5456638.2===
XX
b l MS S 剩余
ｔ＝（-0.4585 -0）/0.0699 = - 6.56 = 18，t0.01（18）= 2.878
P < 0.01
F = t2=（-6.56）2= 43.03