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2012北京中考一模代数压轴题汇总word版(含答案)

东城

25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中,

二次函数2

y bx c =

++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C . (1) 求此二次函数解析式；

(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l

：y 交BD 于点E ，过

点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、

NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值. 解:(1) ∵ 点A 、B 的坐标分别为（-1,0）、（3,0），

∴

0,30.b c b c -+=++=

解得

b c ?=?

?=??

∴

二次函数解析式为2

y x =

……2分

（2）可求点C 的坐标为（1，

-）∴ 点D 的坐标为（1，.

可求直线AD 的解析式为 33y x =+ . 由题意可求直线BK 的解析式为y =-.

∵ 直线l 的解析式为y ∴ 可求出点K 的坐标为(5,易求 4AB BK KD DA ==== .∴ 四边形ABKD 是菱形. ∵ 菱形的中心到四边的距离相等，

∴ 点P 与点E 重合时，即是满足题意的点，坐标为（2） .……5分

(3) ∵ 点D 、B 关于直线AK 对称, ∴ DN MN +的最小值是MB .

过K 作KF ⊥x 轴于F 点.

过点K 作直线AD 的对称点P ,连接KP ,交直线AD 于点Q , ∴ KP ⊥AD . ∵ AK 是∠DAB 的角平分线,

∴ KF KQ PQ ===∴MB MK +的最小值是BP . 即BP 的长是DN NM MK ++的最小值.

∵ BK ∥AD , ∴ 90BKP ∠=?. 在Rt △BKP 中,由勾股定理得BP =8.

∴DN NM MK ++的最小值为8. ……8分

西城

25．平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

44y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的

正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB =OC ，抛物线的顶点为D ． (1) 求此抛物线的解析式；

(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；

(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，

求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．

25．解：（1）∵ 22

44(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，

∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．

∵ 抛物线2

44y ax ax a c =-++与x 轴交于

点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，

∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--． ∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．

将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分

∴ 此抛物线的解析式为2

43y x x =-+．（如图9

（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物

线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）

可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．

∵ 1

APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角， ∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足AC

B APB ∠=∠．由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．

可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．

∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………… 4分

∴ 由勾股定理得 EA = 1EP EA ==

∴ 点1P 的坐标为1(2,2P ．………………………… 5分由对称性得点2P 的坐标为2(2,2P -． ……………… 6分 ∴符合题意的点P 的坐标为1(2,2P 、2(2,2P -. （3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，

可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°． ∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11）若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，

则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上．

∵

QA QB -= .2''=-=-=QB QA QB QA BA 作A N '⊥x 轴于点N ．

∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin 451A N BA ''=??=，cos 451BN BA '=??=． ∴ 点A '的坐标为(4,1)A '．

∵ 点Q 在线段BD 上，∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<． ∵ QA QA '=，∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．

解得114x =．经检验，11

x =在23x <<的范围内． ∴ 点Q 的坐标为111

(,)44

Q -． ………………………… 7分

此时1115

()2(1)2244

QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''???=+=??+=??+=．… 8分

海淀

25、已知抛物线c bx x y ++=2的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B . （1）如图1，若点P 的横坐标为1，点B 的坐标为（3，6

），试确定抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，若点M 是直线AB 下方抛物线上的一点，且3=?AEM S ，求点M 的坐标；

（3）如图2，若点P 在第一象限，且PA=PO ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D .将抛物线c bx x y ++=2平移，平移后的抛物线经过点A 、D ，该抛物线与x 轴的另一个交点为C ，请探究四边形OABC 的形状，并说明理由.

图11

25.解：（1）依题意, 11

2=?-

, 解得b =-2. 将b =-2及点B (3, 6)的坐标代入抛物线解析式2y x bx c =++得 26323c =-?+. c =3.抛物线的解析式为322+-=x x y . …1分

（2）∵抛物线 322+-=x x y 与y 轴交于点A ，

∴ A (0, 3). ∵ B (3, 6),可得直线AB 的解析式为3y x =+. 设直线AB 下方抛物线上的点M 坐标为（x ，322+-x x ），过M 点作y 轴的平行线交直线AB 于点N , 则N (x , x +3). (如图1)

∴ 1

ABM AMN BMN B A S S S MN x x ???=+=?-=. ………2分 ∴

()21

323332x x x ??

+--+?=?

? 解得 121,2x x ==

∴点M 的坐标为(1, 2) 或 (2, 3). (4)

分

（3）如图2，由 PA =PO , OA =c , 可得2

PD =

. ∵抛物线c bx x y ++=2

的顶点坐标为 ,

P -∴ 2

442c

b c =-. ∴ 22b c =. ……………5分 ∴ 222

b bx x y ++=,

A （0，212b ），P （12b -，214b ）, D （1

b -，0）. 可得直线OP 的解析式为1

2y bx =-.

∵ 点B 是抛物线2212y x bx b =++与直线1

y bx =-的图象的交点，

令 221122bx x bx b -=++. 解得12,2

x b x =-=-.

可得点B 的坐标为（-b ，21

b ）. …………6分

由平移后的抛物线经过点A , 可设平移后的抛物线解析式为

221

2y x mx b =++.

将点D (12

b -，0)的坐标代入2212y x mx b =++，得3

2m b =.

∴ 平移后的抛物线解析式为223

122

y x bx b =++. 令y =0, 即2231022x bx b ++=. 解得121,2

x b x b =-=-. 依题意, 点C 的坐标为（-b ，0）. ……7分 ∴ BC =212

b . ∴ BC = OA 又BC ∥OA ，

∴ 四边形OABC 是平行四边形.∵ ∠AOC =90? ∴ 四边形OABC 是矩形. ………………8分

朝阳

24. 在平面直角坐标系

xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点N （2,－5），过点N 作x 轴

的平行线交此抛物线左侧于点M ，MN =6. （1）求此抛物线的解析式；

（

2）点P （x ,y ）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D ，当△DMN 为直

角三角形时，求点P 的坐标；

（3）设此抛物线与y 轴交于点C ，在此抛物线上是否存在点Q ，使∠QMN =∠CNM ？若存在，求出

点Q 的坐标；若不存在，说明理由.

24. 解：（1）∵32++=bx ax y 过点M 、N （2，－5），6=MN ，

由题意，得M （4-，5-）. ∴??

?-=+--=++.53416,5324b a b a 解得 ???-=-=.

1b a

∴此抛物线的解析式为322+--=x x y . ………………2（2）设抛物线的对称轴1-=x 交MN 于点G ，

若△DMN 为直角三角形，则32

21==

=MN GD GD . ∴D 1（1-，2-），2D （1-，8-）.…………4分直线MD 1为1-=x y ，直线2MD 为9--=x y .

将P （x ，322

+--x x ）分别代入直线MD 1，

2MD 的解析式，

得1322-=+--x x x ①，9322

--=+--x x x ②.

解①得 11=x ，42-=x （舍），

∴1P （1,0）. …………………………………5分解②得 33=x ，44-=x （舍），

∴2P （3,－12）. ……………………………6分

（3）设存在点Q （x ，322+--x x ），

使得∠QMN =∠CNM .

① 若点Q 在MN 上方，过点Q 作QH ⊥MN ，交MN 于点H ，则

4tan =∠=CNM MH

. 即）（445322+=++--x x x .

解得21-=x ，42-=x （舍）.∴1Q （2-，3）. ……………7分 ② 若点Q 在MN 下方，同理可得2Q （6，45-）. …………………8分

石景山

24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点N （2,－5），过点N 作x 轴

的平行线交此抛物线左侧于点M ，MN =6. （1）求此抛物线的解析式；

（2）点P （x ,y ）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D ，当△DMN 为直

角三角形时，求点P 的坐标；

（3）设此抛物线与y 轴交于点C ，在此抛物线上是否存在点Q ，使∠QMN =∠CNM ？若存在，求出

点Q 的坐标；若不存在，说明理由.

25.（1）∵二次函数的图像与x 轴有两个交点，

∴()[]()

016834422-22

>+-=-+-+=?m m m m

∴2

当m=1时，242

+-=x x y ，图像与x 轴的两个交点在原点的同侧，不合题意，舍去；当m=0时，322--=x x y ，符合题意.

∴二次函数的解析式为：322

--=x x y …………..3分（2）∵AC=AD ，∴∠ADC=∠ACD

∵CD 垂直平分PQ ，∴DP=DQ ，∴∠ADC=∠CDQ. ∴∠ACD=∠CDQ ，∴DQ ∥AC

∴△BDQ ∽△BAC ，∴AB

AC DQ = …………..4分 ∵AC=10，BD=10-4，AB=4.

∴DQ=2

-10， …………..5分

∴PD=25-10. ∴AP=AD-PD=25

， ∴t=2

125=÷ …………..6分

（3）∵△BDQ ∽△BAC

∴

4104???

? ??-=??? ??=??AB BD S S BAC

BDQ 易求6=?BAC S ，∴4

1239-=?BDQ S ………..7分

∴4

1012S ACQD -=四边形. …………8分

丰台

25．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点P （2

y 轴相切于点A ，与x 轴相交于B 、C 两点（点B 在点C 的左边）．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的

．如果存在，请直接写出所有满足条件的M 点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D 自点P 出发，先到达y 轴上的某点，再

到达x 轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q 处，求使点D 运动的总路径最短的路径的长．.

25. 解：（1）联结PA ，PB ，PC ，过点P 作PG ⊥BC 于点G ．

∵⊙P 与y 轴相切于点A ，

∴PA ⊥y 轴，∵P （2

， ∴OG =AP =2，PG =OA

1分

∴PB =PC =2．∴BG =1．∴CG =1，BC =2．∴OB =1，OC =3． ∴ A （0

，

3），B （1，0），C （3，0）．………2分根据题意设二次函数解析式为：(1)(3)y a x x =--，

∴(01)(03)a --=a ∴二次函数的解析式为：2y x x =

+3分（2）存在．点M 的坐标为（0，（3，0），（4，（7，．…………7分

（3

）∵233

y x x =

)2(33)34(3322-

-=+-x x x ， ∴抛物线的顶点Q （2，3

）．作点P 关于y 轴的对称点P ’，则P ’（-2．

联结P ’ Q ，则P ’ Q 是最短总路径，根据勾股定理，可得P ’ Q ．..…8分昌平

24．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A （-1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得△PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标；（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ．设

CD 的长为m ，问当m 取何值时，S △PDE =

S 四边形ABMC ． 24．解：（1）∵ 抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）A （-1，0）、B （3，0）C （0，3）三点，

∴ 9330

30a b a b ++=??-+=?

，解得 12a b =-??=?．

∴解析式为2

23y x x =-++，顶点M 为（1，4）．…… 2分

（2）∵ 点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，

∴ 连结BC 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ．设对称轴与x 轴交于点H ，

∵ PH ∥y 轴，∴ △PHB ∽△CBO ． ∴ PH BH CO

=．

由题意得BH =2，CO =3，BO =3，

∴ PH =2．∴ P （1，2）． …… 5分

（3）∵ A （-1，0）B （3，0），C (0，3)，M (1，4)， ∴ S 四边形ABMC =9．

∵ S 四边形ABMC =9S △PDE ， ∴PDE S ?=1．

∵ OC =OD ，∴∠OCB =∠OBC = 45°．

∵ DE ∥PC ，∴∠ODE =∠OED = 45°．∴ OD =OE =3-m ．

∵ S 四边形PDOE =

9322m -，∴ S △PDE = S 四边形PDOE - S △DOE =213

m m -+（0

122

m m -+=．解得，m 1=1， m 2=2． ……………… 8分

顺义

24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =mx 2

+2mx +n 经过点A （-4，0）和点B （0，3）．

（1）求抛物线的解析式；（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B ，求平移后抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，记平移后点A 的对应点为A’，点B 的对应点为B’，试问：

在平移后的抛物线上是否存在一点P ，使'OA P △的面积与四边形AA ’B ’B 的面积相等，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

24．解：（1）∵抛物线y =mx 2

+2mx +n 经过点A （-4，0）和点B （0，3），

∴1680,3.m m n n -+=??=? ∴3,83.

m n ?

=-?

??=?． ∴抛物线的解析式为：233

384

y x x =--+．…… 2分（2）令3y =，得233

3384

x x -

-+=，得10x =，22x =-，[来源:学*科*网Z*X* ∵抛物线向右平移后仍经过点B ，

∴抛物线向右平移2个单位．……… 3分

∵233384y x x =-

-+233(21)388x x =-++++ 2327(1)88

x =-++． 4分 ∴平移后的抛物线解析式为2

327(1)88

y x =--+． …………… 5分

（3）由抛物线向右平移2个单位，得'(2,0)A -，'(2,3)B ．

∴四边形AA ’B ’B 为平行四边形，其面积'236AA OB ==?=

．设P 点的纵坐标为P y ，由'OA P △的面积=6，

∴

1'62P OA y = ，即1

262

P y ?= ∴6P y =， 6P y =±．……… 6分当6P y =时，方程2

327(1)688x --+

=无实根，当6P y =-时，方程2

327(1)688

x --+

=-的解为16x =，24x =-．

平谷

24．如下图，抛物线2(1)y x k =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(03)C -，．（1）求抛物线的对称轴及k 的值；

（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，求此时点P 的坐标；（3）设点M 是抛物线上的一动点，且在第三象限．当M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB 的最大面积及此时点M 的坐标.

24．解：（1）抛物线2(1)y x k =++的对称轴为：直线1x =-．

抛物线

2(1)y x k =++过点(03C -，，则23(01)k -=++

，4k ∴=-．..................2分

（2）如下图，根据两点之间线段最短可知，当P 点在线段AC 上就可使PA PC + 的值最小．又因为P 点要在对称轴上，所以P 点应为线段AC 与对称轴直线 .........................................3分由（1）可知，抛物线的表达式为：

22(1)423y x x x =+-=+-．

令0y =，则2

230x x +-=．解得：1231x x =-=，．

则点A B 、的坐标分别是(30)A -，、(10)B ，．...........4分设直线AC 的表达式为y kx b =+，则

303k b b -+=??=-?，. 解得 13.

k b =-??

=-?，

所以直线AC 的表达式为3y x =--． .............5分

当1x =-时，(1)32y =---=-.所以，此时点P 的坐标为(12)--，．.......6分（3）依题意得：当点M 运动到抛物线的顶点时，AMB △的面积最大．由抛物线表达式2

(1)4y x =+-可知，抛物线的顶点坐标为(14)--，．

∴点M 的坐标为(14)--，

．AMB △的最大面积1

(31)482

AMB S =?+?=△．.....7分

大兴

24.在平面直角坐标系

xOy 中，O 为坐标原点，直线

21(332≠≤≤-+=

k k m kx y 其中经过点A

（23,4）,且与y 轴相交于点C. 点B 在y 轴上，且727OB OA =+-. △ABC 的面积为S. （1）求m 的取值范围; （2）求S 关于m 的函数关系式;

（3）设点B 在y 轴的正半轴上，当S 取得最大值时，将△ABC 沿AC 折叠得到C B A '?，求点B '的坐标.

24.解：⑴∵直线11(0)2

y m k k +-≤≤≠且经过点A （）,

4m +=,∴114

k m =-.

∵112

k -≤≤,∴11112

m -≤-≤.解得26m ≤≤且m ≠4 ……………2分

⑵∵A 的坐标是（）,∴OA =又∵7OB OA =+-OB =7. ∴B 点的坐标为(0,7)或(0,-7).……………3分直线y m +与y 轴的交点为C (0,m).

① 当点B 的坐标是(0,7)时,

∵C (0,m), 26m ≤≤且m ≠4, ∴BC =7- m.

分

4................................................................................................................................373)

7(3322

+-=-=??=

∴m m BC s

② 当点B 的坐标是(0,-7)时,

∵C (0,m ), 26m ≤≤且m ≠4,∴BC =7+m .

分

5............................................................................................................................373)

7(3322

+=+=??=

∴m m BC s

⑶当m =2时,一次函数S =+这时C (0,2).

如图,分别过点A 、B ′作y 轴的垂线AD 、B′E ,垂足为D 、E.

∴AD =CD =4-2=2.

在Rt△ACD 中,tan∠ACD =

AD CD

ACD =60° …………………6由题意,得∠AC B′=∠ACD =60°,C B ′=BC =7-2=5, ∴∠B′CE =180°—∠B′CB=60°. 在CE B Rt '?中,∠B′CE =60°,C B ′=5,

∴CE =5

, B′E .

OE=CE-OC =1

. ∴点B 12-） ……………………7分

通州

24．已知：如图，二次函数y =a (x +1)2

－4的图象与x 轴分别

交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，点C 是二次函数

y =a (x +1)2－4的图象的顶点，CD .

（1）求a 的值.

（2）点M 在二次函数y =a (x +1)2

－4图象的对称轴上，

且∠AMC =∠BDO ，求点M 的坐标．

（3）将二次函数y =a (x +1)2

－4的图象向下平移k （k ＞0）个单位，平移后的图象与直

线CD 分别交于E 、F 两点（点F 在点E 左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为C 1，与y 轴的交点为D 1，是否存在实数k ，使得CF ⊥FC 1，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．

24. 解：

（1）∵C （-1，-4），CD =2，∴D （0，-3） …………….(1分)

∴a =1 ∴4)1(2

-+=x y 即y = x 2

+2x - 3 .(2分)

（2）M （-1，6）或（-1，-6）…………….(4分) （3）存在

由CC 1=DD 1=k ，CC 1∥DD 1， ∴四边形CC 1D 1D 为平行四边形，

∴C 1D 1∥CD ，∴∠D 1 C 1C =∠DCN =45°， ∵CF ⊥FC 1，∴∠CC 1F =45°

即△CFC 1为等腰直角三角形，且CC 1=k ，∴F （-21k -1，-2

k -4）， ….(5分) 由点F 在新抛物线y =x 2

+2x -3- k 上， ∴ (-21k -1)2+2（-21k -1）-3-k =-2

k -4， ………………….(6分) 解得k =2或k =0（舍），∴k =2．当k =2时，1FC CF ⊥ ………….(7分)

房山

24．如图⑴，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =ax 2

＋8ax ＋16a ＋6经过点B （0，4）.

⑴求抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为D ，过点D 、B 作直线交x 轴于点A ，点C 在抛物线的对称轴上，且C 点的纵坐标为-4，联结BC 、AC .求证：△ABC 是等腰直角三角形；

⑶在⑵的条件下，将直线DB 沿y 轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ′、B ′，是否存在直线l ，使△A ′B ′C 是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，请说明理由．

图⑴ 备用图 ⑴解：由题意知：4616=+a 解得：=a 8

∴抛物线的解析式为：48

+--

=x x y -------1分 ⑵证明：由抛物线的解析式知:顶点D 坐标为（－4,6） ∵点C 的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上 ∴C 点坐标为(－4，－4)

设直线BD 解析式为：()04≠+=k kx y

有：44-6+=k ，∴21-

=k ∴BD 解析式为42

+-=x y ∴直线BD 与x 轴的交点A 的坐标为（8,0）

过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，则CE=4，BE=8

又∵OB=4，OA=8, ∴CE=OB,BE=OA,∠CEB=∠BOA=90° ∴△CEB ≌△BOA(SAS)------ ---2分 ∴CB=AB, ∠1=∠2

∵∠2+∠3=90°，∴∠2+∠3=90° ∴∠1+∠3=90°，即∠ABC=90° ∴△ABC 是等腰直角三角形---------------------3分 ⑶存在.①当∠CA ′B ′

=90°时，如图1所示， ∵A ′B ′∥AB ∴∠OA ′B ′=∠BAO 易证:∠ECA ′=∠OA ′B ′

∴∠ECA ′=∠BAO

∵tan ∠BAO=21 ∴tan ∠ECA ′=2

∴EA ′=2 ∴A ′坐标为(－2,0)

∴直线l 解析式为12

--=x y ------5分

②当∠A ′CB ′=90°时，如图2所示，

过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，易证△A′FC ≌△B′EC

∴A ′F=B ′E ∴由①tan ∠B′A′O =2

∴设B ′坐标为（0，n ）∴有

44=++-n n ∴38-=n B ′坐标为（0，3

-）

∴直线l 解析式为3

21--=x y ------7分

门头沟

25.在平面直角坐标系中，二次函数322

-+=x x y 的图象与x 轴交于A 、 B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点E . 点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行. 一次函数y =－x ＋m 的图象过点C ，交y 轴于D 点. （1）求点C 、点F 的坐标；（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ，求线段HG 长度的最大值；

（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标.

25.解：（1）由题意得，A （－3，0），B （1，0） C （5，0） ……………………1分

F （3，0） …………………………2分

（2）由题意得，m +-=50，解得m=5

CD 的解析式是5+-=x y

设K 点的坐标是（t ，0），则H 点的坐标是（t ，-t+5）,G 点的坐标是（t ，322-+t t ） K 是线段AB 上一动点，13≤≤-t

HG=（-t+5）-（322-+t t ）=832+--t t =4

)23(2+

+-t ………..3分

123

3<-

<-，当t=23-时，线段HG 的长度有最大值是4

…….4分

（3）AC=8 ………………………5 直线l 过点F 且与y 轴平行，

直线l 的解析式是x=3.

点M 在l 上，点N 在抛物线上

设点M 的坐标是（3，m ），点N 的坐标是（n ，322-+n n ）.

（ⅰ）若线段AC 是以A 、C 、M 、N 为顶点的平行四边形的边，则须MN∥AC，MN=AC=8 （Ⅰ）当点N 在点M 的左侧时，MN=3-n 3-n=8，解得n=-5

N 点的坐标是（-5，12）…………………6分（Ⅱ）当点N 在点M 的右侧时，NM=n-3 n-3=8，解得n=11

N 点坐标是（11，140） …………………..7分

（ⅱ）若线段AC 是以A 、C 、M 、N 为顶点的平行四边形的对角线，由题意可知，

点M 与点N 关于点B 中心对称. 取点F 关于点B 的对称点P ，则P 点坐标是（-1，0）.过点P 作NP⊥x 轴，交抛物线与点N. 过点N 、B 作直线NB 交直线l 于点M. ∠NBP=∠MBF,BF=BP,∠BPN=∠BFM=90° △BPN≌△BFM. NB=MB

四边形ANCM 是平行四边形.

N 点坐标是（-1，-4）………………………………….8分符合条件的N 点坐标有（-5，12），（11，140），（-1，-4），

密云

25．已知：在平面直角坐标系xoy 中，抛物线245y ax x =++过点A （－1，0），对称轴与

x 轴交于点C ，顶点为B ．

（1）求a 的值及对称轴方程；

（2）设点P 为射线BC 上任意一点（B 、C 两点除外），过P 作BC 的垂线交直线AB 于点

D ，连结PA ．设△APD 的面积为S ，点P 的纵坐标为m ，求S 与m 的函数关系式，并

写出自变量m 的取值范围；

（3）设直线AB 与y 轴的交点为E ，如果某一动点Q 从E 点出发，到抛物线对称轴上某点F ，

再到x 轴上某点M ，从M 再回到点E ．如何运动路径最短？请在直角坐标系中画出最短路径，并写出点M 的坐标和运动的最短距离．

25．（本小题满分8分）

解：（1）∵抛物线245y ax x =++过点A （－1，0）， ∴1a =-．

∴对称轴方程为22b

x a

=． -------------------------2分（2）∵点A 为（－1，0），点B 为（2，9），

∴直线AB 的解析式为33y x =+．依题意知点P 的坐标为（2，m ）．

∴点D 的坐标为（

-，m ）． ∴113(21)()22326m m

S PD PC m m =?=-+?=-?

∴S 与m 的函数关系式为

2213

(09);6213(0).6

2m m m S m m m ?-+??=??-?? -------------------------------6分

（3）如图：作点E 关于x 轴对称的点E '

,再作点E 关于x 轴对

称的点E ''

，连结E '

E ''

交x 轴于点M ，连结EM (F 与M 重合)．则点Q 运动的最短路径为：()E F M E →→．

其中，点M 的坐标为（2，0）

；最短距离为分

延庆

25. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y1=ax2+3x+c的图像经过原点及点A（1,2），

与x轴相交于另一点B。

（1）求：二次函数y1的解析式及B点坐标；

（2）若将抛物线y1以x=3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数y2,已知二次函数y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点. 点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D、点E、点F也随之运动）；

①当点E在二次函数y1的图像上时，求OP的长。

②若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）。过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN（当Q点运动时，点G、点M、点N也随之运动），若P点运动t秒时，两个

（2）由已知可得C(6,0)

燕山

25. 已知点A （1，

21）在抛物线y=3

1x 2+bx+c 上，点F （-21，21

）在它的对称轴上，点P 为抛物线上一动点.

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）判断是否存在直线l ，使得线段PF 的长总是等于点P 到直线l 的距离，需说明理由. （3）设直线PF 与抛物线的另一交点为Q ，探究：PF 和QF 这两条线段的倒数和是否为定

值？证明你的结论.

25.⑴ 由2a b -

1-，a=31，得b=31

………………1分把b =31和点A （1，21）代入y=3

1x 2

+bx+c ，可求得c=61-.

∴这条抛物线的解析式是y=3

1x 2+31

x 61-. ⑵设点P （x 0，y 0），则y 0=31x 02+31

x 061-.

作PM ⊥AF 于M ，得 PF 2=PM 2+MF 2

= (x 0+21)2+ (y 0-2

1) 又∵y 0=31x 02+31

x 061-=31(x 0+21)2-41

∴(x 0+21)2=3y 0+43 ∴PF 2=3y 0+43+ y 02- y 0+41 易知y 0≥-4

，y 0+1＞0. ∴PF= y 0+1. ………………4分

又∵当直线l 经过点（0，-1）且与x 轴平行时， y 0+1即为点P 到直线l 的距离.

∴存在符合题意的直线l . …………………5分 ⑶ 是定值.

证明：当PF ∥x 轴时，PF=QF=23

，34QF 1PF 1=+. …………6分

当PF 与x 轴不平行时，作QN ⊥AF 于N ， ∵ △MFP ∽△NFQ ，∴QF

PF PM =

. 再依据第⑵小题的结果，可得QF

QF -23

PF 23-PF =. ……………7分整理上式，得

QF 1PF 1=+. …………8分

2009级(即2012年)各地中考数学压轴题及答案

2012中考数学压轴题及答案 1.（2011年四川省宜宾市）已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ? ?--a b ac a b 44,22 ） 2. （11浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ； (1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围； (3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.

3. （11浙江温州）如图，在Rt ABC △中，90A ∠= ，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使P Q R △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 4.（11山东省日照市）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

北京中考数学真题及答案

2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的，用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑. 1. －3的倒数是（） A.13- B. 1 3 C. －3 D.3 2. 国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积给260000平方米，将260000用科学记数法表示应为（） A. 0.26×106 B. 26×104 C. 2.6×106 D. 2.6×105 3. 如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90O ，DE 过点C 且平行于AB ，若∠BCE=35 O ，则∠A 的度数为（） A. 35O B. 45o C. 55o D. 65o 4. 若2 |2|(1)0m n ++-=，则2m n +的值为（） A. －4 B. －1 C. 0 D. 4 5. 北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：oC ）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为。（） A. 28oC B. 29oC C. 30oC D. 31oC 6. 把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是。（） A. 2 (2)a x - B. 2 (2)a x + C. 2(4)a x - D. (2)(2)a x x +- 7. 一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（） A. 19 B. 13 C. 12 D. 23 8. 右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个．．．．是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（）

2018年北京市中考数学试题(含答案解析版)

2018年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。 1. 下列几何体中，是圆柱的为 2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c - （C ）＞0ac （D ）＞0c a + 3. 方程式? ? ?=-=-14833 y x y x 的解为（A ）?? ?=-=21y x （B ）???-==21y x （C ）???=-=12y x （D ）???-==1 2 y x 4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为（A ）231014.7m ? （B ）241014.7m ? （C ）25105.2m ? （D ）2 6105.2m ? 5. 若正多边形的一个外角是o 60，则该正多边形的内角和为（A ）o 360 （B ）o 540 （C ）o 720 （D ）o 900 6. 如果32=-b a ，那么代数式b a a b a b a -???? ? ??-+222的值为（A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）34 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系 ()02≠=+=a c bx ax y 。下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为

河北省中考数学压轴题汇总

2010/26．（本小题满分12分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 - x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．（1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元；（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线的顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a --． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0）秒，抛物线y =x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N . ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= 21 8 ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围. 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=．探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH= ，AC= ，△ABC 的面积S △ABC = ；拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD =0）

中考数学压轴题专题动点问题

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．【答案】解：（1）t－2。（2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

【2020年中考超凡押题】北京市2020年中考数学真题试题(含答案)

2020北京市中考数学试题一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1.如图所示，用量角器度量AOB ∠，可以读出AOB ∠的度数为 (A)45° (B)55° (C)125° (D) 135° 2.神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为 (A)2.8×103 (B) 28×103 (C) 2.8×104 (D)0.28×105 3.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 b a 3 2 10 1 2 3 (A) 2a >- (B) 3a <- (C) a b >- (D) a b <- 4.内角和为540° 的多边形是 5.右图是某个几何体的三视图，该几何体是 (A)圆锥 (B) 三棱锥 (C)圆柱 (D)三棱柱 6.如果2a b +=，那么代数式2b a a a a b ??- ?-? ?g 的值是 (A) 2 (B) －2 (C) 12 (D)1 2 - 7.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是．．轴对称的是 8.在1～7月份，某种水果的每斤进价与每斤售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是 (A)3月份 (B) 4月份 (C)5月份 (D)6月份 (A) (B) (C) (D)

9.如图，直线m n ⊥，在某平面直角坐标系中，x 轴∥m ，y 轴∥n ，点A 的坐标为42-（，），点B 的坐标为24-（，），则坐标原点为 (A)1O (B) 2O (C) 3O (D) 4O 10.为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增.计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%.为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：3m ），绘制了统计图，如图所示.下面有四个推断： ①年用水量不超过1803m 的该市居民家庭按第一档水价交费 ②年用水量不超过2403m 的该市居民家庭按第三档水价交费 ③该市居民家庭年用水量的中位数在150～180之间 ④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180 其中合理的是 (A) ①③ (B)①④ (C) ②③ (D)②④ 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11.如果分式 2 1 x -有意义，那么x 的取值范围是 . 12.右图中四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式： . 13.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是移植的棵数n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵数m 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频率 m n 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881

2012年北京中考数学试卷(含答案)

2012年中考数学卷精析版——北京卷（本试卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 3．（2012北京市4分）正十边形的每个外角等于【】 A．18?B．36?C．45?D．60? 【答案】B。【考点】多边形外角性质。【分析】根据外角和等于3600的性质，得正十边形的每个外角等于3600÷10=360。故选B。4．（2012北京市4分）下图是某个几何体的三视图，该几何体是【】 A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱【答案】D。【考点】由三视图判断几何体。

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，由于主视图和左视图为矩形，可得为柱体，俯视图为三角形可得为三棱柱。故选D。 5．（2012北京市4分）班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是【】 A．1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 【答案】B。【考点】概率。【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。本题全部等可能情况的总数6，取到科普读物的情况是2。∴取到科普读物的概率是 21 63 =。故选B。 6．（2012北京市4分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOD，若∠BOD=760，则∠BOM 等于【】 A．38?B．104?C．142?D．144? 【答案】C。【考点】角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。【分析】由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040。由射线OM平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380。 ∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420。故选C。 7．（2012北京市4分）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量（度）120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是【】 A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180 【答案】A。【考点】众数，中位数。【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是180，故这组

2014中考数学压轴题及答案40例

2014中考数学压轴题精选精析（21-30例） 21．（2011?湖南邵阳）如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－94 ，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ．（1）求∠ACB 的度数；（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解题思路】：(1) ∵以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ∴∠ACB =0 90 (2) ∵△AOC ∽△ABC ∴OB AO OC ?=2 ∵A (－94，0)，点C (0，3)，∴4 9=AO 3=OC ∴OB 4 932= ∴ 4=OB ∴B(4,0) 把 A 、B 、C 三点坐标代入得 3127312++-=x x y (3) 1）OD=OB , D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。DH=OC 21 OB OH 2 1= ∴D )23,2( 2) BD=BO 过D 作DG ⊥OB,垂足是G ∴OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5 ∴ OG:4=1:5 DG:3=1:5 ∴OG= 54 DG=53 ∴D(54,53)

【点评】：本题考察了相似、勾股定理、抛物线的解析式求解等知识，运用平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似构建比例式，求解点到坐标轴的距离，进而得出相应的坐标。难度中等 24、（2011?湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求B点坐标；（2）求证：ME是⊙P的切线；（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点， ①求△ACQ周长的最小值； ②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式．考点：二次函数综合题．分析：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标；（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM的长，则可得△PEF∽△EMF，则可证得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切线；（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值； ②分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求

中考数学压轴题解题技巧超详细

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2012年中考数学压轴题解题技巧解说数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧。如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E. ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG 最长 ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形请直接写出相应的t值. 解：(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分将A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解得a=-1 2 ,b=4 ∴抛物线的解析式为：y=-1 2 x2+4x …………………3分（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PE AP = BC AB ,即 PE AP = 4 8 ∴PE=1 2 AP= 1 2 t．PB=8-t． ∴点Ｅ的坐标为（4+1 2 t，8-t）.

2018年北京市中考数学真题卷及答案

北京市2018年高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。 1. 下列几何体中，是圆柱的为 2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c - （C ）＞0ac （D ）＞0c a + 3. 方程式?? ?=-=-14 833 y x y x 的解为（A ）???=-=21y x （B ）???-==21y x （C ）???=-=12y x （D ）? ??-==12y x 4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为（A ）2 3 1014.7m ? （B ）2 4 1014.7m ? （C ）2 5 105.2m ? （D ）2 6 105.2m ? 5. 若正多边形的一个外角是o 60，则该正多边形的内角和为（A ）o 360 （B ）o 540 （C ）o 720 （D ）o 900 6. 如果32=-b a ，那么代数式b a a b a b a -???? ? ??-+222的值为（A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）34 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()02 ≠=+=a c bx ax y 。下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（A ）10m （B ）15m （C ）20m （D ）22.5m

202年北京中考数学试卷及答案解析

2012年北京市高级中等学校招生考试数学试卷（答案）一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1． 9-的相反数是 A ．19 - B ．19 C ．9- D ．9 2．首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为 A ．96.01110? B ．960.1110? C ．106.01110? D ．110.601110? 3．正十边形的每个外角等于 A ．18? B ．36? C ．45? D ．60? 4．右图是某个几何体的三视图，该几何体是 A ．长方体 B ．正方体 C ．圆柱 D ．三棱柱 5．班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获 “爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是 A ． 1 6 B ．13 C ． 1 2 D ． 23 6．如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分AOC ∠，若76BOD ∠=?，则B O M ∠等于 A ．38? B ．104? C ．142? D ．144? 7．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： A ．180，160 B ．160，180 C ．160，160 D ．180，180

中考数学相似难题压轴题精选.

1、如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于（） A ．1∶3 B ．2∶3 C ∶2 D ∶3 2、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=° ，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（） A ．32 B ．76 C ．25 6 D ．2 3.提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（BC AB =，且AC BC ≠），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C 画了一条直线CD 交AB 于点D ．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB ＝BC ＝5 cm ， AC ＝6 cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法． A B A B B 图 1 C B 图 2 C

4.如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．问： (1) 图中△APD 与哪个三角形全等？并说明理由． (2) 求证：△APE ∽△FPA ． (3) 猜想：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系？并说明理由． 5、如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ， OE OB ⊥交BC 边于点E ．（1）求证：ABF COE △∽△；（2）当O 为AC 边中点，2 AC AB =时，如图2，求OF OE 的值；（3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出OF OE 的值． B B A A C E D D E C O F 图1 图2 F

2012年中考数学压轴题精选

2010年中考数学压轴题【001 】如图，已知抛物线2 (1) y a x =-+a≠0）经过点(2) A-，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD ∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为() t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点

P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长? ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值。

2018年中考初中数学压轴题及详解

2018年中考初中数学压轴题（有答案）一．解答题（共30小题） 1．（2014?攀枝花）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D 两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q 为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由． 2．（2014?苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD 的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为_________°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t 的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）． 3．（2014?泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．

三角形中考压轴题(带答案)

中考专题-------三角形一．选择题（共3小题） 1．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（） A．a2B．a2C．a2D．a2 考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：几何图形问题；压轴题．分析：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．解答：解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°， ∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ， ∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN=S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积 ∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a， ∴EP=PC=a，∴正方形PCQE的面积=a×a=a2，∴四边形EMCN的面积=a2，故选：D．点评：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN． 2．如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD， ③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（） A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④ 考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解．

广州中考数学压轴题汇总

广州中考压轴题汇总选择题（2014·广州）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2?S△EFO=b2?S△DGO．其中结论正确的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个（2015·广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 （2016·广州）定义运算：a?b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b?b﹣a?a的值为（） A．0 B．1 C．2 D．与m有关（2017·广州）a≠0，函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可

能是（） A．B．C．D．（2017·广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到A n．则△OA2A2018的面积是（） A．504m2B．m2 C．m2 D．1009m2 填空题（2014·广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，

则x1（x2+x1）+x22的最小值为．（2015·广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．（2016·广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB 绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论： ①四边形AEGF是菱形 ②△AED≌△GED ③∠DFG=112.5° ④BC+FG=1.5 其中正确的结论是．

2019年北京市中考数学真题(答案解析版)

2019年北京市中考数学试卷一.选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（） A.0.439×106 B.4.39×106 C.4.39×105 D.139×103 【解析】本题考察科学记数法较大数，N a 10?中要求10||1<≤a ，此题中5,39.4==N a ，故选C 2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【解析】本题考察轴对称图形的概念，故选C 3．正十边形的外角和为（） A.180° B.360° C.720° D.1440° 【解析】多边形的外角和是一个定值360°，故选B 4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ．若CO=BO ，则a 的值为（） A.-3 B.-2 C.-1 D.1 【解析】本题考察数轴上的点的平移及绝对值的几何意义.点A 表示数为a ，点B 表示数为2，点C 表示数为a+1，由题意可知，a ＜0，∵CO=BO ，∴2|1|=+a ，解得1=a （舍）或3-=a ，故选A

5．已知锐角∠AOB 如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点M ，N ；（3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） A.∠COM=∠COD B.若OM=MN ，则∠AOB=20° C.MN ∥CD D.MN=3CD 【解析】连接ON ，由作图可知△COM ≌△DON. A. 由△COM ≌△DON.，可得∠COM=∠COD ，故A 正确. B. 若OM=MN ，则△OMN 为等边三角形，由全等可知∠COM=∠COD=∠DON=20°，故B 正确 C.由题意，OC=OD ，∴∠OCD=2 COD 180∠-?.设OC 与OD 与MN 分别交于R ，S ，易证 △MOR ≌△NOS ，则OR=OS ，∴∠ORS=2 COD 180∠-?，∴∠OCD=∠ORS.∴MN ∥CD ，故C 正确. D.由题意，易证MC=CD=DN ，∴MC+CD+DN=3CD.∵两点之间线段最短.∴MN ＜MC+CD+DN=3CD ，故选D 6．如果1m n +=，那么代数式()22 2 21m n m n m mn m +??+?- ?-?? 的值为（） A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解析】：()22 2 21m n m n m mn m +??+?- ?-?? B

2014挑战中考数学压轴题_1.3因动点产生的直角三角形问题

1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2013年山西省中考第26题如图1，抛物线213 442 y x x = --与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 动感体验请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P 在线段OB 上运动，可以体验到，当P 运动到OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形．拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角．请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P 在线段OB 上运动，可以体验到，当P 运动到OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形．拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角．思路点拨 1．第（2）题先用含m 的式子表示线段MQ 的长，再根据MQ ＝DC 列方程． 2．第（2）题要判断四边形CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一个准确的示意图，先得到结论． 3．第（3）题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．满分解答

2019北京市中考数学试题(含答案)(真题卷)

2019年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（A） 6 0.43910 ′（B）6 4.3910 ′ （C） 5 4.3910 ′（D）3 43910 ′ 2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（A）（B）（C）（D） 3．正十边形的外角和为（A） 180o（B）360o（C）720o（D）1440o 4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（A） 3-（B）2-（C）1-（D）1 5．已知锐角∠AOB 如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（A）∠COM=∠COD （B）若OM=MN，则∠AOB=20° （C）MN∥CD （D）MN=3CD 6．如果 1 m n +=，那么代数式 () 22 2 21 m n m n m mn m + ?? +?- ? - ??的值为（A） 3 -（B）1-（C）1 （D） 3 B

7．用三个不等式a b >，0ab >，11a b < 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．下面有四个推断： ①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间 ③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间所有合理推断的序号是（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．若分式1 x x -的值为0，则x 的值为______. 10．如图，已知ABC ! ，通过测量、计算得ABC !的面积约为______cm2.（结果保留一学生类别 5