2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案
2016年“大梦杯”省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将
OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ）
A
．(1 B
．3) C
．(3 D
．1)
2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6
3．若关于x 的方程22240224
x x x a
x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）
A ．6-
B ．30-
C ．32-
D ．38-
4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的心，连接CI 并延长交
AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则
m
n
=（ ） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74
5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）
A ．403
B ．64
15
C ．13615
D ．315
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．在平面直角坐标系有两点(11)A ，
，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值围为 。
A
B
C D
I
7．如图，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。若
25BD BC =，12AE AD =，则AF
AC
= 。
8．设1x ，2x ，3x ，…，n x 是n 个互不相同的正整数，且1232017n x x x x ++++=，则n
的最大值是 。
9．如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是O ⊙的切线，BC 交O ⊙于E
点，若
OA
CE
=，则AE
AB
= 。
10．若正整数x ，y ，z 满足方程组333237()
x y z xyz
x y z ?--=??=+??，则xyz 的最大值为 。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．若关于x 的方程2(3)20x a x a --+-=有两个不相等的整数根，求a 的值。
E
O
A B
C
F B
C
A
D
E
12．如图，H 为ABC △的垂心，圆O 为ABC △的外接圆。点E 、F 为以C 为圆心、CH 长为半径的圆与圆O 的交点，D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点。
求证：（1）AC 垂直平分线段HE ；
（2）DE AB 。
F D
E
H
O
B
C A
13．对于整数3n ≥，用()n ?表示所有小于n 的素数的乘积。求满足条件()2232n n ?=-的所有正整数n 。
14．在一个m n ?（m 行，n 列，1m >）的表格的每个方格填上适当的正整数，使得： （1）每一列所填的数都是1，2，3，…，m 的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…，
m 这m 个数出现且仅出现1次）
（2）每一行n 个的数和都是34。
当上述的填数方式存在时，求()m n ，的所有可能取值。
2016年“大梦杯”省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将
OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ）
A ．(13)，
B ．(33)，
C ．(33)，
D ．(31)， 【答案】 B
【解答】如图，设CD x ⊥轴于点D 。
依题意，23CA OA ==，260CAO BAO ∠=∠=?。 所以，3CD =，3AD =，3OD =。
因此，点C 的坐标为(33)，
。 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】 A
【解答】依题意，a ，b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。 因此，由韦达定理得，3a b +=-，2ab =-。
[]22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。 或解：222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。 3．若关于x 的方程22240224
x x x a
x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）
A ．6-
B ．30-
C ．32-
D ．38- 【答案】 D 【解答】方程
22240224
x x x a
x x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根，则168(8)0a =-+=△，6a =-。
6a =-时，方程①的根121x x ==-，符合要求。
若2x =是方程①的根，则8880a +++=，24a =-，此时，方程①的另一个根为4x =-，符合要求。
若2x =-是方程①的根，则8880a -++=，8a =-，此时，方程①的另一个根为0x =，符合要求。
所以，符合条件的a 有6-，24-，8-，其总和为38-。
4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的心，连接CI 并延长交
AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则
m
n
=（ ） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74
【答案】 C 【解答】依题意，
m IC
n ID
=
。 由I 为ABC △的心知，IC AC BC
ID AD BD
==
。 所以，由等比定理知，
73563
m IC AC BC AC BC n ID AD BD AD DB ++======+。 5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）
A ．
403 B ．64
15
C ．13615
D ．315 【答案】 C
【解答】由2244x xy y -+=，得2244x y xy +=+，22424u x xy y xy =++=+。 ∵ 22254(44)(2)44xy xy x y x y =++-=+-≥-，当且仅当2x y =-
，即x =
，y =
x =
，y =时等号成立。 ∴ xy 的最小值为45-，22424u x xy y xy =++=+的最小值为125，即12
5
m =。
∵ 22234(44)4(2)4xy xy x y x y =-+-=--≤，当且仅当2x y =，
即x =
y =
x =
y =时等号成立。 ∴ xy 的最大值为43，22424u x xy y xy =++=+的最大值为203，即20
3
M =。 ∴ 20121363515
M m +=
+=。 或解：由2244x xy y -+=，得2244x y xy +=+，22424u x xy y xy =++=+。
（第4题）
A
B
C D
I
设xy t =，若0x =，则4μ=；0x ≠时，y x t =
，将t
y x
=代入2244x xy y -+=， 得2
2
244t x t x
-+=，即422(4)40x t x t -++=， ……………… ①
由22(4)160t t =+-≥△，解得44
53
t -≤≤。
将43t =
代入方程①，解得283x =
，3x =±；45t =-代入方程①，
解得28
5
x =
，5x =±。 ∴ xy 的最大值为
43，最小值为4
5
-。 因此，820433M =+=，812455m =-+=，2012136
3515
M m +=+=
。 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．在平面直角坐标系有两点(11)A ，，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值围为 。
【答案】 1
12
k -≤≤
(个人觉得还要补充0k ≠，因为是一次函数) 【解答】易得直线AB 对应的一次函数的解析式为21y x =-。
由212y x y kx =-??=+?，得(2)3k x -=- ……………… ①
依题意，方程①有12x ≤≤的解。 ∴ 20k -<，且3122k -≤≤-，解得112k -≤≤。故k 的取值围为1
12
k -≤≤。 或通过作图求解。
7．如图，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。若
25BD BC =，12AE AD =，则AF AC = 。 【答案】 27
【解答】如图，过点C 作CG BF ∥交AD 的延长线于点G ，则
AF AE
AC AG
=。 又由CG BE ∥，知DGC DEB △∽△。
F B
C
A
D E
（第7题）
∴ 32
DG DC DE DB ==。
∴ 37
222
AG AD DG DE DE DE =+=+=。
∴
2
7
AF AE DE AC AG AG ===。 8．设1x ，2x ，3x ，…，n x 是n 个互不相同的正整数，且1232017n x x x x ++++=，则n
的最大值是 。
【答案】 63
【解答】依题意，11x ≥，22x ≥，33x ≥，…，n x n ≥。 ∴ 123(1)
20171232
n n n x x x x n +=++++≥+++
+=
。 于是，(1)
20172
n n +≥
，63n ≤。 又当11x =，22x =，33x =，…，6262x =，6364x =时，
12362636364
1236264120172
x x x x x ?+++
++=+++
++=
+=。 ∴
所求n 的最大值为63。
9．如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是O ⊙的切线，BC 交
O ⊙于E 点，若
OA
CE
=，则AE
AB
= 。 【答案】
5
【解答】由AB 为O ⊙的直径知，AE BC ⊥。设CE m =，则
OA =，AB =。
由条件易得ACE BAE △∽△， ∴
CE AE
AE BE
=，2AE CE EB =?，即2AE mEB =。 结合222AB AE EB =
+，得22)mEB EB =+。
（或由射影定理得2BA BE BC =?，即2)()BE BE m =?+） ∴ 22200EB mEB
m +-=，解得
4EB m =或5EB m =-（舍去）。 ∴ 2AE m =，
5
AE AB ==
。 E
O
A B
C
G
F B
C
A
D
E （第9题）
10．若正整数x ，y ，z 满足方程组333237()
x y z xyz
x y z ?--=??=+??，则xyz 的最大值为 。
【答案】 84
【解答】由3333x y z xyz --=，得
333222
13()()()()02
x y z xyz x y z x y x z z y ??---=--++++-=??。 结合x ，y ，z 为正整数得，222()()()0x y x z z y ++++->，于是0x y z --=。 ∴ 27x x =，7x =，7y z +=。
∴ 当7x =，3y =，4z =或7x =，4y =，3z =时，xyz 有最大值84。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．若关于x 的方程2(3)20x a x a --+-=有两个不相等的整数根，求a 的值。 【解答】设1x ，2x 是方程两个不相等的整数根，则123x x a +=-，122x x a =-。 ∴ 3a -，2a -均为整数。因此，a 为整数。 …………………… 5分 ∴ 222(3)4(2)1017(5)8a a a a a =---=-+=--△为完全平方数。 设22(5)8a t --=（t 为整数，且0t ≥）。
则22(5)8a t --=。于是，(5)(5)8a t a t ---+=。 …………………… 10分 由于5a t --，5a t -+奇偶性相同，且55a t a t --≤-+。
∴ 5452a t a t --=-??-+=-?或5254a t a t --=??-+=?
。
解得21a t =??=?或81a t =??=?。 …………………………… 15分
经检验2a =，8a =符合要求。
∴ 2a =或8a =。 ………………………… 20分 另解：设m ，n （m n <）是方程两个不相等的整数根。
则2
2
(3)20(3)20
m a m a n a n a ?--+-=??--+-=??①②
。
两式相减，得()()(3)()0m n m n a m n -+---=。
由m n <，得3m n a +=-，3a m n =++。 …………………… 5分 将3a m n =++代入①，得10mn m n ---=。
∴ (1)(1)2m n --=。 …………………… 10分
由于m ，n 为整数，且m n <，因此，1211m n -=-??-=-?或1112
m n -=??-=?。
∴ 10m n =-??=?或23m n =??=?。 …………………………… 15分
当1
0m n =-??=?
时，32a m n =++=；23m n =??=?时，38a m n =++=。
∴ 2a =或8a =。 ………………………… 20分
12．如图，H 为ABC △的垂心，圆O 为ABC △的外接圆。点E 、F 为以C 为圆心、CH 长为半径的圆与圆O 的交点，D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点。
求证：（1）AC 垂直平分线段HE ；
（2）DE AB =。
【解答】（1）解法一： 如图，连结AH ，AE ，EC 。
由H 为ABC △的垂心知，180AHC ABC ∠+∠=?。 由A 、B 、C 、E 四点共圆，得180AEC ABC ∠+∠=?。 ∴ AEC AHC ∠=∠。 …………… 5分 又CH CE =，CEH CHE ∠=∠， ∴ AEH AHE ∠=∠，AE AH =。
∴ AC 垂直平分线段HE 。…………………… 10分 解法二：
作点H 关于直线AC 的对称点G 。连结AH ，AG ，GC 。则CG CH =，点G 在以C 为圆心、CH 长为半径的圆上。 …………………… 5分
又AGC AHC ∠=∠，H 为ABC △的垂心，
∴ 180AGC AHC ABC ∠=∠=?-∠，A 、G 、C 、B 四点共圆。因此，点G 也在圆O 上。
∴ E 、G 两点重合。
因此，E 、H 关于直线AC 对称，即AC 垂直平分线段HE 。…………… 10分 （2） 连结CF ，BH 。依题意有CE CH CF ==。结合D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点，知CD 为圆O 的直径。
∴ DA AC ⊥。
又由（1），以及H 为ABC △的垂心知，HE AC ⊥，
BH AC ⊥。因此，B 、H 、E 三点共线。
∴ BE AC ⊥。 …………………… 15分 ∴ 9090DCE CDE CBE ACB ∠=?-∠=?-∠=∠。 ∴ DAE ADB =。
∴ DE AB =。 …………………… 20分
或：通过DAE ADB △≌△，证明DE AB =。或通过证明四边形ADBE 等腰梯形，证明
DE AB =。
F
D
E
H
O B
C A
F D
(G )
H
O
B
C
A
E F D
E
H
O
B
C A
F D
E
H
O
B
C A
（第12题）
13．对于整数3n ≥，用()n ?表示所有小于n 的素数的乘积。求满足条件()2232n n ?=-的所有正整数n 。
【解答】解法一：若11n >，则11整除()n ?，但11不能整除2232n -。
因此，11n >不符合要求。故，11n ≤。 ……………………………… 10分 若711n <≤，则()2357210n ?=???=，由2102232n =-，得11n =。………… 15分 若567<≤，则()23530n ?=??=，由302232n =-，得正整数n 不存在。 若35n <≤，则()236n ?=?=，由62232n =-，得正整数n 不存在。 若3n =，则()2n ?=，由22232n =-，得正整数n 不存在。
∴ 满足条件的正整数n 只有1个，11n =。 ………………… 20分
解法二：由()2232n n ?=-，得()102422(48)n n ?-=-。
由于()n ?是偶数，但不是4的倍数，因此，48n -是奇数。 ……………… 5分 若483n -≥，则48n -含有奇数的素数因子p ，即p 为奇素数，且p 整除48n -。 由48n n -<知，p 整除()n ?。由此p 整除1024，矛盾。
故，483n -<，即49n ≤，且n 为奇数。 …………………… 10分 ∵ 49n ≤时，22322249321046n -≤?-=， ∴ ()1046n ?≤。
又2357210???=，235711*********????=?>。
∴ 11n ≤。即3n =，5，7，9，11。 ………………… 15分 将3n =，5，7，9，11分别代入()2232n n ?=-验证，
3n =时，(3)2?=，223234n -=，不符合要求。 5n =时，(5)236?=?=，223278n -=，不符合要求。 7n =时，(7)23530?=??=，2232122n -=，不符合要求。 9n =时，(9)2357210?=???=，2232166n -=，不符合要求。 11n =时，(11)2357210?=???=，2232210n -=，符合要求。
∴ 满足条件的正整数n 只有1个，11n =。 ………………… 20分
14．在一个m n ?（m 行，n 列，1m >）的表格的每个方格填上适当的正整数，使得： （1）每一列所填的数都是1，2，3，…，m 的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…，
m 这m 个数出现且仅出现1次）
（2）每一行n 个的数和都是34。
当上述的填数方式存在时，求()m n ，的所有可能取值。 【解答】依题意，每列m 个数的和为(1)
1232
m m m +++++=
，共n 列。又每行m 个数的和为34。
所以，
(1)
342
m m n m +?=，2(1)68217m n +==?。 …………………… 5分 又1m >。所以，()(671)m n =，，，(332)，，(164)，，(317)，。
当()(671)m n =，，时，每一行1个数的和互不相同，与（2）矛盾，即符合条件的填数方式不存在。舍去。
记i j a 为第i 行，第j 列所填写的数。
当()(332)m n =，，时，令1i a i =，234i a i =-。
即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，33；第2列自上而下各行所填的数依次为33，32，31，…，1时，符合要求。 ……………………… 10分
当()(164)m n =，，时，令1i a i =，217i a i =-，3i a i =，417i a i =-。
即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，16；第2列自上而下各行所填的数依次为16，15，14，…，1；第3列同第1列；第4列同第2列时，符合要求。
……………………… 15分 当()(317)m n =，，时， 填写方式如下：
符合要求。
所以，符合题意的填数方式存在时，()m n ，的所有可能取值有3种，分别为：
()(332)m n =，，，(164)，，(317)，。 ……………………………… 20分