第七讲-一向量

集才艺术文化培训中心个性化教学专用教案

学生姓名：科目：年级

备课时间： 2012年月日讲次：第讲授课教师：戴老师

授课时间：年月日至上课后，学生签字：年月日

教学类型：□强化基础型□引导思路型□错题讲析型□督导训练型

■效率提升型□单元测评型□综合测评型□应试指导型

■专题总结型□其它：

教学目标：

1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．

2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

1.重点、难点：向量的数量积是高考命题的重点，主要考查平面向量数量积的性质在向量运算、化简、求值、证明中的应用，考查平面向量平行、垂直的充要条件的应用，以及用向量的数量积解平面几何问题．多出现在填空题与选择题中，难度不会太大．在解答题中，常常与其他章节的内容，例如三角函数、数列、函数等相结合，考查平面向量数量积的综合运用，综合性较强，属于中等偏难的题．

2.

教学内容：

【应试对策】

1．在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量的夹角．

两向量的夹角描述了两向量的方向差异，求两向量的夹角时一定要注意向量

的方向．例如在△ABC中，向量的夹角是π－∠B，不是∠B.

(1)当a≠0时，由a2b＝0不能推出b＝0，这是因为任一与a垂直的非零向量b都

有a2b＝0.

(2)当a≠0时，由a2b＝a2c也不能推出b＝c.只要b，c在a方向上的投影相等(|b|cos〈b，a〉＝|c|cos 〈c，a〉)，都有a2b＝a2c(如图所示，对于直线l上任意点P，

的值都相等)．

(3)数量积运算不满足结合律，即(a2b)2c不一定等于a2(b2c)．这是因为

(a2b)2c表示一个与c共线的向量，而a2(b2c)表示一个与a共线的

向量，而a与c不一定共线．

2．数量积公式a2b＝|a||b|2cos θ(其中θ为a，b的夹角)的一些简单应用：

(1)当θ＝0°时，a2b＝|a||b|，所以求两向量的模的乘积可转化为求向量的

数量积．

(2)当θ＝90°时，a2b＝0?a⊥b，所以判定两向量垂直常可转化为证明数

量积为零．

(3) ＝0?点O在以AB为直径的圆上；

>0?点O在以AB为直径的圆外?∠AOB＜90°

【知识拓展】

3．向量数量积的运算律

(1)a2b＝(交换律)．(2)(λa)2b＝＝(数乘结合律)．

(3)(a＋b)2c＝.(分配律)

4．平面向量数量积的坐标表示

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

(1)a2b＝.(2)|a|＝，|b|＝.

(3)a⊥b?.

(4)若a与b夹角为θ，则cos θ＝

(5)若c的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则|c|＝

.

5．向量方法解决几何问题的步骤

(1)建立几何与向量的联系，用表示问题中的几何元素，将几何问题转

化为问题．

(2)通过向量的，研究几何元素之间的关系，如夹角、距离、垂直、

平行等问题．

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

自测：

1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是________．

①若a2b＝0，则a＝0或b＝0②若λa＝0，则λ＝0或a＝0

③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b ④若a2b＝a2c，则b＝c

2．(20102江苏通州市高三素质检测)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a2b＝________.

3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)2(a－3b)＝－72，则向量a的模是________．.

4．已知a＝(2,1)，b＝(3，x)，若(2a－b)⊥b，则x的值是________．

5．已知力F＝(3,5)，在力F的作用下发生的位移S＝(6,9)，则F所做的功为________．

1．向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a2b＝|a|2|b|cos θ来计算，

二是利用a2b＝x1x2＋y1y2来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，

同时要注意数量积运算律的应用．

2．数量积中的常用公式:

(1)|a|2＝a2＝a2a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a2b＋b2；

【例1】已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为，

求：(1)(3a－2b)2(a－2b)；(2)|a＋b|.

变式1：(1)证明：(a－b)2＝a2－2a2b＋b2；

(2)设a、b是夹角为60°的单位向量，求|2a＋b|、|3a－2b|.

1．非零向量a⊥b?a2b＝0?x1x2＋y1y2＝0.

2．当向量a与b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线的向量表示．

【例2】已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，

向量ka－b与a＋2b垂直？

变式2：在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，

且△ABC的一个内角为直角,求k的值．

用向量解决应用问题，首先要把实际问题中的条件和要求(或证)的问题用向量表示出来，然后通过向量的运算求出结果，并把求出的结果解释为实际要求的问题．

【例3】在△ABC内求一点P ，使AP2＋BP2＋CP2的值最小．

变式1：若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.

【规律方法总结】

1．平面向量a与b的数量积|a|2|b|2cos θ，它是一个实数，而不是向量，

它的值等于两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，其中θ的取值范围是

0°≤θ≤180°.

2．向量数量积a 2b 与实数a 、b 乘积a 2b 不同．由a 2b ＝0，并不能得出a ＝0或

b ＝0，因为两非零向量夹角为90°时，数量积也为0.

3．向量的数量积不满足结合律，即(a 2b)2c ≠a 2(b 2c)，在(a 2b)2c 与a 2(b 2c)

中，由于a 2b 与b 2c 都是一个实数，设a 2b ＝λ1，b 2c ＝λ2，则(a 2b)2c ＝ λ1c ，a 2(b 2c)＝λ2a ，它们分别是与c 共线和与a 共线的向量，由于a 与c 不一 定共线，那么λ1c 与λ2a 的方向不一定相同，故一般情况下，

(a 2b)2c ≠a 2(b 2c)．

4．数量积的消去律不成立，即a 2b ＝c 2b 不一定得到a ＝c.

5．可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，但要注意两种公式

的灵活运用．

6．利用向量垂直的充要条件研究几何中线与线垂直的问题，若易建立适当

的坐标系，得到简单的向量坐标表示，则可以减少运算量，实现了平面几

何问题转化为数量的运算.

第3课时 向量的数量积、向量的应用

一、填空题

1．(2010·栟茶中学学情分析)设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c 且a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2＝________.

2．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知a 、b 均为非零向量，p ：a ·b >0，q ：a 与b 的夹角为锐角，则p 是q 成立的________条件．(填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)

3．(盐城市高三调研考试)已知O ，A ，B 是平面上不共线三点，设P 为线段AB 垂直平分线上任意一

点，若|―→OA |＝7，|―→OB |＝5，则―→OP ·(―→OA －―→OB )的值为________．

4．(江苏省高考命题研究专家原创卷)如上图，非零向量―→OA ，―→OB 与x 轴正半轴的夹角分别为π6和2π3

，且―→OA ＋―→OB ＋―→OC ＝0，则―→OC 与x 轴正半轴的夹角的取值范围是________．

5．(苏北四市高三第三次联考)已知平面向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a 与b 的夹角为135°，c 与b 的夹角为120°，|c |＝2，则|a |＝________.

6．(苏北四市联考)

如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC =2，D ，E 为BC 边上的点，且

= .

7．(扬州市高三期末调研考试)等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且―→AP ＝λ―→AB ，若―→CP ·―→AB ＝

―→PA ·―→PB ，则实数λ的值是________．

二、解答题

8．(2010·栟茶中学高三学情分析)已知向量a ＝(cos α，1＋sin α)，b ＝(1＋cos α，sin α)，

(1)若|a ＋b |＝3，求sin 2α的值；(2)设c ＝(－cos α，－2)，求(a ＋c )·b 的取值范围．

9．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 是△ABC

的重心，且56sin A ·―→GA ＋40sin B ·―→GB ＋35sin C ·―→GC ＝0.

(1)求角B 的大小；

(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k ,1)(k >1)，m ·n 的最大值为5，求实数k 的值．

1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系

人教B 版（2019）选择性必修第一册过关斩将第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与 空间直角坐标系 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知向量{,,}a b c 是空间向量的一组基底，向量{,,}a b a b c +-是空间向量的另外一组基底，若一向量p 在基底{,,}a b c 下的坐标为(1,2,3)，则向量p 在基底 {,,}a b a b c +-下的坐标为（ ） A ．13,,322 ?? ??? B ．31,,32 2 ??- ??? C ．133,,22??- ?? ? D ．13,,322??- ??? 2．已知a =（2，﹣1，2），b =（x ，y ，6），a 与b 共线，则x ﹣y ＝（ ） A ．5 B ．6 C ．3 D ．9 3．下列向量与向量() 1,2,1=-a 共线的单位向量为（ ） A ．11,22??-- ? ??? B ．11,22?? - ? ??? C ．1122?? - - ? ??? D ．112 2?? ? ??? 4．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且1 3 AC AB =，则点C 的坐标为( ) A ．715,,222??- ?? ? B ．3 ,3,28??- ??? C ．10 7,1,3 3??- ??? D ．573,,222?? - ??? 5．向量()()2,4,,2,,2a x b y ==，若6a =，且a b ⊥，则x y +的值为（ ） A ．3- B ．1 C ．3或1 D ．3-或1 6．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-=，点P 是OC 上一点，则当PA PB ?取得最小值时，点P 的坐标为（ ）

平面向量基础知识

b a B A O a -b 平面向量基础知识 1．向量的概念 (1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．向量可用字母a ，b ，c ，…等表示，也可用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示(起点写在前面，终点写在后面，上面划箭头)如AB 表示由起点A 到终点B 方向的向量． (2)向量的模：向量AB 的大小(即向量AB 的长度)叫做向量AB 的模，记作|AB |．又如向量a 的模记作|a |． 注意：向量的模是一个非负实数，是只有大小而没有方向的标量． (3)零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念． ①零向量：长度(模)为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的方向可看作任意方向． ②单位向量：长度(模)为1个单位的向量叫做单位向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行可记作：a //b ．因为平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量又叫做共线向量．我们规定0与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，记作a =b ．相等向量一定共线，反之则不一定成立． 2．向量运算 (1)加法运算 ①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法，如已知向量a ，b ， 作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b =AB +BC =AC ． 这种根据向量加法的定义求向量和的方法，叫做向量加法的 三角形法则． 由图可知，以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作 平行四边形ABCD ，则以A 为起点C 为终点的对角线AC 就是a 与b 的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行 四边形法则． ②运算性质： a + b =b +a (交换律)； (a +b )+ c =a +(b +c )(结合律)； a +0=0+a =a ． (2)减法运算 ①相反向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量． 记作a ．零向量的相反向量仍是零向量；-(-a )=a ；a +(-a )=0 (即互为相反的两个向量的和是零向量．) ②减法定义：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，即a b =a +(-b )． 求两个向量的减法可转化为加法进行．若向量是用两个大写字母，则只需把减向量起点字母与终点字母交换顺序，就可将减法变为加法，如AB -BC =AB +CB 如图，已知，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则BA =a -b ．即a -b 可以表示为从向量b 的终点指向a 的终点的向量．此法则叫做两向量减 法的三角形法则． (3)实数与向量的积： ①定义：λa ，其中λ>0，λa 与a 同向，|λa |=|λ|?|a |； λ<0时，λa 与a 反方向，|λa |=|λ|?|a |；λ=0时，λa =0，当a =0，λa =0． ②运算律： B A C a +b a b B A C a +b a b D a b

第一节平面向量的概念及运算性质

第一节平面向量的概念及其线性运算 [知识能否忆起] 一、向量的有关概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二、向量的线性运算 平行四边形法则 1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. 2．运算律：设λ，μ是两个实数，则： ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 四、共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

[小题能否全取] 1．下列命题正确的是( ) A ．不平行的向量一定不相等 B ．平面内的单位向量有且仅有一个 C ．a 与b 是共线向量，b 与c 是平行向量，则a 与c 是方向相同的向量 D ．若a 与b 平行，则b 与a 方向相同或相反 解析：选A 对于B ，单位向量不是仅有一个，故B 错；对于C ，a 与c 的方向也可能相反，故C 错；对于D ，若b ＝0，则b 的方向是任意的，故D 错，综上可知选A. 2.如右图所示，向量a －b 等于( ) A ．－4e 1－2e 2 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 2 解析：选C 由题图可得a －b ＝BA ＝e 1－3e 2. 3．(教材习题改编)设a ，b 为不共线向量，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( ) A ．AD ＝BC B ．AD ＝2B C C ．A D ＝－BC D ．AD ＝－2BC 解析：选B AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝a ＋2b ＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC . 4．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________. 解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2. 答案：2 5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]， 所以????? λ＝－k ， 1＝3k ，解得??? k ＝1 3 ，λ＝－13. 答案：－1 3 共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两 向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所

空间解析几何和向量代数总结

第八章空间解析几何和 向量代数总结 向量的概念 向量的线性运算 空间直角坐标系（右手系）向量的坐标 坐标形式的向量的线性运算（8—1，19） 方向角与方向余弦（8—1，15） 向量的数量积、向量积、混合积 （8—2，1、3、6、10； 总习题八，1（3）、（4））

应用：判断向量正交、 平行（共线）、 计算平行四边形面 积、 一向量在另一向量的投影。 曲面 曲面的概念 (),,0F x y z =， ()(){}:,,,,0x y z F x y z ∑=建立曲面方程 （P23，例1、P24，例2，8—3，2、3）

旋转曲面（8—3，7、10） 坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程 (),00f x y z ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f x =； (),00f x y z ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0 f y =；

(),00f y z x ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f y =； (),00f y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0f z =； (),00f x z y ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为

(,0f x =； (),00f x z y ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为() 0f z =。 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 ()(),,0,,0F x y z G x y z =???=?? 参数方程（P33，例3）

()()()x t y t z t αβγ=??=??=? 空间曲线在坐标面的投影（P36，例4、例5、8—4，4） 平面及其方程 建立平面方程：点法式、一般式、截距式、三点式（8—5，1、2、3、6） 平面与平面的夹角（锐角）（8—5，5） 点的平面的距离（8—5，9）

平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.

向量代数与空间解析几何

第六章.向量代数与空间解析几何 本章内容在本课程当中是单独的一个部分，应该说是属于几何的内容，之所以需要在微积分的课程里进行单独的讨论，是因为我们在后面学习多元函数的微积分时，必须和这些几何知识发生关系，所谓多元的函数，从几何意义方面来理解，就是定义域在平面乃至更高维度的空间区域上，这样如果要想得到对于多元函数的直观几何理解，就必须对于平面乃至更高维度的空间中的几何现象具有一定的知识。 向量。 向量可以说是几何的最为基本的概念。因为几何对象的两个基本要素：方向和长度，用一个向量就可以完全表达，从向量的概念出发，可以构造出整个的几何世界。 由于本课程的限制，我们不从一般的观念出发来展开向量的理论，而是基于直观的，运用向量来表示的几何当中的有向直线段，来说明我们需要涉及的有限的向量知识。 我们完全可以把一个向量理解为一根有向直线段，而不会出现任何理论上的错误。基于向量的这种直观图象，可以定义向量的基本属性。 首先，我们定义两个向量相等的意思，就是两个向量的大小与方向都相同，对于这里的具体的一种向量—有向直线段，就是必须长度相等，而方向相同，所谓方向相同，按照几何的意义，就是两根直线段相互平行，而且指向相同。 注意，这里初学者常常产生误解的地方，就是认为要求两个有向直线段方向一样，就一定是要求它们在同一个直线上，或者是相互重合，这是因为还不习惯在一般的空间当中考虑问题，特别是要养成在三维空间当中考虑几何对象的习惯，记住方向相同，是与这两个向量的空间位置无关的，只要它们所在的直线相互平行，而指向一致即可。 在两个向量之间定义加法与减法，就是我们在力学当中以及很熟悉的力的合成的平行四边形法则，当然这是一种直接的基于几何图象的定义方式，下面我们通过在空间引入坐标，来得到更一般的定义。 空间直角坐标系以及向量代数。 在空间当中引入坐标的目的，和物理学当中引入单位制一样，是提供一个度量几何对象的方法，首先一个坐标系必须能够提供方向的定义，使得任意的方向都能够由于坐标系而得到确定与唯一的描述；然后必须能够提供长度的单位，基于这个单位能够度量空间长度。 能够满足上面这两个基本要求的坐标系可以有很多的形式，我们经常使用的坐标系就是直角坐标系。 我们已经强调了一个向量的大小与方向是与它所处的空间位置没有关系的，换一个说法，就是一个向量在空间进行平移时，不影响它的大小与方向。那么在空间中，对任意一个向量的度量，都可以通过把这个向量平移到以坐标系的原点为起点的位置，再用它的终点的坐标来表征这个向量的大小与方向。显然，任意的一个向量，只要是通过平移而处于这种方式，就只会唯一的，而空间中的任意一点在一个这样的直角坐标系里的标度也是唯一的。因此这样决定的一个向量的坐标也就是唯一的。 本课程我们主要只考虑三维的情况，因此一个向量可以用一个唯一的坐标来表示，在直角坐标系里，也就是由三个实数组成的三元组：（a ，b ，c ）。 基于上面对于唯一性的分析，可以得到坐标表示的向量的相等的含义，就是坐标三元组的分别相等。 进一步，为了更为方便地度量一般的向量，我们引入单位向量的概念，就是在坐标轴方向上具有单位 长度的向量，在直角坐标系当中，习惯的写法，就是 ，，，分别表示在X ，Y ，Z 轴上的单位向量。 按照坐标三元组的写法，就是 =（1，0，0）； i r j r k r i r

高中数学第一章坐标系1

——教学资料参考参考范本——高中数学第一章坐标系1 ______年______月______日 ____________________部门

[读教材·填要点] 1．球坐标系 设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z)，点M 在xOy 坐标面上的投影点为M0，连接OM 和OM0，设z 轴的正向与向量的夹角为φ，x 轴的正向与0的夹角为θ，M 点到原点O 的距离为r ，则由三个数r ，θ，φ构成的有序数组(r ，θ，φ)称为空间中点M 的球坐标．在球坐标中限定r≥0，0≤θ<2π，0≤φ≤π.OM OM 2．直角坐标与球坐标的转化 空间点M 的直角坐标(x ，y ，z)与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换 关系为??? x＝rsin φ·cos θ， y＝rsin φ·sin θ， z＝rcos φ. [小问题·大思维] 球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？ 提示：空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy 平面上投影点的极坐标中的第二个坐标θ. [对应学生用书P16] 将球坐标化为直角坐标 [例1] 已知点M 的球坐标为，求它的直角坐标．

[思路点拨] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可． [精解详析] ∵M 的球坐标为， ∴r ＝5，φ＝，θ＝. 由变换公式??? x＝rsin φcos θ， y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ， 得????? x＝5sin 5π6cos 4π3＝－5 4 ，y＝5sin 5π6sin 4π3＝－534，z＝5cos 5π6＝－532 . 故它的直角坐标为. 已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ. 1．已知点P 的球坐标为，求它的直角坐标． 解：由变换公式得 x ＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2， y ＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2， z ＝rcos φ＝4cos ＝－2. ∴它的直角坐标为(2,2，－2).

平面向量的基本概念

平面向量得实际背景及基本概念 1、向量得概念：我们把既有大小又有方向得量叫向量。 ２、数量得概念:只有大小没有方向得量叫做数量。 数量与向量得区别： 数量只有大小,就就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小、 3.有向线段:带有方向得线段叫做有向线段。 4.有向线段得三要素:起点,大小,方向 ５、有向线段与向量得区别; （1)相同点:都有大小与方向 (2）不同点:①有向线段有起点,方向与长度，只要起点不同就就就是不同得有向线段 比如：上面两个有向线段就就是不同得有向线段。 ②向量只有大小与方向,并且就就是可以平移得,比如：在①中得两个有向线 段表示相同(等)得向量。 ③向量就就是用有向线段来表示得,可以认为向量就就是由多个有向线段连接而成 6、向量得表示方法: ①用有向线段表示； ②用字母a 、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:; ７、向量得模:向量得大小(长度)称为向量得模,记作｜|、 8、零向量、单位向量概念： 长度为零得向量称为零向量,记为:0。长度为1得向量称为单位向量。 ９、平行向量定义: ①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、即:0 ∥a 。 说明：(1)综合①、②才就就是平行向量得完整定义； (2)向量ａ、ｂ、c 平行,记作ａ∥b ∥c 、 １0、相等向量 长度相等且方向相同得向量叫相等向量、 说明:(1）向量ａ与ｂ相等，记作a ＝b ;(２)零向量与零向量相等; (３)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有．． A(起点) B (终点) a

空间解析几何与向量代数论文

空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员： 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙

空间解析几何与向量代数 摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。 关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数 第一节：向量 一.向量的概念： 向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。 表示法：有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小，记作|a |。 向径（矢径）：起点为原点的向量。 自由向量：与起点无关的向量。 单位向量：模为1的向量。 零向量：模为0的向量，记作.0或0 若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b ； 若向量a 与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b 规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a 的负向量， 记作-a ；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则： b a +b a 三角形法则： a + b b

a 运算规律：交换律a + b =b +a a 与b 结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ） 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +（a ） a b -a b b -a a 特别当b =a 时，有a -a =a （a ）=0 ； 三角不等式：|b +a |； |a -b |； 3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a 。 规定： a 与a 同向时，|a |=|a |； 总之：|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r （x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得： |r | |OM| B A 对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积

《第一节平面向量的概念及其线性运算》教案

教学过程 课堂导入 以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海.20XX年7月4日，两岸直航包机启航．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．想一想，向量a、b、c有何关系？ 复习预习 1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________．

2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？ 所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________． 知识讲解 考点1 向量的有关概念

考点2 向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c) 减法求a与b的相反向量－b的 和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运 算 (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a的方向相同； 当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ) a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 考点3 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

例题精析 【例题1】 【题干】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0； ③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 【例题2】 【题干】如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝13OB.设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.

解析几何第四版复习重点第一章向量与坐标

第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→ → → +=b a AB 5，→ → → +-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 += )(21 BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 ++=OL ++. [证明] += += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB ++OD ＝4OM . [证明]：因为＝ 2 1 (OA +OC ), ＝ 2 1 (OB +), 所以 2＝21 (OA +OB +OC +) 所以 OA +OB ++OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰 中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5

平面向量第一节预习

第五章平面向量，数系的扩充与复数的引入 第一节平面向量的概念及线性运算 [考点要求] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 一、知识梳理((对应学生用书第88页) 1．向量的有关概念 (1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (2)零向量：的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于的向量． (4)平行向量：方向的非零向量．平行向量又叫．规定：0与任一向量． (5)相等向量：长度且方向的向量． (6)相反向量：长度且方向的向量． 2．向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义) 运算律 加法求两个向量和的 运算 法则 法则 (1)交换律： a＋b＝； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ 减法求a与b的相反向 量－b的和的运算 叫做a与b的差法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a(1)|λa|＝；λ(μa)＝；

的积的运算 (2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ＝0时，λa ＝0 (λ＋μ)a ＝ ； λ(a ＋b )＝ 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得 ． 二、构建系统 1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB → )． 2.OA →＝λOB →＋μOC → (λ，μ为实数)O 不在直线AB 上，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1． 3．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2＋A 2A 3＋A 3A 4＋…＋A n －1A n ＝A 1A n ，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 4．与非零向量a 共线的单位向量为± a |a |． 三、诊断评价 1．[多选]如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是( ) A.AB →＝DC → B ．AD →＋AB →＝A C → C ．AB →－A D →＝BD → D ．AD →＋CB →＝0 2．[一题两空]已知?ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB → ＝b ，则DC →＝________，BC → ＝________．(用a ，b 表示) 四、归类解析(对应学生用书第89页) 考点1 平面向量的概念

第一章 矢量分析

1矢量分析 1.在球面坐标系中，当?与φ无关时，拉普拉斯方程的通解为：（）。 2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。 3. 矢量场在闭合面的通量定义为，它是一个标量；矢量场的（）也是一个标量，定义为。 4. 矢量场在闭合路径的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋度是一个（），它定义为。 5.标量场u（r）中，（）的定义为，其中n为变化最快的方向上的单位矢量。 6. 矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为（）。 任一矢量的旋度的散度恒为（）。 7. 算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，，所以 是个（），而是个（），是个（）。 8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。

9. （）坐标、（）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标 | 10. 标量：（）。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。 11. 矢量：（）。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 12. 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。 13. 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。 14. 旋度为零的矢量场叫做（） 15. 标量函数的梯度是（），如静电场 16．无旋场的（）不能处处为零 17. 散度为零的矢量场叫做（） 18. 矢量的旋度是（），如恒定磁场 19．无散场的（）不能处处为零 % 20．一般场：既有（），又有（） 21．任一标量的梯度的旋度恒为（） 22．任一矢量的旋度的散度恒为（）。

平面向量的基本性质

平面向量的基本定理及其坐标表示 第一部分 知识梳理 一、平面向量的基本定理：如果21,e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使得2211e e λλ+=。我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 对于两个非零向量a 与b ，通过平移使他们的起点重合，比如a oA =，b oB =，则 () 1800≤≤=∠θθAOB 叫做向量与的夹角。 二、 平面向量的正交分解及坐标表示 （1）向量的分解：一个平面向量用一组基底21,e 表示成2211e e λλ+=,(R ∈21,λλ）的形式，我们称之为向量的分解 （2）向量的正交分解：把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解，这两个互相垂直的向量称为正交基底。 （3） 平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别去与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量,作为基底，对于平面捏的任一向量a ，由平面向量基本定理可以知，有且只有一对实数y x ,，使得j y i x a +=，这样，平面内的任一向量都可以由y x ,唯一确定，我们把有序的实数对()y x ,叫做向量的坐标，记作),(y x a =，其中x 叫做在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标，),(y x =叫做向量的坐标表示。 三、平面向量的坐标运算： （1） 两个向量和、差的坐标运算。已知),(),,(2211y x y x ==则 ),(2121y y x x ++=+，),(2121y y x x --=- （2） 平面向量数乘的坐标运算。已知()R y x a ∈=λ,,，则()y x a λλλ,= （3） 已知A 、B 的坐标，求的坐标。设),(),,(2211y x B y x A ，则()1212,y y x x --= 四、平面向量共线的坐标表示： 已知()11,y x =，() 0),(22≠=y x ，与共线?01221=-y x y x 五、线段定比分点坐标： 若点()111,y x P ，P2（ x2),(222y x P ，()y x P ,，λ为实数，且P 21PP P P λ=,则点P 的坐标y x ,满足：()y x P ,

向量代数与空间解析几何

第7章 向量代数与空间解析几何 7.1 向量及其线性运算 7.1.1 基本要求 1. 理解向量的概念. 2. 掌握向量的线性运算. 3. 理解向量的几何表示. 7.1.2 答疑解惑 1. 向量与标量在表示方法上有什么区别？ 答 在手写体中，向量的上方有箭头，而标量没有；在印刷体中，若用单个字母表示向量，则用粗体字母表示该向量，或者不用粗体但是字母上方加箭头；若用两个字母表示向量，则上方加箭头，而标量不用粗体，也不加箭头. 例如a ，i ，v ，F ，a ，i ， v ，F ，12M M 等都可表示向量. 2. 向量的起点都在坐标原点吗？ 答 本书讨论的向量都是自由向量，它的起点不是固定的，不一定在坐标原点，可以根据需要移动. 3. 当A , B 为不同点时，AB 与BA 相等吗？ 答 不相等，因为向量AB 与BA 的大小相等，但方向相反，所以它们不相等. 本书讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 由于AB 与BA 的方向总是不同的，所以它们不相等. 4. 向量在轴上的投影是不是向量？ 答 向量在轴上的投影是一个数量，它可正可负可为零，而不是一个向量. 7.1.3 基本题型分析 题型 有关向量的运算问题 例1 化简3525-??-+-+ ??? b b a a b . 解 3525-??-+-+ ???b b a a b 5(13)112??=-+--+ ?? ?a b 522=--a b . 例2 已知非零向量a 和b ，求一个向量c ，使之平分向量a 和b 之间的夹角. 解 因为向量a 和b 为非零向量，所以其单位向量0a ，0b 存在，且0=a a a ，0=b b b . 以0a ，0b 为邻边所生成的平行四边形是一个菱形，这个菱形的对角线平分对角，于是可

平面向量第一节

高三全体 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 （ ）月（ ）日 学习目标：1、通过考点一知道平面向量的有关概念 2. 通过考点二会处理向量线性运算的有关问题 3. 通过考点三明确共线向量基本定理的应用 课堂内容展示 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是 任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a |a | 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又 叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； 规律总结 平行四边形法则 (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) 减法 求a 与b 的相反向量－b 的 和的运算叫做a 与b 的差 三角形法则 a －b ＝a ＋(－b ) 数乘 求实数λ与向量a 的积的运 算 （1）|λa |＝|λ||a |； （2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0 λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( ) (3)若向量AB ―→与向量CD ―→ 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 2.如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式错误的是( ) A ．AP ―→＝13A B ―→ B ．AQ ―→＝23AB ―→ C ．BP ―→＝－23AB ―→ D ．AQ ―→＝BP ―→ 3．设a ，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a |a|＋b |b|＝0成立的是( )

(完整版)平面向量基本定理练习题

平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0，则11 x y +的值 为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11．已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为

向量代数与空间解析几何相关概念和例题

空间解析几何与向量代数 向量及其运算 目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平 行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算； 重点与难点 重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 过程： 一、向量 既有大小又有方向的量称作向量 通常用一条有向线段来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的表示方法有两种: → a 、→ AB 向量的模：向量的大小叫做向量的模. 向量→ a 、→ AB 的模分别记为||→ a 、||→ AB . 单位向量： 模等于1的向量叫做单位向量. 零向量： 模等于0的向量叫做零向量, 记作→0.规定：→ 0方向可以看作是任意的. 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量 平行向量（亦称共线向量）： 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行.记作a // b .规定： 零向量与任何向量都平行. 二、向量运算 向量的加法 向量的加法: 设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的终点重合, 此时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和, 记作a +b , 即c =a +b . 当向量a 与b 不平行时, 平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b . 向量的减法: 设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的起点重合, 此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 → → → → → A O O B OB O A AB -=+=, 2、向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义: 向量a 与实数λ的乘积记作λa , 规定λa 是一个向量, 它的模|λa |=|λ||a |, 它的方向当λ>0时与a 相同, 当λ<0时与a 相反. (1)结合律 λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律 (λ+μ)a =λa +μa ； λ(a +b )=λa +λb . 例1 在平行四边形ABCD 中, 设?→ ?AB =a , ?→ ?AD =b .