专题15 角含半角模型
破题策略
1.等腰直角三角形角含半角
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D,E在BC上且∠DAE=45°
(1)△BAE∽△ADE∽△CDA
(2)BD2+CE2=DE2.
B C
证明(1)易得∠ADC=∠B+∠BAD=∠EAB,
所以△BAE∽△ADE∽△CD A.
(2)方法一(旋转法):如图1,将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF,连结EF.
B C
则∠EAF=∠EAD=45°,AF=AD,所以△ADE∽△FAE (SAS).
所以DE=EF.
而CF=BD,∠FCE=∠FCA+∠ACE=90°,
所以BD2+CE2=CF2+CE2=EF2=DE2.
方法二(翻折法):如图2,作点B 关于AD 的对称点F,连结AF,DF,EF.
B C
因为∠BAD+∠EAC=∠DAF+∠EAF,
又因为∠BAD=∠DAF,
则∠FAE=∠CAE,AF=AB=AC,
所以△FAE∽△CAE(SAS).
所以EF=E C.
而DF=BD,∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°,
所以BD2+EC2=FD2+EF2=DE2.
【拓展】①如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在BC 上,点E在BC的延长线上,且∠DAE=45°,则BD2+CE2=DE2.
可以通过旋转、翻折的方法来证明,如图:
D
D
②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E
在BC上,且∠DAE=1
2
∠BAC,则以BD,DE,EC为三边长的三角形有一个内角度
数为180°-∠BA C.
B
可以通过旋转、翻折的方法将BD,DE,EC转移到一个三角形中,如图:
B
B
2. 正方形角含半角
如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,∠EAF =45°,连结EF ,
则:
图1
B
C
E
图2
F B
图3
F E
B
C
(1)EF =BE +DF;
(2)如图2,过点A 作AG ⊥EF 于点G ,则AG =AD ;
(3)如图3,连结BD 交AE 于点H ,连结FH . 则FH ⊥AE . (1)如图4,将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADI 证明.
图4
E
则∠IAF =∠EAF =45°,AI =AE , 所以△AEF ∽△AIF (SAS ), 所以EF =IF =DI +DF =BE +DF .
(2)因为△AEF ∽△AIF ,AG ⊥EF ,AD ⊥IF , 所以AG =A D .
(3)由∠HAF =∠HDF =45°可得A ,D ,F ,H 四点共圆, 从而∠AHF =180°-∠ADF =90°,
即FH⊥AE.
【拓展】①如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边CB,DC的延长线上,∠EAF =45°,连结EF,则EF=DF-BE.
F
可以通过旋转的方法来证明.如图:
②如图,在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠C=180 °,
点E,F分别在BC、CD上,∠EAF=1
2
∠BAD,连结EF,则
EF=BE+DF.
C
可以通过旋转的方法来证明.如图:
F
C G
例题讲解
例1 如图1,点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,∠EAF =45°. (1) 试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系.
(2) 如图2,在四边形ABCD 中,∠BAD ≠90°,AB =AD .∠B +∠D =180°,点E 、F 分别在BC 、CD 上,则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时,仍 有EF =BE +FD .
(3)如图3.在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD .已知AB =AD =80m ,∠B =60°,∠ADC =120°,∠BAD =150°,道路BC ,CD 上分别有景点 E ,F ,且AE ⊥AD .DF =40
1)m .现要在E 、F 之间修一条笔直的道路,求 这条道路EF 的长.
1.41
1.73)
图1
F
A
B
E
图2
图3
B
解: (1)由“正方形内含半角模型”可得EF =BE +FD . (2)∠BAD =2∠EAF ,理由如下:
如图4,延长CD 至点G ,使得DG =BE .连结AG . 易证△ABE ≌△ADG (SAS ). 所以AE =AG ,
即EF =BE +DF =DG +DF =GF . 从而证得△AEF ≌△AGF ( SSS ). 所以∠EAF =∠GAF =
12∠EAG =1
2
∠BAD .
图4
图5
C
B
E
(3)如图5,将△ABE 绕点A 逆时针旋转1 50°至△ADG .连结AF . 由题意可得∠BAE =60°
所以△ABE 和△ADG 均为等腰直角三角形. 过点A 作 AH ⊥DG 于点
H .则 DH =
12AD =40m
,AH AD =
m. 而DF =401)m. 所以∠EAF =∠GAF =45°. 可得△EAF ≌△GAF (SAS )
.
所以EF =GF =80m+40l )m ≈109. 2m.
例2如图,正方形ABCD 的边长为a ,BM 、DN 分别平分正方形的两个外角,且满足∠MA N =45°.连结MC 、NC 、MN .
(1)与△ABM 相似的三角形是 ,BM DN = (用含有a 的代数式表示);
(2)求∠MCN 的度数;
(3)请你猜想线段BM 、DN 和MN 之间的等量关系,并证明你的结论
. B
解:(1)△NDA ,2
a .
几何模型之半角模型 一、旋转性质 1.图形对应边相等(易得等腰,且等腰均相似) 2.对应角相等 3.对应点与旋转中心连线构成旋转角,旋转角处处相等 二、半角模型 半角模型(90°含45°) 条件模型结论 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°①EF=BE+DF; ②△CEF的周长是正方形周长的一半; ③点A到EF的距离等于正方形的边长. ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°EF=DF-BE 三、模型演练 1.如图,在正方形ABCD中,AB=1,E,F分别是边BC,CD上的点,连接EF、AE、AF,过A作AH⊥EF 于点H.若EF=BF+DF.那么下列结论:①AE平分∠BEF;②FH=FD; ③∠EAF=45°;④S△E A F=S△A B E+S△A D F;⑤△CEF的周长为2.其中正确结论的 是.
2.在Rt△ABC中,AB=AC,D?E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论①△AEF≌△AED;②∠AED=45°; ③BE+DC=DE;④BE2+DC2=DE2,其中正确的是() A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 3如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的长. 4.如图,在正方形OABC中,点B的坐标是(4,4),点E、F分别在边BC、BA上,OE=25.若∠EOF=45°,则F点的坐标是. 5.已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交
半角模型题 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
半角模型 例1(海淀201405-8) 如图,点P 是以O 为圆心, AB 为直径的半圆的中点,AB=2,等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合, 当此三角板绕点P 旋转时,它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别 相交于C 、D 两点.设线段AD 的长为x ,线段BC 的长为y ,则下列图象中,能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 A B C D 例2.(海201311-24).已知在ABC △中, 90=∠ACB ,26==CB CA , AB CD ⊥于D ,点E 在直线CD 上,CD DE 2 1=,点F 在线段AB 上,M 是DB 的中点,直线AE 与直线CF 交于N 点. (1)如图1,若点E 在线段CD 上,请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系:___________,___________; (2)在(1)的条件下,当点F 在线段AD 上,且2AF FD =时,求证: 45=∠CNE ; (3)当点E 在线段CD 的延长线上时,在线段AB 上是否存在点F ,使得 45=∠CNE .若存在,请直接写出AF 的长度;若不存在,请说明理由. D C B A N F E C B A
24. (本小题满分8分) (1)AE ⊥CM ,AE =CM (2)如图,过点A 作AG ⊥AB ,且AG =BM,,连接CG 、FG ,延长AE 交CM 于H . ∵ 90=∠ACB ,26==CB CA , ∴∠CAB =∠CBA =45°, 12. ∴∠GAC =∠MBC =45°. ∵AB CD ⊥, ∴CD=AD=BD =162 AB =. ∵ M 是DB 的中点, ∴3BM DM ==. ∴3AG =. ∵2AF FD =, ∴4 2.AF DF ==, ∴+2+3=5.FM FD DM == ∵AG ⊥AF , ∴FG = ∴.FG FM = 在△CAG 和△CBM 中, ∴△CAG ≌△CBM . ∴CG =CM ,ACG BCM ∠=∠. ∴++90MCG ACM ACG ACM BCM ∠=∠∠=∠∠=.在△FCG 和△FCM 中, ∴△FCG ≌△FCM . ∴FCG FCM ∠=∠. ∴45FCH ∠=. 由(1)知AE ⊥CM , ∴90CHN ∠= ∴ 45=∠CNE . (3)存在. AF =8. 例3.(平谷201405-24)(1)如图1,点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,∠EAF =45°,连接EF , 则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是:EF =BE +FD .连结BD ,交AE 、AF 于点M 、N ,且MN 、BM 、DN 满足222DN BM MN +=,请证明这个等量关系;
初中几何常见模型解析 模型一:手拉手模型-旋转型全等 (1)等边三角形 ?条件:均为等边三角形 ?结论:①;②;③平分。(2)等腰 ?条件:均为等腰直角三角形 ?结论:①;②; ?③平分。 (3)任意等腰三角形 ?条件:均为等腰三角形 ?结论:①;②; ?③平分 模型二:手拉手模型-旋转型相似 (1)一般情况 ?条件:,将旋转至右图位置 ?结论: ?右图中①; ?②延长AC交BD于点E,必有
(2)特殊情况 ?条件:,,将旋转至右图位置 ?结论:右图中①;②延长AC交BD于点E,必有;③; ④; ⑤连接AD、BC,必有; ⑥(对角线互相垂直的四边形)
模型三:对角互补模型 (1)全等型-90° ?条件:①;②OC平分 ?结论:①CD=CE; ②;③ ?证明提示: ①作垂直,如图,证明; ②过点C作,如上图(右),证明; ?当的一边交AO的延长线于点D时: 以上三个结论:①CD=CE(不变); ②;③ 此结论证明方法与前一种情况一致,可自行尝试。 (2)全等型-120° ?条件:①; ?②平分; ?结论:①;②; ?③ ?证明提示:①可参考“全等型-90°”证法一; ②如图:在OB上取一点F,使OF=OC,证明为等边三角形。(3)全等型-任意角 ?条件:①;②; ?结论:①平分;②; ?③.
?当的一边交AO的延长线于点D时(如右上图): 原结论变成:①;②; ③; 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结: ①常见初始条件:四边形对角互补;注意两点:四点共圆及直角三角形斜边中线; ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别; ③两种常见的辅助线作法; ④注意平分时,相等如何推导?
中考常考几何模型 专题20 半角模型 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形 如图①: (1)∠2=2 1 ∠AOB ;(2)OA=OB 。 如图②: 连接 FB ,将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置,连接 F ′E 、FE ,可得△OEF ′≌△OEF 。 模型精练 1.(2019秋?九龙坡区校级月考)如图.在四边形ABCD 中,∠B +∠ADC =180°,AB =AD ,E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点,且∠EAF =1 2 ∠BAD ,求证:EF =BE ﹣FD . 【点睛】在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG .根据SAA 证明△ABG ≌△ADF 得到AG =AF ,∠BAG =∠DAF ,根据∠EAF =1 2∠BAD ,可知∠GAE =∠EAF ,可证明△AEG ≌△AEF ,EG =EF ,那么EF =
GE =BE ﹣BG =BE ﹣DF . 【解析】证明:在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG . ∵∠B +∠ADC =180°,∠ADF +∠ADC =180°, ∴∠B =∠ADF . 在△ABG 和△ADF 中, {AB =AD ∠B =∠ADF BG =DF , ∴△ABG ≌△ADF (SAS ), ∴∠BAG =∠DAF ,AG =AF . ∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =1 2∠BAD . ∴∠GAE =∠EAF . 在△AEG 和△AEF 中, {AG =AF ∠GAE =∠EAF AE =AE , ∴△AEG ≌△AEF (SAS ). ∴EG =EF ,
如图,如果AB ‖DE ,且C 为AE 中点,则有△ABC ≌△EDC 很好证的,当然十分实用,经常需要添加辅助线(例如延长) 【例题1】(2014 深圳某模拟) 【例题2】(2014 ) 答案:1.3 2 ;2.D
如图,若∠B=∠C=∠DEF=α(0<α≤90) 则一定有△BDE与△CEF相似。 十分好证(外角和什么一大堆),并且也很实用。经常在矩形里出题。 【例题1】(2009 ) 【例题2】(2006 ) 【例题3】(原创)
答案:1. 2或3-24或 25 2.(5 453-,) 【3】巧造旋转模型 在某些几何题中,往往有一些奇怪的结论,此时可以通过几何三大变换之一【旋转】求解。 巧造旋转往往要有一定的等量关系和特殊角度,如下题: 通过观察可得∠ABC=∠C=45°,AB=AC 。 我们可以将△ACD 绕A 顺时针旋转90°得到△ABE ,使得AC 与AB 重合。 那么就有EB ⊥BC ,而在RT △AED 中,DE2=2AD2(等腰直角三角形) 所以BE2+BD2=DE2,即BD2+CD2=2AD2 是不是赶脚很难想到?要学会判断,这种感觉是要练出来的! 【例题1】(2014 ) 【例题2】 【例题3】(2014 菏泽改编)
答案:1.41 2.9 3.(1.)2,(2.)直角三角形,旋转后证全等,证明略【4】等腰模型 这是一个很基础的模型——什么样的结构会生成等腰三角形 首先:平行+角平分线, 如图,若AD‖BE,BC平分∠ABE,则AB=AC,很好证的,导角即可。 其次:垂直+角平分 这个不难理解,因为等腰三角形三线合一。 这种模型很常用,常常需要做辅助线(延长之类)
半角模型专题专练
半角模型例题 已知,正方形ABCD 中,∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ,且∠EAF ﹦45° 结论1:BE ﹢DF ﹦EF 结论2:S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3:AH ﹦AD 结论4:△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5:当BE ﹦DF 时,△CEF 的面积最小 结论6:BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7:三角形相似,可由三角形相似的传递性得到 结论8:EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9:四点共圆 结论10:△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形(可通过共圆得到) 结论11:MN ﹦√2 2EF (可由相似得到) 结论12:S △AEF ﹦2S △AMN (可由相似的性质得到) 结论5的证明: 设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3 ﹦1﹣12x ﹣12y ﹣1 2(1﹣x)(1﹣y) ﹦1 2﹣1 2xy 所以当x ﹦y 时,△AEF 的面积最小 结论6的证明: 将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′ 易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′ 在Rt △BMN ′中,由勾股定理可得: BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7的所有相似三角形:
△AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE 结论8的证明: 因为△AMN ∽△AFE ∴∠3=∠2 因为△AMN ∽△BAN ∴∠3=∠4 ∴∠2=∠4 因为AB ∥CD ∴∠1=∠4 ∴∠1=∠2 结论9的证明: 因为∠EAN ﹦∠EBN =45° ∴A 、B 、E 、N 四点共圆(辅圆定理:共边同侧等顶角) 同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆 **必会结论-------- 图形研究正方形半角模型 已知:正方形ABCD ,E 、F 分别在边BC 、CD 上,且?=∠45EAF ,AE 、AF 分别交BD 于H 、G ,连EF . 一、全等关系 (1)求证:①EF BE DF =+;②DG 2﹢BH 2﹦HG 2;③AE 平分BEF ∠,AF 平分DFE ∠. 二、相似关系 (2)求证:①DG CE 2=;②BH CF 2=;③HG EF 2=. (3)求证:④DH BG AB ?=2;⑤HG BG AG ?=2;⑥21=?CF DF CE BE . 三、垂直关系 (4)求证:①EG AG ⊥;②FH AH ⊥;③BE AB HCF =∠tan . (5)、和差关系 求证:①BE DG BG 2=-;②DH DF AD 2=+; ③||2||DG BH DF BE -=-.
八上培优半角模型 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
八上培优5 半角模型方法:截长补短 图形中,往往出现90°套45°的情况,或者120°套60°的情况。还有2α套α的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是:截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等,翻折分割构全等。截长法,补短法。 勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页,新观察在第34页,新观察培优也有涉及,在第27页2两个例题,29页有习题。这些题大同小异,只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。 下面是新观察第34页1~4题 1.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90゜,∠D=60゜,AB=BC,E、F,分别在AD、CD 上,且∠EBF=60゜.求证:EF=AE+CF. 2.如图2,在上题中,若E、F分别在AD、DC的延长线上,其余条件不变,求证: AE=EF+CF. 3.如图,∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°,∠ECF=60°,AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE的面积.
A C B F E A C B F E D 4.如图1.在四边形ABCD中.AB=AD,∠B+∠D=180゜,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠BAD=2∠EAF. (1)求证:EF=BE+DF; (2)在(1)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时,如图2所示,试探究EF、BE、DF之间的数量关 系. 3.如图3,在四边形ABDC中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.
半角模型例题 已知,正方形 ABCD中,∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F,且∠ EAF﹦ 45°结论 1:BE﹢ DF﹦EF 结论 2:S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF 结论 3:AH﹦ AD 结论 4:△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB 结论 5:当 BE﹦DF时,△ CEF的面积最小 22 2 结论 6:BM﹢DN﹦MN 结论 7:三角形相似,可由三角形相似的传递性得到 结论 8:EA、 FA是△ CEF的外角平分线 结论 9:四点共圆 结论 10:△ ANE和△ AMF是等腰直角三角形(可通过共圆得到) 结论 11: MN﹦EF(可由相似得到) 结论 12: S△ AEF﹦2S△ AMN(可由相似的性质得到) 结论 5 的证明: 设正方形 ABCD的边长为 1 则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3 ﹦1﹣ x﹣ y﹣ (1 ﹣x)(1 ﹣y) ﹦﹣ xy 所以当 x﹦y 时,△ AEF的面积最小 结论 6 的证明: 将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合 ′ ∴DN﹦ BN ′ 易证△ AMN≌△ AMN ′ ∴MN﹦ MN ′ 在 Rt△BMN中,由勾股定理可得: 2′ 2′2 BM﹢BN ﹦MN 22 2 即 BM﹢DN﹦MN 结论 7 的所有相似三角形: △ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE
结论 8 的证明: 因为△ AMN∽△ AFE ∴∠ 3=∠ 2 因为△ AMN∽△ BAN ∴∠ 3=∠ 4 ∴∠ 2=∠ 4 因为 AB∥CD ∴∠ 1=∠ 4 ∴∠ 1=∠ 2 结论 9 的证明: 因为∠ EAN﹦∠ EBN= 45° ∴A、B、E、N 四点共圆(辅圆定 理:共边同侧等顶角) 同理可证 C、E、N、F 四点共圆 A、M、 F、 D 四点共圆 C、E、 M、 F 四点共圆 **必会结论 --------图形研究正方形半角模型 已知:正方形 ABCD ,E、F分别在边 BC 、 CD 上,且 EAF 45 ,AE、AF分别交BD于H、 G ,连EF. 一、全等关系 ()求证:① 2 2 2 平分,平分 DF BE EF ;②DG﹢ BH﹦ HG;③AE BEF AF DFE . 1 二、相似关系 (2)求证:①CE 2DG ;② CF 2 BH ;③ EF 2HG . (3)求证:④AB2 BG DH ;⑤ AG 2 BG HG ;⑥BE DF 1 . CE CF 2 三、垂直关系 (4)求证:①AG EG ;②AH FH ;③tan HCF AB . (5) 、和差关系 BE 求证:① BG DG 2BE ;② AD DF 2DH ; ③ | BE DF | 2 | BH DG | .
初 中 数 学 几 个 数 学 模 型 模型1、l:r=3600 :n 0 ①圆锥母线长5cm ,底面半径长3cm ,那么它的侧面展开图的圆心角是 216 。 ②劳技课上,王芳制作了一个圆锥形纸帽,其尺寸如图.则将这个纸帽展开成扇形时的圆心角等于( C ) A .45° B.60° C .90° D.120° ③要制作一个圆锥形的模型,要求底面半径为2cm ,母线长为4cm ,在一个边长为8cm 的正方形纸板上,能否裁剪制作一个这种模型(侧面和底面要完整,不能拼凑)( C ) (A)一个也不能做 (B)能做一个 (C)可做二个 (D)可做二个以上 4、(2004河北T7)在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是 (D )A 、2r=R B 、R r =4 9 C 、R r =3 D 、r 4模型2、角平分线+平行=等腰三角形 如图,?ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ,过D 作直线平行于BC ,交AB 、AC 于E 、F ,当∠A 的位置及大小变化时,线段EF 和BE+CF 的大小关系( B ). (A )EF>BE+CF (B )EF=BE+CF (C )EF 半角模型 已知如图:①∠2=1 2 ∠AOB;②OA=OB. O A B E F 1 23 连接FB,将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置,连接F′E,FE,可得△OEF≌△OEF′ 43 2 1 F' F E B A O 模型分析 ∵△OBF≌△OAF′, ∴∠3=∠4,OF=OF′. ∴∠2=1 2 ∠AOB, ∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2 又∵OE是公共边, ∴△OEF≌△OEF′. (1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点; (2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系; (3)常见的半角模型是90°含45°,120°含60°. 模型实例 例1 已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N.(1)求证:BM+DN=MN. (2)作AH⊥MN于点H,求证:AH=AB. 证明:(1)延长ND 到E ,使DE=BM , ∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=AB . 在△ADE 和△ABM 中, ?? ? ??=∠=∠=BM DE B ADE AB AD ∴△ADE ≌△ABM . ∴AE=AM ,∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°,∴∠BAM+∠NAD=45°. ∴ ∠MAN=∠EAN=45°. 在△AMN 和△AEN 中, ?? ? ??=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A ∴△AMN ≌△AEN . ∴MN=EN . ∴BM+DN=DE+DN=EN=MN . (2)由(1)知,△AMN ≌△AEN . ∴S △AMN =S △AEN . 即EN AD 2 1 MN AH 21?=?. 又∵MN=EN , ∴AH=AD . 即AH=AB .中考数学必会几何模型:半角模型
人教版八年级下册第18章平行四边形——弦图模型和半角模型专题(Word版,无答案)