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7面积问题

面积问题

【知识精讲】

1、求不规则图形或难以同时求出底和高的三角形的面积，一般的思路是割补法： ①有一边“水平”或“竖直”的多边形，作垂线分割成直角三角形或直角梯形； ②“斜”的三角形一般不易找到它的底和高，通常过顶点作铅垂线和水平线“补”成矩形，再减去各角上的直角三角形面积．

2、对于“斜”三角形可用“铅垂法”求面积．

3、如果底边与坐标轴的夹角是特殊角，把过顶点的垂线段平移到端点在坐标轴上，则围成一个直角三角形，可求得顶点到该底边的距离，即求得高．

4、已知抛物线的一条弦，在抛物线的闭合部分上找一点使与该弦组成的三角形面积最大，即把弦所在直线平移至与抛物线只有一个交点的情况，解平移后直线与抛物线的解析式联立所得的方程组，此时判别式等于0．

5、底或高不明显，但已知边的关系，可用由面积比为相似比的平方，间接求得．

6、运动过程中所求图形要分情况讨论．

【典型例题】

例题1：2009年芜湖市第24题

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为(1

0)A -，

，(0B ，(00)O ，，将此三角板绕原点O 顺时针旋转90°，得到A B O ''△．

（1）如图，一抛物线经过点A B B '、、，求该抛物线解析式；

（2）设点P 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB '的面积达到最大时点P 的坐标及面积的最大值．

如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－

x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；

（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

变式练习2：2009年益阳市第25题

阅读材料：

如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅

垂高”(h ).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC ＝2

ah ，即三角形面积等于

水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；

（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）

△CAB ，若存在，求出P

图1

如图，矩形ABCD 中，AB = 6，AD = 3，点E 在边DC 上，且DE = 4．动点P 从点A 开始沿着A →B →C →E 的路线以2单位/s 的速度移动，动点Q 从点A 开始沿着AE 以1单位/s 的速度移动，当点Q 移动到点E 时，点P 停止移动．若点P 、Q 从点A 同时出发，设点Q 移动时间为t （s ），P 、Q 两点运动路线与线段PQ 围成的图形面积为S ，求S 与t 的函数关系式．

例题4：2008年广州市第25题

如图，在梯形ABCD 中，AD BC ， AB = AD = DC =2，BC = 4．在等腰PQR ?中，120QPR ∠=，底边QR = 6．点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，且C 、Q 两点重合．如果等腰PQR ?以1单位长度 / 秒的速度沿直线l 按箭头所示方向匀速运动，

t 秒时梯形ABCD 与等腰PQR ?重合部分的面积记为S ．（1）当4t =时，求S 的值；

（2）当410t ≤≤时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．

图12

l B A R

C （Q ）

【真题演练】

1．2009年恩施自治州第24题

如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝10，△ABC 的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设DE ＝x ，以DE 为折线将△ADE 翻折（使△ADE 落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的△A ′ DE 与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ．（1）用x 表示△ADE 的面积；

（2）求出0＜ x ≤5时y 与x 的函数关系式；

（3）求出5＜ x ＜10时y 与x 的函数关系式；

（4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

2．2008年丽水市第24题

如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点

B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．

（1）求线段OA 所在直线的函数解析式；

（2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ，①用m 的代数式表示点P 的坐标；②当m 为何值时，线段PB 最短？（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

A D E

A ′

图2

专题七参考答案

例题1：

（1）2

1)y x x =-+

（2）解法一：如图1

，∵P

设()P x y ，，则00x y >>，．

P 点坐标满足2

1)y x x =-+

连接PB PO PB ，，′．

∴BAO PBO POB PBAB S S S S =++△△△′四边形′

1)x y x y =+=++ 2

1)1x x x x ???-+=-+ ?? ??????

当x =时，PBAB S 四边形′最大．此时，y =

即当动点P 的坐标为??

时，PBAB S 四边形′最大，最大面积为128+．解法二：如图2，连接BB ′，∵P ∴ABB PBB PBAB S S S =+△′△′四边形′，

且ABB △′的面积为定值，

∴PBAB S 四边形′最大时，PBB S △′必须最大．而BB ′长度为定值，∴PBB S △′最大时点P 到BB ′将直线BB ′向上平移到与抛物线有唯一交点时，

P 到BB ′的距离最大．

设与直线BB ′平行的直线l 的解析式为y x m =-+，

联立2

1)y x m y x x =-+???=-+?? 得2

0x m +=．令24(0m ?=-=．解得3

m =+ 此时直线l 的解析式为：3

y x =-+

代入21)y x x =-++ 解得2x y ?=????=??，∴直线l 与抛物线唯一交点坐标为P ??

图1

设l与y轴交于E，则

BE=+=．

过

B作BF l

⊥于F，在Rt BEF

△中，

45sin45

FEB BF

∠===

°．°过P作PG BB

⊥′于G，则P到BB′的距离

d BF

此时四边形PBAB′的面积最大．∴

PBAB

四边形′

的最大值为：

1111

2222

AB OB BB d

'+'=

··=

例题2：

（1）由题意得B（3，1）．

若直线过A（3，0）时，b＝

；过B（3，1）时，b＝

；过C（0，1）时，b＝1．

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，

即1＜b≤

，如图1，

此时E（2b，0），

∴S＝

OE·CO＝

×2b×1＝b．

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，

即

＜b＜

，如图2

此时E（3，

b-），D（2b－2，1），

∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)

＝3－[

(2b－1)×1＋

×(5－2b)·(

-)＋

×3(

)]＝

．

∴

535

222

b b

b b b

<≤

?-<<

．

（2）如图3，设O1A1与CB交于M，OA与C1B1交于

则矩形OA1B1C1与矩形OABC

即为四边形DNEM的面积．

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，

∴四边形DNEM为平行四边形．

根据轴对称知，∠MED＝∠NED，

又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，

∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．

过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，由题意知，tan ∠DEN ＝1

，DH ＝1，∴HE ＝2，设菱形DNEM 的边长为a ，则在Rt △DHM 中，

由勾股定理知：222(2)1a a =-+，∴54a =，∴S 四边形DNEM ＝NE ·DH ＝54

∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为5

．

变式练习2：

（1）324)1(221++-=+--=x x x y ；直线AB ：32+-=x y ．（2）C 点坐标为（1，4），∴当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2，即CD ＝4-2＝2．

∴1

3232

CAB S =

??=△（平方单位）．（3）假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ()30<

则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=．

由S △P AB =89S △CAB ，得：38

9)3(3212

?=+-??x x ．化简得：091242

=+-x x ，解得，2

3=x ．

将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为315()24

，．

例题3：

Rt △ADE 中，.5432222=+=+=DE AD AE ．

①当0＜t ≤3时，过点Q 作QM ⊥AB 于M ，连接QP ．∵AB ∥CD ，∴∠QAM =∠DEA ，又∵∠AMQ =∠D =90°，∴△AQM ∽△EAD ．∴

AQ AD QM =，∴t AE AQ AD QM 53

=?=．

53221212t t t QM AP S =??=?=

②当3＜t ≤2

时，过点Q 作QM ⊥AB 于M ， QN ⊥BC 于N ，连接QB ．

由①知△AQM ∽△EAD ．∴AE AQ AD QM =， AE

DE AM =，∴t AE AQ AD QM 53=?=．

t AE AQ DE AM 54=?=，∴

QN =t AM BM 54

66-=-=． ∴QAB S ?,59

5362121t t QM AB =??=?=

QBP S ?.185

54)546)(62(21212-+-=--=?=t t t t QN BP

∴QBP QAB S S S ??+=t 59

=+（18542542-+-t t ）.18551542-+-=t t

G E ③当

＜t ≤5时．连接QB 、QC ，过Q 分别作QH ⊥DC 于H ，QM ⊥AB 于M ，QN ⊥BC 于N ．由题意得QH ∥AD ，∴△EHQ ∽△EDA ，∴,AE QE AD QH =∴).5(5

t AE QE AD QH -=?= ∴.595362121t t QN AB S Q AB =??=?=

? .56

9)546(32121t t QN BC S Q BC -=-?=?=?

105753)533)(92(21212-+-=--=?=?t t t t QH PC S Q CP

∴Q CP Q BC Q AB S S S S ???++=.

1063532-+-=t t

例题4：

（1）如图1、过点A 作AG BC ⊥于点G ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，

则//AG DE AG DE =且．∴ 四边形AGED 为矩形，从而AD = GE ．在梯形ABCD 中，∵2AB AD DC ===，4BC =，∴1CE BG ==． ∴在Rt △CDE 中，DE ．在等腰PQR ?中，过点P 作PH QR ⊥于点H ．

∵120QPR ∠=，6cm QR =，∴30PQR ∠=．

在Rt PQH ?中，tan303PH QH ==DE PH =．即点P 在直线AD 上． ∵134EC CH DP +=+==，

∴如图2，当4t =时，点D 与点P 重合，点B 与点Q 重合．重合部分为△BCD ． ∴1

DBC S S BC DE ?==

??=

图1

（2）①当46t ≤<时，如图3，则4QB t =-6CR t =-．

设PQ 与AB 交于点M ，PR 与CD 交于点N ．在BQM ?中，

∵30BQM ∠=，可求得60ABC ∠=，∴30BMQ ∠=，4BM QB t ==-．

过点M 作MS BC ⊥于点S ．在Rt BSM ?中，)3

sin 6042

MS BM t ==-．

∴)2142BQM S QB MS t ?=

??=-．同理可得，)26CRN S t ?=-． ∴PQR BQM CRN S S S S ???=--22=-+-()2

52t =--

∴当5t =时，32

S ． ②当610t ≤≤时，如图4，则6RC t =-，10BR t =-．设PR 与AB 交于点F ，在BFR ?中，∵60FBR ∠=，30FRB ∠=，∴BFR ?为直角三角形．

∴()111022BF BR t =

，)10RF t ==-．

∴)2

1102FBR S S BF RF t ?==??=-．

∵610t ≤≤，∴当6t =

时，S =．

综上所述，当5t =时，S 有最大值3

．（1）∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ．∴△ADE ∽△ABC ．

∴

)(BC

DE S S ABC ADE =??，即241x S ADE =?．

（2）∵BC =10，∴BC 边所对的三角形的中位线长为5，

∴当0﹤5≤x 时，2

1x S y ADE =

=?．（3）当x ≤5﹤10时，点A '落在三角形的外部，其重叠部分为梯形．

∵S △A'DE =S △ADE =

1x ．∴DE 边上的高AH =AH'=x 21

．

由已知求得AF =5，∴A'F =AA'－AF =x －5．

由△A'MN ∽△A'DE 知，

DE A'MN A')H

A'F A'(=??S S ，∴2M N A ')5(-=?x S ．

∴25104

3)5(4122

2-+-=--=x x x x y ．

（4）在函数241x y =中，∵0＜x ≤5，∴当x =5时，y 的最大值为425

．

在函数2510432-+-=x x y 中，当3202=-=a b x 时，y 的最大值为325

．

综上所述，∵425＜325，∴当320=x 时，y 的最大值为3

．

2．

（1）设O A 所在直线的函数解析式为kx y =，∵A （2，4），∴42=k ，即2=k ．

∴O A 所在直线的函数解析式为2y x =.

（2）①∵顶点M 的横坐标为m ，且在线段O A 上移动，∴2y m =（0≤m ≤2）.

∴顶点M 的坐标为(m ,2m ).∴抛物线函数解析式为2

()2y x m m =-+. ∴当2=x 时，2

(2)2y m m

=-+2

24m m =-+（0≤m ≤2）. ∴点P 的坐标是（2，2

m m -+）. ②∵PB =224

m m -+=2

(1)3m -+，又∵0≤m ≤2，∴当1m =时，PB 最短. （3）当线段PB 最短时，此时抛物线的解析式为()212

+-=x y .

假设在抛物线上存在点Q ，使Q M A P M A S S =.设点Q 的坐标为

（x ，223x x -+）. ①当点Q 落在直线O A 的下方时，过P 作直线PC //AO ，交y 轴于点C ， ∵3P B =，4A

B =，∴1A P =，∴1O

C =，∴C 点的坐标是（0，1-）. ∵点P 的坐标是（2，3），∴直线PC 的函数解析式为12-=x y . ∵Q M A P M A

S S =，∴点Q 落在直线12-=x y 上. ∴223

x x -+=21x -. 解得122,2x x ==

，即点Q （2，3）.∴点Q 与点P 重合. ∴此时抛物线上不存在点Q ，使△QMA 与△A P M ②当点Q 落在直线O A 的上方时，作点P 关于点A 的对称称点D ，

过D 作直线DE //AO ，交y 轴于点E ，

∵1

A P =，∴1E OD A ==， ∴E 、D 的坐标分别是（0，1），（2，5）， ∴直线DE 函数解析式为1

2+=x y . ∵Q M A P M A

S S =，∴点Q 落在直线12+=x y 上. ∴

22x x -=21x +

. 解得12

x =

22x =. 代入12+=x

y ，得15y =

25y =- ∴此时抛物线上存在点(12

Q ，225,222--Q 使△QMA 与△P M A 的面积相等.

人教版数学四年级下册利用平移求不规则图形的周长和面积导学案

第3课时利用平移求不规则图形的周长和面积

习旧知，导入新课。（5分钟）平移？长方形、正方形的面积怎么计算？ 2.引入新课：像长方形和正方形我们可以用公式直接计算面积，对于那些不能用公式直接计算的面积，怎么计算呢？今天这节课我们一起来看一看。的问题。 2.认真倾听老师的导言并思考老师提出的问题。面积计算公式及周长计算公式。答案：S长=ab S正=a2 C长=（a+b）×2 C正=4a 2.下面两个图形的阴影部分的面积相等吗？答案：相等 3.求下面图形阴影部分的面积。（长方形的长是12厘米，宽是 6厘米）答案：36平方厘米二、观察主题图，思考解决思路。（18分钟） 1.课件出示第87页例4图形，提问：这个图形的面积是多少？ 2.观察例4图，思考对于这样不规则的图形，我们可以用什么办法计算呢？ 3.引导学生用学过的图形运动的知识试试。 4.引导学生动手操作：请同学们把左边部分剪下来，移一移。说说，应该怎样移？需要移几格？ 5.指导学生列式计算。 6.师生共同归纳总结：有些不规则的图案，我们可以运用平移的方法，将图形转化成已学过的规则图形，从而求得图形的周长或面积。 1.观察例4，并思考解决问题的方法。 2.小组内讨论集体反馈。 3.讨论交流，发现图形左边曲线部分右移后和右边曲线部分相结合，形成一个长方形。 4.动手操作：把左边部分剪下，向右平移6格。 5.独立解答。 6.总结解决求不规则图形的周长和面积的方法。三、多角度练习，巩固新 1.教材第87页“做一做”。 2.教材第88页练习二十一第3、4题。 1.先独立做，然后集体订正。 2.先独立做，然后组内交流思考过程，最后全教学过程中老师的疑问：

七年级数学下册第七章相交线与平行线7.6图形的平移巧用平移妙求面积素材(新版)冀教版

巧用平移妙求面积求解与长方形有关的面积是日常生活、生产中常见的问题之一，解决这类问题有一种巧妙的方法那就是采用平移.通过平移，使分散、零碎的图形得以集中，从而方便运用整体思想进行求解. 例1 如图1－1是小明家一个长方形花坛，空白部分准备用于种花，种草部分分别是一大一小的正方形.已知大正方形的面积为49平方米，小正方形的面积为9平方米.问种花的面积是多少平方米？析解：采用平移，将小正方形向上平移到边缘，如图1－2所以.由已知易得种花部分是长方形，长为大正方形的边长减去小长方形的边长，即7-3=4（米），宽恰好是小正方形的边长3米.因此，种花的面积为3×4=12（平方米）. 想一想：如果图形不加处理，解题思路又是怎样的呢？例2 如图2－1，某小区规划在一个长为AD=40米，宽为AB=26米的长方形场地ABCD上，修建三条宽都是2米的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.问种草区域的面积是多少？

析解：将图2－1的小路分别沿BA，BC平移到如图2－2所示的位置，则易知种草的长方形的长为40-2×2=36（米），宽为26-2=24（米），所以，种草区域的面积为36×24=864（平方米）. 想一想：如果图形不加处理，分别求出三条小路的面积，然后用场地的总面积减去三条小路的面积，求得种草区域的面积.与运用平移来解，感觉怎样？例3 如图3－1所示，在一块长为24米，宽为16米的草坪上有一条宽为2米的曲折小路，你能运用你所学的知识求出这块草坪的绿地面积吗？图3-（1）析解：小路的面积只与小路的宽度和长度有关，与其位置没有关系.可以将路分解成向下和向右分别平移的两部分，平移后如图3－2所示.这时，绿地转化为长22 米，宽18 米的长方形，可求得绿地的面积为：22×18=396 （平方米）. 想一想：直接求小路的面积是无法求解的，那么，本题中将曲折的小路进行平移，意义何在？图3-（2）

巧用平移妙求面积

巧用平移妙求面积 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

巧用平移妙求面积求解与长方形有关的面积是日常生活、生产中常见的问题之一，解决这类问题有一种巧妙的方法那就是采用平移.通过平移，使分散、零碎的图形得以集中，从而方便运用整体思想进行求解. 例1如图1－1是小明家一个长方形花坛，空白部分准备用于种花，种草部分分别是一大一小的正方形.已知大正方形的面积为49平方米，小正方形的面积为9平方米.问种花的面积是多少平方米析解：采用平移，将小正方形向上平移到边缘，如图1－2所以.由已知易得种花部分是长方形，长为大正方形的边长减去小长方形的边长，即7-3=4（米），宽恰好是小正方形的边长3米.因此，种花的面积为3×4=12（平方米）. 想一想：如果图形不加处理，解题思路又是怎样的呢例2如图2－1，某小区规划在一个长为AD=40米，宽为AB=26米的长方形场地ABCD上，修建三条宽都是2米的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.问种草区域的面积是多少析解：将图2－1的小路分别沿BA，BC平移到如图2－2所示的位置，则易知种草的长方形的长为40-2×2=36（米），宽为26-2=24（米），所以，种草区域的面积为36×24=864（平方米）. 想一想：如果图形不加处理，分别求出三条小路的面积，然后用场地的总面积减去三条小路的面积，求得种草区域的面积.与运用平移来解，感觉怎样

例3 如图3－1所示，在一块长为24米，宽为16米的草坪上有一条宽为2米的曲折小路，你能运用你所学的知识求出这块草坪的绿地面积吗析解：小路的面积只与小路的宽度和长度有关，与其位置没有关系.可以将路分解成向下和向右分别平移的两部分，平移后如图3－2所示.这时，绿地转化为长22 米，宽18 米的长方形，可求得绿地的面积为：22×18=396 （平方米）. 想一想：直接求小路的面积是无法求解的，那么，本题中将曲折的小路进行平移，意义何在坐标系中求图形的面积图形的面积可以利用相应的面积公式求得，但是在平面直角坐标系内的求面积问题，往往不直接给出边或高之类的条件，而是给出一些点的坐标.现对这类题目的解法举例说明如下. 一、计算三角形的面积例1 如图1所示，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A （-4，-3），B （0，-3），C （-2，1）.求三角形ABC 的面积. 分析：观察图形，在坐标系中读取三角形ABC 的一边的长度，和该边上的高的长度.因为AB ∥x 轴，所以AB 可以作为底边. 图3-（1）图3-（2） y B C A O 1 1 图1

第4课时利用平移求不规则图形的周长和面积(导学案)

第4课时利用平移求不规则图形的周长和面积课题利用平移求不规则图形的周长和面积课型新授课设计说明本节课的教学内容属于“图形与几何”领域，“解决实际问题”是在学生掌握了轴对称和平移图形的特征与性质的基础上进行教学的，旨在使学生能够应用图形的平移知识解决实际问题，所以在教学设计上突出以下特点： 1.突出课堂活动。在教学中，结合具体的问题情境，通过观察、比较、分析，借助剪一剪、移一移、拼一拼等活动，使学生积极参与到探究中，促使学生的数学思维得到发展，应用意识及创新能力得到培养。 2.突破理解障碍。四年级学生的空间观念不是很强，所以在教学时，注重直观教具的演示以突破学生在图形变换时遇到的障碍，让学生通过亲自操作、观看教师演示，增强学生的空间想象力。 3.体现数学的应用价值。通过本节课的学习，一方面使学生深刻体会到图形的运动在图形与几何领域的广泛应用；另一方面也使学生体会到教学在生活中的应用价值，激发学生学习数学的热情。学习目标1.使学生进一步认识平移，理解平移的性质。 2.使学生能够利用平移解决生活中的实际问题。 3.培养学生的观察能力。教学中渗透变换的数学思想，增强学生解决问题的能力。学习重点利用平移的性质解决不规则图形面积计算的问题。学习难点利用平移知识解决问题。学前准备教具准备：多媒体课件学具准备：方格纸课时安排 1课时教学环节导案学案达标检测一、复习旧知，导入新课。（5分钟） 1.结合实例讲一讲什么是平移？长方形、正方形的面积怎么计算？ 2.引入新课：像长方形和正方形我们可以用公式直接计算面积，对于那些不能用公式直接计算的面积，怎 1.讨论交流老师提出的问题。 2.认真倾听老师的导言并思考老师提出的问题。 1.说一说长方形和正方形的面积计算公式及周长计算公式。答案：S长=ab S正=a2 C长=（a+b）×2

七年级数学下册第七章相交线与平行线7.6图形的平移巧用平移妙求面积素材(新版)冀教版

七年级数学下册第七章相交线与平行线素材：巧用平移妙求面积求解与长方形有关的面积是日常生活、生产中常见的问题之一，解决这类问题有一种巧妙的方法那就是采用平移.通过平移，使分散、零碎的图形得以集中，从而方便运用整体思想进行求解. 例1 如图1－1是小明家一个长方形花坛，空白部分准备用于种花，种草部分分别是一大一小的正方形.已知大正方形的面积为49平方米，小正方形的面积为9平方米.问种花的面积是多少平方米？析解：采用平移，将小正方形向上平移到边缘，如图1－2所以.由已知易得种花部分是长方形，长为大正方形的边长减去小长方形的边长，即7-3=4（米），宽恰好是小正方形的边长3米.因此，种花的面积为3×4=12（平方米）. 想一想：如果图形不加处理，解题思路又是怎样的呢？

例2 如图2－1，某小区规划在一个长为AD=40米，宽为AB=26米的长方形场地ABCD上，修建三条宽都是2米的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.问种草区域的面积是多少？析解：将图2－1的小路分别沿BA，BC平移到如图2－2所示的位置，则易知种草的长方形的长为40-2×2=36（米），宽为26-2=24（米），所以，种草区域的面积为36×24=864（平方米）. 想一想：如果图形不加处理，分别求出三条小路的面积，然后用场地的总面积减去三条小路的面积，求得种草区域的面积.与运用平移来解，感觉怎样？

例3 如图3－1所示，在一块长为24米，宽为16米的草坪上有一条宽为2米的曲折小路，你能运用你所学的知识求出这块草坪的绿地面积吗？图3-（1）析解：小路的面积只与小路的宽度和长度有关，与其位置没有关系.可以将路分解成向下和向右分别平移的两部分，平移后如图3－2所示.这时，绿地转化为长22 米，宽18 米的长方形，可求得绿地的面积为：22×18=396 （平方米）. 想一想：直接求小路的面积是无法求解的，那么，本题中将曲折的小路进行平移，意义何在？图3-（2）

以《利用平移求不规则图形的面积》为例

以《利用平移求不规则图形的面积》为例谈教学设计应关注学生全面发展课堂上学生是学习的主体，教师的一切教学行为都应该为学生的学服务，教学的效果要真正体现为学生的学习效果，一堂课中如果教师从过程的安排、课堂的组织等方面都表现得还算不错，而惟独学生的学习。因此，任何一堂课的设计都应从学生全面发展的需要出发，围绕“课堂上学生能积极有效地学习”而展开。接下来，我将围绕利用平移求不规则图形的面积这个课例，从以下三个方面作分析：一、选择以教材为主要的学习材料一段时间以来，在课堂教学中，我们存在着这样一个误区：老师们在课前花上很大的时间为学生组织学习材料，不管自己重新组织的材料是否适合学生的学习，好像认识只有重新组织了才会显得本课内容的“新颖”、“更有学习价值”，而把书本中很好的学习材料丢弃在一边。新人教版四下上利用平移求不规则图形的面积的教学中，我就以书本中的情境为学习材料，简单地呈现，力图从学生已有知识出发，让学生通过小组的合作、探究、动手（剪、移、拼、算）操作，让学生掌握学习的主动权。这样做目的就在于节省复杂材料呈现过程，把更多的时间投入到有效地学习中。二、优化教学内容学生解决问题是一个探索的过程，不是一个简单地用现成的模式解决问题的过程。在新课教学这一环节，我让学生大胆地去尝试：观察、思考、合作、交流、动手（剪、移、拼、算）、说等活动。体现了新课标所倡导的“动手实践，自主探索，合作交流，使学生学会学习，为终身学习和终身发展打下基础的基本理念。”作为教师的我，只是在学生的尝试学习中起到组织者、引导者和合作者的作用。比如，对个别学生不会剪，不会移，不会拼，不会算。我会随时对他们给予引导，帮助，让他们学会方法，懂得计算。三、学习过程的组织在教学设计上，我尽量体现“数学来源于生活，数学服务于生活”这一教学

平移抛物线求面积教学设计

平移抛物线求面积”教学设计点评：山东一吴金华一、创设情境，导入新课情境如图1,在一块长20m,宽12 m 的草坪屮有一条抛物线形的路，它的横向宽度为2 m,你能根据图中的数据，计算阴影部分的面积吗？点评：问题情境与学生生活联系紧密，有利于激发学生学习的积极性。【学生活动】思考，发言? 【教师活动】总结，组织学生评价? 点评：学生活动和教师活动过于简略。教师对学生活动应具有预见性，当根据学生表现，给予切实的评价；教师活动当体现学法与解题方法的指导作用。答案:把路的右边（或左边）的部分向左（或右）平移，空出一部分（如图所示），该部分图形的面积与抛物线形路的面积相等，故阴影部分的面积为：20 >12-20疋二200* 点评：解题方法巧妙。借助图形平移的性质，化抽象为具体，使学生的思路豁然开朗，不言而喻。【感悟】借助图形平移的性质，可把不规则图形的计算问题转化为规则图形的计算问题突显平移的优越性? 二、合作交流，解读探究问题1如图2,抛物线y 1=-x 2+ 2向右平移1个单位得到抛物线 S 二 ________ . 【引导分析】 1 ?抛物线yi 及抛物线y?的顶点坐标分别是多少？ 2. 把抛物线yi 在第一象限内的部分向右平移几个单位长度，与抛物线y2重合？ 3. 阴影部分面积与哪个规则图形面积相等？答案：1?抛物线yi 及抛物线y2的顶点坐标分别是（0,2 (1,2). Y2,则阴影部分的面积 2. 把抛物线yi 在第一象限内的部分向右平移1个图 1 图2

单位长度与抛物线y2重合. 3.阴影部分面积与矩形P0NM图形面积相等（即为:2）. 双向沟通】师生互动：学生在教师的引导下，就上面引导分析屮的问题，逐个进行思考发言，教师组织学生共同评价，并就不正确的结论进行纠正，形成共识，得出正确结论. 教师引导学生进行解题切入口的探究分析，同时，进行解题方

小学数学2011版本小学四年级利用平移求不规则图形的面积和周长

第3课时利用平移求不规则图形的周长和面积教学内容：教材第87页例4。教学目标： 1. 让学生在学习平移的基础上，采取用平移方法把图形转化成学过的图形，然后求出图形的周长和面积。 2. 利用平移知识解决面积问题。重点难点：教学重点：掌握平移变换的方法。教学难点：灵活应用平移变换的方法求出图形的周长或面积。教学方法：观察法、讲解法、合作交流法、探究法。教学准备：一张不规则图形，多媒体课件。教学过程 1.复习旧知：合作探究：平移后的图形与原图形比较有什么特点？（课件）平移后的图形与原图形大小,形状没变、即面积相等,只是位置发生了变化. 2.小结：通过平移可以把不规则图形变换成与原图形面积相等的规则图形一. 情境导入：课件出示在方格纸上的小船。 1.问：同学们知道这是什么吗？自由发言。 2.那同学们知道这条小船的面积吗？交流回答。 3.师：小船不像我们以前学过的长方形、正方形、那我们就只能用其他方法来

计算了，同学们知道是什么方法吗？我们现在就来学一学。（板书课题：利用平移计算不规则图形的面积和周长）二.自主探究,合作学习。 1.师：同学们,前几天的课上我们一直在借助方格图研究数学问题. 出示：（格子的长是1 cm）问：你们能知道这两个平面图形的面积是多少吗？说说你是怎么想的。组织学生通过观察图形特点,从方格图中获取信息,求出这两个图形的面积. 长方形的面积：3×6＝18cm2 正方形的面积：3×3＝9 cm2（板书）师：规则图形的面积我们已经会算了,那如果图形是不规则的呢？ 2.出示教材第87页例4图请同学们认真观察，看用什么方法计算这个图形的面积？方法一：数方格的方法.数一数这个图形占多少个方格,当数到不是整格时,要拼一拼。方法二：利用平移的方法。让学生说说如何进行变换图形，学生回答后教师集体反馈学生的想法。然后教师讲解如上图把不规则半圆平移后拼在右边，使原图变成了一个完整的长方形，这

巧用平移求面积

巧用平移求面积湖北省黄石市鹏程中学陈贵芳同学们，你会用平移去求图形的面积吗？其实，某些求图形面积的问题，若能想到用平移知识并将部分图形平移后去解，那么你会品尝到方便简捷的滋味！请看几例：例1图1是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF 的位置．若AB=8cm，BE=4cm，DG=3cm，则图中阴影部分的面积为_____cm．解析1：虽然阴影部分是一个梯形，但因其上底CG、下底DF和高都不易求出，故直接用梯形的面积公式去求它的面积很困难．由题意，知△DEF是△ABC沿BC方向平移得到的，所以S＝S，从而S＝＝S＝ (AB+GE)BE＝[8＋（8－3）]×4＝26 cm．解析2：连AD，由平移知，CF＝BE＝AD＝4 cm，所以S＝S－S ＝CF×AB－×AD×DG＝4×8－×4×3＝26 cm．例2如图2，在一个长方形的草坪上有两条等宽且互相垂直的长方形小路（长度单位：m），那么草坪的面积为______ m

解析：将两条小路分别作如图3所示的平移，则草坪的面积就是图3中空白部分（长方形）的面积，即（50－2）×（30－2）＝1344 m．例3如图4所示是一块待开发的土地，规划人员把它分割成①号区（空白部分）、②号区（阴影部分）、③号区（图下方的空白部分）三块，拟在①号区种花、②号区建房、③号区植树，已知图中四边形ABCD与四边形EFGH是两个完全相同的直角梯形（一腰和底相交成直角的梯形叫做直角梯形，这里∠C和∠G都是直角），求种花部分的面积．解析：显然，因①号区是不规则的图形，不易直接求其面积，考虑到四边形ABCD与四边形EFGH是两个完全相同的直角梯形，故可将四边形EFGH看成是四边形ABCD沿AB 方向平移得到的，所以①号区面积等于③号区面积，而③号区面积等于×（EM+AD）×MD＝×（200－1＋200）×2＝399（m），所以种花部分的面积为399（m）．

巧用平移妙求面积

巧用平移妙求面积 Prepared on 22 November 2020

巧用平移妙求面积求解与长方形有关的面积是日常生活、生产中常见的问题之一，解决这类问题有一种巧妙的方法那就是采用平移.通过平移，使分散、零碎的图形得以集中，从而方便运用整体思想进行求解. 例1如图1－1是小明家一个长方形花坛，空白部分准备用于种花，种草部分分别是一大一小的正方形.已知大正方形的面积为49平方米，小正方形的面积为9平方米.问种花的面积是多少平方米析解：采用平移，将小正方形向上平移到边缘，如图1－2所以.由已知易得种花部分是长方形，长为大正方形的边长减去小长方形的边长，即7-3=4（米），宽恰好是小正方形的边长3米.因此，种花的面积为3×4=12（平方米）. 想一想：如果图形不加处理，解题思路又是怎样的呢例2如图2－1，某小区规划在一个长为AD=40米，宽为AB=26米的长方形场地ABCD上，修建三条宽都是2米的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.问种草区域的面积是多少析解：将图2－1的小路分别沿BA，BC平移到如图2－2所示的位置，则易知种草的长方形的长为40-2×2=36（米），宽为26-2=24（米），所以，种草区域的面积为36×24=864（平方米）. 想一想：如果图形不加处理，分别求出三条小路的面积，然后用场地的总面积减去三条小路的面积，求得种草区域的面积.与运用平移来解，感觉怎样

巧用平移求面积

平移是几何三大变换之一在几何解题中有着较为广泛的应用其中，主要性质有：平移前后面积不变，由此可以推得，平移后余形面积相等。一【自主预习1】如图，将三角形1，平移后得三角形2，根据平移前后得3221s s s s +=+所以得 = 【合作探究1】图1是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到△DEF 的位置．若AB=8cm ，BE=4cm ，DG=3cm ，则图中阴影部分的面积为_____cm ．【导思1】：由平行前后余形面积相等得梯形DGCF 的面积等于【交流展示1】 1．如图，将直角△ABC 沿BC 方向平移得直角△DEF ，其中AB=8，BE=10，DM=4，求阴影部分的面积． 2．如图，将Rt △ABC 沿 AB 方向平移得到Rt △DEF ，已知BE=6， EF=8，CG=3 ，求阴影部分的面积．

3．将直角梯形ABCD平移得梯形EFGH，若HG=10，MC=2，MG=4，则图中阴影部分的面积为． 4．将直角梯形ABCD平移得梯形EFGH，若HG=10，MC=2，MG=4，求图中阴影部分的面积． 5．如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG=24cm，WG=8cm，CW=6cm，求阴影部分面积．二【自主预习2】动手实验：用割补的方法验证，平移一条拆线平移前后两拆线端点组成的曲四边形面积等于此四个端点组成的平行四边形的面积：

【合作探究2】：现在在方格纸上又出现了一个新的图形，你能够知道他的面积是多少吗？【交流展示2】 1.如图，直径为4cm的⊙O1平移5cm到⊙O2，则图中阴影部分面积为 cm2． 2.如图，直径为4cm的圆沿水平方向从左向右平移了6cm到了右面的位置，则图中阴影部分的面积为cm2．三．【自主预习3】如图将小路平移到左和上可以发现空白的面积自主写出图中面积的计算过程

7面积问题

人教版数学四年级下册 利用平移求不规则图形的周长和面积导学案

七年级数学下册第七章相交线与平行线7.6图形的平移巧用平移妙求面积素材(新版)冀教版

巧用平移妙求面积

第4课时 利用平移求不规则图形的周长和面积(导学案)

七年级数学下册第七章相交线与平行线7.6图形的平移巧用平移妙求面积素材(新版)冀教版

以《利用平移求不规则图形的面积》为例

平移抛物线求面积教学设计

小学数学2011版本小学四年级利用平移求不规则图形的面积和周长

巧用平移求面积

巧用平移妙求面积

巧用平移求面积

人教版数学四年级下册利用平移求不规则图形的周长和面积导学案

第4课时利用平移求不规则图形的周长和面积(导学案)