当前位置：文档库 › 备战2010高考数学：压轴题追踪二

备战2010高考数学：压轴题追踪二

备战2010高考数学――压轴题追踪系列二

1. (本小题满分12分)

已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ≥ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解: (1) f n `( x ) = nx

n – 1

– n ( x + a)

n – 1

= n [x

n – 1

– ( x + a)

n – 1

] ,

∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分（2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n – ( x + a)n 是关于x 的减函数,

∴ 当n ≥ a 时, 有：(n + 1 )n

– ( n + 1 + a)n

≤ n n

– ( n + a)n

. 2分

又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x

n –( x+ a )n

] ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n

–( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n

– ( n

+ a )( n + a)n – 1 ] 2分

( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分

2. (本小题满分12分)

已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v ∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .

(1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]

x x x x +∈-??

-∈?，是否满足题设条件？

解： (1) 若u ,v ∈ [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2

– v 2

|=| (u + v )(u – v) |，

取u =

3∈[–1，1]，v =

1∈[–1，1],

则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 4

5| u – v | > | u – v |，

所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：

. 若u ,v ∈ [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20

. 若u ,v ∈ [0，1]，则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u ∈[–1，0]，v ∈[0，1]，则：

|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u ∈[0，1]，v ∈[–1，0], 同理可证满足题设条件.

综合上述得g(x)满足条件.

3. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1

x x +(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2

= 0 ( c ≠ 0 ).

(1) 求证：| ac | ≥ 4;

(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t ∈R, t ≠ –1,

∴ ⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2 ≥ 0 ， ∵ c ≠ 0, ∴c 2a 2 ≥ 16 , ∴| ac | ≥ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –

x 1+,

法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1– 1

x 12+–1 + 1

x 11+= )

1x )(1x (x x 1221++-.

∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ,

∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ≥ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =

)

1x (1+> 0 得x ≠ –1,

∴x > –1时，f ( x )单调递增.

（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ≥

a |4 > 0 ,

∴f (| c | ) ≥ f (

a |4) =

|a |4|a |4

4|a |4+

f ( | a | ) + f ( | c | ) =

|a ||

a |++

|a |4

|a ||a |++

|a |4+=1.

即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）

设定义在R 上的函数432

01234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当

x= －1时，f (x)取得极大值23

，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．

（1）求f (x)的表达式；

（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间

上；

（3）若+213),(N )2

n n n n

x y n --==

∈，求证：4()().3

n n f x f y -<

解：（1）3

1().3

f x x x =

-…………………………5分

（2）(

)0,0,3-

?或(

)0,0,.3??

? ??

?…………10分（3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3

n n f x f y f f -<--<……15分

5．（本小题满分13分）

设M 是椭圆2

112

C +

=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭

圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．

解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠

则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分

221,(1)124

1.(2)124

x y x y ?+=????+=?? ………………………………………………………3分由（1）－（2）可得1.3

M N Q N k k ?=-

………………………………6分

又MN ⊥MQ ，11

1,,M N M Q M N x k k k y ?=-=-

所以11

.3Q N y k x =

直线QN 的方程为1111

()3y y x x y x =

+-，又直线PT 的方程为11

.x y x y =-

……10分

从而得1111,.2

x x y y =

=-所以112,2.x x y y ==-

代入（1）可得

1(0),3

y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分

6．（本小题满分12分）

过抛物线y x 42

=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=?PB PA

（1）求点P 的轨迹方程；

（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2

=+?FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由. 解法（一）：（1）设)(),4

(),4

(212

222

11x x x x B x x A ≠

由,42y x =得：2

'x y =

,221x k x k PB PA =

∴

4,,021-=∴⊥∴=?x x PB PA PB PA ………………………………3分

直线PA 的方程是：)(2

112

1x x x x y -=

即4

11x x x y -

①

同理，直线PB 的方程是：4

22x x x y -

②

由①②得：??

?∈-==+=),(,

142212

121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分

（2）由（1）得：),14

11-=x x FA ),14

22-=x x FB )1,2

(

1-+x x P

4),2,2

(

212

1-=-+=x x x x FP

2)14

)(

(

121x x x x x x FB FA +-

-=--+=? …………………………10分

)

()(2

212

++=

x x x x FP

所以0)(2=+?FP FB FA

故存在λ=1使得0)(2=+?FP FB FA λ…………………………………………12分解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=?PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y

由??

?=+=y

x m kx y 42

得：0442

=--m kx x

016162

=+=?∴m k 即2

k m -=…………………………3分

即直线PA 的方程是：2

k kx y -= 同理可得直线PB 的方程是：2

11k

x k y -

由??

???--=-=2211k x k y k kx y 得：?????

-=∈-=11y R k

k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：)1,1(),1

(),,2(2

2---

k P k k B k k A

)11

(),1,2(2

=-=k

k FB k k FA

)2,1(--

k FP

)1(2)11)(1(42

k k

k FB FA +

--=--+-=?………………………………10分

)1(24)1(

)(2

k k k

FP +

+=+-=

故存在λ=1使得0)(2=+?FP FB FA λ…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）

设函数x ax

x x f ln 1)(+-=

在),1[+∞上是增函数.

（1）求正实数a 的取值范围；（2）设1,0>>a b ，求证：.ln

b a b

a +<

+<+

解：（1）01)(2

≥-=

ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立，

a 1≥

∴对),1[+∞∈x 恒成立

又

11≤x

1≥∴a 为所求.…………………………4分

（2）取b

b a x +=，1,0,1>+∴

>>b

b a b a ，

一方面，由（1）知x ax

x x f ln 1)(+-=

在),1[+∞上是增函数，

0)1()(

=>+∴f b

b a f

0ln 1>+++?

∴

b b a b b a a b b

a 即

b a b b a +>+1

ln ……………………………………8分另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G

)1(0111)('

>>-=

=x x

x x

x G

∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G

∴当1>x 时，0)1()(>>G x G ∴x x ln > 即b b a b b

a +>+ln

综上所述，

.ln

b a b

a +<+<+………………………………………………14分

8．(本小题满分12分)

如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C ∠= ，

、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD D C =，

ABC

!的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、

两点．

(1) 求双曲线E 的方程；

(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E

相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且

M P P N λ=

，问在x

轴上是否存在定点G ，使

()BC G M G N λ⊥-

？若存在，求出所有这样定点G

的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1) 设双曲线E 的方程为

222

1(0,0)x y a b a

=>>，

则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．

由3BD D C =，得3()c a c a +=-，即2c a =．

∴2

||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ?-=?

+=-??-=?

（3分）

解之得1a =

，∴2,c b == ∴双曲线E 的方程为2

x -

=．（5分）

(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()

BC G M G N λ⊥-

．

设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ．由MP PN λ=

，得120y y λ+=．即12

y y λ=-

① （6分）

∵(4,0)BC =

，

1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-

， ∴()BC G M G N λ⊥-

12()

x t x t λ?-=-．

即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ② （8分）

把①代入②，得

12122()()0ky y m t y y +-+=

③ （9分）

把x m ky -=代入2

x -

=并整理得

(31)63(1)0k y kmy m -++-=

其中2310k -≠且0?>，即213

k ≠且2231k m +>． 2

1212

63(1),31

km m y y y y k k --+=

=--．

（10分）

代入③，得

6(1)6()031

k m km m t k k ---

=--，

化简得 km t k =．当1t m

时，上式恒成立．

因此，在x 轴上存在定点1(

,0)G m

，使()

BC G M G N λ⊥-

．（12分）

9．(本小题满分14分)

已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=-（p 为大于1的常数），记1

121C C C ()2n

n n n n

a a a f n S ++++=

．

(1) 求n a ；

(2) 试比较(1)f n +与

1()

2p f n p

+的大小（*n ∈N ）；

(3) 求证：21

11(21)()(1)(2)(21)

112n p p n f n f f f n p p -?

??++-+++--?? ?-?????

剟，（*n ∈N ）．解：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-，

① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-．

②

②－①，得

11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，

即1n n a pa +=．

（3分）

在①中令1n =，可得1a p =．

∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =．

（4分）

(2) 由(1)可得(1)(1)11

n p p p p S p

p --=

--．

12121C C C n n n n n a a a ++++ 1221C C C (1)(1)n n n n

n n n p p p p p =++++=+=+ ．

∴12121C C C ()2n

n n n n

a a a f n S ++++=

1(1)

2(1)

p p p

p -+=

-，（5分）

(1)f n +1

1(1)2

(1)

n n n p p p

+++-+=

-．

而

1()2p f n p

1(1)2

()

n n n p p p

p +++-+=

-，且1p >，

∴1110n n p p p ++->->，10p ->． ∴(1)f n +<

1()

2p f n p +，（*n ∈N ）．

（8分）

(3) 由(2)知 1

(1)2p f p +=

，(1)f n +<

1()2p f n p

+，（*n ∈N ）．

∴当2n …时，2

1111()(1)(

)(2)(

)

(1)(

)

2222n n

p p p p f n f n f n f p

-++++<

-<-<<= ．

∴221

11(1)(2)(21)222n p p p f f f n p p p -????

++++++-+++ ? ?????

…

11112n p p p p -??

??++=-?? ?-??????

，（10分）

（当且仅当1n =时取等号）．

另一方面，当2n …，1,2,,21k n =- 时，

2221(1)(1)

()(2)2(1)2(1)k n k

k k n k n k

p p p f k f n k p p p ---??-+++-=+??--??

1p p

-?…

1p p -=

∵22k n k n p p p -+…，∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-…． ∴12(1)

()(2)2()

2(1)

p p f k f n k f n p

p -++-?

=-…

，（当且仅当k n =时取等号）．（13分）

∴21

1()[()(2)]()(21)()

n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====

-=-∑∑∑…．（当且仅当1n =时取等号）．

综上所述，21

11(21)()()

112n n k p p n f n f k p p --=?

??++--??∑ ?-?????

剟，（*n ∈N ）．（14分）