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2014挑战中考数学压轴题1.4因动点产生的平行四边形问题

1.4 因动点产生的平行四边形问题

例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题

如图1,已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过A (0, 1)、B (4, 3)两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)求tan ∠ABO 的值;

(3)过点B 作BC ⊥x 轴,垂足为C ,在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N ,交抛物线于点M ,若四边形MNCB 为平行四边形,求点M 的坐标.

2014挑战中考数学压轴题1.4因动点产生的平行四边形问题

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13松江24”,拖动点N 在直线AB 上运动,可以体验到,以M 、N 、C 、B 为顶点的平行四边形有4个,符合MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB 只有一个.

请打开超级画板文件名“13松江24”,拖动点N 在直线AB 上运动,可以体验到,MN 有4次机会等于3,这说明以M 、N 、C 、B 为顶点的平行四边形有4个,而符合MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB 只有一个.

思路点拨

1.第(2)题求∠ABO 的正切值,要构造包含锐角∠ABO 的角直角三角形.

2.第(3)题解方程MN =y M -y N =BC ,并且检验x 的值是否在对称轴左侧. 满分解答

(1)将A (0, 1)、B (4, 3)分别代入y =-x 2+bx +c ,得

1,164 3.

c b c =⎧⎨-++=⎩ 解得92b =,c =1. 所以抛物线的解析式是291

2

y x x =-++. (2)在Rt △BOC 中,OC =4,BC =3,所以OB =5.

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