第二章 一元微分学
第六节 利用导数讨论函数性质
本节内容包括:利用导数讨论函数的单调性、求函数极值和极值点、最值和最值点及其应用,利用导数讨论函数图形的凹凸性、求曲线的拐点,求曲线切线、法线、渐近线及函数作图等。
这部分内容很重要,事实上前面几节的知识都用到了本节的内容。在高等数学的各种考试中本节的知识都是重要部分,同学们一定要很熟练。但由于这部分内容一般不要求很高的技巧(要求熟练、准确及对概念的清楚),所以只简单地举几个例子。最后举二个例子介绍相关变化率的问题。
例1. 设)(x f 二阶可导,
)0()4(>-=ββy y dx
dy
.若曲线)(x f y =的一个拐点为)3,(0x ,则_______=β.
分析:由题设知 ,3|0==x x y 并且0|0
22==x x dx y d ,而dx dy y y dy d y y dx
d dx y d ?-=-=])4[(])4[(22β
β =))1(4()4()4(])4([121y y y y y y y y +--=-?-+---βββββββ
由0||322220
====y x x dx
y
d dx y d ,得3=β 注:本题的解决无需技巧,关键是清楚拐点的概念及复合函数求导.
例2:求曲线??
?
??+==1ln ln t t
y t
t x 的渐近线 解:先看是否有水平渐近线:易见+∞→t 时1,→+∞→y x ,所以有1lim =+∞
→y x ,故有水平
渐近线1=y ;
再看是否有铅直渐近线:易见0+→t 时∞→→y x ,0,所以有∞=→y x 0
lim ,故有铅直渐近线
0=x ;
再看是否有斜渐近线:易见0lim
=+∞
→x
y
x ,故无斜渐近线. 例3.求椭圆122
22=+b
y a x 在第一象限中的切线,使它被两坐标轴所截的线段最短.
解法一:椭圆的参数方程为θθsin ,cos b y a x ==,设切点为)2
0( )sin ,cos (π
θθθ<
那么切线的斜率为θθ
sin cos a b k -
=,切线方程为
)cos (sin cos sin θθ
θ
θa x a b b y --=-
切线在x 轴上的截距为
θcos a ,切线在y 轴上的截距为θ
sin b
.从所截线段长为 )20( sin cos )(2
222π
θθ
θθ<<+=b a l 求)(θl 的最小值点等价于求)20( sin b cos )(2
222πθθ
θθ<<+=a f 的最小值点. a b b a f =?=-='θθθ
θθθtan 0cos sin 2sin cos 2)(3232 从而知)(θf 在)2
,
0(π
有唯一驻点a
b
arctan
=θ,由本问题的实际背景我们可以判断)(θf 在)2,0(π内取得最小值,因此a
b arctan =θ时)(θf 取得最小值.此时切点坐标为
b
a b
b
y b a a a
x +=+= , 所求的切线方程为 )(b
a a
a x
b a a b b a b b
y +--=+-,化简得 1)
()
(=++
+b a b y b a a x
解法二:设切点为)0( ),(a x y x <<,那么切线的斜率为y
a x
b k 22-=,切线方程为
)(22x X y
a x
b y Y --=-
切线在x 轴上的截距为x a 2,切线在y 轴上的截距为y
b 2
.从所截线段长为
)0( )(24
24a x y
b x a x l <<+=
求)(x l 的最小值点等价于求)0( )(24
24a x y b x a x f <<+=的最小值点.
='--='y y b x a x f 343422)(32
322234340)(22b
y a x y a x b y b x a =?=---
又y x ,满足122
22=+b
y a x
联立以上两个方程得:b
a b b y b
a a a x +=
+=
,
从而知)(x f 在),0(a 有唯一驻点b
a a a x +=
,由本问题的实际背景我们可以判断)(x f 在
),0(a 内取得最小值,因此b
a a a x +=
时)(x f 取得最小值.此时切点坐标为
b
a b
b
y b a a a
x +=+= , 所求的切线方程
1)
()
(=++
+b a b y b a a x
注:利用高等数学知识解决实际问题(即所谓的应用题)几乎是必考的.其中用微分学(一元
或多元微分学)知识解决实际应用中的最大值或最小值问题是其中很重要的一部分.解决这种问题的关键是:根据实际背景和问题的要求选好自变量并求出目标函数同时确定该目标函数的定义域I (一般情况下I 是一个区间,可以是开的、闭的或半开半闭,也可是有限的、无限的.) 求出目标函数在I 内的驻点,如果驻点是唯一的,那么可用下面两种方式说明该驻点就是所求的最大值点或最小值点:(1)根据实际问题的背景,可以判定目标函数在区间I 内部取得最大值(或最小值),且在I 内的驻点又是唯一的,则该驻点就是最大值点(最小值点).(2)若目标函数在区间I 内只有唯一驻点,又通过一阶导或二阶导可以判定该驻点为极大值点(或极小值点),则该驻点就是最大值点(最小值点).另外要注意:选择不同的自变量,目标函数的表达式会不一样,计算量及复杂性可能有很大差别,因此选择合适的自变量有时是很关键的. 有的问题既可用一元微分学去解决,也用二元微分学去解决,就看哪个更简便.事实上例3用
二元微分学知识去解可能更方便,实际就是求目函数)
0,0( ),(24
24b y a x y
b x a y x f <<<<+=在约束条件122
22=+b
y a x 下的最小值问题,可用拉格朗日乘数法去解决.
例4.一长度为m 5的梯子铅直地靠在铅直的墙上,其下端沿地板以s m /3的速度离开墙角而滑
动,
(1) 当其下端离开墙角m 4.1时,梯子上端下滑的速度是多少? (2) 何时梯子上、下端滑行的速度相同? 解:(1)梯子滑行t 秒时,上、下端距离墙角的距离分别为y 米和x 米,依题意有 225x y -=
,
3=dt
dx
,
本题欲求4.1|-x dt
dy
, 对225x y -=
两边对时间t 求导得
2225325x
x
dt dx x x dt dy --=
--= 从而得
875.04
.1254.11|24.1-=-?-=-x dt dy ,即上端下滑速度为s m /875.0.
(3) 由
32532
=-x x ,得225=
x ,6253==x t ,即梯子滑行6
2
5秒后,其上、下端 滑行的速度相同.
注:仔细体会本题的解答,本题中涉及三个变量t y x ,,,任一变量都是任一其它变量的函数,本题中己知y x , 的函数关系,且己知x 对t 的导数,要求y 对t 的导数.这种问题称为相关变化率的问题.在己知y x , 的函数关系0),(=y x F 后,这种问题是简单的,只须两边对t 求导可得
0=+dt dy F dt dx F y x
,从而求出dt
dy .在具体问题中,难点可能是y x , 的函数关系的建立. 例5.溶液自深cm 18,顶直径为cm 12的正圆锥漏斗中漏入一直径为cm 10的圆柱形容器中,开始时漏斗盛满水,当溶液在漏斗中深cm 12时,其水平面下落速度为min /1cm ,问此时圆柱形容器中水平面上升的速度为多少?
分析:这里涉及三个变量:时刻t ,及时刻t 时漏斗水面深度x 、圆柱形容器中的水面高度y ,
y x ,都是t 的函数,y 是x 的函数。已知
1|12-==x dt dx ,欲求12|=x dt
dy
。仿上面例题,如能建立y x ,的函数关系,问题就不难了。那么y x ,的函数关系的建立成为解决本题的关键,这种关系的建立是基于“漏斗漏出的水量和圆柱形容器中的水量相等”。
解:设在t 时刻漏斗水的深度和圆柱形容器中水的深度分别为x 厘米和y 厘米,
t 时刻漏斗的水面半径为x r 31=,此时漏斗漏出的水量为 )9
186(33
2x -?π,此时圆柱形容器
中的水量为y 25π,因此有
)9
186(3 253
2
x y -?=π
π
两边对t 求导得 dt dx
x dt dy 29125
-=,又由min)/(1|12cm dt
dx x -==,得 min)/(25
16
25912|212cm dt dy x =?==。 练习题:
1.设n n x x x x f n
(,)!
2(!21)(22++++= 为正整数)
,证明在),(+∞-∞内有正的最小值. (先说明)(x f 有最小值点,记为0x ,那么0)(0='x f ,再利用)!
2()()(2000n x
x f x f n
+'=)
2.比较π
e 与e
π的大小.
(注意变形 取对数变成为比较e ln π与πln e 的大小,它等价于比较
e e ln 与π
π
ln 的大小,利用x
x
x f ln )(=
的单调性可解决问题) 3.求数列 ,,,3,2,13n n 中的最大项.
(数列n a 也是函数)(n f a n =,求其最大值(即最大项)的问题可用单调性解决.这种函数的自变量n 是离散变量,不能对n 求导,于是把n 变成x ,通过讨论)(x f 的单调性进而得到数列
n a 随n 增加时(或n
1
减少时)的变化情况,再求出最大项.本题中x x x f 1
)(=,但由于求导不
是很方便,可考虑函数x
x
x g ln )(=
) 4.求曲线?????+==3
2
3t
t y t
x 的拐点. (答案:)4,1(),4,1(- ).
5.设函数)(x f 的定义域为}1,0|{≠≠=x x x D ,且满足x x
x f x f +=-+1)1
(
)(,求)(x f 的表达式并求曲线)(x f y =的渐近线. (由x x x f x f +=-+1)1(
)(,作换元x x t 1-=得t t
t f t f --=-+12)11()(,即 x x x f x f --=-+12)11()(,再作换元t t x 1-=得t t t f t t f 1
2)11()1(-=--+-即
x
x x f x x f 12)11()1(-=-+-,由以上三个式子可得)(x f 的表达式,有了表达式后再求渐近线是
容易的)
6.将10分成n 分n a a a ,,,21 (即10,01
=>∑=n
i i
i a
a )
,n 为多少且n a a a ,,,21 各是多少时,乘积n a a a 21最大。
(对于固定的n ,
n a a a n 1021==== 时乘积n a a a 21最大,最大值为n
n
)10(,问题转化求n ,使n
n
)10(
最大) 7.(1)求x
x x f 1
ln )(+
=的最小值; (2)设正值序列}{n x 满足11ln 1
<+
+n n x x ,证:}{n x 收敛,并求其极限。
8.由直线8,0==x y 及抛物线2x y =围成一个曲边三角形,在其曲边2x y =上求一点,使曲线
2x y =在该点处的切线与直线8,0==x y 及曲线2x y =围成的图形的面积最小。
(答案:)9
256
,316(
)
3-2 利用导数研究函数的性质 1.(文)(2020·宿州模拟)已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,f′ (x)>1,则f(x)>x的解集是( ) A.(0,1) B.(-1,0)∪(0,1) C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) [答案] C [解析]令F(x)=f(x)-x,则F′(x)=f′(x)-1>0,所以F(x)是增函数,∵f(x)>x,∴F(x)>0,∵F(1)=f(1)-1=0,∴F(x)>F(1),∵F(x)是增函数,∴x>1,即f(x)>x的解集是(1,+∞). (理)(2020·辽宁文,11)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) [答案] B [解析]由题意,令φ(x)=f(x)-2x-4,则 φ′(x)=f′(x)-2>0. ∴φ(x)在R上是增函数. 又φ(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0, ∴当x>-1时,φ(x)>φ(-1)=0, ∴f(x)-2x-4>0,∴f(x)>2x+4.故选B. 2.(2020·宁夏石嘴山一模)函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值,最小值分别是( ) A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-16 [答案] A [解析]∵y′=6x2-6x-12=0,得x=-1(舍去)或x=2,故函数y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值,而f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,故最大值为5,最小值为-15,故选A. 3.(文)已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为( ) A.4 27 ,0 B.0, 4 27 C.-4 27 ,0 D.0,- 4 27
高二数学函数与导数综合复习 一、知识梳理: 1.基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则: 常用函数导数公式:='x ; =')(2 x ;=')(3 x ;=')1 (x ; 初等函数导数公式:='c ; =')(n x ;=')(sin x ;=')(cos x ; =')(x a ; =')(x e ;=')(log x a ;=')(ln x ; 导数运算法则:(1)/ [()()]f x g x ±= ;(2))]'()([x g x f ?= ; (3)/ ()[ ]() f x g x = [()0].g x ≠ 2.导数的几何意义:______________________________________________________________________; 曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为________________________________________. 3.用导数求函数单调区间的一般步骤: (1)__________________________________; (2)________的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;_______的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 4. 利用导数求函数的最值步骤: ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值; ⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值. 二.巩固练习: 1.一个物体的运动方程为21s t t =-+ 其中S 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时 速度是 ( ) A 、 7米/秒 B 、6米/秒 C 、 5米/秒 D 、 8米/秒 2. 在0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?中,x ?不可能 ( ) A .大于0 B .小于0 C .等于0 D .大于0或小于0 3. 已知曲线3 2x y =上一点)2,1(A ,则A 处的切线斜率等于 ( ) A .2 B .4 C .6+6x ?+2(x ?)2 D .6 4. 设)(x f y =存在导函数,且满足12) 21()1(lim 0 -=??--→?x x f f x ,则曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线 斜率为( ) A .2 B .-1 C .1 D .-2
3.2利用导数研究函数的性质 第2课时导数与函数的极值、最值 一、基础知识 1.函数的单调性(复习) 在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值 (1)一般地,求函数y=f(x)的极值的方法 解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时: ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x); ②求方程f′(x)=0的根; ③考查f′(x)在方程f′(x)=0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 知识拓展 (1)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件. (2)函数的极大值不一定比极小值大.
(3)对可导函数f (x ),f ′(x 0)=0是x 0点为极值点的必要不充分要条件. 二、基本题型 1.根据函数图象判断极值 【例1-1】 设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y =(1-x )f ′(x )的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (1) C .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (-2) D .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (2) 答案 D 解析 由题图可知,当x <-2时,f ′(x )>0;当-2
高中数学(函数和导数)综合练习含解析 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(题型注释) 1.已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈.3253()422 g x x x x =-+-+ (1)当1a =时,求证:()12,1,x x ?∈+∞,均有12()()f x g x ≥ (2)当[)1,x ∈+∞时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围. 2.已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=,当0≠x 时,0)()(>+'x x f x f ,若)1(f a =,)2(2--=f b , )21(ln )21(ln f c =,则c b a ,,的大小关系正确的是( ) A .b c a << B .a c b << C .c b a << D .b a c << 3.函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值,则实数a 的取值范围是( ) A .[)0,4 B .()0,1 C .()0,4 D .()4,4- 4.在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ,若数列{}n x 是等差数列,数列{}n y 是等比数列,则函数()y f x =的解析式可能为( ) A .()21f x x =+ B .()2 4f x x = C .()3log f x x = D .()34x f x ??= ??? 5.设:x p y c =是R 上的单调递减函数;q :函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R .如果“p 且q ”为假命题,“p 或q ”为真命题,则正实数c 的取值范围是( ) A .1,12?? ??? B .1,2??+∞ ??? C .[)10,1,2??+∞ ??? D .10,2?? ??? 6.如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围 是( ) A .{2}∪(4,)+∞ B .(2,)+∞ C .{2,4} D .(4,)+∞
几个常见函数的导数制作人:徐凯精讲部分: 年级:高三科目:数学类型:同步难易程度:易建议用时:20-25min 一.知识点: 知识点一几个常用函数的导数 知识点二基本初等函数的导数公式
二.典例分析: 题型一 利用导数公式求出函数的导数 例1 求下列函数的导数: (1)y =sin π3;(2)y =5x ;(3)y =1x 3;(4)y =4x 3;(5)y =log 3x ;(6)y =1-2sin 2x 2 . 解 (1)y ′=0;(2)y ′=(5x )′=5x ln 5;(3)y ′=? ?? ??1x 3′=(x -3)′=-3x -4 ; (4)y ′=(4 x 3 )′=(x 34)′=1 434x -=344 x ;(5)y ′=(log 3x )′=1 x ln 3; (6)y =1-2sin 2 x 2 =cos x ,y ′=(cos x )′=-sin x . 反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式,需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式化指数幂的形式求导. 题型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P ,Q 为抛物线y =12x 2 上两点,点P ,Q 横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别 作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的坐标为________. 答案 (1,-4) 解析 y ′=x ,k PA =y ′|x =4=4,k QA =y ′|x =-2=-2. ∵P (4,8),Q (-2,2),∴PA 的直线方程为y -8=4(x -4),
即y =4x -8, QA 的直线方程为y -2=-2(x +2),即y =-2x -2,联立方程组??? ? ? y =4x -8,y =-2x -2,得 ????? x =1, y =-4. ∴A (1,-4). (2)已知两条曲线y =sin x ,y =cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直并说明理由. 解 设存在一个公共点(x 0,y 0)使两曲线的切线垂直, 则在点(x 0,y 0)处的切线斜率分别为k 1=y ′|0x x ==cos x 0,k 2=y ′|0x x ==-sin x 0, 要使两切线垂直,必须k 1k 2=cos x 0(-sin x 0)=-1, 即sin 2x 0=2,这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直. 反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. (2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. 2.求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤 题型三 利用导数公式求最值问题 例3 求抛物线y =x 2 上的点到直线x -y -2=0的最短距离. 解 设切点坐标为(x 0,x 2 0),依题意知与直线x -y -2=0平行的抛物线y =x 2 的切线的切点到直线x -y -2=0的距离最短.
1.导数与导函数的概念 (1)设函数y =f (x )在区间(a ,b )上有定义,x 0∈(a ,b ),若Δx 无限趋近于0时,比值Δy Δx =f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ,则称f (x )在x =x 0处可导,并称该常数A 为函数f (x )在x =x 0处的导数(derivative),记作f ′(x 0). (2)若f (x )对于区间(a ,b )内任一点都可导,则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化,因而也是自变量x 的函数,该函数称为f (x )的导函数,记作f ′(x ). 2.导数的几何意义 函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率k ,即k =f ′(x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则 若f ′(x ),g ′(x )存在,则有 (1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x );
(3)[f (x )g (x )]′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0). 5.复合函数的导数 若y =f (u ),u =ax +b ,则y ′x =y ′u ·u ′x ,即y ′x =y ′u ·a . 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同.( ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0)再求f ′(x 0).( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (5)函数f (x )=sin(-x )的导数是f ′(x )=cos x .( ) 1.(教材改编)f ′(x )是函数f (x )=13x 3+2x +1的导函数,则f ′(-1)的值为 ________. 2.如图所示为函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象,那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是________. 3.设函数f (x )的导数为f ′(x ),且f (x )=f ′(π2)sin x +cos x ,则f ′(π4)=________. 4.已知点P 在曲线y = 4e x +1 上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是__________. 5.(2015·陕西)设曲线y =e x 在点(0,1)处的切线与曲线y =1x (x >0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为________.
利用导数求函数最值 高二苏庭 导数是对函数的图像与性质的总结与拓展,导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具,在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。 导数是初等数学与高等数学的重要衔接点,是高考的热点,高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现,高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主,如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等,考题不难,侧重知识之意。 导数应用主要有以下三个方面: ①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题, ②利用导数的几何意义,研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数,表示曲线在点P(x0 , y0)处的切线斜率。 由导数来求最值问题的方法可知,解这类实际问题需先建立函数关系,再求极值点,确定最值点及最值.在设变量时可采用直接法也可采用间接法.
求函数极值时,导数值为0的点是该点为极值点的必要条件,但不是充分条件。 运用导数确定函数单调区间的一般步骤为: (1)求出函数y=f(x)的导函数; (2)在函数定义域内解不等式得函数y=f(x)的单调增区间;解不等式得函数y=f(x)的单调减区间。 例题剖析 例1、求函数的值域. 分析: 求函数的值域以前学过一些方法,也可利用求导的方法,根据函数的单调性求解. 解答: 函数的定义域由求得,即x≥-2.
当x>-2时,y′>0,即函数,在(-2,+∞)上是增函数,又f(-2)=-1,∴所求函数的值域为[-1,+∞). 点评: (1)从本题的解答过程可以看到,当单调区间与函数的值域相同时,才可使用此法,否则会产生错误. (2)求值域时,当x=-2,函数不可导,但函数 在[-2,+∞)上是连续的,函数图象是连续变化的,因此在x=-2时,取得最小值. 例2、把长度为16cm的线段分成两段,各围成一个正方形,它们的面积之和的最小值为多少? 分析:建立面积和与一正方形的周长的函数关系,再求最小值. 解答:设一段长为xcm,则另一段长(16-x)cm. ∴面积和 ∴S′=-2,令S′=0有x=8. 列表:
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1,第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后,结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法,例题的选择有梯度,由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式,再解关于含参数的问题,最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性;会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性,并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用,形成初步的知识体系,培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 (一)知识与技能目标: 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间; 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 (二)过程与方法目标: 1、通过本节的学习,掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力,数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 (三)情感、态度与价值观目标: 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结, 2、培养学生的探索精神,渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识,让学生有创新的机会,充分体验成功的喜悦,开发了学生的自我潜能。(四)教学重点,难点 教学重点:利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点:探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用,以及学生前期预备基础,应注重理解函数单调性与导数的关系,进行合理的推理,引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法,无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题,注意分类讨论点的确认,灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学,强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用,培养学生的探究精神,提高语言表达和概括能力,
函数综合题分类复习 题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开),极值,最值;不等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)('=x f 得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知; 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种: 第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元);第二种:分离变量求最值(请同学们参考例5);第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值----题型特征)()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立;参考例4; 例1.已知函数321()23 f x x bx x a =-++,2x =是)(x f 的一个极值点. (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若当[1, 3]x ∈时,22()3 f x a ->恒成立,求a 的取值范围. 例2.已知函数b ax ax x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P . (1)若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6,求函数)(x f y =的解析式;(2)若3>a ,求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x =+()52(0)g x ax a a =+->。 (1)求()f x 在[0,1]x ∈上的值域; (2)若对于任意1[0,1]x ∈,总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-, 326()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> (Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)当[1,4]x ∈-时,求()f x 的值域; (Ⅲ)当[1,4]x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+)(0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5,最小值是-11. (Ⅰ)求函数 ()f x 的解析式;(Ⅱ)若]1,1[-∈t 时,0(≤+'tx x f )恒成立,求实数x 的取值范围. 例6.已知函数2233)(m nx mx x x f +++=,在1-=x 时有极值0,则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102,函数33)()(22 +-=a bx x f x g . (1) 若函数)(x g 在1=x 处有极值,求)(x g 的解析式; (2) 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数,且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立,求实数m 的取值范围. 答案: 1、解:(Ⅰ)'2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点, ∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根,解得32 b =. 令'()0f x >,则2320x x -+>,解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞,(2, +)∞. (Ⅱ)∵当(1,2)x ∈时'()0f x <,(2,3)x ∈时'()0f x >, ∴()f x 在(1,2)上单调递减,()f x 在(2,3)上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1,3]上的最小值,且 2(2)3f a =+. 若当[1, 3]x ∈时,要使 22()3f x a ->恒成立,只需22(2)3f a >+, 即22233a a +>+,解得 01a <<. 2、解:(Ⅰ) a ax x x f ++='23)(2. 由题意知???=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ,得 ???=-=23b a . ∴233)(23+--=x x x x f . (Ⅱ)023)(2=++='a ax x x f . ∵3>a ,∴01242>-=?a a .
常见函数的导数 学习目标:能根据定义求几个简单函数的导数,加深对导数概念的理解,同时体会算法的 思想并熟悉具体的操作步骤。 学习重难点:利用导数公式求一些函数的导数 一、 知识点梳理 1. 基本初等函数,有下列的求导公式 '1.()(,)kx b k k b +=为常数 '2.()1x = 2'3.()2x x = 4.()0C '= 3'2 5.()3x x = ' 2 116.()x x =- '= 1 8.()x x ααα-'=(α为常数) 9.()ln (01)x x a a a a a '=>≠, a a 1110.(log x)log e (01)x xlna a a '= =>≠, x x 11.(e )e '= 112.(lnx)x '= 13.(sinx)cosx '= 14.(cosx)sinx '=- 从上面这一组公式来看,我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 二、典例讲解 例1、求下列函数导数。 练习:(1)5 -=x y (2) 、x y 4= (3)、x x x y = (4)、x y 3 l o g = (5)、)100() 1(l o g 1 ≠>>-= x a a x a y x ,,, (6)、y=sin( 2π+x) (7)y=sin 3 π (8)、y=cos(2π-x) (9)、y=(1)f ' 例2、1.求过曲线y=cosx 上点P( 2π ,0 ) 的切线的直线方程. 2. 若直线y x b =-+为函数1 y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. (1)(23)(2)(2)(3)3x x '-+='-='=4 (4)y x =3(6)y x -==0(5)sin 45y
高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解 一、选择题 1.(文)函数y =ax 3 -x 在R 上是减函数,则( ) A .a =1 3 B .a =1 C .a =2 D .a ≤0 [答案] D [解析] y ′=3ax 2-1, ∵函数y =ax 3-x 在R 上是减函数, ∴3ax 2-1≤0在R 上恒成立,∴a ≤0. (理)(2010·瑞安中学)若函数f (x )=x 3+x 2+mx +1是R 上的单调递增函数,则实数m 的取值范围是( ) A.? ???? 13,+∞ B.? ???? -∞,13 C.???? ??13,+∞ D. ? ?? ?? -∞,13 [答案] C [解析] f ′(x )=3x 2+2x +m ,由条件知,f ′(x )≥0恒成立,∴Δ=4-12m ≤0,∴m ≥1 3 ,故选C. 2.(文)(2010·柳州、贵港、钦州模拟)已知直线y =kx +1及曲线y =x 3+ax +b 切于点(1,3),则b 的值为( ) A .3 B .-3 C .5 D .-5 [答案] A [解析] 由条件知(1,3)在直线y =kx +1上,∴k =2. 又(1,3)在曲线y =x 3+ax +b 上,∴a +b =2, ∵y ′=3x 2+a ,∴3+a =2,∴a =-1,∴b =3. (理)(2010·山东滨州)已知P 点在曲线F :y =x 3-x 上,且曲线F 在点
P处的切线及直线x+2y=0垂直,则点P的坐标为( ) A.(1,1) B.(-1,0) C.(-1,0)或(1,0) D.(1,0)或(1,1) [答案] C [解析] ∵y′=(x3-x)′=3x2-1,又过P点的切线及直线x+2y=0垂直,∴y′=3x2-1=2,∴x=±1,又P点在曲线F:y=x3-x上,∴当x=1时,y=0,当x=-1时,y=0,∴P点的坐标为(-1,0)或(1,0),故选C. 3.(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)及年产量 x(单位:万件)的函数关系式为y=-1 3 x3+81x-234,则使该生产厂家获 取最大的年利润的年产量为( ) A.13万件B.11万件 C.9万件D.7万件 [答案] C [解析] 由条件知x>0,y′=-x2+81,令y′=0得x=9,当x∈(0,9)时,y′>0,函数单调递增,当x∈(9,+∞)时,y′<0,函数单调递减,∴x=9时,函数取得最大值,故选C. [点评] 本题中函数只有一个驻点x=9,故x=9就是最大值点. 4.(文)(2010·四川双流县质检)已知函数f(x)的定义域为R,f′(x)为其导函数,函数y=f′(x)的图象如图所示,且f(-2)=1,f(3)=1,则不等式f(x2-6)>1的解集为( ) A.(2,3)∪(-3,-2) B.(-2,2) C.(2,3) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
第16 课时 利用导数研究函数的性质 编者:仇小华 审核:刘智娟 第一部分 预习案 一、知识回顾 1. f ′(x )>0在(a ,b )上成立是f (x )在(a ,b )上单调递增的 条件. 2. f (x )在(a ,b )上是增函数的充要条件是 . 3. 对于可导函数f (x ),f ′(x 0)=0并不是f (x )在x =x 0处有极值的充分条件 对于可导函数f (x ),x =x 0是f (x )的极值点,必须具备①f ′(x 0)=0,②在x 0两侧,f ′(x )的符号为异号.所以f ′(x 0)=0只是f (x )在x 0处有极值的 条件,但并不 . 4. 如果不间断的函数f (x )在区间(a ,b )内只有一个极值点,那么这个极值点就是最值点.在解决实际问题中经常用到这一结论. 二、基础训练 1. 已知函数f (x )=ln a +ln x x 在[1,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围为__________. 2. 设函数f (x )=ax 3-3x +1 (x ∈R ),若对于任意x ∈[-1,1],都有f (x )≥0成立,则实数a 的值为________. 3. 若函数f (x )的导函数为f ′(x )=-x (x +1),则函数g (x )=f (log a x )(0 专题三 利用导数研究函数的性质 1. f ′(x )>0在(a ,b )上成立是f (x )在(a ,b )上单调递增的充分不必要条件. 2. f (x )在(a ,b )上是增函数的充要条件是f ′(x )≥0,且f ′(x )=0在有限个点处取到. 3. 对于可导函数f (x ),f ′(x 0)=0并不是f (x )在x =x 0处有极值的充分条件 对于可导函数f (x ),x =x 0是f (x )的极值点,必须具备①f ′(x 0)=0,②在x 0两侧,f ′(x )的符号为异号.所以f ′(x 0)=0只是f (x )在x 0处有极值的必要条件,但并不充分. 4. 如果连续函数f (x )在区间(a ,b )内只有一个极值点,那么这个极值点就是最值点.在解决 实际问题中经常用到这一结论. 1. 已知函数f (x )=ln a +ln x x 在[1,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围为__________. 答案 [e ,+∞) 解析 f ′(x )=1x ·x -(ln a +ln x )x 2=1-(ln a +ln x )x 2,因为f (x )在[1,+∞)上为减函数,故 f ′(x )≤0在[1,+∞)上恒成立,即ln a ≥1-ln x 在[1,+∞)上恒成立.设φ(x )=1-ln x ,φ(x )max =1,故ln a ≥1,a ≥e. 2. 设函数f (x )=ax 3-3x +1 (x ∈R ),若对于任意x ∈[-1,1],都有f (x )≥0成立,则实数a 的值为________. 答案 4 解析 若x =0,则不论a 取何值,f (x )≥0显然成立; 当x >0,即x ∈(0,1]时,f (x )=ax 3-3x +1≥0可化为a ≥3x 2-1x 3.设g (x )=3x 2-1 x 3,则g ′(x ) = 3(1-2x ) x 4 , 所以g (x )在区间????0,12上单调递增,在区间????12,1上单调递减,因此g (x )max =g ????1 2=4,从而a ≥4. 当x <0,即x ∈[-1,0)时,同理a ≤3x 2-1 x 3. 考点06 函数与导数的综合应用(1) 【知识框图】 【自主热身,归纳提炼】 1、(2016南京学情调研)已知函数f (x )=1 3x 3+x 2-2ax +1,若函数f (x )在(1,2)上有极值,则实数a 的取值 范围为________. 【答案】???? 32,4 【解析】因为函数f (x )在(1,2)上有极值,则需函数f (x ) 在(1,2)上有极值点. 解法 1 令f ′(x )=x 2+2x -2a =0,得x 1=-1-1+2a ,x 2=-1+1+2a ,因为x 1?(1,2),因此则需1 用导数法求函数的最值的练习题解析 一、选择题 1.函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的最大值是M ,最小值是m ,若M =m ,则f ′(x )( ) A .等于0 B .大于0 C .小于0 D .以上都有可能 [答案] A [解析] ∵M =m ,∴y =f (x )是常数函数 ∴f ′(x )=0,故应选A. 2.设f (x )=14x 4+13x 3+1 2x 2在[-1,1]上的最小值为( ) A .0 B .-2 C .-1 D.1312 [答案] A [解析] y ′=x 3+x 2+x =x (x 2+x +1) 令y ′=0,解得x =0. ∴f (-1)=512,f (0)=0,f (1)=13 12 ∴f (x )在[-1,1]上最小值为0.故应选A. 3.函数y =x 3+x 2-x +1在区间[-2,1]上的最小值为( ) A.22 27 B .2 C .-1 D .-4 [答案] C [解析] y ′=3x 2+2x -1=(3x -1)(x +1) 令y ′=0解得x =1 3或x =-1 当x =-2时,y =-1;当x =-1时,y =2; 当x =13时,y =22 27;当x =1时,y =2. 所以函数的最小值为-1,故应选C. 4.函数f (x )=x 2-x +1在区间[-3,0]上的最值为( ) A .最大值为13,最小值为3 4 B .最大值为1,最小值为4 C .最大值为13,最小值为1 D .最大值为-1,最小值为-7 [答案] A [解析] ∵y =x 2-x +1,∴y ′=2x -1, 令y ′=0,∴x =1 2,f (-3)=13,f ? ?? ??12=34,f (0)=1. 5.函数y =x +1-x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B .1 C .0 D .不存在 [答案] A [解析] y ′=1 2x -121-x =12·1-x -x x ·1-x 由y ′=0得x =1 2,在? ????0,12上y ′>0,在? ????12,1上 y ′<0.∴x =1 2时y 极大=2, 又x ∈(0,1),∴y max = 2. 6.函数f (x )=x 4-4x (|x |<1)( ) A .有最大值,无最小值 B .有最大值,也有最小值 3. 2.1几个常用函数导数 课前预习学案 (预习教材P 88~ P 89,找出疑惑之处) 复习1:导数的几何意义是:曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率.因此,如果)(x f y =在点0x 可导,则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为 复习2:求函数)(x f y =的导数的一般方法: (1)求函数的改变量y ?= (2)求平均变化率y x ?=? (3)取极限,得导数/y =()f x '=x y x ??→?0lim = 上课学案 学习目标1记住四个公式,会公式的证明过程; 2.学会利用公式,求一些函数的导数; 3.知道变化率的概念,解决一些物理上的简单问题. 学习重难点:会利用公式求函数导数,公式的证明过程 学习过程 合作探究 探究任务一:函数()y f x c ==的导数. 问题:如何求函数()y f x c ==的导数 新知:0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数,则y '= ,可以解释为 即一直处于静止状态. 试试: 求函数()y f x x ==的导数 反思:1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y x =表示路程关于时间的函数,则y '= ,可以解释为 探究任务二:在同一平面直角坐标系中,画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象,并根据导数定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数(0)y kx k =≠增(减)的快慢与什么有关? 典型例题 例1 求函数1()y f x x ==的导数 解析:因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==??? 专题二——利用导数研究函数的性质2009-2-24 高考趋势 导数作为进入高中考试范围的新内容,在考试中占比较大.常利用导数研究函数的性质,主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值,这些内容都是近年来高考的重点和难点,大多数试题以解答题的形式出现,通常是整个试卷的压轴题。试题主要先判断或证明函数的单调区间,其次求函数的极值和最值,有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。 考点展示 1.二次函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如图所示的一条直线,则y f x =()图象的顶点在第 一 象限 2.如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ,,的坐标分别 为(04)(20)(64),,,,,,则((0))f f = 2 ; 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= -2 . 3.曲线324y x x =-+在点(13),处的切线的倾斜角为 45° 4.设曲线2 ax y =在点(1,a )处的切线与直线062=--y x 平行,则=a 1 5.设R a ∈,若函数ax e y x +=,R x ∈有大于零的极值点,则a 的取值范围1-,对于任意实数x ,有()0f x ≥,则 (1) (0) f f '的最小值为 2 . 7.已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[]33-,上的最大值与最小值分别为M ,m ,则M m -=__32_ _ 8.过点P (2,8)作曲线3 x y =的切线,则切线方程为_ 12x-y -16=0或3x-y+2=0 样题剖析 例1、设函数32 3()(1)1,32 a f x x x a x a = -+++其中为实数。 (Ⅰ)已知函数()f x 在1x =处取得极值,求a 的值; (Ⅱ)已知不等式'2 ()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立,求实数x 的取值范围。 解: (1) ' 2 ()3(1)f x ax x a =-++,由于函数()f x 在1x =时取得极值,所以 ' (1)0f = 即 310,1a a a -++==∴ (2) 方法一:由题设知:2 2 3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2 2 (2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立 设 2 2 ()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈,()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞,()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥ 即 2 20x x --≥,20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{ |20x x -≤≤ 方法二:由题设知:2 2 3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2 2 (2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立 于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立,即22 202 x x x +≤+ 20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤ 点评:函数在某点处取得极值,则在这点处的导数为0,反过来,函数的导数在某点的值为0,则在函数这点处取得极值。 变式1.若f(x)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是 1b ≤- 由题意可知' ()02 b f x x x =-+<+,在(1,)x ∈-+∞上恒成立, 即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立,由于1x ≠-,所以1b ≤-, 变式2.已知函数1 1()3 x p f x -=,2 2()23 x p f x -=?(12,,x R p p ∈为常数).则()()12f x f x ≤对所有实 数x 成立的充分必要条件(用12,p p 表示)为 (1)由()f x 的定义可知,1()()f x f x =(对所有实数x )等价于 ()()12f x f x ≤(对所有实数x )这又等价于1 2 3 23 x p x p --≤,即 12 3log 23 32x p x p ---≤=对所有实数x 均成立. (*) 由于121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -, 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4(整理)利用导数研究函数的性质.
考点06 函数与导数的综合运用(1)(解析版)
用导数法求函数的最值的练习题解析
3.2.1几个常用函数导数(学、教案)
高中数学二轮复习专题二—利用导数研究函数的性质