一元二次方程的实际应用教案

教学过程

一、复习预习

我们已经学习了一元二次方程的定义和四种解法，下面我们一块来复习一下：

1. 用直接开平方法解方程2

(3)8x -=，得方程的根为（ ）

A. 3x =+

B. 1233x x =+=-

C. 3x =-

D. 1233x x =+=-

2. 方程2(1)0x x -=的根是（ ）

A ．0

B ．1

C ．0，－1

D ．0，1

3. 设(1)(2)0x x --=的两根为12x x 、，且1x ＞2x ，则122x x -＝ 。

4. 已知关于x 的方程22440x kx k ++=的一个根是－2，那么k ＝ 。

5.243

x x ++ ＝2(________)x + 今天我们将继续学习列方程解应用题。大家先来看这样一道题：某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出 20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少 库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每 件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均 每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?

在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下:

解:设每件衬衫应降价x 元,则每件所获得的利润为 (40－x)元,但每天可多销出2x 件,每天可卖(20+2x)件,根据题意可列方程:

(40－x)(20+2x)=1200

x 2－30x+200=0

解得:x 2=20 x 2=10

答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元.

当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因吗?

当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元, 因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题, 不能漏掉任何一个条件，所以我们今天就来具体学习一下列方程解应用题。

二、知识讲解

1．列一元二次方程解应用题的一般步骤是： “审、设、列、解、答”．

(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；

(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；

(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；

(4)“解”就是求出所列方程的解；

(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．

2.数与数字的关系:

两位数=(十位数字)×10＋个位数字

三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字

3.翻一番

翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．

4.增长率问题

(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数

(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的m(1+x)2＝n (m＜n).

如果是下降率则为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的m(1－x)2＝n (m＞n).

5.经济问题常用的公式：

（1）利润=售价-进价；

（2）售价=标价×折扣；

（3）利润率=利润÷进价×100%.

6.列方程解应用题的关键

(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；

(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．

考点/易错点1

要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系.

考点/易错点2

由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的.

三、例题精析

【例题1】

【题干】恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

【答案】解:设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.

答:这两个月的平均增长率是10%.

【解析】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.

【变式练习】

【题干】某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000kg，求南瓜亩产量的增长率．

【答案】解：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．根据题意，得10(12)2000(1)60000

x x

++=．

解这个方程，得

10.5

x=，

22

x=-（不合题意，舍去）．

答：南瓜亩产量的增长率为50％．

【解析】根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．

【例题2】

【题干】益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

【答案】解:根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，

解这个方程，得a1＝25，a2＝31.

因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.

所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.

答:需要进货100件，每件商品应定价25元.

【解析】商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点,根据：每件盈利×销售件数=总盈利额；其中，每件盈利=每件售价-每件进价,建立等量关系.

【例题3】

【题干】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

【答案】解:设第一次存款时的年利率为x,则根据题意，得

[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.

解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.

由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.

答:第一次存款的年利率约是2.04%.

【解析】储蓄问题关键是掌握公式：本息和=本金×（1+利率×期数）,这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.

【例题4】

【题干】某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，?商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

【答案】解：设每张贺年卡应降价x元

则（0.3-x）（500+100

0.1

x

）=120

解得：x=0.1

答：每张贺年卡应降价0.1元．

【解析】本题是“每每问题”，得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点，根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键．

【变式练习】

【题干】商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：

（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？（提示：盈利＝售价－进价）

【答案】解：（1）当每件商品售价为170元时，比每件商品售价130元高出40元，

即17013040-=（元），

则每天可销售商品30件，即704030-=（件）

商场可获日盈利为()170120301500-?=（元）

（2）设商场日盈利达到1600元时，每件商品售价为x 元，则每件商品比130元高出()130x -元，每件可盈利()120x -元,每日销售商品为()70130200x x --=-（件）

依题意得方程()()2001201600x x --=

整理，得 2320256000x x -+= 即()2

1600x -= 解得160x = 答：每件商品售价为160元时，商场日盈利达到1600元．

【解析】解与变化率有关的实际问题时：（1）注意变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；

（2）可直接套公式：原有量×（1+增长率）n =现有量，n 表示增长的次数．

【例题5】

【题干】如图，有一块长80cm ，宽60cm 的硬纸片，在四个角各剪去

一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为1500cm2的无盖

的长方体盒子.求剪去的小正方形的边长.

【答案】解：设截去的小正方形的边长为x cm ，则

()()1500260280=--x x

整理，得0825702=++x x

解得551521==x x ，

因为0260>-x ，所以55=x 不合题意，舍去

所以 15=x

答：截去的小正方形的边长为15cm

【解析】用到的知识点是长方形的面积公式、解一元二次方程，注意把不合题意的解舍去．

【例题6】

【题干】一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调

后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。

【答案】23或32

【解析】解：设原两位数的十位数字为x ，则个位数字为x -5. 根据题意，得

()[]()[]736510510=+--+x x x x

整理后，得0652=+-x x

解方程，得3221==x x ，

当2=x 时，35=-x ，两位数为23；

当3=x 时，25=-x ，两位数为32

答：原来的两位数为23或32

四、课堂运用

【基础】

1.为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）

A ．225003600x =

B ．22500(1)3600x +=

C ．22500(1%)3600x +=

D ．2

2500(1)2500(1)3600x x +++= 【答案】 B 【解析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，然后用x 表示2008年的投入，再根据“2008年投入3600万元”可得出方程．

2.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为

3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

【答案】解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．

那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31

把（1+x ）当成一个数，配方得：

（1+x+12）2=2.56，即（x+32

）2=2．56

x+3

2

=±1.6，即x+

3

2

=1.6，x+

3

2

=-1.6

方程的根为x1=10%，x2=-3.1

因为增长率为正数，

所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．

【解析】设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，?那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．

3. 印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，?八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．

大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的1

8

的平方，另一队猴子数是12，

那么猴子总数是多少？你能列出方程这个问题吗？【答案】解：设总共有x只猴子，根据题意，得：

x=（1

8

x）2+12

整理得：x2-64x+768=0

【解析】找出等量关系.

【巩固】

1. 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

【答案】解：设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.

则根据题意，得1

2

(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.

解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.

所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.

答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.

【解析】求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.

2. 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.

大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符；

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

【答案】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.

则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.

当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；

当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.

答：周瑜去世的年龄为36岁.

【解析】本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真体会.

3.乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是学校．2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8058.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为．【答案】2

+=

x

5786(1)8058.9

【解析】本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

【拔高】

1. 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加. 【答案】解：设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n －1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为

1

n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻2

的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.

答：参加比赛的选手共有45人.

【解析】类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.

2.某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大？

【答案】解：（1）商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．

（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y 元，

则：（0.75-y ）（200+

0.25y ×34）=120 即（34

-y ）（200+136y ）=120 整理：得68y 2+49y-15=0

∴y≈-0.98（不符题意，应舍去）

y≈0.23元

答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．

【解析】等量关系为：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可．

课程小结

1.列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.

2.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常

用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.

课后作业

【基础】

1. 某中学准备建一个面积为2

375m 的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m ．设游泳池的长为m x ，则可列方程（ ）

A ．(10)375x x -=

B ．(10)375x x +=

C ．2(210)375x x -=

D ．2(210)375x x +=

【答案】 A 【解析】本题可根据矩形面积=长×宽，找出关键语来列出方程．

2.某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、?二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率？

【答案】解：设平均增长率为x

则200+200（1+x ）+200（1+x ）2=950

整理，得：x 2+3x-1.75=0

解得：x=50%

答：所求的增长率为50%．

【解析】设这个增长率为x ，由一月份的营业额就可列出用x 表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．

3.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率?

【答案】 解：设这种存款方式的年利率为x

则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320

整理，得：1280x 2+800x+1600x=320，即8x 2+15x-2=0

解得：x 1=-2（不符，舍去），x 2=

18

=0.125=12.5% 答：所求的年利率是12．5%． 【解析】设这种存款方式的年利率为x ，根据利息=本金×利率×时间就可以建立等量关系，求出其解就可以了．

4.某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：

（1）求与的关系式；

（2）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？

【答案】解：（1）2

(50)

(50)(2240)234012000y x w x x x x =-=--+=-+-··， y ∴与x 的关系式为：2234012000y x x =-+-． （2）当2250y =时，可得方程22(85)24502250x --+=．

解这个方程，得175x =，295x =

根据题意，295x =不合题意应舍去．

y ∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．

【解析】（1）利用每千克销售利润×销售量=总销售利润列出函数关系式，整理即可解答

； （2）利用配方法可

求最值

； （3）把函数值代入，解一元二次方程解决问题． 【巩固】

1.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率?

【答案】解：设每年人均住房面积增长率为x,有题意得：

10（1+x ）2=14.4

（1+x ）2=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去．

答：每年人均住房面积增长率应为20%．

【解析】熟记增长率问题公式.

2.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a 元，则可卖出（320-10a ）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%．如果商店计划要获利400元，则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？ （每件商品的利润=售价-进货价）

【答案】解：设每件商品的售价定为a 元，

则（a-18）（320-10a ）=400，

整理得a2-50a+616=0，

∴a1=22，a2=28

∵18（1+25%）=22.5，而28＞22.5

∴a=22．

卖出商品的件数为320-10×22=100．

答：每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．

【解析】可根据关键语“若每件售价a 元，则每件盈利（a-18）元，则可卖出（320-10a ）件”，根据每件的盈利×销售的件数=获利，即可列出方程求解．

3.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用

27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

【答案】解：设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游．

因为1000252500027000?=<，所以员工人数一定超过25人．

可得方程[100020(25)]27000x x --=．

如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元． 如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．

整理，得2

7513500x x -+=，

解得124530x x ==，．

当145x =时，100020(25)600700x --=<，故舍去1x ；

当230x =时，100020(25)900700x --=>，符合题意．

答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游．

【解析】此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 【拔高】

1.如图（a ）、（b ）所示，在△ABC 中∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度运动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度运动．

（1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过几秒钟，使S △PBQ =8cm 2．

（2）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，并且P 到B 后又继续在BC 边上前进，Q 到C 后又继续在CA 边上前进，经过几秒钟，使△PCQ 的面积等于12.6cm 2．（友情提示：过点Q 作DQ ⊥CB ，垂足为D ，则：DQ CQ AB AC

=） (a)B A

C

Q

https://www.wendangku.net/doc/e915893204.html, P (b)B A C

Q D

https://www.wendangku.net/doc/e915893204.html,

P 【答案】解：（1）设x 秒，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，且使△PBQ 的面积为8cm2． 则：12

（6-x ）·2x=8 整理，得：x 2-6x+8=0

解得：x 1=2，x 2=4

∴经过2秒，点P 到离A 点1×2=2cm 处，点Q 离B 点2×2=4cm 处，经过4秒，点P 到离A 点1×4=4cm 处，点Q 离B 点2×4=8cm 处，所以它们都符合要求．

（2）设y 秒后点P 移到BC 上，且有CP=（14-y ）cm ，点Q 在CA 上移动，且使

CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有DQ CQ AB AC

=

∵AB=6，BC=8

∴由勾股定理，得：

∴DQ=6(28)6(4) 105

y y

--

=

则：1

2

（14-y）·

6(4)

5

y-

=12.6

整理，得：y2-18y+77=0

解得：y1=7，y2=11

即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=2y-8=6），使△PCD的面积为12.6cm2．

经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，

∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．

∴本小题只有一解y1=7．

【解析】（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．

（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．

错题总结

教案 一元二次方程的应用——利润问题

一元二次方程的应用——利润问题教学设计 （江西省赣州市安远县第三中学胡周明 342100） 教学目标： 1.知识与技能目标 （1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法. （2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来 解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程. 2.过程与方法目标 通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动， 发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习 热情。 3.情感态度与价值观目标 使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学 习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活. 教学重点： 列一元二次方程解利润问题应用题. 教学难点： 发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题. 关键：建立一元二次方程的数学模型 教法： 创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新. 学法： 自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新. 教学过程： 一、复习回顾，引入新知 1、提问1、以前我们学习了列几次方程解应用题？ ①列一元一次方程解应用题； ②列二元一次方程组解应用题； ③列分式方程解应用题 提问2、列方程解应用题的基本步骤怎样 ①审（审题）； ②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所 涉及的基本数量关系）； ③设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）； ④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）； ⑤列（列方程）； ⑥解（解方程）； ⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）. 2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，?那么预计2004年的产量将是________． 3. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500

一元二次方程的应用教案

个性化教案（内部资料，存档保存，不得外泄） 海豚教育个性化教案编号：

教案正文： 一元二次方程的应用 第一课时 一、解应用题步骤： 1．审题； 2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种； 3．找等量关系列方程； 4．解方程； 5．判断解是否符合题意； 6．写出正确的解． 二、常见类型 (一)平均率问题a(1±x)n=b 1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为________________； 2、宏欣机械厂生产某种型号的鼓风机，一月至六月份的产量如下： 月份一二三四五六 产量(台) 50 51 48 50 52 49 (1)求上半年鼓风机月产量和平均数、中位数； (2)由于改进了生产技术，计划八月份生产鼓风机72台，与上半年月产量平均数相比，七、八月鼓风机生 产量平均每月的增长率是多少？ 3、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重 要内容．某市城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修 建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示） (1)根据图中所提供的信息，回答下列问题：2001年底的绿地 面积为公顷，比2000年底增加了公 顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增 加最多的是年； （2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地 总面积达到72．6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增 长率．

4、王红梅同学将100元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入银行,到期后将本金和利息取出,并用掉了50元,剩下的有全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下降到第一次存款年利率的的一半,这样到期后可得本金和利息共63元,求第一次存款时的年利率是多少? 第二课时 (二)面积问题 1、如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽? 2、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？ 3、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是2 5400cm，求金色纸边的宽为多少？

(完整版)2.3一元二次方程的应用教案(1)

2．3一元二次方程的应用（1）教案 一、教材分析 1、教材地位和作用 本节课是浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程》的内容，这是一个理论联 系实际的好教材，充分体现了数学的应用价值。之前，学生已学习了一元二次方程的概念、解法，已初步具有了应用波利亚解题表列一元一次方程、二元一次方程组、分式方 程等解应用题的能力，本节课将进一步学习问题解决的方法与步骤，它是前一部分知识 的应用与巩固，也为今后学习二次函数等知识奠定基础。学好本节知识，可以培养学生 分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力、信息迁移能力以及数学方法的应用能力等。 2、教学目标 数学教学应以学生的发展为本，培养能力为重，综上分析及教学大纲要求，本课时教学目标制定如下： 知识目标：会分析实际应用问题中的数量关系，找出等量关系，并列一元二次方程解应用题； 能力目标：联系实际，经历“问题情境-----建立模型------求解-------解释与应用”的过程，培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力; 情感目标：结合实践与探索，培养学生合作互助的精神，体验探索成果的喜悦. 3、教学重点和难点 由于本节内容涉及的实际应用问题都是通过列一元二次方程解决的，所 以确定教学重点是列一元二次方程解应用题。要列出一元二次方程的关键是 找出等量关系，从实际问题中挖掘出相等关系需要较强的联系实际能力、分 析能力，因此本节的教学难点是寻找等量关系列方程，例2涉及的是现实生 活中的增长率问题，数量关系复杂，学生不容易理解，它是教学的又一难点。二、教学方法与手段： 本节课利用多媒体辅助教学，扩大课堂容量，提高课堂效率。根据教材 内容和学生的认知特点，采用边分析、边讨论，层层设疑、讲练结合的启发 式教学方法，例题选择由浅入深，从学生熟悉的实际问题开始，将实际问题“数学化”，建立方程模型，引导学生自主探索、发现、归纳，充分调动学生 的积极性和主动性。 三、学法指导：

《一元二次方程的应用》教案

《一元二次方程的应用》教案 教学内容 本节课主要学习建立一元二次方程的数学模型解决问题． 教学目标 知识技能 1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． 数学思考 经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述． 解决问题 通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识． 情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用． 重难点、关键 重点：列一元二次方程解有关问题的应用题． 难点：发现问题中的等量关系． 关键：建立一元二次方程的数学模型解问题． 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题． 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容． 教学过程 一、复习引入 我们已经知道，生产、生活中的一些实际问题，有时可以利用一元二次方程来描述其中已知量与未知量之间的相等关系，运用一元二次方程的有关知识，常常可以使这些实际问题得到解决. 【思考】 列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？ 【活动方略】

教师演示课件，给出题目． 学生口答，老师点评． 二、探索新知 【问题情境】 例：某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2 ，上口宽比 渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ (2)如果计划每天挖土48m 3 ，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m ，则上口宽为x +2，渠底为x +0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模． 解：(1)设渠深为x m 则渠底为(x +0.4)m ，上口宽为(x +2)m 依题意，得： 1 2 (x +2+x +0.4)x =1.6 整理，得：5x 2 +6x -8=0 解得：x 1= 4 5 =0.8m ，x 2=-2(舍) ∴上口宽为2.8m ，渠底为1.2m ． (2) 1.6750 48 =25天 答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m 和1.2m ；需要25天才能挖完渠道． 例：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？ 老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，则每件平均利润应是(0.3-x )元，总件数应是(500+ 0.1 x ×100) 解：设每张贺年卡应降价x 元 则(0.3-x )(500+1000.1 x )=120 解得：x =0.1 答：每张贺年卡应降价0.1元． 例：在该题中，若设甲种药品成本的平均下降率为x ，请填下表

一元二次方程应用教案(1)

风华中学八年级数学组集体备课资料 课题一元二次方程的应用 科目数学设计者丁亚校对人 课时 1课时使用者时间 一、教学目标（知识与能力，过程与方法情感态度价值观） 1.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，可化为一元二次方程 的分式方程解应用题。 2.能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理。 3.在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，培养和提高学生分析问题和解 决问题的能力，体会数学建模和符号化思想，感受数学的应用价值。 二、教学重点 学会列一元二次方程解应用题。 三、教学难点 选择合适的方法解一元二次方程。 四、教学过程

第四课时 例1：要组织一次篮球赛，赛制为单循环（每两队赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队？ 变式：双循环（两队赛两场）主客场 练习1：一个旅行团互相握手祝福，共握手36次，求该团共有多少人？ 练习2：生物小组的学生，将自己收集的标本，向其他成员各赠送一件，全组共赠送182件。这个小组共有多少名同学？ 练习3：往返于甲，乙两地的客车，中途要停靠三个站，如果站与站之间的路程及端点与甲，乙两地的路程都不相等，问： （1）有多少种不同的票价？ （2）要准备多少种车票？ 练习4：如果直线l上依次有3个点A,B,C，那么 （1）在直线l上共有多少条线段？ （2）在直线l上增加一个点，共增加了多少条线段？ （3）如果在直线l上增加到n个点，则共有多少条线段？ 例2：有一个人患了流感，经过两轮传染后，共121人患了流感，每轮传染平均一人传染几个人？继续第三轮传染，问第三轮有多少人被传染？ 练习5：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 小结：谈谈这节课你有哪些收获？

教案：一元二次方程应用

教案：一元二次方程应用 Teaching plan: application of quadratic equation with one varia ble 编订：JinTai College

教案：一元二次方程应用 前言：本文档根据题材书写内容要求展开，具有实践指导意义，适用于组织或个人。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 第一课时 一、教学目标 1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。 2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。 3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。 二、重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。 2．教学难点：根据数与数字关系找等量关系。 3．教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。

4．解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象 为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。 三、教学过程 1．复习提问 （1）列方程解应用问题的步骤？ ①审题，②设未知数， ③列方程， ④解方程， ⑤答。 （2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数） 2．例题讲解 例1两个连续奇数的积是323，求这两个数。 分析： （1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，

北师大版九年级数学上册《应用一元二次方程》教案

《6应用一元二次方程》教案 教学目标： 1、使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题． 2、通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力． 3、通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性．教学重点： 会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题． 教学难点： 根据数与数字关系找等量关系． 教学过程： 一、知识要点 1、列方程解应用题的一般步骤： (1)审题．了解问题的实际意义，分清已知条件和未知量之间的关系． (2)设未知数．一般情况下求什么设什么为未知数． (3)列方程．根据量与量之间的关系，找出相等关系，列出方程． (4)解方程．灵活运用一元二次方程的四种解法． (5)验根．检验一元二次方程的根是否满足题意． (6)答．作答． 2、一元二次方程应用题常见题类型： (1)数字问题． (2)与面积有关的几何问题． (3)平均变化率问题． (4)经营问题． (5)行程为题． (6)工程问题． 二、典型例题 例1：一件工程由甲、乙两人合作6天可以完成，如果甲单独做则比乙单独做少用5天完成，问两人单独做，各需几天完成？ 类题练习： 甲、乙、丙三人合作一项工程所需的时间比甲单独完成所需时间少14天，比乙单独完成所需时间少9天，丙的工作效率与甲相同，问三人合作需多少天完成该工程？

小结：工作效率= 工作时间 工作总量，列方程时通常把工作效率表示出来后在实际工作量上找相等关系． 例2：某商店的一款诺基亚手机连续两次降价，售价由原来的1199元降到了899元，设平均每次降价的百分率为x ，则列方程正确的是( ) A 、1199)1(8992=-x ； B 、899)1(11992=+x ； C 、1199)1(8992=+x ； D 、899)1(11992=-x 类题练习： 某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x ，则列方程为( ) A 、1600)1(4002=+x ； B 、16004004004002=++x x ； C 、[] 1600)1()1(14002=++++x x ； D 、1600)21(400=++x x 小结：平均变化率问题的公式A =a (1+x )n a 为变化前的基数，x 为变化率(增长时x >0，减小时x <0)，n 为变化次数，A 为变化后的量． 例3：有一个两位数，两个数字的和为9，数字的积等于这个两位数的 72，求这个两位数． 类题练习： 有一个两位数，两个数字的和为8，数字的积等于这个两位数个位数字与十位数字交换后所得的两位数的7 3，求这个两位数． 小结：多位数的表示方法，如两位数十位数字为a ，各位数字为b ，则这个两位数可以表示为10a +b ，不要误写成ab ．常见的数字型应用题还有与连续奇(偶)数有关的题型，注意负数中也有奇(偶)数，对解出的负值不能随意舍弃． 例4：在宽20m ，长为32m 的矩形耕地上修三条同样宽的耕作道路，使耕地面积为2504m ，道路宽应为多少？ 类题练习: 在一块长10米，宽8米的矩形草坪中央，划出面积为48平方米的矩形草地栽花，使原来矩形四周剩下的草坪的宽度相同，求这个宽度．

北师大版初中数学九年级上册2.6应用一元二次方程word教案(1)

2.6 应用一元二次方程（一） 教学目标： １、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。 教学过程： 一、情境问题 问题1、一根长22cm的铁丝。 （1）能否围成面积是30cm2的矩形？ （2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由。 分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是__________。 根据相等关系： 矩形的长×矩形的宽=矩形的面积， 可以列出方程求解。 解： 问题2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边 AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点 D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t （s）表示移动的时间（0≤t≤3）。那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2? 解： 二、练一练 P Q B C A D

1、用长为100 cm 的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm 2 ？能制成面积是800 cm 2 的矩形框子吗？ 解： 2、如图，在矩形ABCD 中，AB=6 cm ，BC=12 cm ，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，几秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2 ？ 解： 三、课后自测： 1、如图，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB=16cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达B 为止；点Q 以2cm/s 的速度向点D 移动。经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？ 2、如图，在Rt △ABC 中，AB=BC=12cm ，点D 从点A 开始沿边AB 以2cm/s 的速度向点B 移动，移动过程中始终保持DE ∥BC ，DF ∥AC ，问点D 出发 P Q C B A D Q P C B A D E F D C B A

中考数学总复习一元二次方程及其应用教案

一元一次方程（组）及其应用 考点分析考查内容：方程的概念；一元一次方程、一元二次方程的解法；一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系；列方程解决实际问题 考查形式：概念型题目多以选择题、填空题为主，方程的解法、方程的应用多以解答题呈现 考查趋向：探索一元二次方程根的情况、列方程解决实际问题 学情分析学生已经有了关于方程的计算能力和应用能力，但两方面的水平还不够高，本节课主要针对这两方面，在夯实其基础的同时，培养他们的能力。 教学目标1.了解一元一次方程的概念，会解一元一次方程 2.了解一元二次方程的概念，会用因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程 3.能够根据具体问题中的数量关系，列出整式方程解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理 4.了解一元二次方程的判别式，会用根的判别式判断一元二次方程根的情况 教学重难点掌握一元二次方程的概念，并会解方程，会解有关应用题目。 教学准备多媒体投影、小黑板 教学课时一课时 教学过程 学习任务活动设计 一．课前热身 完成“赢在中考”33-34页三年真题集锦1-15题. 二、知识梳理 1.一元二次方程的概念 2.一元二次方程的解法 3.根的判别式，根与系数的关系 4.用一元二次方程解决问题 三、典例解析 【考点一】考查概念问题通常是考查一元二次方程的定义，此时要注意二次项系数不为0，在讨论含字母系数的一元二次方程问题时，命题者常利用a≠0设课前热身作为课前作业完成，上课后老师核对答案，学生独立改错，并抽出本课时的知识点； 典例解析由学生独立完

计陷阱。 例1．（1）方程(m+1)x m2-2m-1 +7x-m=0是一元二次方程，则m= ．（2）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m 等于（） A．1 B．2 C．1或2 D．0 【考点二】一元二次方程的解法要根据方程的特点，灵活选用具体方法。对于特殊的方程要通过适当的变换，使之转化为常规的一元二次方程，如用换元法。例2．用适当的方法解一元二次方程 (1)x2=3x (2)(x-1)2=3 (3)x2-2x-99=0 (4)2x2+5x-3=0 例3．若(x2+y2)2-4(x2+y2)-5=0,则x2+y2=_________。 【考点三】一元二次方程的根的判别式可以用来：(1)不解方程，判断根的情况； (2)利用方程有无实数根，确定取值范围，解题时，务必分清“有实数根”、“有两个实数根”，“有两个相等实数根”，“有两个不相等实数根”等关键性的字眼。 例4.（1）一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（） Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根 （2）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两不相等的实数根，则k的取值范围是（） A．k>-1 B. k>-1且k≠0 C. k<1 D. k<1且k≠0 【考点四】列方程解应用题虽然是传统的题型，但一直是中考的热点,近年来热点又有新特点，注重考查了能力问题，表面文字比较复杂,但认真阅读，抓住实质，问题就迎刃而解了。 例5.上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元,下列所列方程中正确的是（） A．168(1+a%)2=128 B．168(1-a%)2=128 成后小组交流，之后老师补充要点。达标检测灵活处理，课上没有时间作为课后作业完成。

一元二次方程的应用优秀教学设计

《一元二次方程的应用（1）》教学设计

复 习 回 顾 知 识 储 备 知识储备： 1、列方程解应用题的一般步骤是什么？ 2、相关面积： 矩形面积= ， 三角形面积= ， 平行四边形面积= ， 圆的面积= . 学生复习回顾:列方 程解应用题的一般步 骤及相关面积。 通过复习回顾完成必要的 知识储备,和学生一起开 启本节课的探究之旅。 预 习 展 示 预习探究方案展示：在一个长16米，宽 12米的矩形土地上，要建造一个花园，并 使花园所占面积是矩形土地面积的一半， 请给出设计方案。 展示一：将学生的预习导学案上 设计的方案汇总展示。 学生欣赏展示作品。 通过优化导学案的设 计，让学生提前预习，为 本节课用一元二次方程解 决有关面积的实际问题打 下基础。

能求出扇形小路的半径吗？ 研究方案二： 在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。如图所示，其中花园四周的小路的宽度都相同。你能求出小路的宽吗？ （教师最后在黑板上板演解题过程,再次强调运用一元二次方程解应用题的一般步骤. ） 研究方案三： 在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。如图所示，其中小路的宽度都相同。若设小路的宽度为xm，则可列方程。 拓展题目： 在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地研究方案三和研究方 案四先由学生独立思 考，再小组合作交流。 学生展示四：指 不同小组展示 方案三、方案四 的不同方法。 学生思考完成，学生 讲解。 教师点拨4：1.体验 根据两个不同等量 关系（花园的面积= 矩形面积的一半， 小路的面积=矩形 面积的一半）列方 程的过程。 2.引导学生说出不 同方法解决方法的 关键是什么。 研究方案四是在前面研究 方案的基础上的能力提升 题，通过本题检验学生是 否已经掌握运用一元二次 方程解决有关面积的问 题。

八年级数学下册23一元二次方程的应用第一课时教案浙教版

课题 2.3一元二次方程的应用（1） 课时教学目标1、经历一元二次方程的实际应用，体验一元二次方程的应用价值. 2、会列一元二次方程解应用题. 教学设想本节教学的重点是列一元二次方程解应用题.例2的数量关系比较复杂，学生不容易理解，是本节教学的难点. 教学程序与策略

cm的长方体木箱，问一、引例：要做一个高是8cm，底面的长比宽多5cm，体积是5283 底面的长和宽各是多少？ 二、回顾： 1、以前我们已经经历了几次列方程解应用题？①列一元一次方程解应用题；②列二元一次方程组解应用题；③列分式方程解应用题.在思想方法和解题步骤上有许多共同之处. 2、提问：列方程解应用题的基本步骤怎样？ ①审（审题）； ②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系）； ③设（设元，包括设直接未知数或间接未知数）； ④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）； ⑤列（列方程）； ⑥解（解方程）； ⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）. 对照步骤，引导学生完成解题过程 板书：（主题）一元二次方程的应用 三、新课 1．多媒体显示课本例1 （1）着重指清“每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元”的含义. （2）思考：直接设每盆植x株好吗？为什么？ 启发：设什么为x才好？ （3）指导学生用x表示其他相关量. （4）问: 你怎样列方程呢？指导学生解方程，并进行检验. 请每位同学自己检验两根.发现什么？ 2．完成课内练习1：学生完成练习后出示正确答案核对（略） 3．讲解例2；显示例2（屏幕显示），注意：叙述年平均增长率时，要有明确规范的说法，如：“从何年到何年的年平均增长率”，“从何月到何月的月平均 教学程序与策略

浙教版初二下册数学 2.3 一元二次方程的应用 教案(教学设计)

2.3 一元二次方程的应用 教学目标 1.让学生在经历运用一元二次方程解决实际问题的过程中体会一元二次方程的应用价值. 2.在运用一元二次方程解决实际问题的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力. 重难点 重点：建立一元二次方程模型解决实际问题. 难点：将实际问题转化成一元二次方程模型. 教学过程 一、复习引入 1、回顾：不解一元二次方程，你如何判断根的情况？ 2、复习列方程解应用题的一般步骤： (1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系； (2)设未知数：用字母(如x)表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x； (3)列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程； (4)解方程：求出所给方程的解； (5)检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义； (6)作答：根据题意，选择合理的答案. 二、讲解例题 例1 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.当每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为10元，则每盆应植多少株？ 分析：本题涉及的主要数量有每盆的花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利，主要数量关系有：平均单株盈利×株数=每盆盈利；平均单株盈利=3-0.5×每盆增加的株数. 解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（3+x）株，平均单株盈利为（3-0.5x）元. 由题意，得（x+3）（3-0.5x）=10. 化简、整理，得x2-3x+2=0. 解这个方程，得x1=1，x2=2.

《一元二次方程的应用》教学设计

《一元二次方程的应用》教学设计 教学目标： ◆1. 继续探索一元二次方程的实际应用，进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值． ◆2. 进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能. 教学重点与难点： ◆教学重点：本节教学的重点是继续探索一元二次方程的应用. ◆教学难点：＂合作学习＂的问题教为复杂，计算量大，是本节的难点. 教学过程： 1．复习提问， （1）列方程解应用题的基本步骤？ 答： ①审题； ②找出题中的量，分清有哪些已知量，哪些未知量，哪些是要求的未知量； ③找出所涉及的基本数量关系； ④列方程； ⑤解方程； ⑥检验． 2．新课讲解， 列一元儿次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题：（1）变化率问题；（2）市场营销中单价、销量、销售额以及利润之间的相互关系问题；（3）根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题．而我们今天要解决的就是根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题． 如图2-4，有一张长40cm ，宽25cm 的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2-5那样的无盖纸盒．若纸盒的底面积是450cm,那么纸盒的高是多少？ 分析 设纸盒的高为x (cm)，那么裁去的四个小正方形的边长也是x （cm ），这样就可以用关于x 的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽，根据纸盒的底面积是450cm ，就可以列出方程． 解 设纸盒的高为x （cm ），则纸盒底面长方形的长和宽分别为（40-2x ）cm ，（25-2x ）cm ．由题意，得 (402)(252)450x x --= 化简、整理，得 22652750x x -+= 解这个方程，得 125,27.5x x ==（不合题意，舍去） 答：纸盒的高为5cm. 接下来，同学们来做一下课内练习题１．

一元二次方程的应用教学案(一)

一元二次方程的应用教学案（一） 一、素质教育目标 （－）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题． （二）能力训练点：通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力． （三）德育渗透点：通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性． 二、教学重点、难点 1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题． 2．教学难点：根据数与数字关系找等量关系． 三、教学步骤 （一）明确目标 初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用——有关数字方面的问题． （二）整体感知： 本小节是“一元一次方程的应用”的继续和发展．由于能用一元一次方程（或一次方程组）解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术方法

来解的，所以，讲解本小节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性与必要性． 从列方程解应用题的方法来说，列出的一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意、作出正确的答案．列出一元二次方程解应用问题，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在；其数量关系也比可以用一元一次方程解决的问题复杂的多． 通过本节课的学习，渗透设未知数、列方程的代数方法，领略知识从实践中来到实践中去． 例1是已知两个连续奇数求这两个数的问题，讲清这个问题的关键是搞清楚“两连续奇数”的意义，能用代数式分别表示出两个连续奇数，问题就可以解决，启发学生用不同的方法去解，并加以对比，从而开拓思路． （三）重点、难点的学习和目标完成过程 1．复习提问 （1）列方程解应用问题的步骤？ ①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答． （2）两个连续奇数的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整数）． 2．例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数． 分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2， （2）设元（几种设法）．设较小的奇数为x，则另一奇数为x+2，

《一元二次方程》全章教案

《一元二次方程》全章教案 单元要点分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等． （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程． （4）通过用已学的配方法解ax2+b x+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0． （5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它． （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣． 教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题． 教学难点 1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论． 3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键 1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的推导．

《一元二次方程的应用》教学设计

关注学生，分组学习 ————《一元二次方程的应用》教学案例【教材分析】 1.教材所处的地位及前后联系 “一元二次方程的应用”是在学习了一元二次方程的解法以及一元二次方程跟的判别式的基础上，进一步学习如何应用一元二次方程解决一些简单的实际问题。帮助学生体会数学的价值，正确地捕捉来自各方面的信息，进行分析、选择和判断。 2教学内容 本节教材共分二课时完成，主要讲解一元二次方程在几何问题以及增长率的问题上的应用。这是第一课时，主要学习应用一元二次方程解决几何问题。 3教学目的 （1）教学目标 知识技能：通过分析题中的数量关系，会列一元二次方程解决实际问题。 数学思考：1、会从实际问题中抽象出数学问题，并会建立一元二次方程模型解决实际问题。2、认识到由实际问题得到的方程的解要符合实际意义。3、解决问题：对于实际问题能够进行观察思考，并转化为数学问题，然后找到解决问题的关键——利用等量关系列出方程，进而解决问题。 情感态度;在探索中获得成功的体验，激发学生学习数学的热

情，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识 （2）重点 把实际问题转化为数学问题，会用列方程求出问题的解，并会进行推理判断。 （3）难点 在实际问题中找到等量关系式 【教法】 1、为了充分调动学生学习的积极性，利生活中的实际问题激发学生的学习兴趣，使教学更高效、有趣，教学从实例引入，激发学生的探求欲。纸板制作通过学生操作与教师的引导列出正确的一元二次方程。在教学中，启发、诱导贯穿于始终。 2采用多媒体可见，增加教学的直观性、扩大教学的容量，加强各题之间的联系，提高教学质量和效率。 3教具准备：多媒体课件，纸板游戏 【学法】 1为了培养学生应用方程的观点解决实际问题的能力，本节课注重让学生自主探究，学会从具体问题情景中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题。 2为了培养学生的分析能力，在学了基本图形之后，通过图形的变式，要求学生通过自己动手操作（纸板游戏）以及自己的分析得到等底同高的正方形与平行四边形面积相等，由学生自己发现结论，结合教师的引导，使学生进一步体会观察----分析----归纳的数学思

新课标备战中考专题强化复习教案一元二次方程及应用

新课标备战中考专题强化复习教案一元二次方 程及应用 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

第一轮复习教案：一元二次方程及应用（第8课时） 【课标要求】 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2. 会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3. 能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 【知识要点】 1.方程的分类： 2.一元二次方程： 只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，的整式方程，叫做一元 二次方程，其一般形式为 。 ◆ 解一元二次方程的方法有： ① ；② ；③ ； ④ ； 3.一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式为x= 。 【典型例题】 【例1】2007兰州）下列方程中是一元二次方程的是（ ） A 、2x ＋1＝0 B 、y 2＋x ＝1 C 、x 2＋1＝0 D 、1x x 1 2=+ 【例2】解方程： （1）（2007北京）2410x x +-= （2）（2007乌鲁木齐）210x x --= 有理方程 分式方 程 整式方 程 一元一次方 一元二次方

（3）（2007嘉兴）x 2＋3＝3(x ＋1) 【例3】2008梅州）已知关于x 的一元二次方程x 2-m x -2=0． ……① (1)若x =-1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根； (2)对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由． 【例4】（2008长沙）当m 为何值时，关于x 的一元二次方程02 142=-+-m x x 有两个相等的实数根此时这两个实数根是多少 【例5】（2008十堰）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长 的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2 ⑵能否使所围矩形场地的面积为810m 2，为什么 【课堂检测】 1.（2007眉山）一元二次方程x 2＋x ＋2＝0的根的情况是（ ） 墙第21题图 B A D C

一元二次方程的实际应用教案

教学过程 一、复习预习 我们已经学习了一元二次方程的定义和四种解法，下面我们一块来复习一下： 1. 用直接开平方法解方程，得方程的根为（） A. B. C. D. 2. 方程的根是（） A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1 3. 设的两根为，且＞，则＝。

4. 已知关于的方程的一个根是－2，那么＝。 5.＝ 今天我们将继续学习列方程解应用题。大家先来看这样一道题：某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下: 解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为(40－x)元,但每天可多销出2x件,每天可卖(20+2x)件,根据题意可列方程: (40－x)(20+2x)=1200 x2－30x+200=0 解得:x2=20 x2=10 答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元. 当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因吗? 当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元, 因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题, 不能漏掉任何一个条件，所以我们今天就来具体学习一下列方程解应用题。 二、知识讲解 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”． (1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础； (2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易； (3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键； (4)“解”就是求出所列方程的解； (5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．

2.6.应用一元二次方程(二)教案

第二章 一元二次方程 6.应用一元二次方程（二）教案 一、学习目标 1．会用一元二次方程解决销量随销售单价变化而变化的市场营销类应用题． 2．通过列方程解应用题，进一步认识方程模型的重要性，提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力． 二、学习重点、难点 学习重点：会用一元二次方程求解营销类问题． 学习难点：将实际问题抽象为一元二次方程的模型，寻找等量关系，用一元二次方程解决实际问题． 三、知识回顾 1．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设元；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)写出答案． 2．利用一元二次方程解决销售利润问题：这类问题中的等量关系有： (1)一件商品的利润＝一件商品的售价－一件商品的进价；(2)商品的利润率＝一件商品的利润一件商品的进价 ×100%；(3)商品的总利润＝一件商品的利润×销售商品的数量．利用以上等量关系，结合题意建立方程来解决此类问题． 3．9折要乘以90%或0.9或，那么x 折呢？ 四、探索新知 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元？ 【巩固练习】：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 【探索与创新】：一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手。这次会议到会的人数是多少？ 五、随堂练习 1.P55随堂练习