高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量坐标运算习题课教案新人教B1新人教B数学教案

空间向量的直角坐标运算

新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何 学案(知识点考点汇总及配套习题)

第三章空间向量与立体几何 1空间直角坐标系........................................................................................................ - 1 - 1.1点在空间直角坐标系中的坐标..................................................................... - 1 - 1.2空间两点间的距离公式............................................................................... - 10 - 2空间向量与向量运算.............................................................................................. - 16 - 2.1从平面向量到空间向量............................................................................... - 16 - 2.2空间向量的运算(一) .................................................................................... - 16 - 2.2空间向量的运算(二) .................................................................................... - 25 - 2.2空间向量的运算(三) .................................................................................... - 32 - 3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算.......................................................... - 41 - 3.1空间向量基本定理....................................................................................... - 41 - 3.2空间向量运算的坐标表示及应用............................................................... - 50 - 4向量在立体几何中的应用...................................................................................... - 59 - 4.1直线的方向向量与平面的法向量............................................................... - 59 - 4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系................................................... - 67 - 4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系................................................... - 82 - 第1课时空间中的角................................................................................ - 82 - 第2课时空间中的距离问题.................................................................... - 95 - 5数学探究活动(一)：正方体截面探究 ................................................................. - 106 - 1空间直角坐标系 1.1点在空间直角坐标系中的坐标 学习任务核心素养 1．了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念．(重点) 2．会在空间直角坐标系中用三元有序实数组刻画空间中点的位置．(重点、难点)1．通过空间直角坐标系的有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助在空间直角坐标系中点的位置的刻画，培养直观想象与逻辑推理素养． 飞机在空中飞行时，只给飞机在地面的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？再给出高度，能确定飞机的位置吗？

高中数学选修2-1新教学案：第三章空间向量与立体几何小结与复习

第三章 空间向量与立体几何 小结与复习 考试要求: （1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘． （2）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算． （3）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式． （4）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念． (5)理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念 (6)会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）. 对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计 (7)掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法； (8)熟练掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题. 知识回顾: 1．空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 b a +=+=； b a -=-=； )(R a OP ∈=λλ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+； ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++； ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(. 3．共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线， 也可能是平行直线． 4．共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝ λb . 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA ta =+ ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量. 5．向量与平面平行：

数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(人教版选修2-1)

高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版 （理） 【本讲教育信息】 一、教学内容： 选修2—1 空间向量及其运算 二、教学目标： 1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。 2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。 3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。 三、知识要点分析： 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a OP ∈=λλ 运算律： （1）加法交换律：a b b a +=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ （3）数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实 数λ，使a ＝λb . 4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是

存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。 5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角 定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作>≤≤===<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。 7．数量积 （1）设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量>． ②0a b a b ⊥⇔⋅=． ③2 ||a a a =⋅． （4）空间向量数量积运算律： ①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅． ②a b b a ⋅=⋅（交换律）． ③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）． 8．空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 0b a b a b a 0332211=++⇔=⋅⇔⊥ （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （3）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则2 2 2 123||a a a a a a = ⋅=++2 2 2 123||b b b b b b =⋅=++． （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则222,212121()()()A B d x x y y z z -+-+-．

选修2-1第三章空间向量与立体几何教案1

选修2-1第三章空间向量与立体几何教案 课题：平面向量知识复习 教学目标： 复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备 教学重点：平面向量的基础知识 教学难点：运用向量知识解决具体问题 教学过程： 一、基本概念 向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。 二、基本运算 1、向量的运算及其性质

2、平面向量基本定理： 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(2 1OB OA OP += ,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥ 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示） 三、课堂练习 1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则 ?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形 B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形

2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 3．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→ ?DC ，且?→ ?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45?，则以52a p q =+ ，3b p q =- 为邻边的平行四边 形的一条对角线长为（ ） A ．15 B ． C ． 14 D ．16 5．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OA OP =+ +λ， ),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 6．设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，-1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．),2()2,2 1(+∞- B ．),2(+∞ C ．),2 1(+∞- D ．)21,(- -∞ 7．若()(),0, 7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则b c 上的投影为 。 8．向量(,1),(4,5),(,10)O A k O B O C k ===- ，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝ ． 9．在直角坐标系xoy 中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC |=2,则OC = 10．在ABC ?中，O 为中线AM 上一个动点，若AM =2，则)(OC OB OA +?的最小值是__________。

高中数学空间向量及其运算教案1 新人教A版选修2-1

第三章空间向量与立体几何 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表

2018版高中数学第三章空间向量与立体几何疑难规律方法学案人教B版2-1

第三章 空间向量与立体几何 1 空间向量加减法运用的三个层次 空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算． 第1层 用已知向量表示未知向量 例1 如图所示,M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用向量错误!,错误!,错误!表示错误!和错误!。 解 错误!＝错误!＋错误! ＝错误!错误!＋错误!错误! ＝12错误!＋错误!(错误!－错误!） ＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!错误!) ＝错误!错误!＋错误!×错误!(错误!＋错误!) ＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!；

错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误! ＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!） ＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!错误!） ＝错误!错误!＋错误!×错误!（错误!＋错误!) ＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!。 点评用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立． 第2层化简向量 例2如图，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量． (1）错误!＋错误!＋错误!; （2)错误!＋错误!(错误!＋错误!）；

（3）错误!－错误!（错误!＋错误!)． 解(1）错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。 (2）错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!＋错误!错误!＋错误!错误! ＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!. （3) 错误!－错误!（错误!＋错误!） ＝错误!－错误!＝错误!。 错误!、错误!、错误!如图所示． 点评要求空间若干向量之和,可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0。两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立,求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则． 第3层证明立体几何问题 例3如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD 与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA ＝1∶3。求证：B、G、N三点共线．

【空间】高二数学选修21第三章空间向量与立体几知识点习题答案

【关键字】空间 空间向量与立体几何 1、空间向量的概念： 在空间，具有大小和方向的量称为空间向量． 向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． 向量的大小称为向量的模（或长度），记作． 模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量． 与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作． 方向相同且模相等的向量称为相等向量． 2、空间向量的加法和减法： 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作，，则．3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍． 4、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律． 分配律：；结合律：． 5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线． 6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． 7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则． 9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：． 10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相笔直，记作． 11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为． 12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 13、若，为非零向量，为单位向量，则有； ；，，； ；． 14、向量数乘积的运算律：；； ． 15、若，，是空间三个两两笔直的向量，则对空间任一向量，存在有序实数组，使得，称，，为向量在，，上的分量． 16、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得． 17、若三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是 ．这个集合可看作是由向量，，生成的， 称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

高中数学2-1学案：第三章 空间向量与立体几何3

3．1。1空间向量及其线性运算 ［学习目标］1。了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2。掌握空间向量的线性运算及运算律,理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义． 知识点一空间向量的概念 在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模． 知识点二空间向量的加减法 （1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它 们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图) 错误!＝错误!＋错误!＝a＋b; 错误!＝错误!－错误!＝a－b. (2）运算律 交换律：a＋b＝b＋a; 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c）．

知识点三空间向量的数乘运算 （1)定义 实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与a方向相同;当λ〈0时,λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0。λa的长度是a的长度的|λ｜倍．如图所示．(2）运算律 分配律:λ（a＋b)＝λa＋λb； 结合律：λ（μa）＝(λμ)a。 知识点四共线向量定理 （1）共线向量的定义 与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b。(2)充要条件 对空间任意两个向量a，b(a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 思考（1）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同．对吗？ (2）零向量没有方向．对吗？ (3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致．对吗? 答案(1)正确．起点相同，终点也相同的两个向量相等．

高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案

高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

空间向量及其运算 课时分配: 第一课空间向量及其加减运算 1个课时 第二课空间向量的数乘运算 1个课时 第三课空间向量的数量积运算 1个课时 第四课空间向量运算的坐标表示1个课时 3. 1.1 空间向量及其加减运算 【教学目标】 1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法； 2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件； 3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。 【教学重点】 点在已知平面内的充要条件。共线、共面定理及其应用。 【教学难点】 对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。

b a AB OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=； )(R a OP ∈=λλ 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向 量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零 向量叫做平行向量。由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。 向量b 与非零向量a 共线 的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。 这个定理称为平面向量共 线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。 条有向线段来表示。 思考： 运算律：（1）加法交 换律：a b b a +=+ （2）加法结合 律： ) ()(c b a c b a ++=++ （3）数乘分配 律： b a b a λλλ+=+)( C B A O b b b a a a C' B'A' D' D A B C

江苏省苏州市第五中学高中数学教案 苏教版选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》3.1空间向量及其运算

第3章 空间向量与立体几何 3．1 空间向量及其运算 一、学习内容、要求及建议 二、预习指导 1．预习目标 (1)了解空间向量的概念及空间向量的几何表示法、字母表示法和坐标表示法； (2)了解共线或平行向量概念、向量与平面平行(共面)意义，掌握它们的表示方法； (3)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； (4)了解空间向量基本定理及其意义；会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量； (5)会用向量解决立体几何中证明直线和平面垂直、直线和直线垂直、求两点距离或线段长度等问题的基本方法步骤． (6)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； (7)理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，理解两个向量的数量积的概念、性质 知识、方法 要求 学习建议 空间向量的概念 了解 空间向量的定义、表示方法及相等关系都与平面向量相 同．可在复习平面向量的定义、表示方法及其相等关系后类 比进行理解﹒ 空间向量共线、共 面的充分必要条件 理解 共面向量与共线向量的定义对象不同，但定义形式相同． 空间向量的加法、 减法及数乘运算 理解 掌握空间向量的加法、减法和数乘运算．利用图形说明空间 向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律﹒ 空间向量的坐标表 示 理解 空间向量的坐标运算，加法、减法和数量积同平面向量类似， 具有类似的运算法则，学习中可类比推广． 空间向量的数量积 理解 掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握空间向量的坐 标表示；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解 向量长度公式及空间两点间距离公式． 空间向量的共线与 垂直 理解 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

人教版高中数学选修2-1第三章-空间向量与立体几何练习题及答案

第三章 空间向量及立体几何 3.1空间向量及其运算 §3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算 1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有 AB +BC + CD +DA =0； ②对空间任意点O 及不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面； ③若a 、b 共线，则a 及b 所在直线平行。 A .1 B .2 C .3 D .4 2.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( ) A .（ 41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，3 2 ） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中， AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则 4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________. 5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值. §3.1.3空间向量的数量积运算 1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 及1CD 所形成角的余弦值为 ( ) A . 1010 B . 1 5 C . 31010 D . 35 2．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足 0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=， 0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定的 3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且 ∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； _C _D _A _P _ N _B _M

2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-1)教师用书：第3章 空间向量与立体几何 3.2.2

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示 1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点) 2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直．(重点) 3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．(难点) [基础·初探] 教材整理1 平面的法向量与向量表示 阅读教材P102～P103“例1”，完成下列问题． 1．平面的法向量 已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交． 2．平面的向量表示 →·n＝0的点M的集合构成的图形设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件AM 是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．3．两平面平行、垂直的判定 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 (1)α∥β或α与β重合⇔n1∥n2； (2)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( ) A．l∥αB．l⊥α C．l⊂αD．l与α斜交 【解析】∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a， ∴n∥a，∴l⊥α. 【答案】 B

2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2,0)，则α与β的位置关系是( ) A．平行B．垂直 C．相交但不垂直D．无法确定 【解析】∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β. 【答案】 B 教材整理2 三垂线定理及其逆定理 阅读教材P104第5行～P105第2行内容，完成下列问题． 1．正射影 已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影． 2．三垂线定理 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射线垂直，则它也和这条斜线垂直． 3．三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.( ) (2)若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.( ) (3)若a是平面α的斜线，直线b⊂α，且b垂直于a在另一个平面β内的射影，则a⊥b.( ) (4)若a是平面α的斜线，b∥α，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.( ) 【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√ [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________

人教a版选修1-1教案：3.1空间向量及其运算第1课时(含答案)

§3.1.1空间向量及加减其运算 【学情分析】： 向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。 【教学目标】： （1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法 （2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法 （3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。 【教学重点】： 空间向量的概念和加减运算 【教学难点】： 空间向量的应用

练习与测试： （基础题） 1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。 2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。 答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。 3．三个向量a,b,c 互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。 4．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; （2）12 1 AA + +; （3）CB AC AA --1 解：（1）11CA BA =+ （2）AM AA CB AC =+ +12 1 （3）11BA CB AC AA =-- （中等题）

5．如图，在长方体///B D CA OADB -中，3,4,2,OA i OB j OC k ===，点E,F 分别是//,B D DB 的中点， 试用向量,,表示和 解：j i OE 423 += 242 3 ++=。 6．在上题图中，试用向量k j i ,,表示和 解：=OE OF -=k 2， FE =--EF =--k 2

高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案(

3.1.2 空间向量的数乘运算 [目标] 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题．[重点] 应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题． [难点] 证明线面平行与面面平行． 知识点一空间向量的数乘运算 [填一填] [答一答] 1．空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算有什么关系？ 提示：相同． 2．类比平面向量，空间向量的数乘运算满足(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)，对吗？ 提示：正确．类比平面向量的运算律可知． 知识点二共线、共面定理 [填一填]

[答一答] 3．a ＝λb 是向量a 与b 共线的充要条件吗？ 提示：不是．由a ＝λb 可得出a ，b 共线，而由a ，b 共线不一定能得出a ＝λb ，如当 b ＝0，a ≠0时． 4．空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？ 提示：空间任意两个向量一定共面，但空间任意三个向量不一定共面． 5．共面向量定理中为什么要求a ，b 不共线？ 提示：如果a ，b 共线，则p 一定与向量a ，b 共面，却不一定存在实数组(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ，所以共面向量基本定理的充要条件要去掉a ，b 共线的情况． 6．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC → (其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与点A ，B ，C 是否共面？ 提示：四点共面．∵x ＋y ＋z ＝1，∴x ＝1－y －z ， 又∵OP → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC → ∴OP → ＝(1－y －z )OA → ＋yOB → ＋zOC →

《空间向量和立体几何》复习教案

空间向量与立体几何 一、教学目标 1.利用线线、线面、面面关系考查空间向量的运算； 2.用向量方法求解线面的夹角、距离、证明平行或垂直关系； 3.用向量方法解决立体几何中的一些探索性问题． 二、教学重点 培养向量方法解决立体几何的思维方法 三、知识要点 1.运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角利用公式cos, a b a b a b ⋅ <>= ⋅ ，但务必注意两异 面直线所成角θ的范围是 0, 2 π ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，故实质上应有： cos cos,a b θ=<> ． (2)求线面角 借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角ϕ，即可求出 直线与平面所成的角θ，其关系是sin cos a u a u θϕ• == (3)求二面角 方法1：是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小； 方法2：转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 2.运用空间向量求空间距离，求解步骤是： (1)求出该平面的一个法向量； (2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要 求的点面距离． || || AB n d n ⋅= 3.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.

(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝x v1＋y v2. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2. 4.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 四、知识总结 1.把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。 2.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置；②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理。 3.注意数学中的转化思想的运用：常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题。

3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)

空间向量及其运算( 一 ) 教课目标： 1．理解空间向量的观点，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算. 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题.. 教课要点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律. 教课难点：用向量解决立几问题. 讲课种类：新讲课 . 课时安排： 1 课时 . 教具：多媒体、实物投影仪. 教课过程： 一、复习引入： 1.向量的观点 (1)向量的基本因素：大小和方向 . (2) 向量的表示：几何表示法uuur r r r AB ，a；坐标表示法 a xi yj ( x, y) .(3)向量的长度： 即向量的大小，记作｜ a ｜. (4)特别的向量：零向量 a ＝0｜ a｜＝ 0.单位向量 a0为单位向量｜ a0｜＝1. (5)相等的向量：大小相等，方向同样( x1 , y1 )( x2 , y2 )x1x2 y1y2 (6)平行向量 ( 共线向量 ) ：方向同样或相反的向量，称为平行向量. 记作a∥b . 因为向量能够进行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同向来线上，故平行向量也称为共线向量. 2.向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性 质 运算种类几何方法坐标方法运算性质 向a b b a 量 1.平行四边形法例a b( a b)c a (b c) 的 2.三角形法例( x1x2 , y1y2 ) 加uuur uuur uuur 法AB BC AC 向a b a( b) 量a b uuur uuur 的三角形法例 ( x1x2 , y1y2 )AB BA 减uuur uuur uuur 法OB OA AB 向 1. a 是一个向量,知足: 量 2.>0 时 , a与a同a ( x, y) ( a) ()a

高二数学《选修２－1》第三章：空间向量与立体几何练习新人教版选修2-2

高二数学《选修２－1》第三章：空间向量与立体几何 3.1.1. 空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算 姓名 班级 学号 编号01 一、课前练习 1. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则（ ） A ．c b a -+ B ．c b a +- C ．c b a ++- D ．c b a -+- 2.在空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则2 1 AB + → --(+)等于 ( ) A 、 B 、 C 、 D 、 二、课堂练习 1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点 A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2 C ．OC OB OA OM 31 21++ = D ．OC OB OA OM 3 1 3131++= 2．对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的充要条件是 （ ） A ．b a = B ．b a -= C ．a b λ= D ．b a λ= 3.如果两个向量，不共线，则与，共面的充要条件是____ ________。 三、课后练习 1. 已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为 . 2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） （A ）+-a b c （B ）-+a b c （C ）-++a b c （D ）-+-a b c 3.空间四边形OABC ，点M ，N 分别是OA ，OB 的中点，设=，，，则用，，表示=→ --MN 的结果是____________。 4.平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，+=____________ 。 5. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是上底面A 1B 1C 1D 1和侧面CDD 1C 1的中心，如果+x+y ，则x=________，y=________。