高一数学 函数
函数
1、函数的概念
2、函数的定义域
3、函数的值域
4、函数的表示
5、函数的单调性
6、函数的奇偶性
7、函数的图像
8、函数的运算、大小比较
9、抽象函数的问题
1、函数的概念
(1)函数与映射的关系。
映射f：A→B，一对一，多对一，允许B中有元素无原象。P25/例1
函数是一种特殊的映射.它是非空数集到非空数集的映射P19/例1、P20/1。
(2)构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域
(3)只有函数的定义域、值域和对应法则都相同的两个函数才是同一个函数。P20/2、P61/1
2、函数的定义域
函数定义域求法：
●分式中的分母不为零；
●偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
●指数式的底数大于零且不等于一；
●对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。P49/例2、P55/例4、
P56/3、P62/7
●实际应用的限制P21/10、P28/9三角函数等等。
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。P19/例2、变式2、P43/13、P75/3、P39/14
复合函数的定义域的求法：P20/例4、变式4、5、P32/14、P62/9、P64/5
3、函数的值域（首先要挖掘隐含的定义域）
1、直接观察法P20/7
2、配方法（二次函数形式）P20/6、P42/例9
3、判别式法（分式函数，特别是分子或分母中有一个是二次）
.112
..2
2
2
2
2
22
2
b a y 型：直接用不等式性质k+x
bx
b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx n
x 1 例：y 1+x
x+x x m x n c y 型 通常用判别式
x mx n x mx n d. y 型
x n
法一：用判别式
法二：用换元法，把分母替换掉
x x 1（x+1）（x+1）+1 1
例：y （x+1）1211
x 1x 1x 1
==
++==
≤''++=++++=
+++-===+-≥-=+++
4、分离常数法（系数分离法）
适用于形如y=
d
cx b ax ++（ac ≠0）的形式，实际上值域就是y ≠
c
a （x 的系数比）
P26/例3（1）、变式3、P27/4、P42/例10
5、反函数法（通过定义域来确定值域）
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。P26/例3（1）、变式3、
6、不等式法
利用基本不等式a+b ≥2
ab
，a+b+c ≥3abc
3（a ，b ，c ∈R +
），求函数的最值，其题型
特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添
项和两边平方等技巧。
7、函数单调性法 P36/例1
8、换元法（适用于含有根式或三角函数公式模型）
y ax b =++
P42/例
11
9、数形结合法（具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等）
例 求函数y=
1362
+-x x
+
542
++x x
的值域
解：原函数可变形为：y=
)
20()
3(2
2
--+
x +
)
10()
2(2
2
+++
x
上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2 ，-1 ）的距离之和，
由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时， y min =∣AB ∣=
)
12()
23(2
2
+++
=43，
故所求函数的值域为[43，+∞）。
10 、函数有界性法
（利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域，最常用的就是三角函数的单调性） 11、倒数法
例 求函数y=
3
2++x x 的值域
32011202
2012
时，时，=00y x x y y x y y =
++≠=
=
≥?<≤
+=∴≤≤
最值问题
4、函数的表示
1．常用的函数表示法 （1）解析法： （2）列表法： （3）图象法：P24/1 2．分段函数 3．复合函数
y =f [g(x )]
函数解析式的求法：
1、配凑法P25/例2（1）
2、换元法P25/例2（2）、P26/变式2
3、待定系数法P23/例3、变式3、P24/7、P27/7、8、P39/12
4、方程组法P25/例2（3）
2
2
12121212()()
()()(m n ()()()(,2()()()(,)(,)
f x ax bx c f x a x m n f x a x x x x x x f x a x x x x h x h x h =++=-+=--=--+二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（，）为顶点是方程的个根）函数经过点（ P32/10
5、函数的单调性（注：①先确定定义域；②单调性证明一定要用定义）
1、定义：区间D 上任意两个值21,x x ，若21x x <时有)()(21x f x f <，称)(x f 为
D 上增函数，若21x x <时有)()(21x f x f >，称)(x f 为D 上减函数。P36/例1
也可以变形为求
1212
()()
f x f x x x --的正负号或者
12()()
f x f x 与1的关系P31/2
2、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
基本初等函数的单调性：看书P29 P31/3、4
利用导数判断函数的单调性 复合函数的单调性
6、函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）
⑴ 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-?? 轴对称函数图象关于为偶函数总成立若y x f x f x f ??=-)()()( ⑵奇函数;0)0()(=?=f x y 在原点处有定义
判断函数奇偶性的方法P36 （1）定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
（2）奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(x f -，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x) 1 偶函数 f(-x)f(x) 1 奇函数
f(-x)
==-
（3）复合函数奇偶性
7、函数的图象
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
①平移变换：
Ⅰ、水平平移： 1）y =f (x )h
左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h
右移→y =f (x -h)；
Ⅱ、竖直平移： 1）y =f (x ) h
上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h
下移→y =f (x )-h 。
②对称变换：
Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到； ③翻折变换：
Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；
Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原
y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到
④伸缩变换：
Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；
Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a
倍得到。
记住常用函数的图象和性质
()（）一次函数：10y kx b k =+≠ (k 为斜率，b 为直线与y 轴的交点)
()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k x
k y b k x a
k O a b =≠=+-≠'()
的双曲线。
()（）二次函数图象为抛物线302442
2
2
y ax bx c a a x b a ac b a
=++≠=
+?
? ??
?
+
-
顶点坐标为，，对称轴--?? ??
?=-
b a a
c b a x b
a 24422
开口方向：，向上，函数a y ac b a
>=
-0442
min
a
b a
c y a 4402
max -=
<，向下，
1212122,,||||
b x a
b c x x x x x x a
a a -±=+=-
?=
-=
根的关系：
应用：
①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax bx c x x y ax bx c x 2
122
00++=>=++，时，两根、为二次函数的图象与轴? 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。ax bx c 2
00++><()
②求闭区间［m ，n ］上的最值。
2
m a x (),m i n ()2m a x (),m i n (
)
2224m i n ,m a x m a x ((),
())
4m ,n 0b n f f m f f n a b
m f f n f
f
m a b n m a
c b a f f f m f n a
a <-==>-
==<-
<-=
=>区间在对称轴左边（） 区间在对称轴右边（） 区间在对称轴边 （）
也可以比较和对称轴的关系，距离越远，值越大(只讨论的情况）
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。
如：二次方程的两根都大于ax bx c k b a k f k 2
00
20
++=?≥->>????????()
一根大于，一根小于k k f k ?<()0
m n 22()0
()0m n ()()0
b
m n a
f m f n f m f n ?≥??
?<-
???>?>???<在区间（，）内有根在区间（，）内有1根 P42/例8
P69/12
()（）指数函数：，401y a
a a x
=>≠
()（）对数函数，501y x a a a =>≠log
由图象记性质！ （注意底数的限定！）
x
()（）“对勾函数”60y x k x
k =+>
指数函数看P48/2、对数函数看P60/2（3）、常见的幂函数看P73 P50/6、P51/例1、P52/变式1、例2、变式2、1、P53/4、P61/3 P66/例1、P67/变式2、变式3、P68/1、2、5、P69/13 P71/变式3、P72/3、4、P74/变式4、 特殊值法P27/1、P28/14
函数与方程
函数的零点与方程根的关系
1、判别式
2、数形结合
P35/5、P52/变式3、P53/8、P63/例1、变式1、P67/例3、P68/3、P77/1
8、函数的运算、大小比较
指数运算：，a
a a
a
a p
p
1010=≠=
≠-(())
a
a
a a a
a m
n
m
n
m n
m
n
=
≥=
>-((01
0))，
(
)l o g ()l o g l o g 00
a a a M N M N M N ?=+
>>对数运算：，
l o g l o g l o g l o g l o g a
a a a
n
a
M N
M N M n
M =-=
，1 对数恒等式：a x a
x
log
=
log log log log log 1log log m n
c a a a c a x b n b b b
a
m
x a
=?=
=
对数换底公式：
对数和指数的相互转换
P47/10、P55/例2 P58/例3、例4
大小比较
P61/例2、2、P62/6、P65/8、P68/7
9、抽象函数的问题
求解抽象函数问题的常用方法有:
(2)函数性质法:函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性、周期性P21/14、
特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此.要充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化.常用的方法有:①利用奇偶性整体思考;②利用单调性等价转化;③利用周期性回归已知;④利用对称性数形结合;⑤借助于特殊点布列方程(组)等.
(3)特殊化方法:①在求函数解析式或研究函数性质时,一般用“代换”的方法,将x
换成-x或将x换成
1等;②在求函数值时,可用特殊值(如0或1或-1)“代入”;③
x
研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题、填空题,或由具体模型函数对综合题的解答提供思路和方法.
（赋值法、结构变换法）
如：（），满足，证明为奇函数。1x R f x f x y f x f y f x ∈+=+()()()()()
（先令再令，……）x y f y x ==?==-000()
（），满足，证明是偶函数。2x R f x f xy f x f y f x ∈=+()()()()() []（先令·x y t f t t f t t ==-?--=()()() ∴f t f t f t f t ()()()()-+-=+ ∴……）f t f t ()()-=
()[]
（）证明单调性：……32212f x f x x x ()=-+=
主要使用赋值法
1、代y=x ，
2、令x=0或±1来求出f(0)或f(1)
3、 求奇偶性，令y=—x ；求单调性：令x+y=x 1
P31/变式4 P34/例4 P21/12 P37/例3 P20/4
值域练习题
例1．求下列函数的值域：
（1）232y x x =-+；（2）y =
（3）312
x y x +=-；
（4）y x =+（5）y x =+（6）|1||4|y x x =-++；
（7）2
2221
x x y x x -+=++；（8）y=+
-2
5
x log
3
1-x （2≤x ≤10）
解：（1）（配方法）22
12323323()6
12
12
y x x x =-+=-+
≥
，
∴232y x x =-+的值域为23[
,)12
+∞。
改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域。
解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增， ∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26。 ∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]。
（2）求复合函数的值域：
设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =。
又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，
∴04μ≤≤[0,2]，
∴y =
[0,2]。
（3）（法一）反函数法：
312
x y x +=
-的反函数为213
x y
x +=
-，其定义域为{|3}x R x ∈≠，
∴原函数312
x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠。
（法二）分离变量法：313(2)7
732
2
2
x x y x x x +-+==
=+
---，
∵
70
2
x ≠-，∴7332
x +
≠-，
∴函数312
x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠。
（4）换元法（代数换元法）：设0t =
≥，则21x t =-，
∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞。
注：总结y ax b =++
变形：2y ax b =++
2y ax b =++
（5）三角换元法：
∵21011x x -≥?-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，
则cos sin )4
y π
ααα=+=
+
∵[0,]απ∈，∴5[
,]4
44
π
ππ
α+
∈
，∴sin()[,1]4
2
π
α+
∈-
，
∴)[4
π
α+∈-，
∴原函数的值域为[-。
（6）数形结合法：23(4)|1||4|5
(41)23(1)
x x y x x x x x --≤-??
=-++=-<
，
∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞。
（7）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R 。 由2
2221
x x y x x -+=++得：2
(2)(1)20y x y x y -+++-= ①
①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈
②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2
(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根，
∴△2
2
(1)4(2)0y y =+-?-≥ ，
∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[1,5]。
最值
（一）判别式法
1、已知332p q +=,其中,p q 是实数,则p q +的最大值为______。 解:设s p q =+,由332p q +=得, 22()()2p q p q pq ++-= 2()[()3]2p q p q pq ++-= 3()3()2p q pq p q +-+=
2
12()3
pq s s
∴=
- ∴,p q 是方程2
2
12()0
3
x sx s s
-+
-
=的两个实根.
2
2
42()0
3
s s s
∴?=--
≥
整理化简, 得38s ≤,故2s ≤. 即p q +的最大值为2
2、实数,x y 满足224545x xy y -+=,设22s x y =+,则m ax
m in
11s s +
的值为_______。
解:由题意知, 415
xy s =
-,故2
2
4()(
1)
5
xy s =-
又22x y s += ∴22,x y 是方程224
(1)05
t st s -+-=的两个实根.
2
2
2
439324(
1)405
25
5
s s s s ∴?=--=-
+
-≥
解得
101013
3
s ≤≤
，即min max 101013,
3
s s =
=
m ax
m in
1
185
s s ∴
+
=
（二）单调性法
3、求函数2
125
x y x x -=
-+，
322
x ≤≤的最大值和最小值。
解：1x ≠ ∴()
2
1
1414
11
x y x x x -=
=-+-+
- ， 3,22x ??
∈????
令4
()f t t t =+
，1,12t ??
∈????
.当121
12t t ≤<≤时，有
21212
1
44()()()(
)f t f t t t t t -=-+-
2112
4()(1)t t t t =--
<
4
()f t t t ∴=+
在1
,12??
????
上是减函数，因此 min ()(1)5f t f == ，m ax 1
17
()()22f t f == m in 217
y ∴=
， m ax 15
y =
（三）换元法
4、正数,x y 满足
1a b x y
+=，其中,a b 为不相等的正常数，求x y +的最小值。
解：令,,,0a u
b v u v x
u v y
u v
=
=
>++
则 ()
()
a u v
b u v x y u v
+++=+
av bu a b u
v
=++
+a b ≥+
+2
=
当且仅当
av bu u
v
=
=时上式取等号.故(
)2
min x y +=
（四）数形结合
5、求函数(
)12
f x x =
+的最小值。
解:
y =,则()()1,2
y f x g x y x +==+且()2210x y y +=≥，于是问题转化
为:当点(),P x y 在上半个单位圆()2210x y y +=≥上运动时,求()2,1A --与(),P x y 的连线A P 的斜率的最值(如图).显然,当点P 与点()1,0B 重合时,直线A P 的斜率最小,此时13
A B K =
.当直线A P 与上半个单位圆
()2
2
10x y y +=≥相切时,直线A P 的斜率最大.
设AP K K =,则直线A P 的方程为()12y K x +=+
直线A P 与上半个单位圆()2210x y y +=≥相切
1O P d ∴=
= 解得 0K =(舍去)或43
K =
高一数学指数函数知识点及练习题
2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习
1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{><
人教版高一数学《函数》复习教案(有答案)
高一函数复习 一、函数的概念与表示 1、映射 映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。 注意点：（1）对映射定义的理解； （2）判断一个对应是映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . 给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为f (a ). 【例题1】设集合A ＝｛x ｜0 ≤ x ≤ 6｝，B ＝｛y ｜0 ≤ y ≤ 2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是 （ ）. A . f ：x →y ＝ 12x B . f ：x →y ＝1 3 x C . f ：x →y ＝14x D . f ：x →y ＝16x 【变式练习1】若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、函数 构成函数概念的三要素：①定义域；②对应法则；③值域 两个函数是同一个函数的条件：当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时.
【例题1】下列各对函数中，相同的是（ ） A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,1 1 lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v v v g u u u f -+= -+= 11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f = 【例题2】}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集 合N 的函数关系的有 （ ） A 、 0个 B 、 1个 C 、 2个 D 、3个 【变式练习】 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A . 1,x y y x == B . 211,1y x x y x =-+=- C . 33,y x y x == D . 2||,()y x y x == 2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ） 3．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ） 【巩固练习】 x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O
(完整版)高一数学函数试题及答案
（数学1必修）函数及其表示 一、选择题 1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 3．已知集合{}{} 421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且* ,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5 4．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<
人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题
O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0
高一数学《函数的性质》知识点总结
高一数学《函数的性质》知识点总结 二．函数的性质 函数的单调性 增函数 设函数y=f的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f2)，那么就说f在区间D上是增函数.区间D称为y=f的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12时，都有f＞f，那么就说f在这个区间上是减函数.区间D称为y=f的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； 图象的特点 如果函数y=f在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f在这一区间上具有单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 函数单调区间与单调性的判定方法 定义法： 任取x1，x2∈D，且x12； 作差f－f； 变形；
定号； 下结论． 图象法 复合函数的单调性 复合函数f[g]的单调性与构成它的函数u=g，y=f的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. ．函数的奇偶性 偶函数 一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=f，那么f就叫做偶函数． ．奇函数 一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=—f，那么f就叫做奇函数． 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 确定f与f的关系； 作出相应结论：若f=f或f－f=0，则f是偶函数；若
f=－f或f＋f=0，则f是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定;由f±f=0或f／f=±1来判定;利用定理，或借助函数的图象判定. 函数的解析表达式 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式的主要方法有： )凑配法 )待定系数法 )换元法 )消参法 0．函数最大值 利用二次函数的性质求函数的最大值 利用图象求函数的最大值 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数y=f在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f在x=b处有最大值f； 如果函数y=f在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f在x=b处有最小值f；
高一数学上册指数函数知识点及练习题含答案
课时4指数函数 一. 指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方 根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等 于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
二.指数函数及其性质（4）指数函数
三.例题分析 1.设a 、b 满足0
高一数学必修1函数综合试题
函数单元测试 一、选择题：(本题共12题，每小题5分，满分60分) 1．若a 、b 、c ∈R ＋ ，则3a =4b =6c ，则 （ ） A ． b a c 111+= B ． b a c 122+= C ．b a c 221+= D ．b a c 212+= 2．集合}5,4,3,2,1{},1,0,2{=-=N M ，映射N M f →:，使任意M x ∈，都有 )()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射共有 （ ） A ．60个 B ．45个 C ．27个 D ．11个 3．已知()1 a x f x x a -=--的反函数．．．f －1 (x )的图像的对称中心是(—1，3)，则实数a 等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－4 4．已知()|log |a f x x =，其中01a <<，则下列不等式成立的是 （ ） A ．11()(2)()43f f f >> B ．1 1 (2)()()3 4 f f f >> C ．11 ()()(2)43 f f f >> D ．11()(2)()34 f f f >> 5．函数f (x )=1-x ＋2 (x ≥1)的反函数是 （ ） A ．y =(x －2)2＋1 (x ∈R) B ．x =(y －2)2＋1 (x ∈R) C ．y =(x －2)2＋1 (x ≥2) D ．y =(x －2)2＋1 (x ≥1) 6．函数y =lg(x 2－3x ＋2)的定义域为F ，y =lg(x －1)＋lg(x －2)的定义域为G ，那么 （ ） A ．F ∩G=? B ．F=G C ．F G D ．G F 7．已知函数y =f (2x )的定义域是[－1，1]，则函数y =f (log 2x )的定义域是 （ ） A ．(0，＋∞) B ．(0，1) C ．[1，2] D ．[2，4] 8．若()()25log 3log 3x x -≥()()25log 3log 3y y ---，则 （ ） A ．x y -≥0 B ．x y +≥0 C ．x y -≤0 D ．x y +≤0 9．函数)),0[(2 +∞∈++=x c bx x y 是单调函数的充要条件是 （ ） A ．0≥b B ．0≤b C ．0b
新人教版高一数学函数与方程知识要点
新人教版高一数学函数与方程知识要点 新人教版高一数学函数与方程知识要点 一、方程的根与函数的零点 教材内容分析新课程标准的要求是,结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 求函数的零点： 1(代数法)求方程的实数根; 2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 二、用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解的方法,二分法,又称分半法,是一种方程式根的近似值求法。 1.二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 ___________________________________________________________ _____________. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： (1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε; (2)求区间(a，b)的中点____; (3)计算f(c); ①若f(c)=0，则________________; ②若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈________); ③若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈________). (4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)～(4).
高一数学上册函数公式汇总
高一数学上册函数公式汇总 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2π+α)= sinα cs(2π+α)= csα tan(2π+α)= tanα ct(2π+α)= ctα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)= -sinα cs(π+α)= -csα tan(π+α)= tanα ct(π+α)= ctα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)= -sinα cs(-α)= csα tan(-α)= -tanα ct(-α)= -ctα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值
之间的关系： sin(π-α)= sinα cs(π-α)= -csα tan(π-α)= -tanα ct(π-α)= -ctα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)= -sinα cs(2π-α)= csα tan(2π-α)= -tanα ct(2π-α)= -ctα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= csα cs(π/2+α)= -sinα tan(π/2+α)= -ctα ct(π/2+α)= -tanα sin(π/2-α)= csα cs(π/2-α)= sinα tan(π/2-α)= ctα ct(π/2-α)= tanα
sin(3π/2+α)= -csαcs(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -ctαct(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -csαcs(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= ctαct(3π/2-α)= tanα(以上∈Z)
综合题：高一数学函数经典习题及答案
函 数 练 习 题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =
6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数
人教版 高中数学必修4 三角函数知识点
高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+=
高一数学函数的基本性质综合训练
函数的基本性质--综合训练B 组 一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =- C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．( -∞C ．(-∞3．函数A ．(∞-C ．[,24 则实数a A ．a ≤ 5． )x 是增函数； (2)23x --的 A ．0 6. 在下图中是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ，那么0x <时，
()f x = . 3．若函数2()1 x a f x x bx += ++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则 2(6)(3)f f -+-=__________。 5．若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。 1][]2,6 2()f b ，且当 0x >时，()y f x =是 奇函数。 3．设函数,且 ()(f x g + 4．设a 为实数，函数1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。
高一数学函数习题(练习题以及答案
一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、 _ _ _； ________； 3、若函数(1)f x +(21)f x -的定义域是 ；函数1 (2)f x +的定义域为 。 4、 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4 、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _
()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸2 1)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3 44 2 ++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3 ) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2 (2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1 ()(0)f x x x x =+ ≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数
(完整版)人教版高一数学必修一基本初等函数解析
基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；
高中数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 2019-2020年高一数学函数新课标人教版 一、函数的概念与表示 1、映射 （1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。 （2）象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a对应的B 中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。 注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。 2、函数 （1）函数的定义 ①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫作自变量。 ②近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A 到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中，原象集合A叫做函数的定义域，象集合C叫做函数的值域。 （2）构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域 3、函数的表示方法①解析法②列表法③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。 二、函数的解析式与定义域 1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式，解析式亦称“解析表达式”或“表达式”，简称“式”。（注意分段函数） 求函数解析式的方法： （1）定义法（2）变量代换法（3）待定系数法 （4）函数方程法（5）参数法（6）实际问题 2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x的取值的集合。 求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； 如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。 4．下列函数中,在区间 (0,1)上是增函数的是（ ） A ．x y = B ．x y -3= C ．x y 1= D ．4+-=2x y 6．若一次函数y=kx ＋b 在集合Ｒ上单调递减，则点（k ，b ）在直角坐标系中的 ( ) Ａ．第一或二象限 Ｂ．第二或三象限 Ｃ．第一或四象限 Ｄ．第三或四象限 7. 函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ） A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．选递增再递 减． （1）f(x)=x 3+2x; (2) f(x)=2x 4+3x 2; (3) f(x)=x 2+2x+5; (4) f(x)=x 2,x ()∞+,0∈; (5) f(x)=x 1; (6) f(x)=x+x 1; 6．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3-,7-上是（ ） A ．增函数且最小值是5- B ．增函数且最大值是5- C ．减函数且最大值是5- D ．减函数且最小值是5- 7 ． 已知函数()f x 对一切R y x ∈,，都有)(+)(=)+(y f x f y x f ， 求证：（1）()f x 是奇函数；（2）若a f =-3)(，用a 表示(12)f ． 答案:1.C 2.C 3.B 4.A 5.+∞,0[) 6.B 7.C 8.(0,2 1) 答案: 1.C 2.C 3.C 4.B 5.(1)(5)(6) 6.A 7.(1)证明:令x=y=0,)0(f = )0(f +)0(f =2)0(f ,∴)0(f =0. 令y= -x, =)+(y x f )0(f =(+)(f x f -)x , 即(+)(f x f -)x =0, ∴(f -)x =)(x f , ∴)(x f 为奇函数. (2) -4a2020-2021年高一数学函数 新课标 人教版
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