排列组合归纳总结#精选.
排列、组合及二项式定理
一、计数
分类加法计数原理和分步乘法计数原理 → 1.分类加法计数原理定义
完成一件事，可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种方法，在第二类办法中有m 2种方法，……，在第n 类办法中有种不同的方法，那么，完成这件事情共有N ＝m 1+ m 2+…种不同的方法．
2．分步乘法计数原理定义
完成一件事情需要经过n 个步骤，缺一不可，做第一步有m 1种方法,做第二步有m 2种方法，……，做第n 步有种方法,那么完成这件事共有N ＝m 1 m 2…种不同的方法．
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系
联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数．
区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 4. 分类分步标准
分类就是一步到位，(1)类与类之间要互斥；（2）总数完整。 分步是局部到位，（1）按事件发生的连贯过程进行分步；（2）步与步之间相互独立，互不干扰；（3）保证连续性。 → 排列与组合
1．排列
（1）排列定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．
（2）排列数公式：＝A C m
m m n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)或写成＝.特殊: (1)!
（3）特征：有序且不重复 2.组合
（1）组合定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．
（2）组合数公式：＝m m
m
n
A A 或写成＝.
(3)组合数的性质
①＝； ②＝＋.
（4）特征：有序且不重复
3.排列与组合的区别与联系： 区别：排列有序，组合无序
联系：排列可视为先组合后全排 4.基本原则：（1）先特殊后一般；（2）先选后排；（3）先分类后分步。
→排列组合的应用（常用方法：直接法，间接法） 1.抽取问题：
（1）关键：特殊优先；
（2）题型：① 把n 个相同的小球，一次性的放入到m 个不同的盒子中（n ≤m ），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？ ②把n 个相同的小球，依次性的放入到m 个不同的盒子中（n ≤m ），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？ ③把n 个相同的小球，放入到m 个不同的盒子中（n ≤m ），每个盒子放球数目不限，有多少种不同的方法？ ④把n 个不同的小球，放入到m 个不同的盒子中（n ≤m ），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？ ⑤把n 个相同的小球，依次性的放入到m 个不同的
盒子中（n ≥m ），每个盒子至多1个，有多少种不同的方法？-1m1
隔板法
2.排序问题：特殊优先 （1）排队问题：
① 对n 个元素做不重复排序;
② 对n 个元素进行（其中有m 个元素的位置固定）排列
m m
n
n A A ;
如果对n 个元素进行（其中有m 个元素的位置固定个元素的位置固定）排列
K K
m m n
n
A A A ;
③ 相邻问题—捆绑法(注意松绑);
④不相邻问题:(a)一方不相邻—先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位; (b)互不相邻先排少的在插入多的; (2)数字问题;
①各位相加为奇数的奇数的个数是奇数; ②各位相加为偶数的奇数的个数是偶数; ③组成n 为偶数(奇数)的数特殊优先法; ④能被n 整除的数特殊优先法;
⑤比某数大的数,比某数小的数或某数的位置从大于(小于)开始排,再排等于; (3)着色问题:
①区域优先颜色就是分类点; ②颜色优先区域就是分类点.
(4)几何问题:①点、 线、 面的关系一般均为组合问题； ②图中有多少个矩形 C 62 C 42
;从A 到B
的最短距离 C 83
(5)分组、分配问题：
①非均分不编号个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽......
3
2
1
2
1
1
?---C C C m m
m n m m n m n
B
②非均分编号个不同元素分成m 组，每组组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽
m
m
m m m n m m n m n
A C
C
C ??--- (3)
2
121
1
③均分不编号个不同元素分成m 组，其中有k 组元素数目均相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽k
k m m
m n m m n m n A C C C ......
3
2
1
21
1?---
④均分编号个不同元素分成m 组，其中有k 组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽
m
m
k k m m m n m m n m n
A A C
C
C ) (3)
2
121
1
(?---
二、二项式定理
1.定理：(a ＋b )n ＝0＋－1b ＋－2b 2＋…＋－＋…＋a 0
(r ＝0,1,2，…，n )．
2.二项展开式的通项
＋1＝－
，r ＝0,1,2，…，n ，其中叫做二项式系数． 3.二项式系数的性质
①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即＝，＝，…，＝，….
②最大值：当n 为偶数时，中间的一项的二项式系数
取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项的二项式系数 ， 相等，且同时取得最大值．
③各二项式系数的和
a ．＋＋＋…＋＋…＋＝2n
；
b ．＋＋…＋＋…＝＋＋…＋＋…＝·2n ＝2n －1
. →二项式定理的应用： 1.求通项; r r n r n r b a C T -+=1
2.含的项：① 项的系数；②二项式系数。
3.常数项（含的项中0）整数项（含的项中r ∈N ）有理项（含的项中r ∈Z ）无理项（含的项中?）
4.项的系数和：
12
C n n -12
C n n
+2
C
n n
（1）已知多项式f(x)=()n (>0)0 12x 2
+…: ①a 0 （0）
②a 0 12+… = f(1)= ()n
;
③0 1 2 … f(1)= ()n
; ④a 0 24+…=
;2
)
1()1(-+f f ⑤a 1 35+…=;2
)1()1(--f f
⑥(a 0 24+…)2-( a 1 35+…)2
(1)f （-1）。 （2）已知多项式f(x)=()n
(>0)0 12x 2
+…: ①a 0 （0）
②a 0 12+… = f(1)= ()n ;
③0 1 2 … f(-1)= ()n ; ④a 0 24+…=
;2
)1()1(-+f f ⑤a 1 35+…=;2
)1()1(--f f
⑥(a 0 24+…)2-( a 1 35+…)2
(1)f （-1）。 (3) 已知多项式f(x)=()n
(>0)0 12x 2
+…: 令g(x)=（-1）n
()n
①a 0 （0）
②a 0 12+… = f(1)= ()n
;
③0 1 2 … (-1)(-1)
④a 0 24+…=
;2
)
1()1(-+f f ⑤a 1 35+…=;2
)1()1(--f f
⑥(a 0 24+…)2-( a 1 35+…)2
(1)f （-1）。 (4) 已知多项式f(x)=()n
(>0)0 12x 2
+…: 令g(x)=（-1）n
()n
①a 0 （0）
②a 0 12+… = f(1)= ()n
;
③0 1 2 … (-1)(1) ④a 0 24+…=
;2
)1()1(-+f f ⑤a 1 35+…=;2
)1()1(--f f
⑥(a 0 24+…)2-( a 1 35+…)2
(1)f （-1）。 5.最值问题：
① 二项式系数最大：（a ）当n 为偶数时，二项式系数中，C n
n
2 最大；（b ）当n 为奇数时，二项式系数中，C
21n
21--n n n
C 和 最大
②项的是系数最大：1
=r T
C 表示第1项的系数
(a) 个项都为正数时112
1++++?????
?≥≥r r
r r r T T T T T C C C C C 最大; (b) 一项为正一项为负时111
3
1+-+++?????
?≥≥r r r r r T T T T T C C C C C 最大
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