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【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

一、选择题

1.陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一,也称陀罗,北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图,已知网格纸中小正方形的边长为1,则该陀螺模型的体积为( )

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

A .1073π

B .32

453π+ C .

16

323

π+ D .

32

333

π+ 2.已知a ,b 是两条异面直线,且a b ⊥r r

,直线c 与直线a 成30°角,则c 与b 所成的角的大小范围是( ) A .[]60,90??

B .[]30,90??

C .[]30,60??

D .[]45,90??

3.设圆C :2

2

3x y +=,直线l :360x y +-=,点()00,P x y l ∈,若存在点Q C ∈,使得60OPQ ∠=?(O 为坐标原点),则0x 的取值范围是( ) A .1,12??

-

????

B .60,5??????

C .[]0,1

D .16,25??

-

????

4.已知点A (1,2),B (3,1),则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A .4x 2y 5+=

B .4x 2y 5-=

C .x 2y 5+=

D .x 2y 5-=

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

A .12

B .18

C .24

D .30

6.长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,则该长方体外接球的表面积为( ) A .

72

π B .56π C .14π D .64π

7.矩形ABCD 中,4AB =,3BC =,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角

B A

C

D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( )

A .

125

12

π B .

125

9

π C .

125

6

π D .

125

3

π 8.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ,以2F 为圆心的圆过椭圆的中

心,且与椭圆交于点P ,若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ,则椭圆的离心率为( ) A .

31+ B .31-

C .

22

D .

51

- 9.已知实数,x y 满足250x y ++=,那么22x y +的最小值为( ) A .5

B .10

C .25

D .210

10.若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根,则实数k 的取值范围是( )

A .13,34?? ???

B .13,34?? ???

C .53,124?? ???

D .53,124纟?ú?ú棼

11.如图1,ABC ?是以B 为直角顶点的等腰直角三角形,T 为线段AC 的中点,G 是

BC 的中点,ABE ?与BCF ?分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形,现将ABE ?与

BCF ?分别沿AB 与BC 向上折起(如图2),则在翻折的过程中下列结论可能正确的个

数为( )

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【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

图1 图2

(1)直线AE ⊥直线BC ;(2)直线FC ⊥直线AE ; (3)平面//EAB 平面FGT ;(4)直线//BC 直线AE . A .1个

B .2个

C .3个

D .4个

12.如图,平面四边形ABCD 中,1AB AD CD ===,2BD =

,BD CD ⊥,将其

沿对角线BD 折成四面体A BCD '-,使平面A BD '⊥平面BCD ,若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上,则该球的表面积为( )

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A.3πB

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3

2

π

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C.4πD.

3

4

π

二、填空题

13.设P,A,B,C是球O表面上的四个点,PA,PB,PC两两垂直,且

1

PA PB PC

===,则球O的表面积为____________.

14.已知直线40

Ax By A

+-=与圆O:2236

x y

+=交于M,N两点,则线段MN中点G的轨迹方程为______.

15.过正方体1111

ABCD A B C D

-的顶点A作直线l,使l与棱AB、AD、

1

AA所成的角都相等,这样的直线l可以作_________条.

16.三棱锥P ABC

-中,5

PA PB

==,2

AC BC

==,AC BC

⊥,3

PC=,则该三棱锥的外接球面积为________.

17.若圆C:222430

x y x y

++-+=,关于直线260

ax by

++=对称,则由点(),a b向圆所作的切线长的最小值为______.

18.如图所示,二面角l

αβ

--为60,,A B

o是棱l上的两点,,

AC BD分别在半平面内,αβ,且AC l⊥,,4,6,8

AB AC BD

===,则CD的长______.

19.在正方体1111

ABCD A B C D

-中,E是棱

1

DD的中点,则直线BE和平面

11

ABB A所成的角的正弦值为_____________.

20.如图,在体积为1V的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥,剩余部

分的体积为2V,则2

1

V

V

=__________.

三、解答题

21.已知两直线1l :240x y -+=和2l :20x y +-=的交点为P . (1)直线l 过点P 且与直线5360x y +-=垂直,求直线l 的方程; (2)圆C 过点()3,1且与1l 相切于点P ,求圆C 的方程.

22.如图,正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ,AE ⊥平面

CDE ,且1AE =,2AB =.

(Ⅰ)求证:AB ⊥平面ADE ; (Ⅱ)求凸多面体ABCDE 的体积.

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23.如图,在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中,1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.

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(1)求证:11//A D 平面1AB D

(2)若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=?,求三棱锥1B ABC -的体积. 24.如图,在三棱锥A BCD -中,,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.

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(1)求证:EF P 平面ABD ;

(2)若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ,求证:平面AEF ⊥平面ACD . 25.已知圆2

2

:(2)(3)4C x y -+-=外有一点()41-,,过点P 作直线l .

(1)当直线l 与圆C 相切时,求直线l 的方程;

(2)当直线l 的倾斜角为135?时,求直线l 被圆C 所截得的弦长.

26.已知点(3,4),(9,0)A B -,,C D 分别为线段,OA OB 上的动点,且满足AC BD = (1)若4,AC =求直线CD 的方程;

(2)证明:OCD ?的外接圆恒过定点(异于原点).

【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除

一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】

由三视图可知,该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积. 【详解】

由三视图可知,该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积2221132

42333233333

V πππ=??+??+???=+. 故选:D . 【点睛】

本题考查三视图,考查学生的空间想象能力,属于基础题.

2.A

解析:A 【解析】 【分析】

将异面直线所成的角转化为平面角,然后由题意,找出与直线a 垂直的直线b 的平行线,与直线c 平行线的夹角. 【详解】

在直线a 上任取一点O ,过O 做//c c ',则,a c '确定一平面α,

过O 点做直线b 的平行线b ',所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内, 若存在平行线1b '不在β内,则1b '与b '相交又确定不同于β的平面, 这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾,所以b '都在平面β内,

且,l αβαβ⊥=I ,在直线c '上任取不同于O 的一点P ,

做PP l '⊥于P ',则PP β'⊥,POP '∠为是c '与β所成的角为60?, 若b l '⊥,则,b b c α'''⊥⊥,若b '不垂直l 且不与l 重合, 过P '做P A b ''⊥,垂足为A ,连PA ,则b '⊥平面PP A ', 所以b PA '⊥,即1

,cos 2

OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=

<=, 60AOP ∠>?,综上b '与c '所成角的范围为[60,90]??,

所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90??. 故选:A.

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【点睛】

本题考查异面直线所成角,空间角转化为平面角是解题的关键,利用垂直关系比较角的大小,属于中档题.

3.B

解析:B 【解析】 【分析】

圆O 外有一点P ,圆上有一动点Q ,OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值.如果OP 变长,那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小.因为sin QO

OPQ PO

∠=

,QO 为定值,即半径,PO 变大,则sin OPQ ∠变小,由于(0,)2OPQ π

∠∈,所以OPQ ∠也随之变小.可以得

知,当60OPQ ∠=?,且PQ 与圆相切时,2PO =,而当2PO >时,Q 在圆上任意移动,60OPQ ∠

由分析可得:22200PO x y =+

又因为P 在直线l 上,所以00(36)x y =--

要使得圆C 上存在点Q ,使得60OPQ ∠=?,则2PO ?

故2222

000103634PO x y y y ==+-+?

解得0825y 剟,0605

x 剟 即0x 的取值范围是6

[0,]5

, 故选:B . 【点睛】

解题的关键是充分利用几何知识,判断出2PO …,从而得到不等式求出参数的取值范围.

4.B

解析:B 【解析】 【分析】 【详解】

因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ,B 的距离相等, 所以22(1)(2)x y -+-

22(3)(1)x y =-+-.

即:2

2

1244x x y y +-++-

229612x x y y =+-++-,

化简得:425x y -=. 故选B .

5.C

解析:C 【解析】

试题分析:由三视图可知,几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图所示,三棱柱的高为,消去的三棱锥的高为,三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形,所以几何体的体积为

,故选C .

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考点:几何体的三视图及体积的计算.

【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算,着重考查了推理和运算能力及空间想象能力,属于中档试题,解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则,还原出原几何体的形状,本题的解答的难点在于根据几何体

的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系,属于中档试题.

6.C

解析:C 【解析】 【分析】

由题意首先求得长方体的棱长,然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】

设长方体的棱长分别为,,a b c ,则236ab bc ac =??

=??=?

所以()

2

36abc =,于是213a b c =??

=??=?

设球的半径为R ,则2222414R a b c =++=,所以这个球面的表面积为24R π=14π. 本题选择C 选项. 【点睛】

与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.

7.C

解析:C 【解析】 【分析】

由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点,即可求出球的半径,代入体积公式即可得解. 【详解】

因为矩形对角线互相平分且相等,根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等,所以球心在对角线AC 上,且球的半径为AC 长度的一半,

即1522r AC ===,所以3

34451253326

V r π

ππ??==?= ???.

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故选:C 【点睛】

本题考查球与几何体的切、接问题,二面角的概念,属于基础题.

8.B

解析:B 【解析】 【分析】

根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=,又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ,可知2||PF c =且12PF PF ⊥,即可列出方程求椭圆的离心率. 【详解】

由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ,可知2||PF c =,且 12PF PF ⊥, 又12||||2PF PF a +=,可知1||2PF a c =-, 在12Rt PF F ?中,2

2

2

(2)4a c c c -+=, 即2222a ac c -= 所以2

220,(0,1)e e e +-=∈,

解得212

31e -+=

=, 故选:B 【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义,椭圆的简单几何性质,圆的切线的性质,属于中档题.

9.A

解析:A 【解析】

22x y +(,)x y 到坐标原点的距离, 又原点到直线250x y ++=的距离为2

2

5521

d =

=+

22x y +5 A.

10.D

解析:D 【解析】 【分析】

由题意可得,曲线22

(1)4(1)x y y +-=…

与直线4(2)y k x -=-有2个交点,数形结合求得k 的范围. 【详解】

如图所示,化简曲线得到22

(1)4(1)x y y +-=…

,表示以(0,1)为圆心,以2为半径的上半圆,直线化为4(2)y k x -=-,过定点(2,4)A ,

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设直线与半圆的切线为AD ,半圆的左端点为(2,1)B -,当AD AB k k k

k =+,解得512

AD k =,

4132(2)4AB k -=

=--,所以53,124k ??

∈ ???

.

故选:D 【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系,属于中档题.

11.C

解析:C 【解析】 【分析】

(1)翻折时使得平面ABE ⊥平面ABC ,由面面垂直的性质定理得出BC ⊥平面ABE ,从而使得(1)有可能;

(2)翻折时使得点E 、F 两点重合,利用勾股定理可证得此时AE CE ⊥,即

AE FC ⊥;

(3)翻折时使得平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直,利用面面垂直的性质定理、直线与平面平行的判定定理以及面面平行的判定定理可证明出平面//EAB 平面

FGT ;

(4)利用反证法,可推出//BC AE 不成立. 【详解】

(1)翻折时,若平面ABE ⊥平面ABC ,由于ABC ?是以B 为直角顶点的等腰直角三角形,

则BC AB ⊥,又Q 平面ABE I 平面ABC AB =,BC ?平面ABC ,BC ∴⊥平面

ABE ,

AE ?Q 平面ABC ,此时AE BC ⊥;

(2)设AB BC a ==,则2AC a =

,且有AE CF a ==,

翻折时,若点E 、F 重合,则AE CE a ==,222AE CE AC ∴+=,此时,

AE CE ⊥, 即AE FC ⊥;

(3)如下图所示:

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

翻折时,若平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直, 取AB 的中点D ,连接DE 、FG 、GT 、FT .

ABE ?Q 是等边三角形,且D 为AB 的中点,DE AB ⊥∴.

Q 平面ABE ⊥平面ABC ,平面ABE I 平面ABC AB =,DE ?平面ABE .

DE ∴⊥平面ABC ,同理可证FG ⊥平面ABC ,//DE FG ∴, DE ?Q 平面FGT ,FG ?平面FGT ,//DE ∴平面FGT .

G Q 、T 分别为BC 、AC 的中点,//AB GT ∴,

AB ?Q 平面FGT ,GT ?平面FGT ,//AB ∴平面FGT . DE AB D =Q I ,∴平面//EAB 平面FGT ;

(4)假设AE 与BC 可能平行,BC AB ⊥Q ,则AE AB ⊥,事实上60BAE ∠=o , 即AE 与AB 不垂直,假设不成立,因此,AE 与BC 不可能平行. 因此,可能正确命题的个数为3. 故选:C. 【点睛】

本题考查的是线面位置关系的判定,判断时要熟悉线面、面面平行与垂直的判定、性质定理,考查推理能力,属于中等题.

12.A

解析:A 【解析】 【分析】

设BC 的中点是E ,连接DE ,由四面体A′-BCD 的特征可知,DE 即为球体的半径.

【详解】

设BC 的中点是E ,连接DE ,A′E,

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

因为AB =AD =1,BD 由勾股定理得:BA⊥AD

又因为BD⊥CD,即三角形BCD 为直角三角形 所以DE 为球体的半径

DE =

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2

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43S ππ== 故选A 【点睛】

求解球体的表面积、体积的问题,其实质是求球体的半径,解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式,构造常用的方法是构造直角三角形,再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.

二、填空题

13.【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本 解析:3π

【解析】 【分析】

利用条件PA ,PB ,PC 两两垂直,且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体,球的直径即是正方体的体对角线长,由球的表面积公式求解. 【详解】

先把三棱锥P ABC -,所以球的半径为

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所以球的表面积为2

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4π3π?=??

【点睛】

本题主要考查了球的体积公式:3

43

V r π=

球(其中r 为球的半径)及长方体的体对角线长

公式:l =,,a b c 分别是长方体的长、宽、高).

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14.【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到:故答案为:【点睛】本题考查

了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握 解析:()2

224x y -+=

【解析】 【分析】

直线40Ax By A +-=过定点()4,0,设()()1122,,,M x y N x y ,(),G x y ,代入方程利用点差法计算得到答案. 【详解】

直线40Ax By A +-=过定点()4,0,

设()()1122,,,M x y N x y ,(),G x y ,则221136x y +=,22

2236x y +=,

两式相减得到()()()()121212120x x x x y y y y +-++-=,即220x ky +=. 故22

04

y x y x +=-,整理得到:()2

224x y -+=. 故答案为:()2

224x y -+=. 【点睛】

本题考查了轨迹方程,意在考查学生对于点差法的理解和掌握.

15.【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解:设ABCD ﹣A1B1C1D1边长为1第一条:AC1是满足条件的直线;第二条:延长C1D1到C1且D1 解析:4

【解析】 【分析】

将小正方体扩展成4个小正方体,根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数. 【详解】

解:设ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1边长为1. 第一条:AC 1是满足条件的直线;

第二条:延长C 1D 1到C 1且D 1C 2=1,AC 2是满足条件的直线; 第三条:延长C 1B 1到C 3且B 1C 3=1,AC 3是满足条件的直线; 第四条:延长C 1A 1到C 4且C 4A 12=

,AC 4是满足条件的直线.

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

故答案为4.

【点睛】

本题考查满足条件的直线条数的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力,考查分类与整合思想,是基础题.

16.【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为:【点睛】本题考查球 解析:7π

【解析】 【分析】

由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直,因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和. 【详解】

∵PA PB ==AC BC ==

PC =,

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

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∴222222

,PC CB PB PC CA PA +=+=,∴,PC CB PC CA ⊥⊥,又CA CB ⊥,

以,,CA CB CP 作长方体,则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球.

设外接球半径为R ,则2222

(2)7R CA CB CP =++=,R =

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

球表面积为22

44(7.2

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

S R πππ==?= 故答案为:7π. 【点睛】

本题考查球的表面积,解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直,以,,CA CB CP 作长方体,则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球.

17.4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛:本题主要考查直线与

解析:4 【解析】

因为圆2

2

:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,, 当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为

≥所以切线长的最小值为

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

=4.

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

故答案为4

点睛:本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系,切线长取得最小

值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.

18.【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为:【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程

解析:217. 【解析】 【分析】

推导出CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r

,两边平方可得CD 的长. 【详解】

Q 二面角l αβ--为60?,A 、B 是棱l 上的两点,AC 、BD 分别在半平面α、β内,

且AC l ⊥,BD l ⊥,4AB =,6AC =,8BD =,

∴CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r

∴22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r

2222CA AB BD CA BD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g

361664268cos12068=+++????=,

CD ∴的长||68217CD ==u u u r

故答案为:217.

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

【点睛】

本题考查线段长的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.

19.【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为:【点睛】本小题主要考查线面 解析:

23

【解析】 【分析】

作出直线BE 和平面11ABB A 所成的角,解直角三角形求得线面角的正弦值. 【详解】

设F 为1AA 的中点,连接,,EF EB BF ,根据正方体的性质可知EF ⊥平面11ABB A ,所以EBF ∠是直线BE 和平面11ABB A 所成的角.设正方体的边长为2,在Rt EBF ?中

2EF =,2222

213BE =++=,所以2

sin 3

EF EBF BE ∠=

=. 故答案为:

23

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

【点睛】

本小题主要考查线面角的求法,考查空间想象能力,属于基础题.

20.【解析】分析:设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 再求详解:设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 则故答案为:点睛:(1)本题主要考查圆锥圆柱体积的计算意在考查学生对这 解析:

23

【解析】

分析:设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ,圆柱的高为h,再求2

1

V V . 详解:设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ,圆柱的高为h, 则22221222

21

11()

23

3.3

r h r h h r h r h

V V r h

r h

ππππππ-+-=

=

=故答案为:23. 点睛:(1)本题主要考查圆锥圆柱体积的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)圆柱的体积为2V sh r h π==,圆锥的体积为211

33

V sh r h π=

=. 三、解答题

21.(1)35100x y -+=;(2)()2

215x y -+=. 【解析】 【分析】

(1)联立方程组,求出直线1:240l x y -+=和2:20l x y +-=的交点,再求出直线l 的斜率,可得直线l 的方程;

(2)设出圆的标准方程,求出圆心与半径,即可求得圆的方程. 【详解】

(1)联立方程组24020x y x y -+=??+-=?,解得0

2x y =??=?

∴直线240x y -+=和20x y +-=的交点()0,2P , 又∵直线5360x y +-=的斜率为53

-,∴直线l 的斜率为3

5,

∴直线l 的方程为()3

205

y x -=

-,化为一般式可得35100x y -+=. (2)设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=, 2222(3)(1)

a b r ∴-+-==,

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

1a \=,0b =,

∴圆的方程为22(1)5x y -+=.

【点睛】

本题考查直线、圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

22.(Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 3

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

ABCDE V = 【解析】 【分析】

(1)推导出AE ⊥CD ,CD ⊥AD ,从而CD ⊥平面ADE ,再由AB ∥CD ,能证明AB ⊥平面ADE .

(2)凸多面体ABCDE 的体积V=V B-CDE +V B-ADE ,由此能求出结果. 【详解】

(1)证明:,AE CDE CD CDE ⊥?平面平面

,AE CD ∴⊥

又在正方形ABCD 中,CD AD ⊥

AE AD A ?= CD ADE ∴⊥平面,

又在正方形ABCD 中,//AB CD

∴ //AB 平面ADE .

(2) 连接BD ,设B 到平面CDE 的距离为h ,

//,,AB CD CD CDE ?Q 平面

//AB CDE ∴平面,又AE CDE ⊥平面, ∴ h AE = 1=又11

241322

CDE S CD DE ?=

?=??-=,133133

B CDE V -∴=??=

又1113

132332B ADE ADE V S AB -?=

??=????=

所以23

3

ABCDE V = 【点睛】

本题考查线面垂直的证明,考查多面体的体积的求法,是中档题,注意空间思维能力的培养.

23.(1)证明见解析(2)8 【解析】

试题分析:(1)欲证A 1D 1∥平面AB 1D ,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A 1D 1与平面AB 1D 内一直线平行,连接DD 1,根据中位线定理可知B 1D 1∥BD,且B 1D 1=BD ,则四边形B 1BDD 1为平行四边形,同理可证四边形AA 1D 1D 为平行四边形,则A 1D 1∥AD 又A 1D 1?平面AB 1D ,AD ?平面AB 1D ,满足定理所需条件;

(2)根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B 1C 1CB ,即AD 是三棱锥A ﹣B 1BC 的高,求出三棱锥A ﹣B 1BC 的体积,从而求出三棱锥B 1﹣ABC 的体积. 试题解析:

(1)证明:如图,连结1DD .在三棱柱111ABC A B C -中,

因为1,D D 分别是BC 与11B C 的中点,所以11//B D BD ,且11B D BD =. 所以四边形11B BDD 为平行四边形,所以11//BB DD ,且11BB DD =. 又1111//,AA BB AA BB =所以1111//,AA DD AA DD =, 所以四边形11AA D D 为平行四边形,所以11//A D AD .

又11A D ?平面1AB D ,AD ?平面1AB D ,故11//A D 平面1AB D .

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

(2)解:(方法1)

在ABC ?中,因为AB AC =,D 为BC 的中点,所以AD BC ⊥.

因为平面ABC ⊥平面11B C CB ,交线为BC ,AD ?平面ABC , 所以AD ⊥平面11B C CB ,即AD 是三棱锥1A B BC -的高.

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

在ABC ?中,由4AB AC BC ===,得AD =. 在1B BC ?中,114,60B B BC B BC ==∠=?,

所以1B BC ?的面积2

14S B BC ?=

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

= 所以三棱锥1B ABC -的体积,即三棱锥1A B BC -的体积

111

833

V S B BC AD =???=?=.

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

(方法 2)在1B BC ? 中,因为11,60B B BC B BC =∠=?, 所以1B BC ?为正三角形,因此1B D BC ⊥.

因为平面ABC ⊥平面11B C CB ,交线为BC ,1B D ?平面11B C CB , 所以1B D ⊥平面ABC ,即1B D 是三棱锥1B ABC -的高.

在ABC ?中,由4AB AC BC ===,得ABC ?的面积2

44

ABC S ?=

=

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

在1B BC ?中,因为114,60B B BC B BC ==∠=?,所以1B D =.

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

所以三棱锥1B ABC -的体积111

833

ABC V S B D ?=

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

【压轴卷】高中必修二数学下期中试题带答案(1)

??=?=. 点睛:本题主要考查了线面平行的判定,以及三棱锥的体积的计算,同时考查了推理论证的能力、计算能力,转化与划归的思想,属于中档题. 24.(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】

(1)根据线面平行的判定定理,在平面ABD 中找EF 的平行线,转化为线线平行的证明;

(2)根据面面垂直的判定定理,转化为CD ⊥平面AEF . 【详解】

(1)E Q ,F 分别是BC ,CD 的中点,EF ∴P BD ; 又Q EF ?平面ABD ,BD ?平面ABD ,

EF ∴P 平面ABD .

(2)BD CD ⊥Q ,EF P BD ,EF CD ∴⊥;

AE ^Q 平面BCD ,AE CD ∴⊥;

又EF ?平面AEF ,AE ?平面AEF ,

CD \^平面AEF ,又CD ?平面ACD ,

∴平面AEF ⊥平面ACD .

【点睛】