正切函数的图像和性质-公开课教案
正切函数的图像和性质-公开课教案
1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在 区间（）的单调性. 教学目的 知识目标：了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标：掌握正弦函数的周期性，奇 偶性，单调性，能利用正切 曲线解决简单的问题。 情感目标：在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表 示，正切函数tan 的定义域是什么？ y x 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？
画正切函数选取哪一段好呢? 画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若 是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体 现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈?? ? ? ?-2 ,2ππ的图象 说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图 象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ 2 的图象，称“正切曲线”。 tan()tan x x -=-
（2）由图象可以看出，正切曲线是由被相 互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠z k k x x ,2 |ππ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数
正切函数的图像和性质
课题：正切函数的图象和性质 教学目的：1．会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象。 2．理解正切函数的性质。 3．会用数形结合的思想理解和处理有关问题。 教学重点：正切函数的图象和性质。 教学难点：用单位圆中的正切线作正切函数的图象。 教学方法：探索+讲练结合 学法指导：学会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，探索性质，并会用性质解决相关问题。 教学过程 1．设置情境 前面我们学习了正弦、余弦函数的图像和性质，正切函数是不同于正弦、余弦函数的又一三角函数，我们今天要学习的就是正切函数的图象和性质。板书课题。 2．复习 请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出x y sin =图像的． 回答后联想画正切函数的图像的方法。 3．新知传授： （1）在直角坐标系中，如果角α满足：)(2 ,z k k R ∈+≠∈ππ αα，那么，角α的终边与单位圆交于 点),(b a P ，唯一确定比值 a b ，根据函数的定义，比值a b 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作αtam y =，其中)(2 ,z k k R ∈+≠ ∈ππ αα。 αααcos sin tan = ，)(2 ,z k k R ∈+≠∈ππ αα由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。我们统称为三角函数。 正切线：在直角坐标系中，设单位圆与x 轴的交点为：)0,1(A ，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点)0,1(A 作x 轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T 点。AT 为正切线。如下图， 正切线是AT ．(注意A 点的位置) （2）正切函数x y tan =的图象：
正弦、余弦、正切函数的图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像与性质 一、选择题： 1．函数y ＝sin x 2＋cos x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 3．已知函数f (x )＝sin ????x －π 2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间????0，π 2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )的奇函数 4．设a ＝12log sin81o ，b ＝12log sin 25o ，c ＝12 log cos25°，则它们的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．函数y ＝ lncos x ????－π2＜x ＜π 2的图像是( ) A ． B C ． D. 6．当－π2＜x ＜π 2时，函数y ＝tan|x |的图像( ) A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．不是对称图形 7．函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) D ．以上均不对
8．若直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图像相交，则相邻两交点的距离是( ) A ．π 二、填空题 9．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的范围是__________． 10．函数y ＝1＋2sin x 的最大值是__________，此时自变量x 的取值集合是__________． 11．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 12．函数y ＝3sin ????2x ＋π6的单调递减区间是__________． 13．已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝__________. 14．若关于x 的方程cos 2x －sin x ＋a ＝0有解，则a 的取值范围是__________． 15．如果函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有三个不同的交点，那么k 的取值范围是__________． 16．关于三角函数的图像，有下列命题： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图像关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图像相同； ③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图像关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图像关于y 轴对称． 其中正确命题的序号是__________． 三、解答题： 17．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ????2x ＋3π2； (2)f (x )＝sin x 1－sin x 1－sin x 18．作出下列函数的图像： (1)y ＝tan|x |； (2)y ＝|tan x |. 19、求函数f (x )＝13log tan ??? ?2x ＋π3的单调递减区间．
正切函数的图象与性质(习题)
1 正切函数的图象与性质（习题） ? 例题示范 例1：已知sin33cos55tan35a b c =?=?=?， ，，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 思路分析： 观察33°，55°，35°之间的关系，利用三角函数在区间[090]??， 上的单调性，选择合适的公式化简，转化为可比较的函数值． 由诱导公式可得， cos55cos(9035)sin35b =?=?-?=?， ∵sin y x =在区间[090]??，上单调递增，且sin 33a =?， ∴b a >， ∵sin 35tan 35cos35c ?=?= ? ，且0cos351?=， ∴c b a >>，故选C ． 例2：函数23()sin cos 4f x x x =++，2π[0]3 x ∈，的值域是（ ） A ．[12]， B ．[]44-， C ．[1]4 -， D ．[2]4-， 思路分析： 2223()sin cos 4 31cos cos 4 7cos cos 4 f x x x x x x x =++=-++=-++由题意， 设cos t x =，2π[0]3x ∈，，由余弦函数的单调性得，12 1t -≤≤， 则原函数可化为27()4f x t t =-++，12 1t -≤≤， 由二次函数性质得，()[12]f x ∈，，故选A ． ? 巩固练习
A ．2 π B ．π C ．2π D ．4π C ．(1)(0)(1)f f f >>- D ．(0)(1)(1)f f f >-> 4. 下列函数属于奇函数的是（ ） A ．()tan(π)f x x =+ B ．π()sin()2f x x =- C ．()cos(3π)f x x =- D ．π()sin()2f x x =+ 5. 已知函数()tan f x x x =+，2()=cos g x x x +，则（ ） A ．()f x 与()g x 都是奇函数 B ．()f x 与()g x 都是偶函数 C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 6. 函数sin()2 y x π=+在（ ） A ．[]22 ππ-，上是增函数 B ．[0]π，上是减函数 C ．[0]-π，上是减函数 D ．[]-ππ，上是减函数 7. 函数()cos f x x =的一个单调递减区间是（ ） A ．[]44 ππ-， B ．[]44π3π，
7.3.4 正切函数的性质与图像2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型
7.3.4正切函数的性质与图像 课标要求素养要求 1.了解正切函数图像的画法，理解正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图像及性质解决问题. 通过对正切函数的图像与性质的学习，体会数学抽象和直观想象素养. 教材知识探究 孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”，事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？ 问题类比y＝sin x ，y＝cos x的图像与性质． （1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？ （2）正切函数的图像是连续的吗？ 提示（1）y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大，最小值．（2）正切函数的图像在定义域上不是连续的． 函数y＝tan x的图像和性质性质是根据图像得到的结论
解析式 y ＝tan x 图像 定义域 {x |x ∈R ，且x ≠π 2＋k π，k ∈Z } 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在区间（k π－π2，k π＋π 2）（k ∈Z ）都是增函数 对称中心 ? ???? k π2，0（k ∈Z ） 零点 x ＝k π（k ∈Z ） 教材拓展补遗 [微判断] 1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．（×） 提示 y ＝tan x 在区间（k π－π2，k π＋π 2）（k ∈Z ）上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan 2x 的周期为π.（×） 提示 y ＝tan 2x 的周期为π2. 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．（√） 4．函数y ＝2tan x ，x ∈??? ???0，π2的值域是[0，＋∞）.（√） [微训练] 与函数y ＝tan ? ? ???2x ＋π4的图像不相交的一条直线是 （ ） A ．x ＝π2 B ．x ＝－π 2 C ．x ＝π4 D ．x ＝π 8 解析 ∵2x ＋π4≠π 2＋k π（k ∈Z ）， ∴x ≠π8＋k π 2（k ∈Z ），故选D.
正切函数的图像和性质 公开课教案
1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在区间 （）的单调性. 教学目的 知识目标： 了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标： 掌握正弦函数的周期性，奇偶性，单调性，能利用正切曲线解决简单的 问题。 情感目标： 在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体 会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表示，正切函数tan y x =的定义域是什么？ 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？ 画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈??? ? ?- 2,2ππ的图象 tan()tan x x -=-
说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 。 （2）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π π=+∈所隔开的 无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 引导学生观察正切曲线，小组讨论的形式。 师举例说明：
正切函数的图像与性质说课稿
《正切函数图象与性质》说课稿 各位评委老师好！ 今天我说课的课题是《正切函数的图象和性质》，下面我将从教材分析、教学策略、学情分析、教学程序四个方面进行说课，不足的地方希望老师能给予指出。 一．教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键。 2、教学目标 （一）知识和技能目标： 1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法” 2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用． （二）过程与方法目标： 1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法； 2、培养学生类比、归纳的数学思想； 3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。 3.重点、难点与疑点 （一）、教学重点：正切函数的图象和性质。 1、我打算用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图，并探索函数性质； 2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=π/2 +kπ，k∈Z在确定图象形状时所起的关键作用。 （二）、教学难点：体验正切函数基本性质的应用， （三）、教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，但由于定义域的不连续性并非整个定义域内的增函数； 二．教学策略 在本节课中，我以“矛盾冲突”为主线撞击学生的思维，比如： 1、在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法； 2、在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙. 三．学情分析 本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，对又一具体三角函数的学习。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识，这为本节课的学习提供了知识的保障． 四．教学程序 1、复习引入 （一）、复习 问题:1、什么是正切？正切有关的诱导公式？
正切函数的性质与图象课后反思.docx
《正切函数的性质与图象》课后反思 三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质一一定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。在此也向学生进一步说明“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在，数学无处不美。 在本节课中我采用“类比一一探究一一讨论”教学法。在学习了正弦函数图像与性质，平移正弦线得到正弦函数图像的方法类比作正切函数图象。设计问题让学生进一步探究正切函数的性质与图象，学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对止切函数的感性认识和形成止切函数图象的了解。通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神. 通过多媒体显示得出函数图像。引导学生在有限的时间内完成正切函数性质的归纳和总结，让学生思考、动手画图、课堂交流、亲身实践。通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对正切函数图像与性质的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研。”的学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣。 在课堂教学屮注重学生的学，让学生自己思考得到问题的答案，以至于后半段课堂吋间仓促，课堂练习只能变成课后练习。在以后的教学中会注意调节好学牛的研究时间。 一、指导思想与理论依据 贝塔朗菲强调，任何系统都是一个有机的整体,它不是各个部分的机械组合或简单相加, 而
正切函数性质与图像1
第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（1） 学习目的： 1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象； 2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 学习重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 学习难点：正切函数的性质。 课堂探究： 一、复习引入： 问题：正弦曲线是怎样画的？ 正切线? 练习正切线，画出下列各角的正切线： ． 下面我们来作正切函数和余切函数的图象． 二、讲解新课： 1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ? ?? ??? ∈+≠ z k k x x ,2|ππ 2．正切函数是不是周期函数？ ()t a n t a n ,,2 x x x R x k k z π ππ? ? += ∈≠+ ∈ ??? 且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z π π?? =∈≠+ ∈ ?? ? 且的一个周期。 π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。 3．作tan y x =，x ∈?? ? ?? - 2, 2ππ的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π； （2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线”。 无穷多支曲线组成的。 4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ??? ∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2 ππ，2 π+ π?→?k x 时，tan x ?? →+∞ 当x 从大于 ()z k k ∈+ππ2 ，ππ k x +?→? 2 时，-∞?→?x tan 。 （3）周期性：π=T ； （4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；
正切函数的图像与性质
1 正切函数的图象和性质教学案例的实践与认识 温州中学 孔 娣 一、教学设计过程 1．教学设计思路 由于学生在本节课之前刚学习了正余弦函数的图像和性质，我想以此为基础让学生自主探究正切函数的图像和性质，尽量以学生为主体，发挥学生的主动性。因此采取了如下的教学设计思路： 教学方法：探究式教学——“变教学为诱思，以诱达思促发展”。在教学中，要让学生在学习过程中实现自主学习、合作学习和探究学习，教师充当引导者的角色，引导、帮助学生检视和反思自我，明了要学习什么和获得什么；帮助学生寻找、搜集和利用学习资源；帮助学生设计恰当的学习活动；帮助学生发现他们所学东西的意义；帮助学生营造和维持学习过程中积极的心理氛围；帮助学生对学习过程和结果进行评价。 教学手段：多媒体辅助教学———采用PowerPoint 幻灯片，几何画板和实物投影仪辅 助教学，这样可以减少板书时间，利用幻灯片中一些有意思的小动画营造轻松活泼的课堂氛围，利用几何画板作图增强学生对图形形成的直观理解，利用实物投影仪展示学生作品。 教学思路：问题开路→温故知新→师生讨论→动手做图→一起评价→发现问 题→获得性质→性质运用→课外拓展。 2．教学设计内容 I ．课题：正切函数的图象和性质（1） II ．教学目标：①．了解利用正切线画出正切函数图象的方法； ②．了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； ③．掌握正切函数的性质。 III ．教学重、难点：①．正切函数图象的作法； ②．正切函数的性质。 IV ．教学过程： （一）情境设置（问题开路）： 前面我们研究了正余弦函数的图像和性质，这节课开始研究正切函数的图像和性质。问怎样作正切函数的图像？→（启发问题）做函数图像的常用方法？→描点连线。→如何找点？→找点的横纵坐标→写出特殊点的横纵坐标，发现直接描点不精确。→有什么方法精确找点？ （二）温故知新（问题导学）： 问题：(1)正弦曲线是怎样画的？（学生回答，利用多媒体演示回顾） （2）如何作一个角的正切线？（学生回忆，教师演示，注意特殊角情形） 问：现在你能否作出正切函数的图像？（发给学生每人一张准备好的有直角坐标系和单位圆的纸，让学生快速动手作图） （三）评价成果，正确作图： 教师巡视，待大部分学生完成作图后，教师有目的的收上学生的各种作品，利用实物投影仪展示学生作品，对其进行评价，就学生暴露的问题进行讨论，寻找原因。 就学生作图出现的问题一起讨论正确作图步骤： (1)学生作图错误：在2π= x 处有图像。 教师问：为什么错？
正切函数的性质与图像教案
1．4．3 正切函数的性质和图像 一、教学目标 1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象； 2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 二、课时 1课时 三、教学重点 正切函数的性质与图象的简单应用. 四、教学难点 正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 五、教具 多媒体、实物投影仪 六、教学过程 导入新课 思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课. 思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？ 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？ 活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. (1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x ∈R ,x≠2 π+kπ,k ∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性. (2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x ∈R ,x≠2 π+kπ,k ∈Z 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(2 πk ,0)k ∈Z . (3)单调性 通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(2π-,2π)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2π -+kπ,2 π+kπ),k ∈Z 内都是增函数.
正切函数的图象与性质
《正切函数的图象与性质》教学设计 【课标解读】高中数学课程标准在本部分内容的要求和解读： 1.数学教材要自然、生动、要激发学生的兴趣和美感，引发学生的学习激情；要引导学 生提问，要强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用. 2.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性 的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观. 3.关注三角函数本质(起源于圆周运动的周期函数），使学生获得研究周期函数的基本思 想方法. 4.关注数学内容的内在联系(数形结合)：三角函数——关于圆与三角形的解析几何 5.关注研究方法——类比、推广、特殊化（化归）； 【教学内容解析】 (一）本节教材的地位和作用： 《正切函数的图象和性质》是《普通高中课程标准实验教科书》（人教版B）高一数学的必修4第1.3.2节的内容，它是紧接着正弦和余弦函数的图象和性质后的又一通过图象来研究性质的三角函数。正切函数的图象和性质也是三角函数的重要内容之一，本节课既是对前面正余弦函数知识的延展，也是为学习已知三角函数值求角的问题,对必修二中直线的斜率和选修2-2中导数求切线方程的斜率问题都有联系。 为后续知识作了铺垫。因此掌握好正切函数的图象和性质，意义非常重要。同时，这节课也是进一步培养高一学生的类比、观察和数形结合能力的重要内容. (二)教材分析处理 1.本节课是在学习了正余弦函数的基础上，利用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，通过图象系统的研究正切函数的性质。三角函数的图象和性质贯穿了全章教材，它不仅是继续学习三角知识不可缺少的基本知识和基本工具，也是科学研究、生产实践中的重要工具之一，通过学习本节课，培养学生的数形结合能力，形象思维能力和想象能力；同时培养学生观察、发现、独立思考、总结归纳的能力. 2.在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性、奇偶性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。但也要让学生明白，作为正切函
正切函数的图像与性质(带答案)
正切函数图像及性质 知识点梳理 函数y ＝tan x 的图象与性质 y ＝tan x π 例1、求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )． 练习、求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域. 例3、求下列函数的周期（1）??? ?? +=42tan 3πx y （2）??? ??+=42 1tan 3πx y
例4、求函数区间，对称中心的定义域、周期和单调??? ??-=32tan πx y 练习1、求函数??? ??-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的单调性、周期性； 练习2、求函数的单调区间??? ??+-=421 tan 3πx y 课堂练习 1． 函数y ＝tan ????12x －π 3在一个周期内的图象是 ( ) 2.在区间(－3π2，3π 2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间????π2，3π 2内的图象是 ( ) 4.利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤3 3. 5.下列说法正确的是( ) A.y ＝tan x 是增函数 B.y ＝tan x 在第一象限是增函数 C.y ＝tan x 在每个区间????k π－π 2，k π＋π 2(k ∈Z )内是增函数 D.y ＝tan x 在某一区间上是减函数 6.函数y ＝3tan(2x ＋π 4)的定义域是 ( )
A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z} B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z} C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z} D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z} 7.直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( ) A.π2 B.2π C.π D.与a 值有关 8.下列各式中正确的是( ) A.tan 4π7＞tan 3π7 B.tan ????－13π4＜tan ????－17π5 C.tan 4＞tan 3 D.tan 281°＞tan 665° 9.函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( ) A.????k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) B.????k π－π2，k π＋π4(k ∈Z ) C.????k π－π4，k π＋π2(k ∈Z ) D.????k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 10.已知函数y ＝tan ωx 在????－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为__________. 11.函数y ＝2tan(3x ＋φ)????－π2＜φ＜π2的图象的一个对称中心为????π4，0，则φ＝________. 12.若tan ????2x －π6≤1，则x 的取值范围是________. 13已知函数f (x )＝3tan ????12x －π3. (1)求f (x )的定义域和值域. (2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性. 14.求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈????π4，π3的值域.
正切函数的图像和性质(教学设计)
正切函数的图象与性质教学设计 一、教学目标： 1、了解用单位圆中的正切线作正切函数图象的方法； 2、掌握正切函数的有关性质； 3、能用正切函数图象和性质解决有关问题。 二、教学过程： （一）、知识梳理 形成体系 问题1、正切函数x y tan =的定义域是什么？是不是周期函数？若是，探索它的最小正周期是多少？ 问题2、如何利用正弦线画正弦曲线的？请用这种方法画出正切函数在)2,2(ππ-的图像。 1、根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 x y tan =， )(,2Z k k x ?+≠ππ 的图象，称“正切曲线”。
由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线)(,2Z k k x ∈+=ππ所隔开的无穷多支曲线组成的。 2、观察正切函数的图像，可以得到x y tan =有以下性质： （1）定义域： ； （2）值域： 观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2 π+π?→?k x 时，tan x ??→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +?→?2时，-∞?→? x tan 。 （3）周期性：=T ； （4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是 函数； （5）单调性：在开区间 内，函数单调递增。 问题4、正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ （二）、课前热身 自我检测 1、比较大小 （1）0138tan 0143tan （2）)43tan(π- )5 2tan π 2、观察正切曲线，满足0tan >x 的x 的取值的集合是 。 0 π-32π-
三、合作探究，共同进步 例1、求函数)4tan(π+ =x y 的定义域、值域、单调区间及对称中心。 例2、求x y 3tan =的周期 小结：函数)tan(?ω+=x y 的最小正周期ω π= T 。 例3、解不等式3tan ≥x 。 四、过手训练，步步为营
正切函数的性质和图象
课题：正切函数的性质和图象 一．教材分析： 学习正切函数的性质和图象，主要包括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，以及具体的应用。 二．教学目标： 1. 知识与技能： （1）.在对正切函数已有认知的基础上，分析正切函数的性质。 （2）.通过已知的性质，利用正切线画出正切函数在 上的图像，得到 正切曲线。 （3）.根据正切曲线，完善正切函数的性质。 2.过程与方法： 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． 3. 情感态度价值观： 在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成． 教学重难点： 1．正切函数的性质； 2．正切函数图象的作法。 三．教学方法：探究，启发式教学。 四．教学过程 1．设置情境 前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。 2．探索研究 由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。 下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制tan y x =图象． （1）用正切线作正切函数图象 分析一下正切函数tan y x =是否为周期函数？
sin()sin ()tan()tan ()cos()cos x x f x x x f x x x ππππ+-+=+====+- ∴tan y x = 是周期函数，π是它的一个周期． 我们还可以证明，π是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数tan y x =， ,22x ππ??∈- ??? 的图象．作法如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆。 ②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线。 ③描点。（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）。④连线。 图1 根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan y x = ，(,,)2x R x k k Z π π∈≠+∈的图象，并把它叫做正切曲线（如图1）． 图2 （2）正切函数的性质
