南京工业大学高等数学(下)期中试卷2006[1][1].04

南京工业大学高等数学（下）期中考试试卷

班级___________ 学号___ ______姓名_______________成绩 ____

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)

1、设函数?????=≠+=)0,0(),(,

0)

0,0(),(,),(222y x y x y x y x y x f 在（0，0）点（

）。

（A ）极限不存在 （B ）不连续

（C ）可微分 （D ）均存在)0,0(),0,0(y x f f 2、椭球面1632

2

2

=++z y x 上点)3,2,1(--处的切平面与平面1=z 的夹角为（ ）。

（A ）

4π

（B ）223arccos （C ） 22

7arccos （D ）167arccos

3、z x y x (,)000=和z x y y (,)000=是函数z z x y =(,)在点(,)x y 00处取得极大值或极小值

的（ ）。

（A ）必要条件但非充分条件 （B ）充分条件但非必要条件

（C ）充要条件 （D ）既非必要条件也非充分条件 4、曲线积分ds y x c

?

+)(2

2，其中c 是圆心在原点、半径为a 的圆周，则积分为（ ）。

（A ）22a π （B ）3a π （C ） 3

2a π

（D ）π

5、曲线积分,42

2?++-=

c y x xdy ydx I 其中c 是椭圆142

2=+y x ，并取正向，则I 为（ ）。 （A ）π （B ）π2 （C ）π2- （D ）0

二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分5小题, 每小题3分,

共15分)

1、设函数z

y x u 1

????

??=，则)1,1,1(du = ____________________________.

2、曲面3=++xy z e z

在点)0,1,2(M 处的切平面方程是______________________. 3、交换积分次序??

--=1

11

2

__________

____________________),(x x dy y x f dx 4、设

则I =_______________.

5、设),(y x F 为可微函数，则曲线积分)(),(xdy ydx y x F AB

+?与路径无关的充要条件是

______________________________.

三、解答下列各题(本大题共5小题，总计44分) 1、(本小题10分)

求函数22

2222c

z b y a x u ++=在点),,(z y x P 处沿此点的向径},,{z y x r = 的方向导数；在什么条

件下，此方向导数等于u grad ？

2、(本小题10分)

(1)设),,ln (2

y x y x f z -=f 具有二阶连续偏导数，求,x z ??y

x z

???2。

(2) 设函数z z x y =(,)由方程tan()z x y z +=-+1所确定，求??22z

y

。

3、(本小题8分) 计算dy y

x

dx dy y

x

dx x

x

x

????

+2

42

2

1

2sin

2sin

ππ。

4、 (本小题8分) 计算???

Ω

dv z 2

，其中Ω为22y x z +≥与22222R z y x ≤++所围成的空间闭区域。

5、(本小题8分) 计算积分?

-+-+=-L

x dy y y x dx y y x e

I )sin ()cos 3sin (42

，

其中L 是从点)0,(π-A 沿曲线x y sin =到点)0,(πB 的弧段。

四、解答下列各题(本大题10分)

已知平面上两定点)2,4(),3,1(B A ，试在椭圆)0,0(14

92

2>>=+y x y x 上求一点C ，

使三角形ABC 的面积最大.

五、解答下列各题( 本 大 题8分 )

设半径为a 的圆盘，其各点密度与到圆心的距离成反比(设比例系数为1)，令内切于圆盘于截去半径为

2

a

的小圆，求余下圆盘的重心坐标。

六、解答下列各题( 本 大 题8分 )

设D 是顶点为),0(),0,(),0,0(b B a A O (0,0>>b a )的三角形区域,l 为B A ,两点的连线,若),(y x f 在区域D 及其边界上都有二阶连续偏导数,试证:?l ∈),(ηξ有

x f a a f f dxdy y x f D

??+-=?????)

,()0,()0,0(2ηξ