优化设计试卷试题练习(附答案)
罚因子的关系为 1(1,2,)k k r cr k -==???c 为惩罚因子的缩减系数，其为小于1的正数，通常取值范围在0.1~0.7
2）外点惩罚函数法简称外点法，这种方法新目标函数定义在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。外点惩罚函数法的惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列。惩罚因子按下式递增1
(1,2,)k
k r cr k -==???，式中c 为惩罚因子的递增系数，
通常取5~10c =
2．共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。
. 对于二次函数，()1
2T T f X X GX b X c =++,从k X 点出发，沿G 的某一共轭方向k
d 作一维搜索，到达1k X +点，则1k X +点处的搜索方向j d 应满足()
()10T
j k k d g g +-=，
即终点1k X +与始点k X 的梯度之差1k k g g +-与k d 的共轭方向j d 正交。
3．为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进？.
答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来的。共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向，这是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。
4.写出故障树的基本符号及表示的因果关系。
略
5.算法的收敛准则由哪些？试简单说明。
略
6.优化设计的数学模型一般有哪几部分组成？简单说明。
略
7．简述随机方向法的基本思路
答：随机方向法的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向。从初始点出发，沿搜索方向以一定的步长进行搜索，得到新的X 值，新点应该满足一定的条件，至此完成第一次迭代。然后将起始点移至X ，重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。
三、计算题
1．试用牛顿法求()221285f X x x =+的最优解，设()[]01010T
X =。
初始点为()[]01010T
X =，则初始点处的函数值和梯度分别为
()()0120
121700
164200410140f X x x f X x x =+?????==????+????
，沿梯度方向进行一维搜索，有
()01
00010200102001014010140X X f X αααα-??
????=-?=-=??????-??????
0α为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件
()
()[]
()()()(){
}
()
α?αααααα
αα
min 14010514010200104200108min min 2
0002
00
01=-?+-?-?+-?=?-=X f X f X f
()001060000596000?αα'=-=， 从而算出一维搜索最佳步长 059600
0.05622641060000
α=
=
则第一次迭代设计点位置和函数值01
010200 1.245283010140 2.1283019X αα--????
==????-???
? ()124.4528302f X =，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。
2、试用黄金分割法求函数()20
f ααα
=+
的极小点和极小值，设搜索区间
[][],0.2,1a b =（迭代一次即可）
实验优化设计考试答案
第一题 考察温度对烧碱产品得率的影响，选了四种不同温度进行试验，在同一温度下进行了5次试验（三数据见下表）。希望在显着性水平为。 1.SSE的公式 2.SSA的公式 3.将表格粘贴进Excel，然后进行数据分析，勾选标于第一行，显示在下面 P=，远小于，所以是显着的 “方差分析” “响应C1C2C3C4” “选单因素未重叠” 4.打开Minitab，复制表格， “统计” 点击“比较”勾选第一个，确定 结果:工作表3 单因子方差分析:60度,65度,70度,75度 来源自由度SSMSFP 因子误差合计 S==%R-Sq（调整）=% 平均值（基于合并标准差）的单组95%置信区间 水平N平均值标准差------+---------+---------+---------+--- 60度度度度合并标准差= Tukey95%同时置信区间 所有配对比较 单组置信水平=% 60度减自: 下限中心上限------+---------+---------+---------+--- 65度度度度减自: 下限中心上限------+---------+---------+---------+--- 70度度度减自: 下限中心上限------+---------+---------+---------+--- 75度获得结果，区间相交包含的不明显，反之明显 第二题 为研究线路板焊点拉拔力与烘烤温度、烘烤时间和焊剂量之间关系。从生产过程中收集20批数据，见下表: 1.将表格粘贴进Minitab，然后“统计”“回归”“回归”“响应，变量”“图形，四 合一” 2.P小于，显着 4.残差分析 第三题 钢片在镀锌前需要用酸洗方法除锈， 为提高除锈效率，缩短酸洗时间，需 要寻找好的工艺参数。现在试验中考 察如下因子与水平：
优化设计试卷练习及答案
-- 一、填空题 1．组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 ２.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ????，海赛矩阵 为2442-????-?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题,的基础上力求简洁 。 ５.约束条件的尺度变换常称 规格化,这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6．随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯 度法,其收敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩 阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题,这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 １1坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12.在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束, ,另外应当尽量减少不必要的约束 。 1３.目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+１， 空间中描述出来,为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况,常采用 目标函数等值面 的方法。 1４．数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。 １６.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。 二、名词解释 1.凸规划 对于约束优化问题 ()min f X ..s t ()0j g X ≤ (1,2,3,,)j m =??? 若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =???都为凸函数,则称此问题为凸规划。 2.可行搜索方向 是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降,且不会越出可行域。 3．设计空间：ｎ个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合 4.．可靠度 5.收敛性 是指某种迭代程序产生的序列(){}0,1,k X k =???收敛于1lim k k X X +*→∞ = 6.非劣解：是指若有m 个目标()()1,2,i f X i m =???,当要求ｍ-1个目标函数值不变坏时,找不到一个X,使得另一个目标函数值()i f X 比()i f X *,则将此X *为非劣解。 7. 黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。 8.可行域:满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。 9.维修度 略 三、简答题 1．什么是内点惩罚函数法?什么是外点惩罚函数法?他们适用的优化问题是什么?在构造惩罚函数时,内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？
机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)
4、最优点、最优值和最优解 答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作: x * = [x1* , x2* , x3* , . . . , x n *]T 使该设计点的目标函数F (x*)为最小，点x*称为最优点(极小点)。相应的目标函数值F (x*) 称为最优值(极小值)。一个优化问题的最优解包着最优点(极小点)和最优值(极小值) 。把最优点和最优值的总和通称为最优解。 或： 优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即 min f(x)=f(x*) x €R n s.t. g u (x)w 0,u= 1,2,... ,m； h v (x) = 0,v= 1,2,... ,p 试验优化设计与分析(教材) 成果总结 成果完成人：任露泉，丛茜，杨印生，李建桥，佟金成果完成单位：吉林大学 推荐等级建议：二等奖 1.立项背景 在现代社会实现过程和目标的最优化，已成为解决科学研究、工程设计、生产管理以及其他方面实际问题的一项重要原则。试验优化技术因其具有设计灵活、计算简便、试验次数少、优化成果多、可靠性高、适用面广等特点，已成为现代设计方法中一个先进的设计方法，成为发达国家企业界人士、工程技术人员、研究人员和管理人员的必备技术，它对于创造利润和提高生产率起着巨大的作用。因此在我国为了赶超世界先进水平，促进科研、生产和管理事业的发展，编著相关教材，大力推广与应用试验优化技术，不仅具有普遍的实际意义，也具有一定的迫切性。 20世纪80年代初，鉴于国民经济建设实践和科学技术研究中对试验优化技术的广泛需求，为推动教学改革、提高教学质量，任露泉教授对试验优化理论与技术进行了深入系统研究，为本科生开设了“试验设计”课程，为研究生开设了“试验优化技术”课程，并于1987年由机械工业出版社出版了教材《试验优化技术》，产生了很高的学术与技术影响。 2001年任露泉教授在《试验优化技术》一书的基础上编著了《试验优化设计与分析》教材，由吉林科技出版社出版发行。该教材是对1987年出版的《试验优化技术》的修改、补充和发展。作者根据对试验优化的教学和科研应用的多年实践与体会，为适应读者学习与使用的实际需要，调整修改了原书中的部分内容和一些方法的设计程式；补充了一些试验优化设计的新方法、新技术；增添了试验优化的一些最新应用实例；并增加了试验优化分析一篇。 本教材2001年获吉林省长白山优秀图书一等奖，2002年被遴选为教育部全国研究生教学用书，再次出版发行，2004年获吉林省教学成果一等奖。 2.教材内容 本教材万字，共分三篇二十一章。第一篇试验设计，除正交设计、干扰控制设计与数据处理等常用技术外,还介绍SN比设计、均匀设计、广义设计、调优运算及稳健设计等正交试验设计技术的拓广应用和现代发展的最新方法；第二篇回归设计，除各种回归的正交设计、旋转设计、饱和设计、多项式设计、还介绍多次变换设计、交互作用搜索设计、混料设计以及D-最优设计等回归设计技术的进一步完善与最新应用技术；在第三篇试验优化技术分析中,介绍了试验数据处理过程中经常遇到的难题及其解决办法，数据分析的最新研究成果及其应用实例。例如：有偏估计、PPR分析、探索性数据分析等；此外还介绍了试验优化的常用统计软件。 3.教材特点 .. 第一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ? ??? ，海赛矩阵 为2442-?? ? ?-?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收 敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1 k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。 16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。 百度文库 《机械优化设计》复习题及答案 一、填空题 、用最速下降法求 2 2 2 2 的最优解时，设X （0）T ，第一步迭代 1 1 ＝[,] 1 f(X)=100(x - x ) +(1- x ) 的搜索方向为 [-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。 3、当优化问题是 __凸规划 ______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成高-低-高趋势。 5、包含 n 个设计变量的优化问题，称为n 维优化问题。 、函数 1 X T HX B T X C 的梯度为HX+B 。 6 2 7、设 G 为 n×n 对称正定矩阵，若 n 维空间中有两个非零向量0，d1，满足 (d0 T1 ，d ) Gd =0 则 d0、d1之间存在 _共轭_____关系。 8、设计变量、约束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数 f (x1 , x2 ) ，若在 x 0 ( x10 , x20 ) 点处取得极小值，其必要条件是梯 度为零，充分条件是海塞矩阵正定。 10、库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作 用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11 、用黄金分割法求一元函数 f ( x) x2 10 x 36的极小点，初始搜索区间 [ a,b] [ 10,10] ，经第一次区间消去后得到的新区间为[,] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、约束条件目标函数、 13、牛顿法的搜索方向 d k= ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 2 2 表示成 1 X T HX T X C 的形 1 +x2 -x1x2-10x1-4x2+60 2 B 式。 15、存在矩阵 H，向量 d ，向量 d ，当满足(d1)TGd2=0 ，向量 d 和向量 d 1 2 1 2 是关于 H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子 r 数列，具有由小到大趋于无穷特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即 2009-2010学年第二学期《食品试验优化设计》课程 教学基本方案 1. 课程性质与目的 试验优化设计是以数理统计为理论基础，按照试验设计原理，对科学研究中拟通过试验解决的具体问题提出科学而合理的试验方案，指导和保证试验环节的正确实施，力求以最经济的试验投入获得尽可能多的数据信息，然后用科学的统计方法进行数据处理，得出可靠的结论，从而进一步指导生产以及科研工作。食品试验优化设计是试验优化设计在食品科学领域的具体应用，是食品科学与工程以及相关专业必修的专业基础课。学习本课程的主要目的是让学生掌握试验设计的基本原理和方法，培养学生分析问题和解决问题的能力，使学生能够独立设计试验和实施试验，并能对试验结果进行正确的统计处理，培养学生成为具有一定试验设计水平的高级专业人才。 2. 使用教材与主要参考书 使用教材：面向21世纪的统编教材，王钦德、杨坚主编《食品试验设计与统计分析》，中国农业大学出版社出版，2003年。 参考书：1.李志西，杜双奎. 试验优化设计与统计分析. 北京：科学出版社，2010 ? 2.王钦德，杨坚. 食品试验设计与统计分析. 第二版. 北京：中国农业大学出版社， 2003 ? 3.杜双奎，于修烛，李志西. 食品试验设计与统计分析实验指导. 陕西: 西北农林 科技大学校内自编教材，2005 ? 4.茆诗松，周纪芗，陈颖. 试验设计.北京：中国统计出版社，2004 ? 5.刘魁英. 食品研究与数据分析. 第二版. 北京：中国轻工业出版社，2005 ? 6. Douglas C. Montgomery. Design and analysis of experiments.第六版.人们 邮电出版社，2007 ?7.李云雁，胡传荣.试验设计与数据处理.化学工业出版社，2005 3.教学方法与手段 以课堂讲授为主，传统教学与多媒体教学相结合。 4.考核方式 2015-2016-2试验优化设计考核题目 试验优化设计上机考核题目 2015-2016-（2）学期 制定：刘建永 （注：计算过程和思路在word文档中尽量写清楚，所用Minitab 或Excel计算过程保存，将计算所有文档保存在以学号和姓名为命名的文档内，打包提交。） 1 考察温度对烧碱产品得率的影响，选了四种不同温度进行试验，在同一温度下进行了5次试验（三数据见下表）。希望在显著性水平为0.05。 温度60度65度70度75度 90959691 92939690 得率（%） 88919793 89929489 92959288 ⑴写出误差离差平方和SSE和温度离差平方和SSA的计算公式； ⑵判断温度对烧碱得率是否有显著影响； ⑶用Tukey方法判断哪些水平间有显著差异？哪些水平间无显著差异？ 2 为研究线路板焊点拉拔力与烘烤温度、烘烤时间和焊剂量之间关系。从生产过程中收集20批数据，见下表: 效率，缩短酸洗时间，需要寻找好的工艺参数。现在试验中考察如下因子与水平： 1 2 3 水平 因子 A:硫酸(g/l) 300 200 250 B:洗剂OP牌海鸥牌 C：温度 60 70 80 （℃） 用L9(34)安排试验，用拟水平法将B2拟为B3,试验指标是酸洗时间（分钟）： 36 32 20 22 34 21 16 19 37 (1) 在满足等方差的正态分布前提下，对数据进行方差分析； （2）找出酸洗时间最短的水平组合，并对该水平组合下平均酸洗时间进行点估计。 4玉米淀粉改性试验，需考察两个指标：取代度、酯化率，两指标均为望大特征，试验因素和水平如下： 一、 填空题 1. 用最速下降法求()()2211f x =100)1x x -+-（x 最优解时，设()[]00.5,0.5T x =-,第 一步迭代的搜索方向为 T 100]- [103。 2. 机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向。 3. 当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。 4. 应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点 和终点，他们的函数值形成趋势高--低--高。 5. 包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6. 函数12 T T x Hx B x c ++的梯度为_________。 7. 设G 为n n ?对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量0d ,1d ,满足 ()010d Gd =，则0d ，1d 之间存在共轭关系。 8. 与负梯度成锐角的方向为函数值下降 方向，与梯度成直角的方向为函数值的 不变 方向。 9. 设计变量、目标函数、约束条件是优化设计问题的数学模型的基本要素。 10. 对于无约束二元函数()12,f x x ，若在()01234,x x x =点处取得极小值，其必要条件 是在0x 点的梯度为0,充分条件是在0x 点的海赛矩阵正定。 11. K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非 负线性组合。 12. 用黄金分割法求一元函数()21036f x x x =-+的极值点，初始搜索区间 [][],10,10a b =-，经第一次区间消去后得到新区间【-2.36,10】。 13. 优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量，目标函数，约束条件。 14. 牛顿法搜索方向k d =()()21()k k f x f x --??，其计算是 大，且要求初始在级极小 点附近位置。 15. 将函数()21 12121210460f x x x x x x x =+---+表示成12 T T x Hx B x c ++的形式为 。 第一、填空题 1.组成优化设计的数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 和 约束条件 。 2.可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的 参数的选择 及其 指标的确定 。 3.多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的 早期故障阶段 、 偶然故障阶段 和 耗损故障阶段 。 4.各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈 下降趋势 。 5.建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映 工程实际问题 的基础上力求简洁 。 6.系统的可靠性模型主要包括 串联模型 、 并联模型 、 混联模型 、 储备模型 、 复杂系统模型 等可靠性模型。 7. 函数f(x 1,x 2)=2x 12 +3x 22-4x 1x 2+7在X 0=[2 3]T 点处的梯度为 ，Hession 矩阵为 。 （2.）函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ????，海赛矩阵为2442-???? -?? 8.传统机械设计是 确定设计 ；机械可靠性设计则为 概率设计 。 9.串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而 降低 ，且其值要比可靠 度 最低 的那个单元的可靠度还低。 10.与电子产品相比，机械产品的失效主要是 耗损型失效 。 11. 机械可靠性设计 揭示了概率设计的本质。 12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定。 13.对数正态分布常用于零件的 寿命疲劳强度 等情况。 14.加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从 正态分布 。 15.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 模型求解 两方面的内容。 17.无约束优化问题的关键是 确定搜索方向 。 18.多目标优化问题只有当求得的解是 非劣解 时才有意义，而绝对最优解存在的可能性很小。 19.可靠性设计中的设计变量应具有统计特征，因而认为设计手册中给出的数据 机械优化设计实验指导 书 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 《机械优化设计》 实验指导书 武秋敏编写 院系：印刷包装工程学院 专业：印刷机械 西安理工大学 二00七年九月 上机实验说明 【实验环境】 操作系统： Microsoft Windows XP 应用软件：Visual C++或TC。 【实验要求】 1、每次实验前，熟悉实验目的、实验内容及相关的基本理论知识。 2、无特殊要求，原则上实验为1人1组，必须独立完成。 3、实验所用机器最好固定，以便更好地实现实验之间的延续性和相关性，并便于检查。 4、按要求认真做好实验过程及结果记录。 【实验项目及学时分配】 【实验报告和考核】 1、实验报告必需采用统一的实验报告纸，撰写符合一定的规范，详见实验报告撰写格式及规范。 （一）预习准备部分 1. 预习本次实验指导书中一、二、三部分内容。 2. 按照程序框图试写出汇编程序。 （二）实验过程部分 1. 写出经过上机调试后正确的程序，并说明程序的功能、结构。 2. 记录4000～40FFH内容在执行程序前后的数据结果。 3. 调试说明，包括上机调试的情况、上机调试步骤、调试所遇到的问题是如何解决的，并对调试过程中的问题进行分析，对执行结果进行分析。 （三）实验总结部分 实验（一） 【实验题目】 一维搜索方法 【实验目的】 1．熟悉一维搜索的方法－黄金分割法，掌握其基本原理和迭代过程； 2．利用计算语言（C语言）编制优化迭代程序，并用给定实例进行迭代验证。 【实验内容】 1．根据黄金分割算法的原理，画出计算框图； 2．应用黄金分割算法，计算：函数F(x)=x2+2x，在搜索区间-3≤x≤5时，求解其极小点X*。 【思考题】 说明两种常用的一维搜索方法，并简要说明其算法的基本思想。 【实验报告要求】 1．预习准备部分：给出实验目的、实验内容，并绘制程序框图； 2．实验过程部分：编写上机程序并将重点语句进行注释；详细描述程序的调过程（包括上机调试的情况、上机调试步骤、调试所遇到的问题是如何解决的，并对调试过程中的问题进行分析。 3．实验总结部分：对本次实验进行归纳总结，给出求解结果。要求给出6重迭代中a、x1、x2、b、y1和y2的值，并将结果与手工计算结果进行比较。 4.回答思考题。 第一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()2 2 121 212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ???? ，海赛矩阵 为2442-????-?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯 度法，其收敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。 1－1．简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后,优化设计问题就可以表示成一般数学形式。 求设计变量向量[] 1 2 T n x x x x = 使 ()min f x →且满足约束条件 ()0 (1,2, )k h x k l == ()0 (1,2, )j g x j m ≤= 利用可行域概念,可将数学模型的表达进一步简练。设同时满足 ()0 (1,2, ) j g x j m ≤=和 ()0 (1,2, )k h x k l ==的设计点集合为R ,即Ｒ为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成 求x 使 min ()x R f x ∈ 符号“∈”表示“从属于”。 在实际优化问题中,对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化 ()min f x →或目标函数极大化 ()max f x →。由于求()f x 的极大化与求()f x -的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小 化形式。 １-２.简述优化设计问题的基本解法。（不要抄书,要归纳) 答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。 解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型)描述出来，然后再用数学解析方法（如微分、变分方法等）求出有化解。 但是，在很多情况下,优化设计的数学描述比较复杂,因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式,再来求其优化解,并通过试验来验证;或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验(探索性的计算),并根据试验计算结果的比较,逐步改进而求得优化解。这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。 数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题。因此,它是实际问题中常用的方法,很受重视。其中具体方法较多,并且目前还在发展。但是,应当指出,对于复杂问题,由于不能把所有参数都完全考虑并表达出来,只能是一个近似的最后的数学描述。由于它本来就是一种近似,那么，采用近似性质的数值方法对它们进行解算，也就谈不到对问题的精确性有什么影响了。 不管是解析解法，还是数值解法，都分别具有针对无约束条件和有约束条件的具体方法。 可以按照对函数倒数计算的要求，把数值方法分为需要计算函数的二阶导数、一阶导数和零阶导数(即只要计算函数值而不需计算其导数)的方法。 2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义? 答:二元函数f(x １,x2)在x0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式 ?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????= ????=?21]2 1[)0(并称它为函数f （x1，x2）在x0点处的梯度。 假设?? ????=2cos 1cos θθd 为D 方向上的单位向量,则有d T x f xo d f )0(?=?? 即函数f （x1,x2）在x ０点处沿某一方向d 的方向导数 xo d f ??等于函数在该点处的梯度)0(x f ?与d 方向单位向量的内积。 梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模就是函数变化率的最大值。 梯度与切线方向d 垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向,即最速下降方向。 2－2.求二元函数 212 2212122),(x x x x x x f +-+=在T x ] 0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。 解;由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向,这里用单位向量p 表示,函数变化率最大和数值时梯度的模) 0(x f ?。 求f （ｘ1，x ２）在ｘ0点处的梯度方向和数值,计算如下： ()??? ???-=??????+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 机械优化设计复习题 一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ．() *0F X ?= B. ()*0F X ?=,() *H X 为正定 C ．() *0H X = D. ()*0F X ?=,() *H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2 1+5x 2 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目标函数的极小值为（ ） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解 时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2 D.x 4 7.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21 T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 9.多元函数F(X)在点X * 附近的偏导数连续，?F(X * )=0且H(X * )正定，则该点为F(X)的 （ ）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 10.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）。 试验优化设计上机考核题目 2015-2016-（2）学期 制定：刘建永 （注：计算过程和思路在word文档中尽量写清楚，所用Minitab 或Excel计算过程保存，将计算所有文档保存在以学号和姓名为命名的文档内，打包提交。） 1 考察温度对烧碱产品得率的影响，选了四种不同温度进行试验，在同一温度下进行了5次试验（三数据见下表）。希望在显著性水平为0.05。 温度60度65度70度75度 90959691 92939690 得率（%） 88919793 89929489 92959288 ⑴写出误差离差平方和SSE和温度离差平方和SSA的计算公式； ⑵判断温度对烧碱得率是否有显著影响； ⑶用Tukey方法判断哪些水平间有显著差异？哪些水平间无显著差异？ 2 为研究线路板焊点拉拔力与烘烤温度、烘烤时间和焊剂量之间关系。从生产过程中收集20批数据，见下表: ⑴试建立拉拔力与各元素之间的回归模型； ⑵在显著性水平为0.05下，对回归模型进行ANOV A分析，并解释说明分析结果； ⑶从总效果方面度量回归模型的优劣，解释各项含义； ⑷对回归模型进行残差诊断。 3钢片在镀锌前需要用酸洗方法除锈，为提高除锈效率，缩短酸洗时间，需要寻找好的工艺参数。现在试验中考察如下因子与水平： 用L9(3)安排试验，用拟水平法将B2拟为B3,试验指标是酸洗时间（分钟）： 36 32 20 22 34 21 16 19 37 (1) 在满足等方差的正态分布前提下，对数据进行方差分析； （2）找出酸洗时间最短的水平组合，并对该水平组合下平均酸洗时间进行点估计。 4玉米淀粉改性试验，需考察两个指标：取代度、酯化率，两指标均为望大特征，试验因素和水平如下： (2)用综合评分法对试验数据进行直观分析，其中酯化率权重取0.6，取代度权重取0.4； 5 某钢厂生产一种合金，为降低合金的硬度需要进行退火处理，希望通过实验寻找合理的退火工艺参数，以降低硬度。现考察如下因子与水平： 88 （2）利用改造好的L8(4×24)安排试验，指标为洛氏硬度（HRc），8次试验结果为：31.6 31.0 31.6 30.5 31.2 31.0 33.0 30.3，利用折算系 数法对试验数据进行直观分析，要求找出最优水平组合，指明各因子显 著程度的顺序，画出各因子对指标的影响趋势图； 用Excel或Minitab对试验数据进行方差分析，要求写出各因子的离差平方和（SS）的计算公式，说明计算结果的各项含义，并根据方差分析结果说明各因子的 一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()2 2 121 212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ???? ，海赛矩阵 为2442-????-?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯 度法，其收敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。 《机械优化设计》复习题及答案 、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X (°)=[-0.5,0.5]T，第一 步迭代的搜索方向为[-47;-50]_________________ 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因 子 ________ 。 3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。 5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。 1 6、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。 2 7、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。 8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为 零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。 10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作 用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数f (x) x2 10x 36的极小点，初始搜索区间 [a,b] [ 10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36236] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设_________ 、 13、牛顿法的搜索方向d k= ______ ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 12+X22-X1X2-10x1-4x2+60 表示成-X T HX B T X C 的形 2 式 ________________________ 。 15、存在矩阵H，向量d1，向量d2,当满足(d1)TGd2=0 ，向量d1和向量d2是关于H共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子r数列，具有____________ 由小到大趋于无穷 ________________ 特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即 求 _____________ 。 第二单元流程与设计复习题 1.早期人们到银行存取款需要人工填单、记帐、确认等工作，自从引入计算机管理系统后，大大提高了工作效率，请问这种流程优化属于（） A、工期优化 B、技术优化 C、成本优化 D、质量优化 2.下面关于流程中环节和时序的说法正确的是( ) A．任何流程环节的时序都是可以调整的B．任何流程环节的时序都不能调整 C．有的流程时序可调整，有的流程时序不可调整D．环节多的流程才能调整 3．我国古代中医经过长期的实践，总结出了一套比较科学的诊断工作流程：望诊－>闻诊－>问诊－>切诊－>处方；但是现在，中医的诊断也借助西医的物理检验手段来加强中医的诊断准确度，这样的流程优化属于：（） A．工期优化B．技术优化C．成本优化D．质量优化 4．下面关于流程的叙述错误的是（） A．在生产活动中，针对各种不同的生产过程和工艺要求，往往会有相应的流程 Ｂ．流程有几个或多个环节组成 C．流程中各个环节出现的时间顺序是不能改变的 D．流程是指若干环节随着时间变化，依序完成的进程 5．下列图表中，不是流程图的是（）。 A．列车时刻表Ｂ．学校课程表C．产品加工工序表D．零件的三视图 6．2005年山东移动从建立服务体系．完善服务流程入手，实施了“流程穿越”项目，让公司的决策者．管理者和流程制订者深入基层，亲身体验业务受理的全过程，查找服务流程中存在的问题，从而来推动业务流程的优化及再造。这个案例说明该公司重点在进行（） A．工期优化Ｂ．技术优化C．成本优化D．质量优化 7、人们邮寄包裹的流程一般是：取包裹单——购买标准包装箱——包装密封——填写包裹单——交寄手续——收回执单。我们看到，它的全部过程，可以分解为若干个小的过程，每个小过程都有明确的任务。我们把这些小过程称为：（） A．步骤 B．时序C．环节 D．顺序 8、同样炒一种菜，若在出锅前放碘盐，碘的食用率可达62.3%，炸锅时放碘盐，碘的食用率仅为18.7%，这个事例说明科学合理的流程对生活有什么意义？（） A．提高工作效率B．提高生活质量 C．减少生活中的盲从 D．使生活更为安全 9、班级的课程表，属于流程图表达中的那个表达方式（） A、文字表达 B、图示表达 C、动画表达 D、表格表达 10、制作法兰以钢材为材料制造的用于管道等的连接器件。从制作工艺上看，有切削法和少切削法两种加工方法，从切削法到少切削法属于（） A、工期优化 B、工艺优化 C、成本优化 D、质量优化 11、我们要养成科学的饮食习惯，请你排列出正确的进餐流程（）①饭②菜③肉④汤 A．④②①③B．③①④②C．③①④②D．①②③④ 12、流程设计应考虑的基本因素是（）。 A材料 B技术水平 C设备 D内在属性和规律 13、下列有可能属于流程优化目的的是（）。 ①提高工作效率②提高产品质量③保护环境④节约成本 A①②B①③C④②D①②③④14、使用高压锅时要先放汽再开锅盖，否则有可能引发爆炸。从流程的角度来说，下列观点错误的是（）。 A．任何流程的时序都是可以更改的 B．不可颠倒的时序往往反映了事物的内在规律 C．合理正确的流程引导我们正确做事 D．生活中处处有流程 15、下列流程中，不属于工艺流程的有：（） A、企业事务处理的相应流程； B、制作一只景泰蓝手镯； C、制作一部动画片； D、宝马汽车流水线生产。 16.以下流程安排，合理的是：（） A．买票——上车——检票——候车 B．青霉素皮试——观察20分钟——无过敏反应——注射青霉素 C．冷藏螺钉——取出螺钉并快速送装配车间——隔天装配 D．购买电器元件——调试——焊接底座——做灯罩——组装台灯 17、小峰同学利用假日在他家后院种植一棵芒果树苗，其种植环节主要有： ①放树苗培土，②挖坑，③浇水，④施农家底肥，种植果树的正确流程是（） A、①②③④ B、②①③④ C、②④①③ D、①②④③ 18、在“水立方”钢结构设计流程优化过程中要考虑多种优化指标，以下哪些指标可以考虑（） ①工期优化②工艺优化③质量优化④技术优化⑤成本优化 A、①②③⑤ B、①③④⑤ C、①②③④ D、①②③④⑤ 19、公共汽车门口写有“先下后上”的字样，其道理是（） A、提醒乘客注意安全 B、为了提高速度 C、减轻负载 D、请乘客遵守流程 20、人们邮寄包裹的流程一般是：取包裹单——购买标准包装箱——包装密封——填写包裹单——交寄手续——收回执单。我们看到，它的全部过程，可以分解为若干个小的过程，每个小过程都有明确的任务。我们把这些小过程称为：（） A、步骤 B、时序 C、环节 D、顺序 21、煮饭时要先洗米、添水、插电，最后按开关，这是一个简单的流程。在这种流程中，做事的时间上的先后顺序称为（） A．次序 B. 先后 C. 时序 D. 顺序 二、判断题 1、流程就是做事的顺序，科学合理的流程就是高效率，就是高质量。（y ） 2、流程设计的基本因素主要有材料、工艺、设备、人员、资金和环境等。Y 3、流程都是以减少环节和改变时序来实现优化目的的。（n）试验优化设计与分析(教材)
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