高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法
步骤：①取值，设x
1＜x
2
, 并是某个区间上任意二值;
②作差：；或作商：,
≠0；
③变形向有利于判断差值符号的
方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；
（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；
2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；
3、配方，
当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函
数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；
④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
v1.0 可编辑可修改解：设－1 则f(x 1)－f(x 2 )＝－ ＝＝ ∵－1 1 2 ， ∴x 1－x 2 <0，x 1 ＋1>0，x 2 ＋1>0. ∴当a>0时，f(x 1)－f(x 2 )<0，即f(x 1 ) 2 )， ∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 当a<0时，f(x 1)－f(x 2 )>0，即f(x 1 )>f(x 2 )， ∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减． 例2.证明函数在区间 和 上是增函数；在 上为减函数。（增两端，减中间）证明：设，则 因为，所以 , 所以， 所以所以 设 则，因为， 所以，所以 所以 同理，可得 作商法： 例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）?f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1 （1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1 （2）求证：f（x）在R上是减函数． 证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）?f（n）， 令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）?f（0）， ∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0． ∴f（0）=1． 令m=x＜0，n=-x＞0， 则f（m+n）=f（0）=f（-x）?f（x）=1， ∴f（-x）f（x）=1， 又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1， ∴f(x)= 1 f(-x) ＞1． （1）设x1＜x2，则x1-x2＜0， 根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0． ∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）?f（x2）＞f（x2）， ∴函数f（x）在R上单调递减． （二）、运算性质法. 函 数 函数表达式单调区间特殊函数图像 一 次 函数 )0 (≠ + =k b kx y 当0 > k时，y在R上是增函数； 当0 < k时，y在R上是减函数。 二次函数 c bx ax y+ + =2 ) , , ,0 (R c b a a∈ ≠ 当0 > a时， a b x 2 - <时y单调减, a b x 2 - >时y单调增； 当0 < a时， a b x 2 - <时y单调增， a b x 2 - >时y单调减。 反 比例函数 x k y= R k∈ (且0 ≠ k) 当0 > k时,y在0 < x时单调减，在 > x时单调减； 当0 < k时,y在0 < x时单调增，在 > x时单调增。 指数函数 x a y= )1 ,0 (≠ >a a 当1 > a时，y在R上是增函数； 当1 0< 对数函数 x y a log = )1 ,0 (≠ >a a 当1 > a时，y在) ,0(+∞上是增函数； 当1 0< ,0(+∞上是减函 数。 关于函数单调的性质可总结如下几个结论： ①) (x f与) (x f+C单调性相同。（C为常数） ②当0 > k时，) (x f与) (x kf具有相同的单调性；当0 < k时，) (x f与) (x kf具有相反的单调性。 ③当) (x f恒不等于零时，) (x f与 ) ( 1 x f 具有相反的单调性。 ④当) (x f、) (x g在D上都是增（减）函数时，则) (x f＋) (x g在D上是增（减）函数。 ⑤当) (x f、) (x g在D上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，) (x f) (x g在D上是增（减）函数；当) (x f、) (x g在D上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，) (x f) (x g 在D上是减（增）函数。 ⑥设) (x f y=,D x∈为严格增（减）函数，则f必有反函数1-f，且1-f在其定义域) (D f 上也是严格增（减）函数。 例4.判断5 )1 ( 2 log ) (2 1 3 2 3+ + + + + =+x x x x x f x的单调性。 解:函数) (x f的定义域为) ,0(+∞，由简单函数的单调性知在此定义域内 3 2 3log , ,x x x均为增函数，因为0 21> + x,0 1 2> + x 由性质⑤可得)1 ( 22 1+ +x x也是增函数； 由单调函数的性质④知x x x 23 log ++为增函数， 再由性质①知函数)1(2log )(21 3 23 ++++=+x x x x x f x +5在),0(+∞为单调递增 函数。 例5.设函数)0()(>>++= b a b x a x x f ，判断)(x f 在其定义域上的单调性。 解:函数b x a x x f ++=)(的定义域为),(),(+∞-?--∞b b . 先判断)(x f 在),(+∞-b 内的单调性，由题可把 b x a x x f ++= )(转化为b x b a x f +-+=1)(，又0>>b a 故0>-b a 由性质③可得 b x +1为减函数；由性质②可得b x b a +-为减函数； 再由性质①可得b x b a x f +-+=1)(在),(+∞- b 内是减函数。 同理可判断)(x f 在),(b --∞内也是减函数。故函数b x a x x f ++=)(在 ),(),(+∞-?--∞b b 内是减函数。 （三） 、图像法. 根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例6.求函数的单 调区间。解： 在同一坐标系下作出函数的图像得 所以函数的单调增区间为 减区间为. （四）、同增异减法（复合函数法）. 定理1：若函数)(u f y =在U 内单调，)g(x u =在X 内单调，且集合{u ︳)g(x u =， X x ∈}U ? （1）若)(u f y =是增函数，)g(x u =是增（减）函数，则)]([x g f y =是增（减）函数。（2）若)(u f y =是减函数，)g(x u =是增（减）函数，则)]([x g f y =是减（增）函数。 归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减） 复合函数单调性的四种情形可列表如下： 显然对于大于2次的复合函数此法也成立。 推论：若函数)(x f y =是K(K ≥2),N K ∈)个单调函数复合而成其中有K m ≤个减函数： ① 是减函数时，则当)(12x f y k m =+=； ② 是增函数时，则当)(2x f y k m ==。 判断复合函数)]([x g f y =的单调性的一般步骤： ⑴合理地分解成两个基本初等函数)(),(x g u u f y ==； ⑵分别解出两个基本初等函数的定义域； ⑶分别确定单调区间； ⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 )]([x g f y =为增函数，若为一增一减，则)]([x g f y =为减函数（同增异减）； ⑸求出相应区间的交集，既是复合函数)]([x g f y =的单调区间。 以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。 例7.求)253(log )(2 -+=x x x f a （0>a 且1≠a ）的单调区间。 解：由题可得函数)253(log )(2 -+=x x x f a 是由外函数u y a log =和内函数 2532-+=x x u 符合而成。由题知函数)(x f 的定义域是),3 1 ()2,(+∞--∞ 。内函数 2532-+=x x u 在),3 1 (+∞内为增函数，在)2,(--∞内为减函数。 ①若1>a ，外函数u y a log =为增函数，由同增异减法则，故函数)(x f 在),3 1(+∞上 是增函数；函数)(x f 在()2,-∞-上是减函数。 ③ 若10< 1(+∞上是减函数；函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数。 例8. 求函数 的单调区间 解 原函数是由外层函数 和内层函数 复合而成的； 易知是外层函数 的单调增区间； 令，解得 的取值范围为 ； 函数单调性的判定方法 学生： 日期; 课时： 教师： 1.判断具体函数单调性的方法 定义法 一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； . （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3 R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 ).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212 221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 22 11221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。 ~ 例2.用定义证明函数x k x x f + =)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 复合函数单调性的判断))((x g f y = 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 1求函数y=2 1log （4x-x 2）的单调区间. 2、 求函数()2 31x y =的单调性及最值 3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A. ) (log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 2 3、求函数)12(log )(2 1+=x x f 的单调区间. 4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________； （2）函数)34(log )(2 2 1-+-=x x x f 的递减区间为_________ 5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ） （A ）)(1 x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 2 1x f y = （D ）2 )]([x f y = 7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ） （A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）1 2+- =x y （D ）x y -=1 20.函数 342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2] 21.函数y= 在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。 21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2 )的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞) 31.函数y =log a 2(x 2 -2x -3)当x <-1时为增函数，则a 的取值范围是 A.a >1 B.-11或a <-1 例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_____ 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_______。 分析如下： 令u=x 2-ax+3a ，y= u 。 因为y= u 在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u ＞0。 函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上，f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f = 用函数单调性定义证明 例1、用函数单调性定义证明: (1)为常数)在上是增函数. (2)在上是减函数. 分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论. 证明: (1)设是上的任意两个实数，且， 则 = 由得，由得， . ，，即 . 于是即 . 在上是增函数. (2) 设是上的任意两个实数，且， 则 由得，由得 .又 ， . 于是 即 . 在 上是减函数. 小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数 无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号. 根据单调性确定参数 例1、函数 在 上是减函数，求 的取值集合. 分析：首先需要对 前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究. 解：当 时，函数此时为 ，是常数函数，在 上不 具备增减性. 当 时， 为一次函数，若在 上是减函数，则有 ，解得 .故所求 的取值集合为 . 小结：此题虽比较简单，但渗透了对分类讨论的认识与使用. 例1、 设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a ，求a 的取值范围，使函数)(x f 在 区间[]+∞,0上是单调函数． 分析：由于函数的单调性不易直接判断，而且含有字母系数，求解过程中需要讨论字母的范围，因此可以从单调性定义出发，从定义求解释一种基本的方法，不可忽视． 解： 在[]+∞,0上任取1x ，2x ，使得21x x < )()(21x f x f -函数单调性的判定方法(高中数学)
函数的单调性 知识点与题型归纳
复合函数单调性的判断
高中一年级函数单调性完整版
用函数单调性定义证明