一元二次不等式及其解法导学案
一元二次不等式及其解法导学案
一、学习目标
（1）理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；
（2）进一步提高数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法；
（3）发扬集体合力，探究知识，共同进步。
二、本节重点
熟练掌握一元二次不等式的解法
三、本节难点
理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系 四、学法指导
1.结合导学案，完成问题导学部分，并标记自己的疑难点；
2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不玩的正课时再做；
3.找出自己的疑惑和需要谈论的问题准备上课谈论质疑.
【课前延伸】
一、探索研究，温故知新
问题 1.（1）22y x x =--二次函数 开口方向 ，与x 轴交点 。
小贴士：x 轴上的点的坐标具有形式（x ，0），因此点P （x ，0）是22y x x =--二次函数的图像与x 轴的交点? 202x x =-- 。
（2）根据22y x x =--二次函数的图像的开口方向及与x 轴交点，你能画出它的图像的简图吗？
问题 2. 点M (,)x y 22y x x =--二次函数的图像上当且仅当它的纵坐标22y x x =-- ，根据草图填空：
1. 函数的图像位于x 轴的上方，2020y x x x >?-->?∈ ，所以不等式220x x --> 的解集是 ；
2. 函数的图像在x 轴的上，2020y x x x =?--=?= ；
3.函数的图像位于x 轴的下方，2020y x x x
所以不等式220
--<的解集是。
x x
这种解一元二次不等式的方法，称为图像法。
二、总结规律：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式20
++>或
ax bx c
20
++<(0)
ax bx c
a>的解集；（为简便起见，暂只考虑0
a的情形。）
>
思考：若0
a<怎么办？
我的疑惑：（请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，带到课堂上与老师和同学们探究解决。）
【课内探究】
一、你帮我学，探究技巧
例1：解下列不等式：
（1）2340
x x
-+>（3）2230
-+-> x x
--≥（2）2
4410
x x
解：解：解：
例2：解下列不等式：
（1） 2430x x -+> （2）2430x x -+≤ 解： 解：
总结规律：
利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是：-
① 将二次项系数化为“+”，
② 计算判别式?，解方程
③ 画出简图，分析不等式的解的情况
④ 写出不等式的解集
化正----求根----画图----定范围
二、分工合作，小试牛刀
练习1 解下列不等式：
（1）0532>+-x x （2） 02732<+-x x
（3）01442<++x x （4）02--62≤x x
三、延伸拓展，变式训练
（一）例题3 解不等式：201
x x +≤- 分析：201
x x +≤-的解集与下列哪个不等式同解，说说为什么？ A 、(2)(1)0x x +-≤ B 、 (2)(1)0x x +-≤且(1)0x -≠
C 、(2)(1)0x x +-<
D 、(2)0x +≤ 且(1)0x -< 解：
（二）总结规律：分式不等式先转化为一元二次不等式，再解不等式。
（1）()0()
f x
g x > ? ；（2）()0()f x g x
1、收获与释疑。
2、让我们一起来小结，说说本节课主要需掌握的知识要点：
1）.一元二次不等式与相应的一元二次方程、一元二次函数的关系（见表）；
2）.用图像法解一元二次不等式的一般步骤；
3）.吧分式不等式转化为一元二次不等式解。
【课后提升】
完成课后练习124
P A组题
【教学反思】：职高学生数学基础知识相对比较薄弱，在教学时更加注重基础知识的掌握及学法的指导。在本节课中注重数形结合，通过画简图，让学生直观地掌握解一元二次不等式的方法；例后归纳小结，有法可循；讲练结合，及时巩固知识；；采用合作学习，互帮互学，共同探究学习，培养学生的合作精神，逐步提高学生的学习兴趣。
获县职业学校优秀导学案评比三等奖
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)导学案
§2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 导学目标： 1．从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，求解一元二次方程． 2．从函数观点看一元二次不等式．会结合一元二次函数图像，求解一元二次不等式． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式、方程与其相应函数的联系． （预习教材P 51~ P 53，回答下列问题） 情景：学校要在长为8，宽为6 的一块长方形地面上进行绿化， 计划四周种花卉，花卉带的宽度相同， 中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观， 现要求草坪的种植面积超过总面积的一半， 此时花卉带的宽度的取值范围是什么? 【知识点一】一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式. 其一般形式可表示为：2 0ax bx c ++>或2 0ax bx c ++<()0a ≠ 自我检测1：下列不等式中是一元二次不等式的是( ) A ．22 20a x x +≥ B ． 2 1 3x < C ．20x x m -+-≤ D ．32 410x x x +-+> 【知识点二】一元二次不等式的解法 下图是一元二次函数76y x x =--的图像，请根据图像回答： （1）当x 取 时，0y = 当x 取 时，0y < 当x 取 时，0y > 由上面可知： （2）一元二次不等式2 760x x --<的解集为 一元二次不等式2 760x x --<的解集为 有何发现：
第二章 一元二次函数、方程和不等式 - 2 - （3）一元二次方程2760x x --=的解集为 有何发现： 请归纳求解一元二次不等式()2 00ax bx c ++><的解集的步骤？ 自我检测2：一元二次不等式2 20x x -<的解集是 【知识点三】三个二次之间的关系 请根据右图回答： 一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠、 一元二次不等式()2 00ax bx c a ++>≠ 与其对应的一元二次函数()2 0y ax bx c a =++≠图像的关系？ （1）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x 是一元二次函数 ()20y ax bx c a =++≠图像与x 轴 ． （2）一元二次方程()2 00ax bx c a ++>≠的解集的端点是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的 ． （3）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x ，则 ． 自我检测3：不等式2 50ax x c ++>的解集为1 13 2x x ??<≠恒成立的充要条件是：0a >且2 40()b ac x -<∈R ． （2）2 0(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且2 40()b ac x -<∈R ．
一元二次不等式及其解法教学设计
一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范.
如何解一元二次不等式
如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方，
那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)， 显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时， 图像在x 轴的上方； 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0， 即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。 领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。 无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。
一元二次方程导学案教案
2010-2011学年度 第一学期初三数学电子备课 第 四 章 导 学 案 （总计13教时） 备课人：
一元二次方程（1） 一 、学习目标 1 正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2 知道一元二次方程的一般形式是c b a c bx ax 、、(02 =++是常数，0a ≠） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项； 3 理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件 4 通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。 二 、知识准备： 1、只含有____________ 个未知数，且未知数的最高次数是___________的整式方程叫一元一次方程 2、方程2（x+1）=3的解是________________ 3、方程3x+2x=含有_______ 个未知数，含有未知数项的最高次数是_______________ ，它____________ （填“是”或“不是”）一元一次方程。 三 、学习内容 1、 根据题意列方程： ⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。 设正方形桌面的边长是xm ，根据题意,得方程_______________，这个方程含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____。 ⑵如图4-1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，如果花园的面积是24㎡，求花园的长和宽。 设花园的宽是xm,则花园的长是（19－2x ）m,根据题意，得：x(19－2x)=24，去括号，得:______________这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次数是________。 ⑶如图，长5m 距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。（3＋x ）＋设梯子滑动的距离是xm ，根据勾股定理，滑动的梯子的顶端离地面4m ，则滑动后梯子的顶端离地面（4－x ）m ，梯子的底端与墙的距离是（3＋x ）m 。 根据题意，得： 25x 342 2=++-）（）（x 去括号，得：_____________________ 移项，合并同类项，得： -_________________此方程含有_____________个未知数，含有未知数项的最高次数是______。 2、概括归纳与知识提升： ⑴像0241922 =+-x x ，02 =-x x ，22 =x 这样的方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。 〖思考感悟〗判断下列方程是否是一元二次方程并说明理由。
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）2 50x x -<； （2）2 440x x -+>； （3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为： 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0?=， 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一： 原不等式整理得2 450x x -+<.
因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】 （1）方法一： 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为： 因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =，
一元二次不等式及其解法导学案
一元二次不等式及其解法导学案 【使用说明及学法指导】 1.结合导学案，完成问题导学部分，并标记自己的疑难点； 2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不玩的正课时在做； 3.找出自己的疑惑和需要谈论的问题准备上课谈论质疑. 【学习目标】 1.复习二次函数图象； 2.根据二次函数图象解一元二次不等式；3.归纳一元二次不等式的解 法； 4.一元二次不等式的解法的综合运用. 【重难点】一元二次不等式的解法和综合运用 【问题导学】画二次函数图象应画清楚：1.开口方向，2.对称轴，3.顶点，4.与x 轴的交点（如果有的话） 情景：一名跳水运动员进行10米跳台跳水，在正常情况下，运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。那么他最多有多长时间完成规定动作？假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距离水面的高度h(m)满足关系：2()5 6.510h t t t =-++ 1. 当x = 或 时，0y =，即2 230x x --=； 2. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的下方，则y 0，即2 23x x -- 0； （填≥、>、≤或<）. 所以不等式2 230x x --<的解集是 ； 3. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的上方，则y 0，即2 23x x -- 0； （填≥、>、≤或<）. 所以不等式2 230x x -->的解集是 ； 总结归纳：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式2 0ax bx c ++>或2 0ax bx c ++<(0)a > 的解集； 问题3：完成下表格，并回答思考问题：
小结1：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是： . 小结2：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系是： . 例1：解下列不等式： （1）2340 x x -+>（3）2230 -+-> 4410 x x --≥（2）2 x x 解：解：解：
完整版一元二次不等式及其解法教学设计
元二次不等式及其解法 设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高； 逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课 正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学 生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决 问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学 生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5 第三章《不等式》第二节一元 次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不 等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领 悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数 之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解 决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点】一元二次不等式的解法。 教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 教学策略】 探究式教学方法 创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）课前准备】教具：“几何画板”及PPT 课件. 粉笔：用于板书示范. 第1 页共4 页
一元二次不等式的解法(新版教材)
一元二次不等式的解法 基础知识 1．一元二次不等式的概念 一般地，形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是常数，而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． 2．一元二次不等式的解法 (1)因式分解法 如果x 1
故其解集为{x |－13≤x <1 4 }．故选B ． 3．①x 2＋x ＋1<0，②－x 2－4x ＋5≤0，③x ＋y 2＋1>0，④mx 2－5x ＋1>0，⑤－x 3＋5x ≥0，⑥(a 2＋1)x 2＋bx ＋c >0(m ，n ∈R )．其中关于x 的不等式是一元二次不等式的是__①②⑥__.(请把正确的序号都填上) 解析：①②是；③不是；④不一定是，因为当m ＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x 2的系数含有字母，但a 2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥. 4．不等式组0≤x 2－2x －3<5的解集为__(－2，－1]∪[3,4)__. 解析：由x 2－2x －3≥0得x ≤－1或x ≥3； 由x 2－2x －3<5得－2 一元二次不等式的解法（一） 学习目标： 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 2．掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。 3．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力 知识点一：一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式。比如： . 任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：)0(02>>++a c bx ax 或 )0(02><++a c bx ax . 知识点二：一般的一元二次不等式的解法 （ （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程)0(02 >=++a c bx ax ，计算判别式?; ①0>?时，求出两根21x x 、，且21x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0=?时，求根a b x x 221-==； ③0--x x ； （3）0652 >--x x （4）0442 >+-x x ； （5）0542 >-+-x x ； （6）23262x x x -++<- 举一反三： 【变式1】解下列不等式 （1）02322 >--x x ； （2）02232 >+--x x （3）01442 ≤+-x x ； （4）0322 >-+-x x . （5）()()() 221332x x x +->+ 【变式2】解不等式：（1）6662<--≤-x x （2）18342 <-≤x x 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 例2 不等式02 <-+n mx x 的解集为)5,4(∈x ，求关于x 的不等式012 >-+mx nx 的解集 举一反三： 【变式1】不等式0122 >++bx ax 的解集为{} 23<<-x x ，则a =_______, b =________ 【变式2】已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(，求关于x 的不等式0 12 >++ax bx 的解集. 类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3 已知关于x 的不等式03)1(4)54(2 2 >+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 举一反三： 【变式1】 若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为空集，求m 的取值范围. 【变式2】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解为一切实数，求m 的取值范围. 【变式3】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为非空集，求m 的取值范围. §2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 1．从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，求解一元二次方程．2．从函数观点看一元二次不等式．会结合一元二次函数图像，求解一元二次不等式．3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式、方程与其相应函数的联系． （预习教材P 51~P 53，回答下列问题） 情景：学校要在长为8，宽为6的一块长方形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观，现要求草坪的种植面积超过总面积的一半，此时花卉带的宽度的取值范围是什么? 下图是一元二次函数的图像，请根据图像回答： （1）当x 取 时，0y =当x 取时，0y <当x 取时，0 y >由上面可知： （2）一元二次不等式2 760x x --<的解集为 一元二次不等式2 760x x --<的解集为有何发现： 第二章一元二次函数、方程和不等式 -2-（3）一元二次方程2760x x --=的解集为有何发现： 请归纳求解一元二次不等式()2 00ax bx c ++><的解集的步骤？ 自我检测2：一元二次不等式2 20x x -<的解集是【知识点三】三个二次之间的关系请根据右图回答： 一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠、 一元二次不等式() 2 00ax bx c a ++>≠与其对应的一元二次函数()2 0y ax bx c a =++≠图像的关系？ （1）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x 是一元二次函数 ()20y ax bx c a =++≠图像与x 轴 ． （2）一元二次方程()2 00ax bx c a ++>≠的解集的端点是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的 ．（3）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x ，则 ． 【知识点四】一元二次不等式恒成立问题 （1）2 0(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是：0a >且2 40()b ac x -<∈R ．（2）2 0(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且2 40()b ac x -<∈R ． 一元二次不等式及其解法练习 班级： 姓名： 座号： 1 比较大小： （1）2 6+ （2）2 21)-； （3 ； （4）当0a b >>时，12log a _______12 log b . 2. 用不等号“>”或“<”填空： （1）,____a b c d a c b d >><>? （4）2211 0___a b a b >>?. 3. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）. A ．220x a << B ．22x ax a >> C ．20x ax << D ．22x a ax >> 4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11 a b <，③33a b >，④lg lg a b >， 其中成立的是 . 5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 . 6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小. 7. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（ ）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x < D ．随x 值变化而变化 8.（1）已知1260,1536,a a b a b b <<<<-求及的取值范围. （2）已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围. 9. 已知22 ππ αβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（ ）. A ．(,0)2 π - B ．[,0]2π - C ．(,0]2π- D ．[,0)2 π - 10.求下列不等式的解集. （1）2230x x +->； （2）2230x x -+-> （3）2230x x -+-≤. 一对一个性化辅导教案 一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如： 250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或，不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=?，它的解按照 0>?，0=?，0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集. 二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释： （1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0?>?=?<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式?： ①0?>时，求出两根12x x 、，且12x x <②0?=时，求根a b x x 221- ==； 一元二次不等式解法一、知识梳理 1．“三个二次”的关系 2.常用结论 (x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法 口诀：大于取两边，小于取中间． 二、例题讲解 题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式 例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝3 2 ， ∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(3 2，＋∞)， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3 2，＋∞)． 命题点2 含参不等式 例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1， ①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1一元二次不等式的解法
二次函数与一元二次方程、不等式导学案
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一元二次不等式及其解法例题分类
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