解：如图建立空间直角坐标系 ∴ )221,0,22(a a M - N （0,2
2
,22a a ）
21
)22(12)221()22(
022222+-=+-=-++=a a a a a MN ∴ 22=a 时，22
min =MN
[例5] 圆0251022
2=---++a ay ax y x （R a ∈）恒过两定点A 、B ，求A 、B 坐标。
解：0)102()25(2
2
=--+-+y x y x λ
??
?-==????=--=-+430
10202522y x y x y x 或???==05
y x ∴ )0,5(),4,3(B A -
[例6] 圆心在直线0=+y x 上，且过两圆C 1：0241022
2=-+-+y x y x ， C 2：082222=-+++y x y x 的交点的圆的方程。
解：0)822()24102(2
2
2
2
=-++++-+-+y x y x y x y x λ
∴ 0)248()102()22())(1(22=+-++-+++λλλλy x y x
即：0124
811021222
2
=++-++++-+
+λλλλλλx y x 圆心（λλλλ++-+--15,11） ∴ 015
11=++-+--λ
λλλ 2-=λ ∴ 086622=+-++y x y x
[例7] 求圆C 1：016222=+-++y x y x ，C 2：0112422=-+-+y x y x 的公共弦的长度。
解：0)1124()162(2222=-+-+++-++y x y x a y x y x
1-=λ时，为公共弦所在直线 l ：0643=+-y x
9)3()1(22=-++y x 圆心M （3,1-）
∴ 59436123),(22=++--=l M d 弦长524
222=
-=d R ∴ 公共弦长为5
24
[例8] 求与一系列圆02
9422
2
2
=+
--+a ay ax y x （0≠a ）均相切的直线方程。 解：2)2()(22
2a a y a x =-+- 圆心为（a a 2,）半径为a 2
2
∴ 圆心在x y 2=上（0≠a ）半径在变化 设切线为b kx y +=
（1）2=k 时，b kx y +=与x y 2=平行等距，不可能与所有圆相切 （2）2≠k 时，相交 0=b 时，交点为原点
0≠b 时，交点为某圆圆心
∴ 切线kx y = 21222
k
a ak a r +-=
= ∴ 1=k 或7=k ∴ x y l =:切或x y 7=
[例9] R k ∈，1-≠k ，方程：02010)104(222=++++++k y k kx y x 表示一系列圆，试判断其中任意两个圆的位置关系。
解：2
2
2
)1(5)52()(+=++++k k y k x 任取21k k ≠ ∴ 圆1C ：圆心C 1（52,11---k k ） 1511+=k r 圆2C ：圆心C 2（52,22---k k ） 1522+=
k r
21215k k C C -= ∴ )1,(21--∞∈k k 时，相内切 ),1(,21+∞-∈k k 时，相内切 其余相外切
[例10] y x ,满足6)3()3(2
2=-+-y x ，求
x
y
的最值。
解：（1）设
k x
y
= 012)1(6)1(6
)3()3(2
22
2=++-+????=-+-=x k x k y x kx y 0)1(48)1(3622≥+-+=?k k ∴ ]223,223[+-∈k
∴ ]223,223[+-∈x
y
（2）设P （y x ,）在圆上 Q （0，0） PQ k x
y
= kx y l =:与圆6)3()3(22=-+-y x 相切
2
1336k k +-= ∴ 223±=k ∴]223,223[+-∈x y
[例11] 过圆外一点P （b a ,）作圆222r y x =+的两条切线，切点为A 、B ，求AB l 的方程。
解：设A （11,y x ），B （22,y x ）
切线PA ：211r y y x x =+ 切线PB ：222r y y x x =+ 过P ∴ 211r by ax =+ 222r by ax =+
显然（11,y x ），（22,y x ）为方程2r by ax =+的解 ∴ AB l ：2r by ax =+
[例12] P 为曲线022
2=--y xy x 上一点，Q （1，0），求PQ 的最小值。
解：022
2=--y xy x 0)2)((=+-y x y x
曲线为两条相交直线
（1）1l P ∈ x y l =:1 ∴ ),(1min l Q d PQ =2
21
11=
+= （2）2l P ∈ 2l ：x y 2-=
5
5
24
12),(2min =
+=
=l Q d PQ ∴ 22min =PQ
【模拟试题】（答题时间：35分钟）
1. 已知A （4，1，3），B （1,5,2-），C （3，7，λ），若AC AB ⊥，则=λ 。
2. ABC ?顶点为A （11,2,1-），B （4，2，3），C （6，1-，4），则A B C ?为 。
3. P （6，5，1），l ：y x 0平面内的直线1=+y x ，求过P 到l 的距离。
4. 求过直线042=++y x 和圆01422
2=+-++y x y x 交点且面积最小的圆。 5. 点P 在直线m y x =+上，由P 向圆102
2=+y x 引两条切线，若PB PA ⊥，求m 的
取值范围。
6. y x ,满足方程0124622=+--+y x y x ，求2
2y x +最值。
7. 如果（m ,2），（4，1），（5，33+），（6，3）四点共面，则=m 。 8. 圆422=+y x 与圆044422=+-++x y y x 关于直线l 对称，则l 的方程为 。 9. 求过原点且与直线022:,092:21=+-=-+y x l y x l 相切的圆的方程。
【试题答案】
1. AC AB ⊥ ∴ 2
22
AC AB BC
+=
∴ 22)3(3614364)1(1441-+++++=-++λλ ∴ 14-=λ 2. 89=AB 14=BC 75=CA ∴ ABC ?为?Rt
3. 设A （0,1,x x -）
51)1(2)10()51()6(222+-=-+--+-=2x x x PA
∴ 1=x 51min =
PA ∴ 距离为51 4. 4)2()1(22=-++y x 圆心C （2,1-） ∴ 5
5
45
4
22),(=
++-=
l c d 所求圆半径为5
5
2516422=
-
=-=
d R r ???
????
=-=??????+=-=++56513)1(21
2042y x x y y x ∴ 圆54)56()513(22=-++y x 5. 点P ),(00y x 在m y x =+上 ∴ 00x m y -= P 切圆于A 、B
又 ∵ PB PA ⊥ ∴ 正方形OAPB ∴ 52=PO ∴ 52),(≤l P d 即可
521
1≤+m ]102,102[-∈m
6. 1)2()3(2
2=-+-y x 圆心C （3，2） 半径1=r
OP y x y x =-+-=+2222)0()0( P （y x ,）在圆上
∴ 22max 22)131()()(+=+=+r OC y x
22min 22)113()()(-=-=+r OC y x 7. 3 8. 02=--y x
9. 设圆：2+=-+-b a b y a x 222)()( 即：0222
2=--+by ax y x
∴ 225
22592b a b a b a +=+-=-+
∴ ?????+=+-+=-+)(5)22()(5)92(2
222
22b a b a b a b a ∴ ???==12b a 或???????-==531522b a 5=r 55
17
=r ∴ 圆：02422=--+y x y x 或06244552
2=+-+y x y x
