一、 填空题
(1) 随机抽取5名学生的概率考试成绩分别为:80、65、72、88、95,则样本均值=x ,样本方差=2s 。
(2) 设总体)(~3πX ,
2121X X X ,,, 是来自X 的样本,则() =X E ,() =X D ,()
2=S E 。 (3) 已知1021,,,X X X 是来自总体()2,~σμN X 的一个简单随机样本,若
3212X aX X ?+是μ的无偏估计量,则 a = ;若3122X bX X ?是2σ的
无偏估计量,则 b = 。
(4) 设,,,n X X X 12…是来自总体~(,)X N μσ2的一个简单随机样本,若
,n n a X a X a X +++1122…是μ的无偏估计,则(,,,)i a i n =12…应满足的条件为 。
(5) 为了解灯泡使用寿命的均值μ及标准差σ,测量10个灯泡得1500=x 小时,20=s 小时,若已知灯泡使用寿命服从正态分布,则μ及σ的置信水平为95%的置信区间分别是 , 。
二、计算题
1. 已知飞机乘客购票后按期搭机的概率为0.9,假定各乘客的行动是独立的,利用中心极限定理,求在100位购票后的飞机乘客中至少有85位乘客按期搭机的概率。
2.一个复杂的系统由n 个相互独立起作用的部件组成,每个部件正常工作的概率为0.9,且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作,问n 至少为多大时才能使系统的可靠性不低于0.95?
3.设总体X 的概率密度为 1101(),(),x x f x x θθ?+?>=?≤?
其中1>θ为未知参数,n X X X ,....,,21是来自总体X 的一个样本,n x x x ,....,,21是对应样本的一组观测值,求参数θ的矩估计值与最大似然估计值。
4. 设总体X 的概率密度分布为 X
0 1 2 3 p 2θ )1(2θθ? 2θ θ21?
其中2
10(<<θθ为未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,0,3,1,2
求θ的矩估计值和最大似然估计值。
5. 食品公司销售一种果酱,已知按标准规格每罐净重)
5,250(~2N X (单位:克)。现该公司从生产果酱的工厂进了一批货,抽取其中36罐,测得平均净重为248克。问在显著性水平01.0=α下该批果酱是否符合标准?
6.已知“农夫果园”饮料中的维生素C(Vc)的含量服从正态分布,按照规定Vc 的平均含量不得少于21mg。现随机取了17瓶“农夫果园”饮料,算得Vc 的平均含量23=x ,样本方差2298.3=s ,问该批饮料Vc 的含量是否合格?(取显著性水平050.=α)
一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故
数理统计部分 一、统计量及其分布 1.设X ~2(,)N μσ其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 样本,则下列选项中不是统计量 的是 A )123X X X ++ B )123max{,,}X X X C )2 3 2 1i i X σ=∑ D )1X μ- 2.若X ~()t n 那么2X ~ A )(1,)F n B )(,1)F n C )2()n χ D )()t n 3.设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本,令221234()(),Y X X X X =++- 则当C = 时CY ~2(2)χ。 4.设总体(0,1)X N ,12,,,n X X X ???是总体的一个样本, 则统计量1Y = 与2Y = 都 服从 分布,其分布的参数分别为 和 . 5.设总体2 (0,)X N σ,而1215,,,X X X ???是总体的一个样本,则()22 11022 11152X X X X ++++服从 分布,其分布的参数分别为 二、参数估计 1.已知总体X 的概率密度函数为 1 ,021 (,),12(1)0,x f x x θθ θθθ?<??=≤-???? 其它 其中参数01θθ<<()未知,12,,,n X X X ???是总体的一个样本,X 是样本均值,则 ⑴求参数θ的矩估计量; ⑵判断24X 是否是2θ的无偏估计,并说明理由. 2.总体X ~2(,)N μσ,2σ已知,n ≥ 时,才能使总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间长不大于L (A )152σ/2L (B )15.36642σ/2L (C )162σ/2L (D )16 三、假设检验
---------------------------------------- 说明:本试卷总计100分,全试卷共 5 页,完成答卷时间2小时。 ---------------------------------------- 一、填空题(本大题共8小题,每题4分,共32分) 1、随机事件A 、B 互不相容,且A =B ;则()P A = 2、已知,10/1)/(,5/1)(,5/2)(===B A P B P A P 则=+)(B A P 3、同时掷三枚均匀硬币,则恰有两枚正面向上的概率为 。 4、若随机变量)2.0,20(~B X ,则X 的最可能值是 。 5、若n X X X ,...,,21为来自泊松分布)(λP 的一个样本,2,S X 分别为样本均值和样本方差,则 =)(X E ,=)(2S E 。 6、样本0,5,10,-3样本均数为 ,样本方差为 。 7、2σ已知时检验假设0100:;:μμμμ≠=H H ,应构造统计量为 ,拒绝域为 。 8、考查4个3水平的因子A,B,C,D 及其交互作用A ×B 与A ×C ,则做正交实验设计时,可选用的行数最少的正交表为 。 二、单项选择题(本大题共8小题,每题4分,共32分) 1、设随机事件A 、B 互不相容,且()0,()0,P A P B >>则下列结论只有( ) 成立。 A 、A 、 B 是对立事件; B 、A 、B 互不相容; C 、A 、B 不独立; D 、 A 、 B 相互独立。 2、射击三次,事件i A 表示第i 次命中目标(i =1,2,3),下列说法正确的是( )。 A 、321A A A 表示三次都没击中目标; B 、313221A A A A A A ++表示恰有两次击中目标; C 、313221A A A A A A ++表示至多一次没击中目标;D 、321A A A 表示至少有一次没击中目标。 3、随机变量),(~2σμN X ,则随着σ的减小,)|(|σμ<-X P 应( )。 A 、单调增大; B 、单调减少; C 、保持不变; D 、增减不能确定
四川理工学院试卷(2014至2015学年第1学期) 课程名称:数理统计(A 卷) 命题教师: 适用班级:统计系2013级1、2班 注意事项: 1、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方,否则视为废卷。 3、考生必须在签到单上签到,若出现遗漏,后果自负。 4、如有答题纸,答案请全部写在答题纸上,否则不给分;考完请将试卷和答题卷分别一同交回,否则不给分。 试 题 一、填空题(每空3分,共 24 分) 1. 设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本, 2σ已知,令∑==16 1161i i X X ,统计量σ -164X 服从分布为 (写出分布的参数)。 2. 设),(~2σμN X ,而1.70,1.75,1.70,1.65,1.75是从总体X 中抽取的样本,则μ的矩估计值为 __________ 。 3. 设12,, ,n X X X 是来自总体X ~(1,1)U -的样本, 则()E X =___________, ()Var X =__________________。 4.已知~(,)F F m n ,则 1 ~F
5. ?θ和?β 都是参数a 的无偏估计,如果有_________________成立 ,则称?θ是比 ?β 有效的估计。 6.设()2,0.3X N μ~,容量9n =,均值5X =,则未知参数μ的置信度为0.95 的置信区间是___________________ (查表0.975 1.96U =) 7. 设123456,,,,,X X X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本,令 22123456()()Y X X X X X X =+++-- 则当C = 时CY ~2(2)χ。 二、选择题(每小题3分,共 24分 ) 1. 已知n X X X ,,,21 是来自总体2(,)N μσ的样本,μ已知,2σ未知,则下列是统计量的是( ) (A )2 1()n i i X X =-∑ (B ) 22 1 1 ()n i i X X σ =-∑ (C) 2 211 ()n i i X μσ=-∑ (D) 2 21 ()11n i i X n μσ=--∑ 2.设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN 的一个样本,X 为样本均值,则在总体方差2σ的下列估计量中,为无偏估计量的是( ). (A )221 11?()n i i X X n σ==-∑ (B )2221 1?()1n i i X X n σ==--∑ (C)223 11?()n i i X n σμ==-∑ (D)2 241 1?()1n i i X n σμ==--∑ 3. 设81,,X X 和101,,Y Y 是分别来自相互独立的正态总体)2,1(2-N 和)5,2(N 的 样本, 21S 和2 2S 分别是其样本方差,则下列服从)9,7(F 的统计量是( ) )(A 222152S S )(B 22 2 145S S )(C 2 22154S S )(D 222125S S
·1· 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L , 135{,,}A e e e =。 (2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 ( 3 ) {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = ( 4 ) {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用,,A B C 表示下列事件:
数理统计考试试卷 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得 备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A) (B) (C) (D) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A)就是得矩估计(B)就是得极大似然估计 (C)就是得无偏估计与相合估计(D)作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A)不能确定(B)接受(C)拒绝(D)条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B、 三、(本题14分) 设随机变量X得概率密度为:,其中未知 参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。 解:(1) , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:, 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。 四、(本题14分)设总体,且就是样本观察值,样本方差,
数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样,如果),,(21n X X X g , 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体 ),,(~2 N X 已知,则在求均值 的区间估计时,使用的随机变量为 n X 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布,根据来自母体的容量为100的子样,测得子样均值为5,则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%,今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%, 此问题的原假设为 。 0H :05.0 p 6、某地区的年降雨量),(~2 N X ,现对其年降雨量连续进行5次观察,得数据为: (单位:mm) 587 672 701 640 650 ,则2 的矩估计值为 。 1430.8 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N , 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差,令2*2222*121)(,S b a aS ,已知)4(~),20(~22 2221 ,则__________, b a 。 用 )1(~)1(22 2 * n S n ,1,5 b a 8、假设随机变量)(~n t X ,则 2 1 X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ,则____ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F
创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ;
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)?
材料学院研究生会 学术部 2011年12月 2007-2008学年第一学期期末试卷 一、(6分,A 班不做)设x 1,x 2,…,x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本,令 )x x T -= , 试证明T 服从t -分布t (2) 二、(6分,B 班不做)统计量F-F(n,m)分布,证明 111(,)F F n m αααα-的(0<<1)的分位点x 是。 三、(8分)设总体X 的密度函数为 其中1α>-,是位置参数。x 1,x 2,…,x n 是来自总体X 的简单样本,试求参数α的矩估计和极大似然估计。 四、(12分)设总体X 的密度函数为 1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ??-? -≥??? =????? ,其它, 其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知,是未知参数。x 1,x 2,…,x n 是来自总体X 的简单样本。 (1)试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧ ; (2)σ∧ 是否为σ的有效估计?证明你的结论。
五、(6分,A 班不做)设x 1,x 2,…,x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本,y 1,y 2,…,y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本,且两样本相互独立,其中221122,,,μσμσ是未知参数,2212σσ≠。为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z 1,z 2,…,z n ,在显著性水平α下,试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。 六、(6分,B 班不做)设x 1,x 2,…,x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本,0μ已知,2σ未知,试求假设检验问题 22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α 的UMPT 。 七、(6分)根据大作业情况,试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面? 八、(6分)设方差分析模型为 总离差平方和 试求A E(S ),并根据直观分析给出检验假设012:...0P H ααα====的拒绝域形式。 九、(8分)某个四因素二水平试验,除考察因子A 、B 、C 、D 外,还需考察A B ?,B C ?。今选用表78(2)L ,表头设计及试验数据如表所示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。
第一章:统计量及其分布 19.设母体ξ服从正态分布N (),,2 σμξ 和2 n S 分别为子样均值和子样方差,又设 ()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量 1 1 1+--+n n S n n ξ ξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从??? ??+21, 0σn n N 分布. 所以 ()1,0~12 1N n n n σξ ξ+-+ 而 ()1~22 2 -n nS n χσ 且2 n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以 ()1~1111--÷+--+n t S n n n n S n n n σ ξ ξ分布. 即 1 1 1+--+n n S n n ε ε服从()1-n t 分布. 20. (),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布 N () ρσσ μμ2 2212 1 ,,,的子样,设 ()∑∑∑===-===n i i i n i n i i n S n n 12 111, 1,1ξξηηξξξ 2 ,()2 1 21∑=-=n i i n S ηηη和 ()() () ()∑∑∑===----= n i i n i i i n i i r 1 2 21 1 ηηξξ ηηξξ 试求统计量 () 122 2 21--+---n S rS S S η ξηξμμηξ的分布. 解: 由于() .21μμηξ-=-E ()() = -+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D n n n n 2 12 22 12σσρ σσ-+ . 所以 ()() n 2 12 22 121 2σρσσσμμ ηξ-+---服从()1,0N 分布 . () ()()()() ()()[] 2 1 1 2 1 2 1 212 22 122ηξηξ ηηξξηηξξ---=----+-=-+∑ ∑∑∑====i i n i i i n i i n i i n i S rS S S n
第一章 事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间。 (1)记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 (设以百分制记分)。 (2)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和。 (3)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产 品的总件数。 (4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记上 “正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品 就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的 结果。 (5)在单位正方形内任意取一点,记录它的坐标。 (6)实测某种型号灯泡的寿命。 解(1)},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 (2)}18,,4,3{ =Ω。 (3)},11,10{ =Ω。 (4)=Ω{00,100,0100,0101,0110,1100, 1010,1011,0111,1101,0111,1111},其中 0表示次品,1表示正品。 (5)=Ω{(x,y)| 0 (2)A 与B 都发生,而C 不发生。 (3)A ,B ,C 中至少有一个发生。 (4)A ,B ,C 都发生。 (5)A ,B ,C 都不发生。 (6)A ,B ,C 中不多于一个发生。 (7)A ,B ,C 至少有一个不发生。 (8)A ,B ,C 中至少有两个发生。 解 (1)C B A ,(2)C AB ,(3)C B A ++,(4)ABC , (5)C B A , (6)C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++, (7)C B A ++, (8)BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3.指出下列命题中哪些成立,哪些不成立,并作 图说明。 (1)B B A B A =(2)AB B A = (3)AB B A B =?则若,(4)若 A B B A ??则, (5)C B A C B A = (6)若Φ=AB 且A C ?, 概率论与数理统计试题 与答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】概率论与数理统计试题与答案