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2017年北师大版九年级数学上册全册导学案(含答案)

第1课时菱形的性质

1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形

的关系；

2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合

情推理能力；

3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能

力.

自学指导：阅读课本P2~4，完成下列问题.

1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

3.菱形具有平行四边形的一切性质.

2.菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.它有两条对称轴,两条对称轴互相垂直.

4.菱形的四条边都相等.

5.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

知识探究

1.请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：

(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？

(2)菱形中有哪些相等的线段？

解：（1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。（1）菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等.

自学反馈

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.

(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？

(2)有哪些特殊的三角形?

活动1 小组讨论

例1已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD,对角线AC 与BD 相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD ；（2）AC ⊥BD.

证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，

∴AB = CD ，AD= BC （菱形的对边相等）. 又∵AB=AD ， ∴AB=BC=CD=AD. (2)∵AB=AD,

∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形ABCD 是菱形,

∴OB=OD （菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD 中， ∵OB=OD, ∴AO ⊥BD, 即AC ⊥BD.

例2 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.

解：∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD(菱形的四条边都相等)， AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直）， OB=OD=

21BD=21

×6=3（菱形的对角线互相平分）.

在等腰三角形ABD 中， ∵∠BAD=60°, ∴△ABD 是等边三角形. ∴AB=BD=6.

在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OA 2+OB 2=AB 2 .

∴OA=

.333362222=-=-OB AB ∴AC=2OA=.36

此题由菱形的性质可知AB=AD ，结合∠BAD=60°，即可得到△ABD 是等边三角形，从而可

求AB 的长度.在根据菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形，通过勾股定理可求AO,继而求出AC.

活动2 跟踪训练

1.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误．．

的是（） A ．AB ∥DC B ．AC=BD C ．AC ⊥BD D ．OA=OC

2.如图，在菱形ABCD 中，

AC ＝6, BD ＝8,则菱形的边长为（）

A.5

B.10

C.6

D.8

3.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（）

C.23cm

D.223cm

4.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（） A ．(21)，

B ．(12)，

C ．(211)+，

D ．(121)+，

5.如图，在菱形ABCD 中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC 等于 .

6.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于．

7.如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上任意一点连结AE、CE，请找出图中一对全等三角形为

______________.

8.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=1

2 BE.

课堂小结

1.菱形的定义.

2.菱形的性质.

3.菱形与平行四边形的关系.

教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.

【预习导学】

自学反馈

解：（1）相等的线段：AB=CD=AD=BC，OA=OC，OB=OD.

相等的角：∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA，∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°，∠1=∠2=∠3=∠4，∠5=∠6=∠7=∠8.

（2）等腰三角形：△ABC △DBC △ACD △ABD

直角三角形：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA

【合作探究】

活动2 跟踪训练

1.B

2.A

3.D

4.C

5.5

6.3

7.ABD CDB

△≌△（或ADE CDE

△≌△或ABE CBE

△≌△）

8.∵ABCD是菱形，∴AD//BC，AB=BC=CD=DA.又∵∠ABC= 60°，∴BC=AC=AD.∵DE∥AC，∴ACED为

平行四边形.∴CE=AD=BC，DE=AC. ∴DE=CE=BC，∴DE=1

2 BE.

第2课时菱形的判定

理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题

自学指导：阅读课本P5~7，完成下列问题.

知识探究

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四边相等的四边形是菱形.

自学反馈

1.判断下列说法是否正确：

(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；( )

(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；( )

(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；( )

(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.( )

2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

(1)若AB=AD，则□ABCD是形；

(2)若AC⊥BD，则□ABCD是形；

(3)若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是形.

活动1 小组讨论

例1. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.

求证: □ABCD是菱形.

[ 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC.

又∵AC⊥BD,

∴BD是线段AC的垂直平分线.

∴BA=BC.

∴四边形ABCD是菱形(菱形定义).

例2已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.

求证:四边形ABCD是菱形.

证明:∵AB=CD,AD=BC,

∴四边形ABCD是平行四边形.

又∵AB=BC,

∴四边形ABCD是菱形(菱形定义).

活动2 跟踪训练

1.如图，在

ABCD中，添加下列条件不能判定是菱形的是( )

A．AB=BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC=BD

2.已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）

A．AD平分∠BAC B．AB＝AC，且BD＝CD

C．AD为中线 D．EF⊥AD

A B D C

3.将一张矩形纸片对折，如图所示，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）

A.三角形

B.不规则的四边形

C.菱形

D.一般平行四边形

①

②

4.如图，

在ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线.添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是（）

A ．AE=AF

B ．EF ⊥AC

C ．∠B=600

D ．AC 是∠EAF 平分线

5.如图所示，在

ABCD 中，AC BD ⊥，E 为AB 中点，若OE ＝3，则

ABCD 的周长是

6.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是E 、F ，并且DE=DF ．求证：（1）△ADE ≌△CDF ；

（2）四边形ABCD 是菱形．

7.如图，□ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，A B=5，AC=8，DB=6. 求证:四边形ABCD 是菱形.

课堂小结

菱形常用的判定方法：

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.有四条边相等的四边形是菱形

教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分

【预习导学】自学反馈

1.（1）× （2）√ （3）× （4）×

2.（1）菱（2）菱（3）菱

【合作探究】活动2 跟踪训练

1.D

2. C

3. C

4. C

5. 24

6.证明：（1）∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠AED=∠CFD=90°. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C.

∵在△AED 和△CFD 中,??

??=∠=∠∠=∠,,DF DE C A CFD AED ，

∴△AED ≌△CFD （AAS ）. (2)∵△AED ≌△CFD ，∴AD=CD .

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形． 7.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC=4,OB=OD =3.

又AB=5，则32+42=52，即OA 2+OB 2=AB 2. ∴∠AOB=90°,即AC ⊥BD,

∴四边形ABCD是菱形.

第3课时菱形的性质与判定的综合

1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.

2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.

3.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力.

阅读教材P8-9，能灵活运用菱形的性质及判定.

自学反馈

1.如图所示：在菱形ABCD中，AB=6，

(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？

(2)对角线AC与BD有什么位置关系？

(3)若∠ADC=120°，求AC的长.

(4)菱形ABCD的面积.

活动1 小组讨论

例1 如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.

求：(1)对角线AC 的长度； (2)菱形ABCD 的面积.

解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD,即∠AED=90°， DE=

BD ×10=5（cm ） ∴在Rt △ADE 中，由勾股定理可得：

∴AC=2AE=2×12=24(cm). （2）S 菱形ABCD = S △ABD + S △CBD =2×S △ABD =2×

×BD ×AE

= BD ×AE=10×12=120(cm 2).

菱形的面积除了以上求法，还可以用对角线相乘除以2.

活动2 跟踪训练

1.如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，它的一条对角线BD 长10cm ，则∠ABC= °， AC= cm.

2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=4cm ，BD=8cm ，则这个菱形的面积是 cm 2．

3. 如图，四边形ABC D 中，AB=AC=AD ，BC=CD ，锐角∠BAC 的角平分线AE 交BC 于点E ，AF 是CD 边上的中线，且PC ⊥CD 与AE 交于点P,QC ⊥BC 与AF 交于点Q ．求证：四边形APCQ 是菱形．

课堂小结

通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？

教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.

【预习导学】

自学反馈

解：(1)6.

(2)垂直平分.

(3)3

(4)3

18.

【合作探究】

活动2 跟踪训练

1.120°3

2.16

3.解：由AB=AC=AD，可知△ABC、△ADC是等腰三角形．

∵AE是∠BAC的角平分线，AF是CD边上的中线，则∠AEC＝∠AFC＝90°．

∵PC⊥CD，QC⊥BC，

∴∠QCE＝∠PCD＝90°．

∴AE∥QC，PC∥AF，

∴四边形APCQ是平行四边形．

在Rt△PEC和Rt△QFC中，∠PEC＝∠QFC＝90°，∠PCE＝90°－∠PCQ＝∠QCF，由BC=CD，可知EC＝CF，

∴Rt△PEC≌Rt△QFC，

∴PC＝CQ．

∴平行四边形APCQ是菱形．

第1课时矩形的性质

1.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系.

2.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;

3.会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．

自学指导：阅读课本P11~14，完成下列问题.

1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.生活中你见到过的矩形有五星红旗、毛巾.

3.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质.

4.矩形的四个角都是直角.

5.矩形的对角线相等.

6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

知识探究

1.在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.

(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？

操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质.

矩形性质1 矩形的四个角都是直角.

矩形性质2 矩形的对角线相等.

2.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OB与AC是什么关系？

[

解：由矩形性质2得：AC=BD，再由平行四边形性质得：AO=OC，BO=OD，所以AO=BO=CO=DO=1

AC=BD.

因此可得直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

3.请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

（1）矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？

（2）矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?

解：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

自学反馈

1.矩形是轴对称图形吗?如果是的话它有几条对称轴?

2.请用所学的知识诊断下面的语句,若正确请在括号里打“√”，若“有病”请开药方：

(1).矩形是特殊的平行四边形,特殊之处就是有一个角是直角.( )

(2).平行四边形是矩形.( )

(3).平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有.( )

3.已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;

活动1 小组讨论

例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长.

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴ AC=BD(矩形的对角线相等),

OA=OC=

AC ，OB=OD=

BD. ∴OA=OD. ∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD=

(180°-120°)= 30°. 又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角), ∴BD=2AB=2×2.5=5. 活动2 跟踪训练

1.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（）

A ．对边相互平行

B ．对角线相等

C ．对角线相互平分

D ．对角相等

2.如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为（） A.3∶2 B.2∶1 C.1.5∶1 D.1∶1

3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是（）

A.8

B.6

C.4

D.2

4.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 为AB 、AC 的中点．则下列结论中错误的是（） A.CD ＝AD B.∠B ＝∠BCD C.∠AED ＝90° D.AC ＝2DE

A B C

5.在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上中线长为 .

6.矩形的一条对角线长10cm ，且两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的宽为 cm .

7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ， BC=8cm ，则△AEF 的周长= cm ．

8.如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE ＝2，矩形的周长为16，且CE ＝EF ，则AE ＝_______．

A B C

9.在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE=AD ，DF ⊥AE ，垂足为F.求证：DF=DC ．

课堂小结

1.矩形的定义及性质.

2.矩形是角特殊的平行四边形，决定了矩形的四个角都是直角，对角线相等.

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分

【预习导学】自学反馈

1.解：既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有两条.

2.(1)√ (2)× (3)√

3.6

【合作探究】活动2 跟踪训练

1.B

2.B

3.C

4.D

6.5 6.5

7.9

8.3

9.解：连接DE ．∵AD=AE ，∴∠AED=∠ADE ． ∵矩形ABCD ，

∴AD ∥BC ，∠C=90°．

∴∠ADE=∠DEC ，∴∠DEC=∠AED ．又∵DF ⊥AE ，

∴∠DFE=∠C=90°． ∵DE=DE ，

∴△DFE ≌△DCE ．∴DF=DC ．

第2课时矩形的判定

1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他