09年全国初中数学联赛试题及答案
09年全国初中数学联赛试题及答案
时间：2009-6-3 14:33:52 点击：15833
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1. 设
，则
（ ）
A.24.
B. 25.
C. .
D.
.
2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝ （ ）
A..
B.
. C.
. D.
.
3．用
表示不大于
的最大整数，则方程
的解的个数
为 （ ）
A.1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）
A..
B. .
C. .
D. .
5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则
CBE ＝ （ D ）
A..
B. .
C. .
D. .
6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（）
A.3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.
2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.
3．如果实数满足条件，，则______.
4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对.
第一试答案：ACCBDB；－3，，－1，－7
第二试（A）
一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.
解: （1）易求得点的坐标为，设，，则，.
设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以O A×OB＝O C×OD，则.
因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).
（2）因为AB⊥C D，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，
即.
又，所以
，解得.
二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是
△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.
解作E⊥AB于E，F⊥AB于F.
在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.
又C D⊥AB，由射影定理可得，故，
.
因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝.
连接D、D，则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠DC＝∠
DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，
.
同理，可求得，. 所以＝.
三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：
①
②
证明：以为三边长可构成一个直角三角形.
证法1将①②两式相乘，得，
即，
即，
即，
即，
即，
即，即，
即，
所以或或，即或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形.
证法2结合①式，由②式可得，
变形，得③
又由①式得，即，
代入③式，得，即
.
，所以或或.
结合①式可得或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形.
第二试（B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC 的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.
解因为BN是∠ABC的平分线，所以.
又因为C H⊥AB，所以
，
因此.
又F是QN的中点，所以C F⊥QN，所以，因此C、F、H、B 四点共圆.
又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.
同理可证，点E在CH的中垂线上.
因此E F⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.
第二试（C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：
①
②
是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1将①②两式相乘，得，即，
即，
即，
即，即，
即，即，
即，
所以或或，即或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
解法2结合①式，由②式可得，
变形，得③
又由①式得，即，
代入③式，得，即
.
，
所以或或.
结合①式可得或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
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中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若，则的值为（）．
（A）（B）（C）（D）
解：由题设得．
2．若实数a，b满足，则a的取值范围是（）．
（A）a≤ （B）a≥4（C）a≤ 或a≥4（D）≤a≤4
解．C
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程
的判别式≥0,解得a≤ 或a≥4．
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB= ，BC= ，CD＝，则AD边的长为（）．
（A）（B）
（第3题）
（C）（D）
解：D
如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得
（第3题）
BE=AE= ，CF＝，DF＝2 ，
于是 EF＝4＋．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD ＝．
4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，
（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（）．
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
解：B
由和可得
，，，，
，，，，
……
因为2010=4×502+2，所以 =2．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋
转180°得点P
1，点P
1
绕点B旋转180°得点P
2
，点P
2
绕点C旋转180°得点P
3
，
点P
3绕点D旋转180°得点P
4
，……，重复操作依次得到点P
1
，P
2
，…，则点
P
2010
的坐标是（）．
（第5题）
（A）（2010，2）（B）（2010，）
（C）（2012，）（D）（0，2）
解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．
记，其中．
根据对称关系，依次可以求得：
，，，．
令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），
由于2010=4 502+2，所以点的坐标为（2010，）．
二、填空题
6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于．
解：0
由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝．
解：15
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得
，①
，②．③
由①②，得，所以，x=30．故（分）．
（第8题
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．
（第8题）
解：
如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF CE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，
过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是，直线即为所求的直线．
设直线的函数表达式为，则
解得 ,故所求直线的函数表达式为．
（第9题）
9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则．
解：
见题图，设．
因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以．
又因为 FC＝DC＝AB，所以即，
解得，或（舍去）．
又Rt△ ∽Rt△ ，所以，即 = ．
10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为．
解：因为为的倍数，所以的最小值满足
，
其中表示的最小公倍数．
由于
，
因此满足的正整数的最小值为．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证：
（第12A题）
．
（第12B题）
（第11题）
（第12B题）
证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以
ED⊥BC，FD⊥BC，
因此D，E，F三点共线. …………（5分）
连接AE，AF，则
（第11题）
，
所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
，
从而，
所以 . …………（20分）
12．如图，抛物线（a 0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足
△EOC∽△AOB的点E的坐标.
（第12题）
解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，
所以k=4. 故双曲线的函数表达式为 .
设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有
解得， .
于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故
，整理得，
解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．
因为点A，B都在抛物线（a 0）上，所以解得…………（10分）
（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4 . 又BO=2 ，所以 .
（第12题）
设抛物线（a 0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）.
因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠C OB= .
（i）将△ 绕点O顺时针旋转，得到△ .这时，点 ( ，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.
延长到点，使得 = ，这时点（8，）是符合条件的点.
（ii）作△ 关于x轴的对称图形△ ，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E
（2，）是符合条件的点．
２
所以，点的坐标是（8，），或（2，）. …………（20分）
13．求满足的所有素数p和正整数m.
．解：由题设得，
所以，由于p是素数，故，或 . ……（5分）
（1）若，令，k是正整数，于是，
，
故，从而 .
所以解得…………（10分）
（2）若，令，k是正整数.
当时，有，
，
故，从而，或2.
由于是奇数，所以，从而 .
于是
这不可能.
当时，，；当，，无正整数解；当时，，无正整数解.
综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. …………（20分）
14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
解：首先，如下61个数：11，，，…，（即1991）满足题设条
件. …………（5分）
另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数，因为
，，
所以 .
因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）设，i=1，2，3，…，n.
由，得，
所以，，即≥11.…………（15分）
≤ ，
故≤60. 所以，n≤61.
综上所述，n的最大值为61. …………（20分）