简析初中数学的转化与化归思想

专题精讲：

数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是将一种问题转化为另一种问题，从而降低问题的复杂度。化归思想的本质在于所有问题的本质都是一样的，在不同的情况下会变成另一种题目，通过转化或化归思想将复杂的问题转化到简单的问题域中，从而得出问题的答案。常见的转化有：函数到方程的转化；几何域到代数域的转化；分式到整数的转化；具体问题到一般问题的转化；换元等。具体的应用可以参考下面的例题。

【例1】（嘉峪关，8 分）如图3－1－1，反比例函数y=－8x

与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．

（1）求 A 、B 两点的坐标；

解：⑴解方程组82

y x y x ?=-???=-+? 得121242;24x x y y ==-????=-=?? 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2

点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．

【例2】（自贡，5分）解方程：22(1)5(1)20x x ---+=

解：令y= x —1，则2 y 2

—5 y +2=0．

所以y 1=2或y 2=12，即x —1＝2或x —1=12

． 所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32

点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了。

【例3】已知012=-+x x ,求200922

3++x x 的值。

解法一：∵012=-+x x ∴x x -=12

∴2009223++x x =x(1－x)+2(1－x)+2009

=20112+--x x

=2010)1(2+-+-x x =2010

解法二：原式=

20091)1()1(22++-++-+x x x x x =2010

点拨：有些数学问题结构复杂，若用常规手法过程繁琐，对这个问题，可以从其结构入手，将结构进行转化，另辟解题途径。此题通过配方法或利用降次来转化，可使问题得以解决。

【例4】如图，已知两个半圆，大半圆的弦AB 与小半圆相切，且AB ∥ CD 。AB=6cm ，求图中阴影部分(大圆部分减去小圆部分）面积。

解：设大半圆和小半圆的半径分别为R 和r ，则

π29)2AB π(21)r -π(R 21πr 21πR 2122222===-=

S

点拨：：要求阴影面积，即大半圆面积减去小半圆面积。但在这里两个半圆的半径 都未知，在图（1）中较难发现两个半径与AB 的关系，若把图（1）中小半圆移动，使两个半圆的圆心重合，如图（2），阴影部分的面积不变。此时我们容易发现两个半圆的半径的平方差等于AB 21的平方，这样便可求得图中阴影部分面积。

数学的转化思想

中考数学专题复习之三：数学的转化思想 【中考题特点】： 转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质，在遇到较复杂的问题时，能够辩证地分析问题，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。具体地说，比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系；把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机．．。 【范例讲析】： 例1：已知：n m ,满足13,132 2 =-=-n n m m , 求 n m m n +的值。 例2：已知：一元二次方程x 2+x+m=0，x 2－(m －1)x+4 1 =0中至少有一个方程有实数根，求m 的取值范围。 例3：已知：如图，平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AB ∶BC=6∶5，平行四边形ABCD 的周长为110，面积为600。 求：cos ∠EDF 的值。 A B C D E F

例4：已知方程组 kx 2－x －y+ 2 1=0 y=k(2x －1) (x 、y 为未知数) 有两个不同的实数解 x=x 1 或 x=x 2 y=y 1 y=y 2 ⑴求实数k 的取值范围；⑵如果3x 1 x 1y y 2 121=++，求实数k 的值。 例5：如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2－kx+23=0的两个根（k 为正的常数）。 ⑴求证：PA ·BD=PB ·AE ； ⑵求证：⊙O 的直径为常数k ； ⑶求tan ∠FPA 的值。 【练习】： 1．已知：m, n 是方程x 2－3x+1=0的两根，求代数式2m 2+4n 2－6n+1999的值。 2．已知：ab ≠1，且5a 2+1995a+8=0，8b 2+1995b+5=0。求 b a 的值。 3．如图，在直角坐标系中，点B 、C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，弧CD =弧AO ，如果AB=10AO>BO ，且AO 、BO 是关于x 的二次方程x 2+kx+48=0的两个根。 ⑴求点D 的坐标；⑵若点P 在直径AC 上，且AC=4AP ，判断点 （－2，－10）是否在过D 、P 两点的直线上，并说明理由。 A B C D E F P

化归思想──小学数学思想方法的梳理

化归思想──小学数学思想方法的梳理 二、化归思想 1．化归思想的概念。 人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解 决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。 从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。 2．化归所遵循的原则。 化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则： （1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。数学来源于生活，应用于生活。学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。 （2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。 （3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。 （4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。数学的特点之一便是它具有抽象性。有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决。因而，直观化是中小学生经常应用的方法，也是重要的原则之一。 3．化归思想的具体应用。

初中数学教学论文 浅谈化归思想方法在数学教学中的应用

浅谈化归思想方法在数学教学中的应用 内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 关键词：化归法简述运用操作实现化归 随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 一．化归法简述 在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：

专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)

专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)

数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。 二、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用 （一）渗透转化思想，提高学生分析解决问题的能力 所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，转化是化繁为简，化难为

易，化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。 我们对转化思想并不陌生，中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元，都是转化思想的体现。在具体内容上，有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如：初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中，教材是通过“议一议”的形式，使学生在自主探究和合作交流的过程中，经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程，“减去一个数等于加上这个数的相反数”，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，这个地方虽然很简单，但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决，学生一旦掌握了这种解决问题的策略，今后无论遇到多么难、多么复杂的问题，都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决，这符合学生原有认知规律，作为教师，我们不能因为简单而忽视它的教学，实践告诉我们，往往是越简单、越浅显的例子，越能引起学生的认同，

初中数学中的“转化思想”

初中数学中的“转化思想” [摘要]：随着课程改革的深入展开，培养学生的能力越来越重要，数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。本文从几方面论述了转化思想在数学学习中的重要作用：转化思想可以使学生经历探索的学习过程，改变学生的学习方式，转化思想能培养学生创新思维能力及逻辑思维能力，是一种很重要的思维方法；转化思想可以增强学生的数学应用意识，提高解决问题的能力，从而，大大加强学生学习数学的兴趣。 [关键词]：转化思想数学学习逻辑思维应用意识学习兴趣 [引言]：人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学思想，每种数学思想都有它一定的应用范围，但笔者在数学实践中体会到，在学生的数学学习过程中，决不能忽视转化数学思想所起的重要作用，在教学中必须重视转化思想的渗透和培养。 转化是解数学题的一种重要的思维方法，转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，不少数学思想都是转化思想的体现。就解题的本质而言，解题既意味着转化，既把生疏问题转化为熟习问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等，因此学生学会数学转化，有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。 数学转化思想、方法无处不在，它是分析问题、解决问题有效途径，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，又包含了心理达标的转换。转化的目的是不断发现问题，分析问题和最终解决问题。在数学中，很多问题能化复杂为简单，化未知为已知，化部分为整体，化一般为特殊，……等等，下面就“转化思想”在初中数学的应用通过举例作个简单归纳。

化归思想在初中数学解题中的应用

化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。

一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定

初中数学思想方法大全

一、宏观型思想方法 数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。 （一）、转化(化归)思想 解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。 不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。 可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题； g、化综合为单一；h、化一般为特殊。 有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法 应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间的转化；D平面图形间的转化；E空间图形与平面图形的转化；F统计图之间的相互转化。 例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形； （二）、数形结合思想 数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关

关于初中数学教学中化归思想的应用分析

关于初中数学教学中化归思想的应用分析 【摘要】数学思想是数学知识中最为重要的内容之一，化归思想是初中数学中数学思想的基石。本文结合实例研究了在初中数学教学中如何把化归思想落到实处，使学生真正理解并灵活运用化归思想。 【关键词】初中数学；化归思想；应用分析 一、化归思想在初中数学教学中的体现 1.化归思想方法体现的结构性 初级中学数学分为代数和几何，我们将这两部分内容教材知识进行整理归纳，可以将蕴含在其中的较为零散的化归思想提炼，得到有序的知识结构网络。 代数部分分为数的运算、式的运算和方程三部分，数的运算部分，利用化归思想在小学加法基础上使加、减法统一得到代数和的概念；利用化归思想在乘法的基础上使乘法、除法得到统一；利用化归思想引入绝对值将有理数化为算术数的运算。式的运算部分，利用化归思想用字母代替数，根号中含字母的无理式、根号中不含字母的有理式和分母中不含字母的整式均可通过已学知识掌握。而方程的运算部分，等号连结代数式得到方程，不等号连结代数式得到不等式，利用化归思想方法将其化为式的运算，从而得到整式方程、

分式方程和无理方程。利用化归思想可对整个初中代数知识有一个系统的了解，有利于学生把握知识间的关系，更好地掌握代数知识。 2.化归思想方法体现的条理性 初级中学数学教材中充分体现了化归思想的条理性。例如，新人教版七年级《数学》上册第一章中在小学数学的基础上引入了负数，开始进行有理数的运算。第二章在第一章的基础上利用字母表示数引入了代数式。此后，学习5x、-3a2b等数与字母的乘积的单项式，ab+3mn等单项式的和――多项式。只有学生明白字母代表数及代数式的意义后才能进行整式的学习。随后学习分式，而分式的运算思路正是通过化归思想把分式运算转化为整式运算。这样一环接一环的条理性在教材中还有很多，我们在教学中应充分整理帮助学生更好地理解化归思想。 3.化归思想方法体现的层次性 初中数学教材的安排体现了化归思想方法的层次性。教材的最基础内容包括有理数、代数式、平面图形及其位置关系和一元一次方程。平面图形首先是三角形的学习，随后学习了图形的旋转、平行四边形，平行四边形正是对三角形的进一步拓展。式的运算中，先是学习了整式，后又学习了分式，分式正是对整式的进一步深化。随后又学习了代数和几何的结合――函数，学习了反比例函数、二次函数，这正是

中考数学思想方法专题之整体思想

初中数学思想之整体思想 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想 【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C. 125 D.27- 【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想 【例4】已知24122x y k x y k +=+?? +=+? ，且03x y <+<，则k 的取值范围是 【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=??+=?的解为56 x y =??=?，那么关于x ， y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=??++-=? 的解为为 【例6】．解方程 22523423x x x x +-=+ 三．函数与图象中的整体思想 【例7】已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式 四．几何与图形中的整体思想

化归思想在初中数学解题中的应用

化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。

一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定

浅谈中学数学中的化归思想(精)

浅谈中学数学中的化归思想 作者：中原中学刘继华 不断地变换你的问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成 功地找到某些有用的东西为止。 ————波利亚 化归是解决数学问题的一种重要思想方法．化归的思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，并学会用它分析问题、处理问题，有着十分重要的意义．匈牙利著名数学家路莎˙彼得以生动的比喻对这种思维方式作了如下风趣的描述：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。” 路莎˙彼得在这里说的就是化归方法。在数学教育中，化归思想是“问题解决”的一种重要手段和方法。 —、化归方法的基本思想 1、化归方法的含义：把待解决和未解决的问题，通过转化，或再转化，将原问题归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容

易解决的问题甚至为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决．我们就把这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法． 2、化归方法是辨证思维在方法论上的反映 数学中充满着矛盾，有着极其丰富的辨证内容，例如，数学概念中一与多、正与负、常量与变量、有限与无限以及数学运算中的加与减、乘与除、乘方与开方、微分与积分等都表现为矛盾的对立统一的形式． 化归方法正是根据客观事物是普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一及其相互转化的观点，来实现问题解决的，它着眼于揭示联系实现转化．因此说化归方法是辨证思维在方法论上的反映． 3、化归方法的作用 我们知道整个中学数学内容，始终贯穿着数学知识和数学方法这两条线．中学数学问题的解决过程常常表现为不断发现问题、分析问题直到归结转化为熟悉的或已能解决的问题的过程，化归方法是中学数学中的重要数学方法之一． 例如 (1代数中解一般方程(或不等式的基本思路是多元向一元、高次向低次的化归；分式方程向整式方程的化归，无理方程向有理方程的化归．

“转化思想”在初中数学中的应用和作用

“转化思想”在初中数学中的应用和作用 □许记花 数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是指导我们探索问题、研究问题和解决问题的尚方宝剑，它常常隐含于数学知识的发生、发展过程中。而“转化思想”是数学思想方法中最基本、也是最重要的一种方法，“转化思想”在初中数学中的应用之广，作用之大，是无法用语言形容的，理解并掌握了这种方法，许许多多的数学问题都能迎刃而解。 一、“转化思想”初中代数中的应用和作用 1、进入初中，我们学习了用数轴上的点来表示有理数，因而计算一个数的绝对值就转化为求数轴上的点到原点的距离，这是数与形的转化。 2、两个负数大小的比较，绝对值大的反而小，这是把负数大小的比较通过取绝对值转化为正数大小的比较。这是数与数之间的转化。 3、根据减法法则，减去一个数可以转化为加上这个数的相反数，从而把有理数的减法运算转化为有理数的加法运算。这是运算与运算之间的转化。 4、类似地，除以一个不为0的数可以转化为乘以这个数的倒数，把有理数的除法运算转化为有理数的乘法运算，这是运算与运算之间转化。像这样，把复杂问题转化为简单问题，把陌生的未知问题转化为已知的学过的知识去解决，把新的问题转化为已知的或已解决的问题，这就是我们学习数学解决问题的一种常用的数学思想——转化思想。 5、而解一元一次方程的过程实质也是一种转化，是将复杂的方程逐步转化为最简单的方程。例如： 解方程： 解：去分母，得5(3x+1)-20=(3x-2)-2(2x+3) ① 去括号，得15x+5-20=3x-2-4x-6 …② 移项，得15x-3x+4x=-2-6-5+20 …③

合并同类项，得16x=7 .…④ 系数化为1，得x …⑤ 大家都知道一元一次方程的解的基本表达形式是x=a，它是一元一次方程中形式最简单的方程，而我们研究一元一次方程起点便是从这里开始的.学习了等式的基本性质，我们可以探索形如方程②、③、④形式的解法；学习了去括号法则之后，又可以探索形如方程①形式的解法；最后，学习了含分母的一元一次方程的解法。从此不难发现：我们课本知识是由浅显、简单到较难、较复杂是逐步展开的，而上述解方程的过程正好是我们课本知识展开过程的逆过程，正好符合我们解方程的数学思维过程，即把复杂的问题，逐步转化为简单的问题，把陌生的问题逐步转化为熟悉的问题，从而求得问题的解。 二、“转化思想”在初中几何中的应用和作用 学习几何知识，用几何知识分析问题、探索问题、研究问题和解决更离不开“转化思想”，几何题的解答、几何题的证明、多数定理的证明，公式的推导，也都用到“转化思想”，转化思想在数学中的应用之广，作用之大是无法测量的。例如： 1、如图：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。 用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把求∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E五个角的度数转化为一个三角形的内角和等于180°来解决的。这是角与角之间的转化。 2、多边形的内角和公式（n－2）×180°推导：利用添加辅助线的方法把n边形转化为(n-2)个三角形，利用三角形的内角和等于180°。这是图形与图形之间、角与角之间的转化。 3、直线、抛物线、双曲线可以用方程（即解析式）来表示，这是形与式的转化。直线、抛物线、双曲线交点问题，可以用求方程组解来解决，这是形、式、数之间的转化。 4、如图：△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为（-2，-1）、（3，-3）、（1，3），求△ABC 的面积。

初中数学专题复习(一) 化归思想

初中数学专题复习(一) 化归思想 本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． 【典型例题剖析】 一、转化思想在代数中的应用。 1.已知：n m ,满足13,132 2 =-=-n n m m , 求n m m n +的值。 二、转化思想在函数问题上的应用： 1. 函数1 y x = 】 A ．第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限 2.（2016成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点A （2，2）． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴交于点B ，与反比例函数图象在第四象限的交点为C ，连接AB 、AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积． 三、转化思想在几何中的应用。 2、已知：如图6所示在中，，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。 求证：AC ＝AE ＋CD y kx =m y x =

四、代数问题与几何问题之间的化归： 1.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AB 上一点， 沿EC 折叠，使点B 落在AD 边的B‘处，若AB=6， BC=10， 求AE 的长。 2、如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2－kx+23=0的两个根（k 为正的常数）。 ⑴求证：PA ·BD=PB ·AE ； ⑵求证：⊙O 的直径为常数k ； ⑶求tan ∠FPA 的值。 【强化训练】 一、选择题与填空题 1、用换元法解方程x x x x += ++2 22 1时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（ ） A 、y 2+y+2=0 B 、y 2－y －2=0 C 、y 2－y+2=0 D 、y 2+y －2=0 2、已知如图：ΔABC 中，∠C=90°，BC=AC ，以AC 为直径的圆交AB 于D ，若AD=8cm ，则阴影部分的 面积为（ ） A 、64πcm 2 B 、64 cm 2 C 、32 cm 2 D 、48 πcm 2 E A B C D E F P

初中数学解题思想方法全部内容

初中数学解题思想方法全部内容 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法

初中数学常用思想方法专题讲解

初中数学常用思想方法专题讲解 引入语 数学思想方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识和技能的灵魂.正确运用数学思想方法是在中考数学中取得好成绩的关键. 解中考题时常用的数学思想方法有：整体思想、分类讨论思想、方程思想、转化的思想、数形结合思想、归纳与猜想的思想等. 中考解读 数学思想是解决数学问题的灵魂，它在学习和运用数学知识的过程中起着关键性的指导作用.数学思想方法是中考考查的重点内容之一，还因为它是解决数学问题的根本策略，也是学生数学素养的重要组成部分.数学思想总是在解决问题的过程中体现出来，在中考中不会出现单纯的数学思想题目，这就增加了数学思想的掌握和训练的难度，但它也是有规律的，只要勤于思考和总结，经过适当的训练，相信你一定能够掌握初中数学常用的思想方法.回顾近年全国各地的中考题，不难发现数学思想方法的考查频率越来越高，涉及的知识点也越来越多.预计2009年中考，对数学思想方法的考查可能呈现以下趋势：需要利用数学思想求解的题目稳中有增，涉及的知识点更加分散.其中，函数与方程思想的考查，很可能集中体现在应用题中；数形结合思想的考查以选择和填空为主；分类讨论思想的考查主要在求解函数、不等式、空间与图形、概率等问题中出现；……，总之，数学思想的掌握和训练应引起同学们的重视. 复习策略 由于数学思想总是渗透在问题中，所以复习中要抓关键类型，突出重点知识和方法，比如方程思想与函数思想的联合复习等；要注意挖掘课本例、习题的潜在功能，以题思法，推敲其中的思想方法，多角度多侧面探讨条件的加强与弱化、结论的开放与变换、蕴含的思想方法、及与其他试题的联系和区别等，提高复习的效率. 题型归类 一、整体的思想 整体思想是将问题看成一个完整的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体结构和结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方向与策略.运用整体思想解题，往往能为许多中考题找到简便的解法. 例1 （苏州市）若220 x x --= 2 ） A ． 3 B ． 3 C D 或 3 分析：已知条件是一个一元二次方程，通过求出方程的解再代入计算，当然可以得到结果，但是显然很繁.注意到，条件可以转化为22 x x -=，而且要求值的代数式中的未知部分都是2x x -，所以可以整体代入. 解：由条件得：22 x x -= 21 3 .故应选A.

转换与化归思想

浅谈转换与化归思想 转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。 一、 转换思想 （1）转换思想的内涵 转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。 （2）转换思想在同一学科中的应用 转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。 比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。 看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：12 2=+b a 。 [分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点 令人望而生畏。 再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。 [解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα 化简得1cos cos sin sin =+αααα 所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb 则 1cos sin 2 222=+=+ααb a [小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现 三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。 转换思想对思维要求确实很高，但这一点还是能够做到的。因为各学科都有对知识模块的介绍，同时也有对各知识模块之间横向纵向的对比联系的研究。典型的例子就是数与形之间的思维转换，因为学生已经在初中老师的指导下

最新化归思想在初中数学解题中的应用

化归思想在初中数学解题中的应用

化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想化归的原则教学策略化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所

以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。 一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也

高中数学思想----转化与化归思想

转化与化归思想 [思想方法解读] 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等,消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想,我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化,注重知识的综合性． 转化与化归思想的原则 (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决． (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据． (3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式;或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. （4)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决. 体验高考 1．（２016·课标全国乙）已知等差数列{a n｝前9项的和为27,a１０=8,则a100等于（) A.１００B．99C．9８ D.97 答案C 解析由等差数列性质,知S9=９(a１+a9) 2=错误!＝9 ａ5＝27，得a５＝3，而a１0＝8,因此公差ｄ =＼f(a10－a5,10－5)＝1， ∴ａ10０＝ａ10＋9０ｄ=98,故选C. 2.（２016·课标全国丙)已知 421 353 2,4,25, a b c ===则( ) A．b<ａ