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2.2.2对数函数及其性质教案设计

2.2.2对数函数及其性质（一）

隆湖中学教师李江华

教学目标

（一）教学知识点 1．对数函数的概念；

2．对数函数的图象与性质．（二）能力训练要求

1．理解对数函数的概念；

2．掌握对数函数的图象、性质； 3．培养学生数形结合的意识．（三）德育渗透目标

1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题；

3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．

教学重点

对数函数的图象、性质．

教学难点

对数函数的图象与指数函数的关系．

教学过程

一、复习引入：

1、指对数互化关系：

b N N a a b =?=log

2、 )10(≠>=a a a y x

且的图象和性质．

3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个

数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x

2表示．

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =.

如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数．二、新授内容： 1．对数函数的定义：

函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞．

学生思考问题：为什么对数函数概念中规定?1,0≠>a a

例1．求下列函数的定义域：

（1）2log x y a =；（2）)4(log x y a -=；分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解．解：（1）由2

x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ；

（2）由04>-x 得40得x>1，

∴函数的定义域是()+∞,1．

2．对数函数的图象：

通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 2

1log =的图象：

思考：x y 2log =与x y 2

1log =的图象有什么关系？

3，（1）根据对称性（关于x 轴对称）已知y =3log x 的图像，你能画出y =x 3

1log 的图像吗？

1log )3(7

-=x y 11

log 7-=x y

（2）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象，观察图象，找出各函数图象

的共同特征，分析其不同之处，并归纳其性质.

（1） x y 2log = （2） x y 2

1log =

（3） x y 3log = （4） x y 3

1log =

4．对数函数的性质

由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．

三、讲解范例：

例2．比较下列各组数中两个值的大小：

⑴5.8log ,4.3log 22； ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0； ⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a ．解：⑴考查对数函数x y 2log =，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是5.8log 4.3log 22<．

⑵考查对数函数x y 3.0log =，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函

数，于是7.2log 8.1log 3.03.0>．

小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：

①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性； ③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小． ⑶当1>a 时，x y a log =在（0，+∞）上是增函数，于是9.5log 1.5log a a <；当10<．小结2：分类讨论的思想．

对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．

四、练习1。（P73、2）求下列函数的定义域：

（1）y =3log (1-x ) (2)y =

2log 1

(3)y =x 311log 7-

x y 3log )4(= （5)416(log 2x y -= （6）)3(log 1x y x -=-

解：（1）由1-x ＞0得x ＜1 ∴所求函数定义域为{x |x ＜1}；

(2)由2log x ≠0，得x ≠1，又x ＞0 ∴所求函数定义域为{x |x ＞0且x ≠1}；

(3)由31,0310311

>??

??≠->-x x x 得 ∴所求函数定义域为{x |x ＜31}；

(4)由??

?≥>???≥>10

,0log 03

x x x x 得 ∴x ≥1 ∴所求函数定义域为{x |x ≥1}. 练习2、函数)1,0(2

)1(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点（）

3、已知函数)1,0()1(log ≠>+=a a x y a 的定义域与值域都是[0，1]，求a 的值。（因时间而定，选讲）

五、课堂小结

⑴对数函数定义、图象、性质；

⑵对数的定义，指数式与对数式互换； ⑶比较两个数的大小．六、课后作业：

1．对数函数的单调性；2．同底数对数比较大小；３．不同底数对数比较大小；４．对数形式的复合函数的定义域、值域；５．对数形式的复合函数的单调性． 2.能力训练要求

4．掌握对数函数的单调性；２．掌握同底数对数比较大小的方法；

３．掌握不同底数对数比较大小的方法；４．掌握对数形式的复合函数的定义域、值域； 5．掌握对数形式的复合函数的单调性； 6．培养学生的数学应用意识． 3.德育渗透目标

1．用联系的观点分析问题、解决问题；２．认识事物之间的相互转化．

教学重点

1．利用对数函数单调性比较同底数对数的大小； 2．求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法； 3．求对数形式的复合函数的单调性的方法．

教学难点

1．不同底数的对数比较大小；２．对数形式的复合函数的单调性的讨论．

教学过程

一、复习引入： 1．对数函数的定义：

函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．

2、对数函数的性质：

3．书P73面练习3

5．函数y =x +a 与x y a log =的图象可能是__________

二、新授内容：

例1．比较下列各组中两个值的大小：

⑴6log ,7log 76； ⑵8.0log ,log 23π．（3）6log ,7.0,6

7.067

解：⑴16log 7log 66=> ，17log 6log 77=<，6log 7log 76>∴．

⑵01log log 33=>π ，01log 8.0log 22=<，8.0log log 23>∴π．

小结1：引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小．练习： 1．比较大小（备用题）

③

⑴3.0log 7.0log 4.03.0<； ⑵2

6.04.3318.0log

7.0log -

??<<； ⑶1.0log 1.0log 2.03.0> ．例2．已知x =

时，不等式 log a (x 2 – x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立，求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x =

49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )349

2)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜1639

. 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1.

∴原不等式可化为???

???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ，解得???

????

<<-<<->-<2513121x x x x 或.

故使不等式成立的x 的取值范围是)2

2( 例3．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[a ，2a]上的最大值是最小值的3倍，

求a 的值。（4

2=a ）例4．求证：函数f (x ) =x

-1log 2在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2) – f (x 1) = 212

221log log 11x x x x ---2

1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2

122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴

12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2

12211log x x x x --?＞0，

∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数

例5．已知f (x ) = log a (a – a x ) (a ＞1).

（1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性.

解：（1）由a ＞1，a – a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为(1, +∞)，而a x ＜a ，可知0＜a – a x ＜a ，又a ＞1. 则log a (a – a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1).

（2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1， ∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a ＜2x a ，

∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )，即f (x 1)＜ f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数. 例6．书P72面例9。指导学生看书。

例7．（备选题）求下列函数的定义域、值域：

⑴)52(log 22++=x x y ； ⑵)54(log 2

1++-=x x y ；

解：⑴∵44)1(5222≥++=++x x x 对一切实数都恒成立， ∴函数定义域为R ．从而24log )52(log 222=≥++x x 即函数值域为),2[+∞．

⑵要使函数有意义，则须： 510540542

2<<-?<--?>++-x x x x x ，由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2=++-x x ， ∴ 95402

≤++-≤x x ．从而 29log )54(log 3

123

1-=≥++-x x 即：值域为2-≥y ，

∴定义域为[-1,5]，值域为),2[+∞-．

例8．（备选题）已知f (x ) = log a x (a ＞0，a ≠1)，当0＜x 1＜x 2时，试比较)2(

21x x f +与)]()([2

21x f x f +的大小，并利用函数图象给予几何解释. 【解析】因为12121(

)[()()]22x x f f x f x +-+12121

log [log log ]22

a a a x x x x +=-+ =2

121212

12log log 2

log x x x x x x x x a

a a

+=-+ 又0＜x 1＜x 2，

∴x 1 + x 2 – 222121)(x x x x -=＞0，即x 1 + x 2＞221x x ， ∴

21x f x f + 同理0＜a ＜1时)2(

21x x f +＜)]()([2

21x f x f + 或：当a ＞1时，此时函数y = log a x 的图象向上凸.

显然，P 点坐标为)2(21x x f +，又A 、B 两点的中点Q 的纵坐标为21

[ f (x 1) + f (x 2)]，

由几何性质可知 )2(21x x f +＞)]()([2

21x f x f +.

当0＜a ＜1时，函数图象向下凹. 从几何角度可知2

1212log x x x x a +＜0，

此时)2(21x x f +＜)]()([2

3．对数复合函数定义域、值域的求法．五、课后作业 1．《习案》P193与P195面。备选题

2．讨论函数)1(log )(22+=x x f 在)0,(-∞上的单调性．（减函数） 3.已知函数y=a log (2-x

a )在［0，1］上是减函数，求a 的取值范围．

1．了解反函数的概念，加深对函数思想的理解 2．反函数的求法．（二）能力训练要求

1．使学生了解反函数的概念； 2．使学生会求一些简单函数的反函数．（三）德育渗透目标

培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力．

1、我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s =vt ，其中速度v 是常量，定义域t ≥0，值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即v

t =

，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数，定义域s ≥0，值域t ≥0．

问题１：函数s =vt 的定义域、值域分别是什么？问题２：函数v

t =

中，谁是谁的函数？问题３：函数s =vt 与函数v

t =

之间有什么关系？ 2、又如，在函数y ＝2x ＋6中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R ．我们从函数y ＝2x ＋6中解出x ，就可以得到式子32

x ．这样，对于y 在R 中任何一个

值，通过式子32

x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应．因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R ．

3、再如：指数函数x a y =中，x 是自变量，y 是x 的函数，由指数式与对数式的互化

有：y x a log = 对于y 在（0，+∞）中任何一个值，通过式子y x a log =，x 在R 中都有唯一的值和它对应．因此，它也确定了一个函数：y x a log =，y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈（0，+∞），值域是x ∈R ．二、讲解新课： 1．反函数的定义

一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x =?(y )．若对于y 在C 中的任何一个值，通过x =?(y )，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =?(y )就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x =?(y ) (y ∈C )叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1

y f

x -=，习惯上改写成)(1x f y -=

开始的两个例子：s =vt 记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为v

t f =

-)(1

，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32

)(1-=

-x

x f ．探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？

反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =，只有“一一对应”确定的函数才有反函数，2x y =，),0[+∞∈x 有反函数是x y =

y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是)(x f y =，

（1）函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1

x f y -=的图象关于直线x y =对称．

（2）互为反函数的两个函数具有相同的增减性．

三、讲解例题：

例1．求下列函数的反函数：

①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=.

解：①由13-=x y 解得3

y x ∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(3

R x x y ∈+=， ②由)(13R x x y ∈+=解得x=31-y ，

∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-= 小结：求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明．

例2．函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（1，4），求a 的值. 【解析】根据反函数的概念，知函数

log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（4，1）， ∴1log 3a =， ∴3a =.

【小结】若函数()y f x =的图象经过点(,)a b ，则其反函数的图象经过点(,)b a . 例3．已知函数1)(+=

=x x f y ，求)3(1-f 的值．

解：方法一：∵0≥x ∴1≥y 由1+=

x y 解得：2)1(-=y x

∴)1()1()(2

≥-=x x x f 为原函数的反函数， ∴)3(1

-f ＝4．

方法二：由反函数的定义得：13+=x ，解得：x ＝4，即)3(1-f ＝4．

练习1．求下列函数的反函数：

（1）y =x 4(x ∈R ), (2)y =x

25.0(x ∈R ), (3)y =x

1((x ∈R ),

(4)y =x )2((x ∈R ), (5)y =lg x (x ＞0), (6)y =24log x (x ＞0) (7)y =a log (2x )(a ＞0,且a ≠1,x ＞0) (8)y=a

log 2

(a ＞0,a ≠1,x ＞0) 解：（1）所求反函数为：y =4log x(x ＞0), (2)所求反函数为：y =25.0log x(x ＞0)

(3)所求反函数为：y =x 31log (x ＞0), (4)所求反函数为：y =x 2

log

(x ＞0)

(5)所求反函数为：y =x

10 (x ∈R), (6)所求反函数为：y =2

1(a ＞0,且a ≠1,x ∈R ) (8)所求反函数为：y =2x

a (a ＞0,且a ≠1,x ∈R )

练习2．函数y =3x

的图象与函数3log y x =的图象关于（D ）

A.y 轴对称

B. x 轴对称

C. 原点对称

D. y x =直线对称（备选题）3．求函数2

2-+=y y x ∴ y ≠35 ∴函数的值域为{y|y ≠35}

（备选题）4．利用互为反函数的图像的性质求参数

()n mx y +=既在函数若点2,1.,,,n m 求又在其反函数图象上

上解：由已知得：??

?=+=+1

22n m n m ，即???=-=73

n m ，故m 、n 的值分别是－3、7．

（备选题）5．m

x x x f +-=

)(已知的值求对称的图象关于直线m x y ,=．

解：由已知可知，)(x f 的反函数是它的本身，即)()(1

2525---=+-x mx m x x 恒成立．

比较对应系数得.1-=m

五、课堂小结

1．反函数的定义；求反函数的步骤． 2．互为反函数的函数图象间关系；

3．互为反函数的两个函数具有相同的增减性．六、课外作业：

1. 阅读教材P.73；

2. 《学案》P.88~ P.89.