三角形倒角压轴题资料

三角形倒角压轴题

【例1】 (北京市竞赛题)在ABC ?中，三个内角的度数均为整数，且A B C ∠<∠<∠，

47C A ∠=∠，则B ∠的度数为 ．

【解析】 设C x ∠=?，则4()7A x ∠=?，11

1801807

B A

C x ∠=?-∠-∠=?-?，

则411

18077x x x <-<，解得7084x <<， 又4

7

x 是整数，得77x =，故44A ∠=?，59B ∠=?．

【例2】ABC ?中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠，若B ∠的最大值是m ?，最小值是n ?．则m n += ．

【解析】 25A B ∠=∠，依题意得27

18055

B B B ∠?-∠∠≤≤，解得75100B ?∠?≤≤，故175m n +=．

【例3】 ⑴(河南竞赛题)若三角形的三个外角的比是234∶∶，则这个三角形的最大内角的度数

是 ．

⑵ ABC ?的内角A ∠、B ∠、C ∠满足35A B ∠>∠，32C B ∠∠≤，则这个三角形是( )． A ． 锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定

⑴ 三角形内角和360?，故最小的外角为2360809

??=?，它对应的内角为最大内角为

100?．

⑵ C ．∵35B A ∠<∠，∴2235

C B A ∠∠<∠≤， ∴B C A ∠+∠<∠，180A A ?-∠<∠，90A ∠>?．

【例5】在ABC ?中，若2AB BC =，2B A ∠=∠，判断ABC ?的形状(锐角三角形、直角三角形或钝角三角形)，并写出理由．

D

A

C

B ． AB

C ?是直角三角形．

理由：如上图，∵2AB BC =，∴AB BC >，

根据大边对大角：ACB A ∠>∠，作ACD A ∠=∠，CD 与AB 交于点D ， 根据等角对等边：AD CD =，

由外角定理：2BDC A ACD A ∠=∠+∠=∠， 又∵2B A ∠=∠，∴B BDC ∠=∠， 由等角对等边：CD BC =， 又∵2AB BC =，

∴12

AD BD CD BC AB ====， ∴60B BCD BDC ∠=∠=∠=?，

∴1302

ACD BDC ∠=∠=?， ∴90ACB ACD BCD ∠=∠+∠=?．

【例6】 如下图所示，在ABC ?中，90ACB ∠=?，D 、E 为AB 上两点，若AE AC =，

45DCE ∠=?，求证：BC BD =．

5

43

2

1E D C

B A

C ． 如图，∵245∠=?，AE AC =，∴523453∠=∠+∠=?+∠． ∴43A ∠=∠+∠，

15(453)(90)345445B A A ∠=∠-∠=?+∠-?-∠=∠+∠-?=∠-?．

∴4145BCD ∠=∠+∠?=∠， ∴BC BD =．

【例7】 如图，ABC ?中，120BAC ∠=?，AD BC ⊥于D ，且AB BD CD +=，则C ∠的大小是( )

A 20?

B 25?

C 30?

D 大于30?

A

B C

D E

A

B C

D

D ． 如图，在DC 上取D

E DB =，连接AE ，易得Rt Rt ABD AED ??≌．

AB AE CE ==，2AEB C ∠=∠，

所以22(902)120BAC EAD C C C ∠=∠+∠=?-∠+∠=?，得20C ∠=?．

【例8】 在ABC ?中，50A ∠=?，高BE 、CF 所在直线交于点O ，且点O 不与点B 、C 重合，求

BOC ∠的度数．

(1) (2)

A

A

B

B

C

C E E F

F O

O

【解析】 对于没有给出具体图形的几何问题，一定有要根据题意画出图形，特别是要注意是否

有多解的情况．若ABC ?是锐角三角形，如图(1)所示，

BOC A ABE ACF ∠=∠+∠+∠(90)(90)180130A A A A =∠+?-∠+?-∠=?-∠=?

若ABC ?是钝角三角形，如图(2)所示，

909090(90)50BOC ECO ACF A A ∠=?-∠=?-∠=?-?-∠=∠=?

从本题我们能得到一个重要结论：

三角形两边上的高相交所形成的角与第三边所对的角的关系是：

当此三角形是锐角三角形时，它们互补；当此三角形是钝角三角形时，它们相等．

【例9】 如图，在ABC ?中，BE 、CD 分别是ABC ∠、ACB ∠的角平分线，且BD CE BC +=，则

A ∠的度数为 ．

E

D C

B

A

【解析】 60?．

【例10】 如图所示，已知CB OA ∥，100C OAB ∠=∠=?，E ，F 在CB 上，且满足

FOB AOB ∠=∠，OE 平分COF ∠． ⑴ 求EOB ∠的度数；

⑵ 若平行移动AB ，那么OBC ∠：OFC ∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；

⑶ 在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA ∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．

A

B

C E F

O

【解析】 此题是一类重点题型，考查了学生的转化思想，题目难度较大，是角平分线与平行性

质的综合，提高班及精英班老师可提前给学生渗透这种思想，让学生掌握此类问题的解法．

⑴ 40?；⑵ 1:2；⑶ 存在，60OEC OBA ∠=∠=?．

【例11】 (2008年南通市)已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：

方法1：直接法．计算三角形一边的长，并求出该边上的高．

方法2：补形法．将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差． 方法3：分割法．选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形． 现给出三点坐标：(14)A -，，(22)B ，，(41)C -，，请你选择一种方法计算ABC ?的面积，你的答案是ABC S ?=_________．

【解析】 本题考查三角形面积的求法及在坐标系内求线段长度．利用方法2，如图，取点

(44)D ，，连接AD 、BD 、DC ．

ABC ACD ABD BCD S S S S =--△△△△．

1125

55222ACD S AD DC =?=??=

△，

11

()52522

BCD D B S DC x x =?-=??=△，

11

()52522ABD D B S AD y y =?-=??=△，

∴2555522ABC S =--=△．故应填5

2

．

【例12】

如右图所示，BD 是ABC ∠的角平分线，CD 是ACB ∠的角平分线，BD 、CD 交于D ，试探索A ∠与D ∠之间的关系： ．

A B

C

D

【解析】 ∵在BDC ?中，180D DBC DCB ∠+∠+∠=o

∴180DBC DCB D ∠+∠=-∠o ∵12DBC ABC ∠=∠，12

DCB ACB ∠=∠ ∴1()1802

ABC ACB D ∠+∠=-∠o

∵在ABC ?中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=o ∴2180D A ∠-∠=o ，即1902

D A ∠=+∠o

【例13】 (05年山东中考题改编)如右图所示，BD 是ABC ?的外角平分线，CD 也是ABC ?的外

角平分线，BD 、CD 交于点D ，试探索A ∠与D ∠之间的关系： ．

B

C

D

E

F

【解析】 ∵EBC A ACB ∠=∠+∠，FCB A ABC ∠=∠+∠

∴180EBC FCB A ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠+∠+∠=+∠o ∴11()902

2

EBC FCB A ∠+∠=+∠o ∵12DBC EBC ∠=∠，12

DCB FCB ∠=∠

∴11()902

2

DBC DCB EBC FCB A ∠+∠=∠+∠=+∠o ∵在DBC ?中，180D DBC DCB ∠+∠+∠=o ∴1901802

D A ∠++∠=o o ，即1902

D A ∠=-∠o

【例14】

如右图所示，BD 是ABC ∠的角平分线，CD 是ABC ?的外角平分线，BD 、CD 交于点D ，试探索A ∠与D ∠之间的关系： ．

A

B C D

E

【解析】 ∵ACE A ABC ∠=∠+∠

∵1

2DCE ACE ∠=∠，12

DBC ABC ∠=∠

∴1

2

DCE A DBC ∠=∠+∠

∵DCE D DBC ∠=∠+∠

∴12D DBC A DBC ∠+∠=∠+∠，即12

D A ∠=∠

【例15】 如右图所示，在ABC ?中，CD 、BE 是外角平分线，BD 、CE 是内角平分线，BE 、

CE 交于E ，BD 、CD 交于D ，试探索D ∠与E ∠的关系： ．

A

B

C

D

E

F

G

O

【解析】 在BEO ?和DCO ?中，

∵11118090222

EBO ABF ABC ∠=∠+∠=??=? 同理90DCO ∠=? ∴EBO DCO ∠=∠

∵EOB DOC ∠=∠，∴D E ∠=∠

【例16】

如图所示，点E 和D 分别在ABC ?的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分ACB ∠和AED ∠，试探索F ∠与B ∠，D ∠的关系： ．

A

B

C

D

E F

G

H

【解析】 EGD ?与CGF ?中，EGD CGF ∠=∠

∴F D DEG FCG ∠=∠+∠-∠

同理BHC ?与FHE ?中，BHC FHE ∠=∠ ∴F B HCB HEF ∠=∠+∠-∠ ∵DEG HEF ∠=∠，FCG HCB ∠=∠ ∴2F D B ∠=∠+∠

即1()2

F D B ∠=∠+∠，也可连接EC ，而后利用等量代换求证．

【例17】 如图所示，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，试探索DCE ∠与DBE ∠和DAE ∠的关

系： ．

A

B

C D

E

A

B

C D

E

【解析】 连接DE ，

∵在BDE ?中，180DBE BDE BED ∠+∠+∠=? ∴180BDE BED DBE ∠+∠=?-∠

∵在ADE ?中，180DAE ADE AED ∠+∠+∠=? 又∵ADE ADB BDE ∠=∠+∠，AED AEB BED ∠=∠+∠ ∴180()DAE ADB AEB BDE BED ∠+∠+∠=?-∠+∠

180(180)DBE DBE =?-?-∠=∠

∴ADB AEB DBE DAE ∠+∠=∠-∠

在DCE ?中，180DCE CDE CED ∠+∠+∠=?

∵1()()2

CDE CED ADB

AEB BDE BED ∠+∠=∠+∠+∠+∠ ∴1180()()2DCE DBE DAE BDE BED ∠=?-∠-∠-∠+∠

11

()()22

DBE DBE DAE DBE DAE =∠-∠-∠=∠+∠，

即：1

()2

DCE DBE DAE ∠=∠+∠

【例18】 如图，在三角形ABC 中，42A ∠=o ，ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D 、E ，

求BDC ∠的度数．

A B

C

D E

【解析】 设ABC ∠的三分之一为x ，ACB ∠的三分之一为y ，因为三角形内角和为180?，所以

有：3342180x y ++=?o ， 即180423x y ?-?+=

，所以180421802883

BDC ?-?

∠=?-?=?．

【例19】 如图，60A ∠=?，线段BP 、BE 把ABC ∠三等分，线段CP 、CE 把ACB ∠三等分，则

BPE ∠的大小是 ．

【解析】 思路1：分析可知BPC A ABP ACP ∠=∠+∠+∠，因为60A ∠=?，故可以先考虑求出

ABP ACP ∠+∠的度数，根据题设条件，线段BP 、BE 把ABC ∠三等分，线段CP 、CE 把

ACB ∠三等分，所以13ABP ABC ∠=∠，13ACP ACB ∠=∠，1

2BPE BPC ∠=∠，这样只要求出

ABC ACB ∠+∠的度数，就可以解决问题，只需利用三角形内角和定理，即可求出．

解法1 ：在BPC ?中，

因为BE 平分CBP ∠，CE 平分BCP ∠， 所以PE 是BPC ∠的平分线． 即12

BPE BPC ∠=∠． 因为60A ∠=?，

所以120ABC ACB ∠+∠=?，

又因为BP 、BE 把ABC ∠三等分，CP 、CE 把ACB ∠三等分． 所以1

3

ABP ABC ∠=∠，13

ACP ACB ∠=∠，

又因为BPC A ABP ACP ∠=∠+∠+∠， 所以12()3

BPE A ABC

ACB ∠

=∠+∠+∠， 所以1160120502

6BPE ∠=??+??=?．

思路2：结合本题特有条件，还可以把着眼点集中于BPC ?中，直接利用三角形内角和定理解决这一问题．同样由两个三等分得到12

BPE BPC ∠=∠，不同在于我们利用三等分的另一个结论，23

BCP ACB ∠=∠，23

CBP ABC ∠=∠． 解法2 ：在BPC ?中，

因为BE 平分CBP ∠，CE 平分BCP ∠，

所以PE 是BPC ∠的平分线，即12

BPE BPC ∠=∠． 因为60A ∠=?，

所以120ABC ACB ∠+∠=?．

2

()803

BCP CBP ABC ACB ∠+∠=∠+∠=?，

所以100BPC ∠=?，所以1

100502

BPE ∠=??=?．

【总结】图1和图2中，分别是两个内角的2等分线，3等分线相交．

易得结论：图1中有0

011809022

A A

P +∠∠∠=

=+

， 图2中有001180226033

A A

P +∠∠∠=

=+， 00001

218029*********

P A A P ∠+∠∠∠=+=+=+

．

【例20】 如图，延长四边形ABCD 对边AD ，交BC 于F ，DC ，AB 交于E ．若AED ∠，AFB

∠的平分线交于O ，求证：1()2

EOF EAF BCD ∠=∠+∠．

A

B

C

D

E

F O A

B

C

D

E

F H

O

【解析】 延长FO 交AE 于H 点，

22()2()EOF FHE OEA FAE AFH OEA ∠=∠+∠=∠+∠+∠

2FAE BCD FBE OEA FAE ∠+∠=∠+∠+∠

22FAE AFH OEA FAE =∠+∠+∠+∠

2()FAE AFH OEA =∠+∠+∠

即1

()2

EOF EAF BCD ∠=∠+∠

【例21】 (第5届希望杯初二1试)如图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，

BE 与CF 交于G ，若140BDC ∠=?，110BGC ∠=?，求A ∠的度数．

A B

C

D

E

F

G G F E

D

C

B

A H

【解析】 延长BD 交AC 于H ，则BDC HCD DHC ∠=∠+∠

∵DHC A ABH ∠=∠+∠

∴BDC A ABH HCD ∠=∠+∠+∠①

∵BGC GFC FCG ∠=∠+∠，GFC A ABF ∠=∠+∠ ∴BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ ∴2222BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ 即22BGC A ABH ACD ∠=∠+∠+∠② ②－①得2BGC BDC A ∠-∠=∠ ∴211014080A ∠=??-?=?

全等三角形压轴题精选

全等三角形压轴题精选（1） 1．（2016?常德）已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F． （1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF； （2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论． 2．（2015?菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

3．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF ⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．

4．（2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC． （2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由． 5．（2013春?北京校级期中）探究 问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为______． 拓展

苏教版中考数学压轴题：动点问题

运动变化型问题专题复习 【考点导航】 运动变化题是指以三角形、四边形、圆等几何图形为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行考察研究的一类问题，这类试题信息量大，题目灵活多变，有较强的选拔功能，是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题的面目出现．解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住变化过程中的特殊情形，建立方程、不等式、函数模型． 【答题锦囊】 例1 如图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）． （1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？ （3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由． 例２ 如图2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=900，AB=6，AD=4，DC=3，动点P 从点A 出发，沿A →D →C →B 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动．设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为 y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出x y ，的取值范围； （2）当PQ ∥AC 时，求x y ，的值； （3）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理 由． 图1 P Ａ C D Q P Ｂ 图2

全等三角形压轴题(精选.)

全等三角形压轴题组卷 一．选择题（共9小题） 1．（2015?荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△，△均为等边三角形，连接和，分别交，于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论： ①△≌△；②∠60°；③△为等边三角形；④平分∠， 其中结论正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2014?山西）如图，点E在正方形的对角线上，且2，直角三角形的两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（） A．a2B．a2C．a2D．a2 3．（2013?东营）如图，E、F分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点O，下列结论：（1）；（2）⊥；（3）；（4）S△四边形中正确的有（）

4．（2012?长春）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点A、B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为（m﹣1，2n），则m与n的关系为（） A．21 B．m﹣21 C．2n﹣1 D．n﹣21 5．（2012?山西模拟）如图，点P、Q是边长为4的等边△边、上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论错误的是（） A． B．△≌△ C．∠的度数不变，始终等于60° D．当第秒或第秒时，△为直角三角形 6．（2012?镇平县校级一模）如图，在△中，∠90°，平分∠，⊥于D，如果3，那么等于（）

A．2B．3C．4D．5 7．（2011?恩施州）如图，是△的角平分线，⊥，垂足为F，，△和△的面积分别为50和39，则△的面积为（） A．11 B．5.5 C．7D．3.5 8．（2010?武汉模拟）如图，△中，∠、∠的角平分线、交于点P，下列结论： ①平分∠； ②∠∠180°； ③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则； ④∠2∠． 其中正确的是（） A．只有 ①②③B．只有 ①③④ C．只有 ②③④ D．只有①③ 9．（2004?内江）如图，∠30°，平分∠，∥，⊥，如果6，那么等于（）

全等三角形压轴题训练(含答案)

《全等三角形》压轴题训练 (1) 1.如图，在ABC ?中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 2.如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ,AC AB 于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ?的面积为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3.如图，在Rt ABC ?中，90,12,6C AC BC ∠=?==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ?和QPA ?全等，则AP 的长为 . 4.如图，//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥===，则ADE ?的面积为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???. (2)类比探究:如图②，在Rt ABC ?中，90,4ACB AC ∠=?=，将斜边AB 绕点A 逆时

针旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '?的面积. (3)拓展提升:如图③，在EBC ?中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t . 6.【初步探索】 (1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???，再证AEF AGF ???，可得出结论，他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【延伸拓展】 (3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程.

中考数学压轴题专题 动点问题

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

全等三角形压轴题训练(含答案)

. 《全等三角形》压轴题训练 (1) 1. 如图，在 ABC 中， AD BC,CE AB , 垂足分别为 D, E, AD ,CE 交于点 H , EH 、 EB 3,AE 4，则 CH 的长是 ( ) A.4 B.5 C.1 D.2 2. 如图，在 Rt ABC 中， C 90 ，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 AC, AB 于点 M , N ，再分别以 M , N 为圆心， 大于 1 MN 长为半径画弧， 两弧交于点 P ， 2 作射线 AP 交边 BC 于点 D ，若 CD 4, AB 25 ，则 ABD 的面积为 ( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3. 如图，在 Rt ABC 中， C 90 ,AC 12, BC 6 ，一条线段 PQ AB, P, Q 两点分 别在线段 AC 和以点 A 为端点且垂直于 AC 的射线 AX 上运动，要使 ABC 和 QPA 全 等，则 AP 的长为 . 4. 如图， AD // BC, AB BC, CD ，则 ADE 的面 积 DE, CD ED, AD 2, BC 3 为 . 5. (1) 观察推理 : 如图①， 在 ABC 中， ACB 90 , AC BC , 直线 l 过点 C ，点 A, B 在 直线 l 的同侧， BD l , AE l ，垂足分别 为 D,E . 求证: AECCDB . (2) 类比探究 : 如图②，在 Rt ABC 中， ACB 90 ,AC 4 ，将斜边 AB 绕点 A 逆时

.

. 针旋转 90°至 AB ，连接 B C ，求AB C 的面积 . (3) 拓展提升 : 如图③，在EBC中， E ECB 60 ,EC BC 3，点 O 在 BC 上， 且 OC 2 ，动点 P 从点 E 沿射线 EC 以每秒 1 个单位长度的速度运动，连接 OP ，将线 段 OP 绕点 O 逆时针旋转 120°得到线段 OF . 要使点 F 恰好落在射线EB 上，求点 P 运 动的时间 t . 6. 【初步探索】 (1) 如图①，在四边形 ABCD 中， AB AD , B ADC 90 . E, F 分别是 BC , CD 上的点，且 EF BE FD . 探究图中BAE , FAD , EAF 之间的数量关系. 小王同学 探究此问题的方法 :延长 FD 到点 G ，使 DG BE . 连接 AG. 先证明ABE ADG ， 再证AEF AGF ，可得出结论，他的结论应是. 【灵活运用】 (2) 如图②，在四边形ABCD 中， AB AD, B D 180 . E, F 分别是 BC, CD 上 的点，且 EF BE FD ，上述结论是否仍然成立?请说明理由 . 【延伸拓展】 (3) 如图③，在四边形ABCD 中，ABC ADC 180 , AB AD . 若点 E 在 CB 的延 长线上，点 F 在 CD 的延长线上，仍然满足 EF BE FD ，请写出 EAF 与 DAB 的数量关系， 并给出证明过程 .

全等三角形压轴题及分类解析

B O D C E 图8 七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三 角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。 ③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。 （湘潭·中考题） 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c 3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE ，△AMN 是等边三角形． C B O D 图7 A E A B C M N O P Q

（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证 明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请 给出证明，若不是，请说明理由． 同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =， BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； 图9 图10 图11 图① 图②

初二三角形压轴题分类解析

B A O D C E 图8 济南初中数学压轴 --------姜姜老师 北师大版七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角 形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c 3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE =，△AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说 明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是， 请说明理由． 图9 图10 图11 C B O D 图7 A E

同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. （3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明． 5.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△； （2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论． C G A E D B F 二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点1：利用垂直证明角相等 1. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ． 求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长．

三角形中考压轴题(带答案)

中考专题-------三角形 一．选择题（共3小题） 1．（2014?山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（） ． a2a2a2a2

AC= EC= EP=PC=a =a×a= = 2．（2014?武汉模拟）如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD， ②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（） EF=AC EF=AC

3．（2013?河北模拟）四边形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命题：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④AB=BE=AE．其中命题一定成立的是（） DAC= 二．填空题（共6小题） 4．（2015?泰安一模）如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的 …如此继续下去，结果如下表，则a n=3n+1（用含n的代数式表示）．

5．（2013?宜兴市一模）如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC 的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为6个．

6．（2013?齐齐哈尔模拟）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC的中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记为S1，取BE的中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF．得到四边形E1D1FF1， 它的面积记作S2，照此规律，则S2012=． 的面积是，求出 =××× ×××=×××××××××…××（）AB

初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初二全等三角形所有知识点总结和常考题 知识点： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等. 4.角平分线： ⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 常考题： 一．选择题（共14小题） 1．使两个直角三角形全等的条件是（） A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条边对应相等 2．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC

相似三角形压轴题含答案

2 1 F D E C A B 1、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，四边形ABCD 中，BC AD //，点 E 在CB 的延长线上，联结DE ，交AB 于点 F ，联结DB ，AFD DBE ∠=∠，且2DE BE CE =?. (1) 求证：DBE CDE ∠=∠； （2）当BD 平分ABC ∠时，求证：四边形ABCD 是菱形. 答案：（1）证明：∵CE BE DE ?=2， ∴ DE BE CE DE = ． …………………………………………（2分） ∵E E ∠=∠， …………………………………………（1分） ∴DBE ?∽CDE ?．……………………………………… （1分） ∴CDE DBE ∠=∠． ……………………………………………（1分） （2） ∵CDE DBE ∠=∠， 又∵AFD DBE ∠=∠， ∴=∠CDE AFD ∠．………………………………………………（1分） ∴DC AB //． ………………………………………………（1分） 又∵BC AD //， ∴四边形ABCD 是平行四边形 ………………………………………（1分） ∵BC AD //， ∴1∠=∠ADB ． ……………………………………………（1分） ∵DB 平分ABC ∠， ∴21∠=∠． …………………………………………（1分） ∴2∠=∠ADB ． ∴AD AB =． ……………………………………………（1分）

∴四边形ABCD 是菱形． ……………………………………………………（1分） 2、（2010?山东省泰安市）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，且满足AD=AB ，∠ADE=∠C （1）求证：∠AED=∠ADC ，∠DEC=∠B ； （2）求证：AB 2=AE·AC 2．（本小题满分8分） 证明：（1）在△ADE 和△ACD 中 ∵∠ADE=∠C ，∠DAE=∠DAE ∴∠AED=180°—∠DAE —∠ADE ∠ADC=180°—∠ADE —∠C ∴∠AED=∠ADC （2分） ∵∠AED+∠DEC=180° ∠ADB+∠ADC=180° ∴∠DEC=∠ADB 又∵AB=AD ∴∠ADB=∠B ∴∠DEC=∠B （4分） （2）在△ADE 和△ACD 中 由（1）知∠ADE=∠C ，∠DAE=∠DAE ∴△ADE ∽△ACD （5分） ∴ AD AC AE AD 即AD 2=AE·AC （7分） 又AB=AD ∴AB 2=AE·AC （8分） 3.

15题压轴题练习--图形折叠及动点问题的相关计算

图形折叠及动点问题的相关计算 考情总结：图形折叠及动点问题的相关计算是近五年河南中招考试的重点及必考点，均在填空题第15题进行考查，分值为3分，常见的类型有三角形折叠相关计算、四边形结合的相关计算，常见的设问为探究特殊三角形存在时的线段长、探究动点在特殊位置时的线段长． 【方法指导】对于河南中招考试中的几何图形折叠与动点问题的计算，常涉及特殊三角形的探究及动点特 殊位置的探究． 1．掌握折叠的性质是解决问题的关键．(1)折叠前后位置的图形全等，对应边、角相等；(2)折痕两边的图形关于折痕对称；(3)折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分； 2．特殊三角形：(1)直角或等腰三角形的判定：首先从可能满足直角的顶点或腰入手，通过矩形的性质、折叠的性质或结合直角三角形勾股定理直接计算，或设出某条线段长，根据相似、勾股定理等，列方程进行求解； 3．河南中招考试中，此类问题的重点为分类讨论，即该题多为多解题，注意等腰三角形的腰，直角三角形的直角顶点，特殊点的位置等． 1.（2017年）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC=+1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则BM 2 1 或1 ． 【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°， 推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM= MB′，列方程即可得到结论． 【解答】解：①如图1， 当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点， ∴BM=BC=+； ②如图2，当∠MB′C=90°， ∵∠A=90°，AB=AC ， ∴∠C=45°， ∴△CMB′是等腰直角三角形，

第1章《全等三角形》压轴题训练(含答案)

第1章《全等三角形》压轴题训练 (1) 1.如图，在ABC ?中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 2.如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ,AC AB 于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ?的面积为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3.如图，在Rt ABC ?中，90,12,6C AC BC ∠=?==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ?和QPA ?全等，则AP 的长为 . 4.如图，//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥===，则ADE ?的面积为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???. (2)类比探究:如图②，在Rt ABC ?中，90,4ACB AC ∠=?=，将斜边AB 绕点A 逆时

针旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '?的面积. (3)拓展提升:如图③，在EBC ?中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t . 6.【初步探索】 (1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???，再证AEF AGF ???，可得出结论，他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【延伸拓展】 (3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程.

三角形中考压轴题带答案

中考专题---- 二角形 ?选择题（共3小题） 1如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC 于点M、N .若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为（） A. 2 2 B? 1 2 C. 5 2 D.4 2 -a ^a ^a - a 349^ 考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质. 专题：几何图形问题；压轴题. 分析：过E作EP丄BC于点P, EQ丄CD于点Q , △ EPM ◎△ EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解. 解答：解：过E作EP丄BC于点P, EQ丄CD于点Q, ???四边形ABCD是正方形，???/ BCD=90 ° 又???/ EPM= / EQN=90 ° ? / PEQ=90 ° ? / PEM+ / MEQ=90 ° ???三角形FEG 是直角三角形，? / NEF= / NEQ+ / MEQ=90 ° ? / PEM= / NEQ , ??? AC是/BCD的角平分线，/ EPC= / EQC=90 ° , ? EP=EQ ,四边形PCQE是正方形， r ZPEM=ZNEQ 在厶EPM 和厶EQN 中，EP=EQ EPM ◎△ EQN (ASA ) ? S A EQN=S A EPM , {ZEPI=Z EQN ?四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积 ???正方形ABCD 的边长为a, ? AC= :■:a , ?/ EC=2AE , ? EC=' ' a , 3 ? EP=PC=^a，?正方形PCQE的面积'a；a」a2，?四边形EMCN的面积县a2,故选：D . 3 3 3 9 9 点评：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△ EPM EQN . 2. 如图/ A= / ABC= / C=45 °° E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF丄BD ,②EF^BD , ③ / ADC= / BEF+ / BFE ,④AD=DC ,其中正确的是（） A .①②③④ B .①②③C.①②④ D .②③④ 考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质. 专题：压轴题. 分析：根据三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解. AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q,延长CD交AB于P. 解答：解：如下图所示：连接 ?/ / ABC= / C=45 ° ? CP丄AB ?/ Z ABC= / A=45 AQ 丄BC 点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM丄AC . 由中位线定理可得EF// AC , EF==AC ? BD丄EF，故① 正确. 2 ?/ Z DBQ+ Z DCA=45 °, Z DCA+ Z CAQ=45 °? Z DBQ= Z CAQ , ?/ Z A= Z ABC , ? AQ=BQ , ??? Z BQD= Z AQC=90 °, ???根据以上条件得A AQC ◎△ BQD , ? BD=AC ? EF」AC ,故② 正确. ?/ Z A= Z ABC= Z C=45 Z DAC+ Z DCA=180 °-( Z A+ Z ABC+ Z C) =45 ° ? Z ADC=180 ° -( Z DAC+ Z DCA ) =135°Z BEF+ Z BFE=180。-Z ABC 故③Z ADC= Z BEF+ Z BFE成立； 无法证明AD=CD，故④错误.故选B.

金老师教育培训---中考数学压轴题专题16函数动点问题中三角形存在性17题9页

专题16 函数动点问题中三角形存在性 模型一、等腰三角形存在性问题 以腰和底分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解. 模型二、直角三角形存在性问题 以直角顶点不同分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.常见的模型为“一线三直角”. 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2－3 2 x+c经过点A(－1,0),B(4,0)，与y轴交于点C，点P 是x轴下方的抛物线上一动点（包含点A、B）.作直线BC，若过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q. （1）求抛物线的解析式； （2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CPQ是等腰三角形？若存在，直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由. 2.如图，抛物线L：y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，已知点B(3,0)，抛物线的对称轴为x=1. （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC内部（包含△OBC边界），求h的取值范围； （3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=－3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，写出符合条件的点P的坐标，若不能，请说明理由.

3.如图，已知抛物线经过点A(－1,0)，B(4,0),C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M. （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 4.如图,顶点为(2,－1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交y轴于点C(0,3),交x轴于A,B两点,直线l过AC 两点,点P是位于直线l下方抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴,交直线l于点Q. (1)求抛物线的解析式; (2)求线段PQ的最大值及此时点P的坐标; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使△BCG为直角三角形?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.

全等三角形压轴题精选(3)

全等三角形压轴题精选（3） 16．（2015秋?垫江县期末）如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 17．（2015秋?临海市期末）在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5 ①求证：AF⊥BD ②求AF的长度； （2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由

18．（2015秋?番禺区期末）△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°． （1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE； （2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值； （3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．

中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案

中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到 1cm ）？ 【答案】 【解析】 过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可． 2．在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，点P 是CD 边上的任意一点（不含C ，D 两端点），过点P 作PF ∥BC ，交对角线BD 于点F ．

（1）如图1，将△PDF 沿对角线BD 翻折得到△QDF ，QF 交AD 于点E ．求证：△DEF 是等腰三角形； （2）如图2，将△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C ，F'B ．设旋转角为α（0°＜α＜180°）． ①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时，求证：△DP'C ∽△DF'B ． ②如图3，若点P 是CD 的中点，△DF'B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan ∠DBF'的值，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12或 3 . 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF ，所以△DEF 是等腰三角形； （2）①由于PF ∥BC ，所以△DPF ∽△DCB ，从而易证△DP′F′∽△DCB ； ②由于△DF'B 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论． 【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ ， ∵PF ∥BC ， ∴∠DFP=∠ADF ， ∴∠DFQ=∠ADF ， ∴△DEF 是等腰三角形； （2）①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时， ∵∠P′DF′=∠PDF ， ∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF ﹣∠F′DC ， ∴∠P′DC=∠F′DB ， 由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF ， ∵PF ∥BC ， ∴△DPF ∽△DCB ， ∴△DP′F′∽△DCB ∴ ' ' DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ； ②当∠F′DB=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=1 2 BD ， ∴ '1 2 DF BD =， ∴tan ∠DBF′= '1 2 DF BD =；

全等三角形证明压轴题卷

O E C A B F 八上数学 全等三角形的证明 1 1. 如图所示，在△ABC 中，∠C=900，∠CAB、∠CBA 的平分线相交于点D ，BD 的延长 线交AC 于E ，求∠ADE 的度数． 2. 如图，点C 在线段AB 上，AD∥EB，AC =BE ，AD= BC ，CF 平分∠DCE． 求证：（1）△ACD≌△EBC；（2）CF⊥DE． 3. 如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B 、C 重合），F 、E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE ．请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF （不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明． （1）你添加的条件是： ；并证明△BDE ≌△ CDF ； （2）若AD =10，求AF +AE 的长． 4. 雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC ，支撑杆OE=OF ，，，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，在雨伞开闭过程中，∠BAD . 5. 如图，点D 、E 分别在等边△ABC 的AB 、AC 上，且CD ＞BD ，AE ＞EC ，AD 和BE 相交 于点F.. （1）若∠BAD=∠CBE，则AD BE ；（填“＞”、“=”、“＜”） D E A D E F B C A E D A F C B

A D C B E E B C G F D A （2）若AD=BE ，求证：∠BAD=∠CBE； （3）在（2）的条件下，以AB 为边作如图所示的等边△ABG，连接FG ，若FG=11， BF=3，请直接写出线段AF 的长度为 . 6.．（本题满分12分）如图1，已知A 0），B （0 . （ 1 的度数； （2）如图1，在（1）的条件下，点C 为线段AB 上一点（BC ＞CA ），以点C 为直角 顶点，OC 为腰作等腰Rt△OCD，连接BD ，求证：∠BDO=∠BCO； （3）如图2，△ABO 的两条角平分线AE 、BF 交于点Q ，若△ABQ 的面积为24，求四边形AFEB 的面积. 7. 如图 ，在平面直角坐标系中：A(a ，o)，B(0，b)，且满足（a-4) 2 =0，点C 、B 关于x 轴对称．