高数3

第五章 不定积分

一、原函数概念

若),()(x f X F ='称F 是f 的一个原函数。 例1：已知的则)(,11)(2

x f C x dx x f ++=

?

一个原函数是

2

11x +。

例2：已知f(x)的一个原函数是,3x 则f(x)的导数是（x x 6)3=''，或称f(x)是6x 的一个原函数。

二、不定积分性质

（1）??

='+=').())((,)()(x f dx x f C x f dx x f 即：求导与求不定积分互为逆运算。 例：?+=',cos )(cos c x dx x ?

='x xdx cos )cos (。 （2）.)()(?

?=dx x f k dx x kf 即：常数可提出积分号外。

（3）

.)()()]()([???±

=±dx x g dx x f dx x g x f 即：代数和的积分等于积分

的代数和。

三、不定积分的几何应用

已知曲线的切线斜率，求曲线方程。 例：已知某曲线在点（1，2）处的切线斜率是x

1

，求该曲线方程。 解：曲线?

+==

C x dx x

y ln 1

,将点（1，2）代入，得C=2， 所求曲线2ln +=x y 。

四、不定积分的计算方法

基本积分公式、积分性质要熟记。

1、直接积分法 —适当变形应用基本积分公式

例1：C e

dx e dx e x x x x +=

=?

?-)5()5

ln(1)5

(5 例2：

C arctgx x

dx x

dx x

dx x x

x x dx x x

x ++-

=++=

+++=

++????1

11

1

)

1(1)

1(212

2

22

2

22

2

2、凑微分方法：??='?)()]([)()]([x d x f dx x x f ????

常见凑微分类型： （1）)()(1

)(?

?

++=

+b ax d b ax f a

dx b ax f ?

?++=

?+)()(21)(222b ax d b ax f a

xdx b ax f

?

?

++=

?+-)()(1)(1b ax d b ax f ka

dx x b ax f k k k

例1：

C x x x d x dx

+--=--=

--?

?

23

5

5)25(152

)25()

25(5

1

)25( 例2：C x x d x dx x x ++=++=+??

?

34

3331

33

3

2)1(4

1

)1()1(311 （2）?

?=

?x d x f dx x

x f ln )(ln 1

)(ln

例：

C x C t t

dt

t x x x d x

x dx

+=+===??

?

?

ln ln ln ln ln ln ln （3）x x x x de e f dx e f e )()(?

?

= 例1：

C arctge e

de dx e

e x x

x

x

x

+=+=+??2211

例2：

C arctge dx e

e e

e

dx

e

e

dx

x x

x

x

x

x

x

+=+=

+=

+???--221)1(

（4）????-=?=?x

d x f xdx x f x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin

例1：

C x x d x dx x x +-=-=?

?1sin 11cos 1

cos

2

例2：

C x x x

x x x d dx x

x x

x +-=--=

-+?

?

32

33

)cos (sin 23

cos sin )

cos (sin cos sin cos sin （5）???

?-=?=

?dctgx ctgx f xdx ctgx f dtgx tgx f xdx tgx f )(csc

)(,)(sec )(2

2

例1：

C x

ctg

x x d

x dx

x

dx

+-==

=

-???2

2

sin

2

2

sin

2cos 12

2

例2：

C x tg x tg x

dtg

x x tg x

d

x x dx

x

dx

+==

?=

?=?

??

?

2ln 2

22

cos

2

2

2

cos

2sin 2sin 2

（6）

??

??=

+?=

-?darctgx

arctgx f dx x arctgx f x

d x f dx x x f )(11

)(arcsin )(arcsin 11

)(arcsin 2

2

例1：C arctgx tgx arctgxdarc dx x

arctgx +==+?

?

22)(21

1

例2：

C x arctg x x

d

x dx x

dx

+=+=

+=

+?

?

?236

1)

23(12

36

1)

2

3(12

1

3222

2

3、第二换元积分法（去根号）

1） 被积函数含,,m n b ax b ax ++（根号里是一次式）。可设k b ax t +=，其中

k 是m 、n 的最小公倍数。 例1：求

?

++dx x x 3

4

1

。

解：设,43+=x t 则x=t 3-4,dx=3t 2dt,

原式=

c x x c t t dt t t dt t t t ++-+=+-=-=?-?

?32

35

25423)4(2

9

)4(532953)3(333 例2：求

?

+3x

x dx

。

解：设,6x t =则x=t 6,dx=6t 5dt,

c

x x x x c t t t t dt t t t dt

t t t t dt t t dt t t dt t t t ++-+-=++-+-=+-+-=+-+-+=+-+=+=+=?

??

??

1ln 6632)1ln 2

36)111(11

)1)(1(611)1(616663232

233235

（原式

2) 被积函数含根号，根号里是二次式，不含一次项。可作三角代换。

如：被积函数含,22x a -可设2

,sin π≤

?=t t a x ；

被积函数含,22x a +可设)2,0(,π

∈?=t tgt a x ；

被积函数含,22a x -可设)2,0(,sec π

∈?=t t a x 。

例：求dx x x 231+??

。 解：设x=tgt,则dx=sec 2tdt,

c x x c t t t

td t tdt t tg ++-+=+-=?-=?=?

?232252352233)1(3

1

)1(51sec 31sec 51sec sec )1(sec sec 原式

另解：（凑微分法）

c

x x x d x x d x x d x x x d x x ++-+=+

+-

+

+=

++-+=++=?

?

?

?23225222

1222

32221

22221

22)1(3

1

)1(51)1()1(2

1

)1()1(2

1

)

1()1)(11(2

1)1()1(21原式

4、分部积分法

分部积分公式：??

?'-?='?vdx u v u dx v u 。

当被积函数是两不同类型函数之积，可用分部积分法。常见类型有：幂函数

与三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数之积；指数函数与三角函数之积等。形如：x x n sin ?；arctgx x n ?；x n e x ?；x x n ln ?；x e x sin ?等等。 例：

c

x x x x x d x x dx x x

x x xdx +-+?=--+?=--?=?

??

22221arcsin 1)

1(21arcsin 1arcsin arcsin u,v ’

的选择，一般是：

1） 当被积函数为幂函数与三角函数或指数函数之积，选

u 为幂函数，v

’

为三角函数或指数函数。

2）幂函数与反三角函数或对数函数之积，选u 为反三角函数或对数函数，v ’ 为幂函数。

3）被积函数为指数函数与三角函数之积，一般选u 为三角函数，v ’

为指

数函数；也可以反之选择。 例1：求?

?xdx x 2cos 解：选u=x,v ’=cos2x,

c x x x xdx x x x x

d xdx x ++?=-?==

???

?

)2cos 2

1

2sin (21)2sin 2sin (212sin 212cos 例2：求arctgxdx x ??

2 解：选u=arctgx, v ’=x 2,

c x x arctgx x dx x

arctgx x dx

x x arctgx x dx x x arctgx x dx x x arctgx x arctgxdx arctgxdx x ++--?=+--?=+-+-?=+-?=+-?==??

?

??

??

)]1ln([6131)111(61311116131)121(31)

1(313122322322232

2232

333

2

例3：求

xdx x ln ??

解：选u=lnx,,,x v =

c x x x xdx xdx x +-?==??

?

)3

2ln (32ln 32ln 23

2323。

例4：求?

?xdx e x sin 解：选u=sinx, v ’=e x ,

xdx

e x x e xdx e x e xde xdx e x x x x x x sin )cos (sin cos sin sin sin ?--=?-?==??

??

?移项，得c x x e xdx e x x +-?=??

)cos (sin 2

1

sin 。

例5：

c

x x c t t t dt t t dt t

t t t dt t t t t tdt x t x d x dx x

x +-=+-?=-?=?-?=?-?===?

???

??]1)[ln(ln ln ln ln 1

ln )(ln ln ln ln ln )ln(ln )

ln(ln ,

例6：

???-+=+?=])cos(ln )sin(ln )[cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln dx x x x x dx x x x dx x

移项，得c x x x

dx x ++=?

)]sin(ln )[cos(ln 2

)cos(ln

5、有理分式函数的积分

有理分式函数)

()

()(x Q x P x L m n =

,其中)(),(x Q x P m n 分别是关于x 的n 次 、m 次多项式。若L(x)是假分式（即：分式的分子的最高次幂大于或小于分母的最高次幂），应先将假分式化为多项式与真分式之和。真分式（即：分式的分子的最高次幂小于分母的最高次幂）再化为最简分式之和。

最简分式：1）a x A -； 2）k a x A

)

(-； 3）q px x B Ax +++2 ； 4）k

q px x B Ax )(2+++；

其中A 、B 、p 、q 为常数；042<-q p ,即：分母的二次三项式在实数域内不可再因式分解。 1）、2）、3）的积分可用凑微分法解决。 例1：

c x x dx x x dx x x x x x x dx x x dx +--=---=-----=--=+-????3

4

ln )3141()4)(3()4()3()3)(4(1272註.形如

?++c

bx ax

dx

2

，可根据分母判别式ac b 42-=?的不同情况，分别用

不同方法进行计算：

(ⅰ)当?=0，分母可完全平方，后凑微分：

c B Ax A B Ax dx c bx ax dx ++-=+=++?

?2

22)(1

)(

(ⅱ) 当?>0，分母可因式分解，后拆项、凑微分：

]

)()(([1))((11112??

??+++=++=++D x C dx

B x A dx E D Cx B Ax dx c

bx ax dx c D x C B x A F

++++=

]ln [ln 1

1111 (ⅲ) 当?<0，分母可先配方，后换元、利用基本积分公式：

?

??+=+=++=++c arctgt G t dt G C Bx A dx G c bx ax dx 1

212221

11)(1

例2：

c x arctg x x

d x dx

x x

dx

++=+++=

++=

++???)1()

1(1)

1(1

)

1(2

22

2

2

註.形如

??

?

++-

++++=++c

bx ax

dx

a

b c

bx ax c bx ax d a

c bx ax xdx

2

2222)(21；即：分子先凑

成分母的微分，其余转化为上述情形。 例3：

c x arctg x x x x

dx

x x x x d x x dx

x +++++=

+++

++++=+++??

?

)1(522ln 2

1

2

252

2)22(2

122)6(22

2

22

6、三角函数类积分

1） 被积函数形如 sin m x .cos n x (m ≠n)。

当m 、n 中至少有一个是奇数，如：sin 2k+1x .cos n xdx=sin 2k x .cos n xd(-cosx); 当m 、n 皆为偶数，可利用：2

2cos 1cos ,22cos 1sin 22x

x x x +=

-= 2） 被积函数形如：

];)cos()[cos(2

1

)sin()sin(x n m x n m nx mx --+-=

? ];)cos()[cos(2

1

)cos()cos(x n m x n m nx mx -++=

? 例1：

c

x x x d x x x

xd x x xd x xdx x +--=--=?--=-?=??

?

?

?)cos 8

1

cos 61(cos )cos (cos cos cos )cos 1()cos (cos sin cos sin 867

5525253

例2：c x x dx x x xdx x ++-=-+=??

?

]2cos 4

18cos 161)]2sin(8[sin 215cos 3sin 例3：

c tgx tgx dtgx dx x

tgx dx x x +==?=??

??ln cos 1cos sin 12

例4：

c x tg x tg x

dtg

x x tg x

d

x x dx

x

dx

+==

?=

?=?

?

??

2ln 2

22

cos

2

2

2

cos

2sin 2sin 2

三角函数类的积分比较灵活，需先观察被积函数的类型，利用三角恒等变换，往基本积分公式靠拢。

小结. 积分方法的选择：首先观察被积函数的类型，

];)sin()[sin(2

1

)cos()sin(x n m x n m nx mx -++=

?

考虑（1）能否凑微分；（2）能否分部积分（尤其是当被积函数为两不同类型函数之积）；（3）若被积函数是无理函数（含根式），可考虑作变量替换，去根号；（4）若被积函数是有理分式函数，先观察是否最简分式，若不是应先转化，后凑微分。

高数第六章总习题答案

复习题A 、判断正误 1、若a b b c 且b 0 ,则a c ; ( ) 解析 a b b c = b (a c) =0 时, 不能判定b 0或a c . 例如a i , b j , k ，有 a b b c 0 , 但a c . c M * 2、 右a b b c 且 b 0 ,则 a c ; ( ) 解析 此结论不一定成立.例如 a i ,b j , c (i j), 则 b i j k ,b c j [ (i j)] k , a b b c , 但a c . 3、若 a c 0 ,则a 0或c 0 ; ( ) 两个相互垂直的非零向量点积也为零. 解析 二、选择题： 当a 与b 满足（D ）时，有a b 解析只有当a 与b 方向相同时，才有 a + b=a+b . 解析 对于曲面z 1 x 2 2 y 2，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆， 垂直于x 轴或y 轴 的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面. 4、 a 解析 b b a . 这是叉积运算规律中的反交换律. (A) a b ； （B ） a b （为常数）; (C) // b ; (D) a||b . (A)中a , b 夹角不为0, (B), （C ）中a , b 方向可以相同，也可以相反. 2、下列平面方程中，方程（C ） 过y 轴; (A) x y z 1 ; (B) x (C) x z 0; (D) 解析平面方程Ax By Cz 0若过 y 轴，则B D 0,故选C. 3、在空间直角坐标系中，方程 1 x 2 2y 2所表示的曲面是（B ）； （A ）椭球面； （B ） 椭圆抛物面; (C) 椭圆柱面； （D ） 单叶双曲面.

高等数学第六章习题

第六章定积分的应用 第二节定积分在几何上的应用1.求图中各阴影部分的面积: （1） (2) (3)

(4) . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); (2)x y 1=与直线y =x 及x =2;

(3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. . 4. 求下列各题中平面图形的面积： （1）曲线2 4y x =及其在点(1,2)处的法线所围城的图形。.

（2）.曲线3 32y x x =-+在x 轴上介于两极值点之间的曲边梯形。 5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积; (1)ρ=2a cos θ ; (2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ;

(3)ρ=2a (2+cos θ ) . 6. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积. （1）24cos ρρθ==及 （2）3cos 1cos ρθρθ==+及 （3）2cos 2ρθρθ= =及

7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2 x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。 （2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。 （3）()22x y 516,x +-=绕轴。 （4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。

高等数学第六章答案

第六章 定积分的应用 第二节 定积分在几何上的应用 1. 求图中各阴影部分的面积: （1） 16 . (2) 1 (3) 323. (4)32 3 . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 463 π-. (2) 3 ln 22-. (3)1 2e e +-. (4)b a - 3. 94 . 4. （1）.1 213 （2）.4 5. (1) πa 2. (2) 238 a π. (3)2 18a π. 6. （1）423π? ? （2） 54 π （3）2cos2ρθρθ==及 16 2 π + 7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2 x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。

（2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。 （3）()2 2 x y 516,x +-=绕轴。 （4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。 （5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱，绕轴。 2234824131,;(2),;(3)160;(4);(5)5a .52556 πππππππ（） 8．由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. 128 7x V π= . y V =645 π 9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.332 105 a π 10．（1）证明 由平面图形0≤a ≤x ≤ b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ?=b a dx x xf V )(2π . 证明略。 （2）利用题（1）结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转 体的体积. 2 2π 11．计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 3 R . 12．计算曲线3 223 y x =上相应于38x ≤≤的一段弧的弧长。2123 13．计算曲线2 ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤ 的一段弧的弧长。1ln 32 - 14．求星型线33 cos sin x a t y a t ?=?=? 的全长。6a

高数第六章答案

习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1]2132[)(1022310 =-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为

3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2;

解: 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2 +4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:

(完整版)高等数学偏导数第三节题库

【090301】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数z x y xy =+-arctan 1的全微分。 【试题答案及评分标准】 z x y xy x y =+-=+±arctan arctan arctan 1π ????z x x z y y =+=+111122 , （8分） d d d z x x y y = +++111 122 （10分） 或d ()(d d )()(d d ) ()z x y x y xy x y x y y x x y xy = ++-?? ?? ?? -+-+---11112 2 （8分） = +++111 122 x x y y d d （10分） 【090302】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数z x y e xy =++ln()2 2 的全微分。 【试题答案及评分标准】 ????z x x ye x y e z y y xe x y e xy xy xy xy =+++= +++222222, （8分） [] d ()d ()d z x y e x ye x y xe y xy xy xy = +++++1 2222 （10分） 【090303】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数u x y z =的全微分。 【试题答案及评分标准】 ln ln u y x z = ??u x u y x y x z z y z =??=-1 1 （2分） ??u y z y x x z y z =???-1ln （5分）

??u z y x x y z y z =???ln ln （8分） d d ln d ln ln d u y x x z y x x y y x x y z z y z z y z z y z =+???+???--1 1 （10分） 【090304】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u x x y =+arccos 2 2 ，求d u 。 【试题答案及评分标准】 u x y y x y x x y y x y x =-+?+-+?????? ??=-+22222 2 232221()/ （4分） u x y y xy x y x y x y y = -+-+????? ?=+22 223222()sgn / （8分） d sgn (d d )u y x y y x x y = +-+22 （10分） 【090305】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u x x y =+arcsin 2 2 ，求d u 。 【试题答案及评分标准】 u x y y x y x x y y x y x = +?+-+?????? ??=+22222 2 232221()/ （4分） u x y y xy x y x y x y y = +-+????? ?=-+22 223222()sgn / （8分） d sgn (d d )u y x y y x x y = +-22 （10分） 【090306】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数u x y z y z x =的全微分。 【试题答案及评分标准】 ??u x yx y z x y z z x y z y x z y z x y z x y z x =+=+-1ln (ln ) （3分） ??u y x y z x x zy z x y z z y x y z x y z x y z x =+=+-ln (ln )1 （6分）

高数答案(全集)第六章参考答案

第六章 常微分方程 1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d 2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性 3. (1)-(3)均为微分方程02 2 2=+y dx y d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得 dx y dy cos 2 = 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1 c x y +-=此外,还有解0=y (2)分离变量,得dx x x y y d x x dx dy y y )11 1(1)1(2112 222+-=+++=+或 两边积分,得c x x y ln )1ln(ln )1ln(21 2++-=+ 即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2 x (3)将变量分离,得 112 2 =-+ -y ydy x xdx 积分得通解2 1x -+)20(12 c c y =- 还有使因子2 1x -?012 =-y 的四个解. x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2 )e x 2dx-[ ] 0)1( )e y +(1y =+-dy y e x 2dx=dy y y ?? ? ?? ?++- 2y 11 (e 积分得 --=y e e y x arctan 2 12)1ln(212y +-21 (5)令 z=x+y+1, z dx dz sin 1+=分解变量得到dx z dz =+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到

dz z z z se dz z z dz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 122 2-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c 即-tan( 2 2z -∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(2 1 4++-∏y x ) 6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0 分离变量得du x dx 1) -u(u u 2 2-=,即得y 3=c(2y -2 x ) 7. 令x y u = ,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2 222cx x x y +=由定 解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y += 8. 将方程化为x y x y y + -='2 )(1，令x y u =，得,u u x y +'=代入得 dx x du u 1112 =- 得c x u ln ln arcsin +=，cx x y ln arcsin = 9．化为x e x y dx dy x = +，解得)(1x e c x y +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)() (-+=-x ce y x ?? 11.化为 x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令x y u =,则原方程化为dx dy y dx du 2 --= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得1 2])(ln 2 1 [1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令x y u =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x 解得1 12 2 +-= -x ce y x 13． 23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dx dy -=- 22 2 12+-=-y ce z y ，得通解1)2(22 12=+--y ce x y 14．令x y N x y M +-=-=4,32 有 x N y M ??==??1，这是全微分方程0=du

高数第六章总习题答案

复习题A 一、判断正误: 1、 解析 2、 解析 3、 解析两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4 ( √ ) 解析这是叉积运算规律中的反交换律． 二、选择题: 1、 D )； 解析 (A)0，(B)，(C) 2、下列平面方程中，方程( C ) 解析C． 3、( B )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面．

解析 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面． 4、( C )； 解析 5、( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) (D) 解析，1，-1}，，-1，1}， 三、填空题: = 0 ； 1、 2 解． 2、 解平面的法向量，-1，2}

3、 ； 解 (-3，1，-2) 和(3，0，5)代入方程， 即 4、 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 ，2，-1} ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为 ． 5、 解: 投影柱面为 影曲线方程． 四、解答题: 1、 (c) 解:

， 2、 试求：(1) 标表示； (2) (3) (4) 向量． 解:(1) ； (2) (3) 在 三个坐标轴上的方向余弦分别为 3、 . 解： 4、 解：

5、求满足下列条件的平面方程： (1) (2) 解(1)解1： 解2： 量为 解3： 再根据点法式公式写出平 面方程也可． 于是所求平面方程为 （2） 时，所求平面方程为 又，即 ．这样它与已知平面 所 ，则有

6、 求该平面方程； 解法1： ，得 ，则（0， 4）为平面上的点． 相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 ，5，1}，0，-1} ， 2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即 ，2，-5} ， ，解方程组 所求平面方程为 解法2：用平面束（略） 7、 直线方程. 解法1 从而根据点向

高等数学课后习题答案第六章

习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3s i n 4c o s 3s i n 4c o s x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解： 12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证：方程 22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得

高数第六章总习题答案

复习题A 一 、判断正误: 1、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 c b b a ?-?=)(c a b -?=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =， j b =，k c =，有?=?=0a b b c ，但c a ≠． 2、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则 k j i b a =?=?，k j i j c b =+-?=?)]([，c b b a ?=?，但c a ≠． 3 、若0=?c a ，则=0a 或=0c ； ( ? ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4、 a b b a ?-=?． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律． 二、选择题: 1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+； (A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)?=a b a b ． 解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ． (A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反． 2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴； (A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ． 3 、在空间直角坐标系中，方程2 2 21y x z --=所表示的曲面是( B )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2 2 21y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．