第四章作业答案
用阶跃法测定一闭式流动反应器的停留时间分布，得到离开反应器的示踪剂与时间的关系如下：
022
2313
≤??=-≤≤??≥?
()t c t t t t
试求：
（1） （1） 该反应器的停留时间分布函数F(θ)及分布密度函数E(θ)。 （2） （2） 数学期望θ及方差2
θσ。
（3） （3） 若用多釜串联模型来模拟该反应器，则模型参数是多少 （4） （4） 若用轴相扩散模型来模拟该反应器，则模型参数是多少
（5）若在此反应器内进行一级不可逆反应，反应速率常数k=1min -1，且无副反应，试求反应器出口转化率。
解：（1）由图可知C 0=C(∝)=，而F(θ)=F(t)=C(t)/ C(∝)，所以：
0208
22308121312
≤≤?
?
==-≤≤≤≤??≥≥?
,.()(),
..,.t F F t t t t ?θθθ
如下图所示：
由（）式可得平均停留时间：
[]11
225∞===+=???()()()().min
t tE t dt tdF t F t dF t
即为上图中阴影面积。由（）式得：
21
230
3
??==≤≤???
()()t dF t E t t dt t
所以：
00825
0812012
??
==≤≤???
.()()....E tE t ?
θθθ
如右图所示：
（2）由于是闭式系统，故==/r t V Q τ，所以1=θ 由式（）可得方差：
12
22
2
20
08
251001333
∞
=-=-=??..()..E d d θσθθθθθθ
（3）由（）式可得模型参数N 为：
2
1100133375===//.N θσ （1） （4） 由于返混很小，故可用22≈/Pe θσ，所以：
222001333150≈==//.Pe θσ （5）用多釜串联模型来模拟，前已求得N=75，应用式（）即可计算转化率：
75
1251111110914575?=-+=-+
=./()/().N A X k
N
τ
同理，亦可用扩散模型即（）式得X A =。两种方法计算结果相当吻合。
已知一等温闭式液相反应器的停留时间分布密度函数
E(t)=16texp(-4t),min -1，试求： （1） （1） 平均停留时间; （2） （2） 空时； （3） （3） 空速；
（4） （4） 停留时间小于1min 的物料所占的分率； （5） （5） 停留时间大于1min 的物料所占的分率；
（6）若用多釜串联模型拟合，该反应器相当于几个等体积的全混釜串联 （7）若用轴向扩散模型拟合，则模型参数Pe 为多少
（8）若反应物料为微观流体，且进行一级不可逆反应，其反应速率常数为6min -1,C A0=1mol/l,试分别采用轴向扩散模型和多釜串联模型计算反应器出口转化率，并加以比较；
（9）若反应物料为宏观流体，其它条件与上述相同，试估计反应器出口转化率，并与微观流体的结果加以比较
解：（1）由（）式得：
40
1605∞∞
-===??().min
t t tE t dt t te dt
（2）因是闭式系统，所以：
05==.min t τ
（1） （3） 空速为空时的倒数，所以：
1
1
1205-===min .S ντ
（4）
11
14440
01
1164409084
0---===-+=???()().t t
t F E t dt te dt te
e dt
所以，停留时间小于1min 的物料所占的分率为%。
（5）1110908400916-=-=()..F 。停留时间大于1min 的物料占%。
（6）先计算方差：
22
2
2
220
241
3
105
20
∞∞∞
--=-=-=-∞ =--=???()()().E d E d e d e θθθσ?θθθ?θθθθθθ
根据多釜串联模型参数与方差的关系得：
2
1
1
205=
=
=.N θσ
(7)因205=.θσ，所以返混程度较大，故扩散模型参数Pe 与方差关系应用：
2222
1-=
--()Pe e Pe Pe θσ
采用试差法得：Pe=。
（8）因是一级不可逆反应，所以估计反应器出口转化率既可用扩散模型，也可用多釜串联模型或离析流模型，其结果应近似。 采用多釜串联模型，由（）式得：
2
011
1016116052-=
===++?.(/)(./)A Af N A C X C k N τ 所以有：1016084=-=..Af
X
采用扩散模型，前已得到Pe=,所以： 050514146052562385=+=+??=..(/)(./.).k Pe ατ
代入（）式得：
22
022
114112225612385256123854238512385123852201415??-+????=+----???????????
???-+????=?+----????????????=()()/()exp ()exp .(.).(.)./(.)exp (.)exp .A A C Pe Pe C ααααα
所以有：0
110141508585
=-=-=..A Af A C
X C
（9）用离析流模型，因一级不可逆反应，故间歇反应器的60-=()t
A A C t C e ，所
以：
6410000001616016∞∞∞---==?==???()().t t t A A
A A C C t E t dt e e dt te dt C C
反应器出口转化率为X A =，计算结果同前题用多釜串联模型与扩散模型结果相近。
3. 解：（1）由题意知，
0.1)(0=∞=c c （2分）
?
????≥≤≤-≤==min 31min 3min 22
min
20
)0()()(t t t t c t c t F （2分） ??
???≥≤≤≤==min
30
min 3min 21
min
20
)()(t t t dt t dF t E （2分）
min 5.2)(3
2
===??∞
tdt dt t tE t （2分）
（2）0833.05.2)(23
2
220
22
=-=-=
??
∞
dt t t dt t E t t σ （2分）
0133.05.20833
.02
2
2
2
==
=
t
t σσθ （2分） （3）凝集流模型
t kt A e e t x ---=-=11)( （2分）
9145.0)1()()(3
2
=-==??-∞dt e dt t E t x x t A A （3分）
（4）多级混合槽模型：
750133
.01
1
2
==
=
θσN （2分）
m in 033
.0755.2===N t τ （2分）
9145.0)033.011(1
1)1(1175
=?+-=+-
=N AN k x τ （2分）
（5）轴向扩散模型：
37.1490133.02
222=?=-=
e e
e P P P θσ （2分） 033.141=+
=e
P k τ
β （2分） 【第 4 页 共 5 页】
0855.0)
2
exp()1()2
exp(
)1()2
exp(
41220
=-
--+=-=e
e
e
A A A
P P P x c c βββββ 9145.00855.01=-=?A x （3分）
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