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解三角形与数列

解三角形与数列-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

解三角形及其数列专练

1．(2016·吉林)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cosA ，3sinA)，n ＝(2cosA ，－2cosA)，m ·n ＝－1. (1)若a ＝23，c ＝2

，求△ABC 的面积； (2)求b －2c acos （π

3＋C ）的值．

解析 (1)因为

m ·n ＝2cos 2A －

3sin2A ＝cos2A －3sin2A ＋1＝2cos(2A ＋π

3)＋1＝－1，所以

cos(2A ＋π3)＝－1.又π3<2A ＋π3<2π＋π3，所以2A ＋π3＝π，A ＝π

3.由12＝4＋b 2－2×2×b×cos π3，得b ＝4(舍负值)．所以△ABC 的面积为1

2×2×4×sin π3＝2 3. (2)b －2c acos （π3＋C ）＝sinB －2sinC sinAcos （π3＋C ）

＝sin （A ＋C ）－2sinC

32cos （π3＋C ）

＝32cosC －3

2sinC 32cos （π3＋C ）＝3cos （π3＋C ）3

2cos （π3＋C ）

＝2.

2．(2016·福建)在△ABC 中，B ＝π

3，点D 在边AB 上，BD ＝1，且DA ＝DC.

(1)若△BCD 的面积为3，求CD ； (2)若AC ＝3，求∠DCA.

解析 (1)因为S △BCD ＝3，即1

2BC ·BD · sinB ＝3，又B ＝π3，BD ＝1，所以BC ＝4. 在△BDC 中，由余弦定理得，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC·BD·cosB ，即CD 2＝16＋1－2×4×1×1

2＝13，解得CD ＝13.

(2)在△ACD 中，DA ＝DC ，可设∠A ＝∠DCA ＝θ，则∠ADC ＝π－2θ，又AC ＝3，由正弦定

理，有AC sin2θ＝CD sin θ，所以CD ＝3

2cos θ.

在△BDC 中，∠BDC ＝2θ，∠BCD ＝2π

3－2θ，

由正弦定理得，CD sinB ＝BD sin ∠BCD ，即32cos θsin π3＝1

sin （2π

3－2θ），

化简得cos θ＝sin(2π3－2θ)，于是sin(π2－θ)＝sin(2π

3－2θ)．因为0<θ<π2，所以0<π2－θ<π2，－π3<2π3－2θ<2π

3，所以π2－θ＝2π3－2θ或π2－θ＋2π

3－2θ＝π，解得θ＝π6或θ＝π18，故∠DCA ＝π6或∠DCA ＝π

18.

3．(2017·河北)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)sinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，a ＝1. (1)求角A 的大小；

(2)求△ABC 的周长的取值范围．

解析 (1)由(a 2＋b 2－c 2)sinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，结合余弦定理可得2abcosCsinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，

即2cosCsinA ＝sinC ＋2sin(A ＋C)，化简得sinC(1＋2cosA)＝0. 因为sinC ≠0，所以cosA ＝－1

2，又A ∈(0，π)，所以A ＝2π3.

(2)因为A ＝2π3，a ＝1，由正弦定理可得b ＝asinB sinA ＝233sinB ，c ＝23

3sinC ，

所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋233sinB ＋233sinC ＝1＋233[sinB ＋sin(π3－B)]＝1＋23

3(12sinB ＋32cosB)＝1＋23

3sin(B ＋π3)．

因为B ∈(0，π3)，所以(B ＋π3)∈(π3，2π3)，则sin(B ＋π3)∈(3

2，1]，则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋233sin(B ＋π3)∈(2，1＋23

3].

4．已知函数f(x)＝(3sin ωx －cos ωx)·cos ωx ＋1

2(其中ω>0)，若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为π4.

(1)求y ＝f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足(2b －a)cosC ＝c·cosA ，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC 的形状．

解析 (1)f(x)＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋12＝32sin2ωx －1

2(2cos 2ωx －1) ＝32sin2ωx －1

2cos2ωx ＝sin(2ωx －π6)．

因为函数f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为π

4，所以T ＝π，所以2π2ω

＝π，所以ω＝1. 所以f(x)＝sin(2x －π

6)．

由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π6＋k π≤x ≤π

3＋k π(k ∈Z)．所以函数f(x)的单调递增区间为[－π6＋k π，π

3＋k π](k ∈Z)． (2)因为(2b －a)cosC ＝c·cosA ，

由正弦定理，得(2sinB －sinA)cosC ＝sinC ·cosA ，即2sinBcosC ＝sinAcosC ＋sinCcosA ＝sin(A ＋C)＝sinB ，因为sinB ≠0，所以cosC ＝1

2，所以C ＝π3. 所以0

根据正弦函数的图像，可以看出f(x)的最大值为f(B)＝1，

此时2B －π6＝π2，即B ＝π3，所以A ＝π

3，所以△ABC 为等边三角形． 5．(2017·山西)已知

f(x)＝cosx (λsinx －cosx)＋cos 2(

2－x)＋1(λ>0)的最大值为3.

(1)求函数f(x)的对称轴；

(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA cosB ＝a

2c －b ，若不等式f(B)

成立，求实数m 的取值范围．

解析

(1)f(x)＝cosx (λsinx －cosx)＋cos 2(

2－x)＋1

＝λsinxcosx －cos 2x ＋sin 2x ＋1＝1

2λsin2x －cos2x ＋1.≤

λ2

4＋1＋1，

由题意知：

λ2

＋1＋1＝3，λ2＝12，∵λ>0，∴λ＝2 3. ∴f(x)＝3sin2x －cos2x ＋1＝2sin(2x －π

6)＋1. 令2x －π6＝π2＋k π，解得x ＝k π2＋π

3，(k ∈Z)． ∴函数f(x)的对称轴为x ＝k π2＋π

3(k ∈Z)． (2)∵cosA cosB ＝

a 2c －

b ，由正弦定理，cosA cosB ＝sinA

2sinC －sinB

可变形得，sin(A ＋B)＝2cosAsinC ，即sinC ＝2cosAsinC ，

∵sinC ≠0，∴cosA ＝1

2，又0

∴f(B)＝2sin(2B －π6)＋1，只需f(B)max

6， ∴－1

23.

数列小题专练

一、选择题

1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 答案 D

解析由题意得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11（2a 1＋10d ）

2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8

＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d)＝6，故选D.

2古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10 答案 B

解析设该女子第一天织布x 尺，则x （1－25）1－2＝5，得x ＝531，∴前n 天所织布的尺数为5

(2n －1)．由5

31(2n －1)≥30，得2n ≥187，则n 的最小值为8.

3各项均为正数的等差数列{a n }中，a 4a 9＝36，则前12项和S 12的最小值为( ) A ．78 B ．48 C ．60 D ．72 答案 D

解析 S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 4＋a 9)≥6×2a 4a 9＝72，当且仅当a 4＝a 9＝6时等号成立． 5已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，观察下列算式：a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg3lg2·lg4

lg3＝2；a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg3lg2·lg 4lg3·…·lg8

lg7＝3，…；若a 1·a 2·a 3·…·a m ＝2 016(m ∈N *)．则m 的值为( ) A ．22 016＋2 B ．22 016 C ．22 016－2 D ．22 016－4 答案 C

解析由于a 1·a 2·a 3·…·a m ＝lg3lg2·lg4lg3·lg5

lg4·…·lg （m ＋2）lg （m ＋1）＝lg （m ＋2）lg2＝2 016，可得lg(m ＋2)＝2 016lg2＝lg22 016，可得m ＋2＝22 016，解得m ＝22 016－2.

7．(2016·福建质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C

解析通解：设等比数列{a n }的公比为q(q>1)，因为a 2a 4＝a 3，所以a 32＝a 3，又a n >0，所以a 3＝1，所以等比数列{a n }的前n 项积T n ＝a 1·a 2·a 3·a 4·…·a n ＝a 3q 2·a 3

q ·a 3·a 3q ·…·a 3q n －3＝q n （－2＋n －3）

＝q

n （n －5）

，则使得T n >1的n 的最小值为6，

故选C.

优解：设等比数列{a n }的公比为q(q>1)，因为a 2a 4＝a 3，所以a 32＝a 3，又a n >0，所以a 3＝1，所以T 4＝a 1·a 2·a 3·a 4＝a 3q 2·a 3q ·a 3·a 3q ＝1q 2<1，排除A ；T 5＝1

q 2·a 3q 2＝1，排除B ；T 6＝T 5·a 3q 3＝q 3>1，故选C.

8．(2016·长沙调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，a 1＝1

2，且对任意正整数n ，都有a n

＋1

＋S n S n ＋1＝0，则a 1＋a 20＝( )

答案 A

解析由条件可得a n ＋1＝－S n S n ＋1，即S n ＋1－S n ＝－S n S n ＋1，所以1

S n ＋1－1S n ＝1，则数列{1

S n

}是公

差为1的等差数列，故1S n

＝1

S 1

＋(n －1)×1＝2＋n －1＝n ＋1，故

S n ＝1n ＋1

，则a 20＝S 20－S 19＝121－120＝－1420，故a 1＋a 20＝12－1420＝209420.

9．(2016·郑州预测)正项等比数列{a n }中的a 1、a 4 031是函数f(x)＝1

3x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log

6a 2 016＝(

)

A ．1

B ．2 D ．－1 答案 A

解析因为f ′(x)＝x 2－8x ＋6，且a 1、a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两根，所以a 1·a 4 031＝a 2

016

2＝6，即

a 2 016＝6，所以log 6a 2 016＝1，故选A.

10．(2015·洛阳调研)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝252，则数列{a n 2n }的前n 项和为( )

A ．1－n ＋22n ＋1

B ．2－n ＋42n ＋1

C ．2－n ＋42n

D ．2－n ＋2

n ＋1 答案 B

解析设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，因为S 3＝6，S 5＝25

2，所以?????3a 1＋3d ＝6，5a 1＋10d ＝252，解得?????a 1＝3

2，d ＝12，所以a n ＝12n ＋1，a n 2n ＝n ＋22n ＋1，设数列{a n

2n }的前n 项和为T n ，则T n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12T n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两式相减得12T n ＝34＋

(123＋124＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2＝34＋14(1－1

2n －1)－n ＋22n ＋2，所以T n ＝2－n ＋42

n ＋1.

11．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 017，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10

10＝2，则S 2 017的值等于( )

A ．－2 016

B ．－2 017

C ．－2 015

D ．－2 018 答案 B

解析 ∵S 1212－S 10

10＝2，∴12（a 1＋a 12）212－10（a 1＋a 10）

210＝2，故a 12－a 10＝4. ∴2d ＝4，d ＝2，

∴S 2 017＝2 017a 1＋2 017×2 0162

×d ＝2 017×(－2 017)＋2 017×2 016＝－2 017.

12．(2016·长沙四校)已知函数f(x ＋12)为奇函数，g(x)＝f(x)＋1，即a n ＝g(n

2 014)，则数列{a n }的前2 013项和为( )

A ．2 014

B ．2 013

C ．2 012

D ．2 011 答案 B

解析因为f(x ＋12)为奇函数，所以函数y ＝f(x)的图像关于点(1

2，0)对称，则函数y ＝g(x)的图像关于点(1

2，1)对称，故函数g(x)满足g(x)＋g(1－x)＝2.

设S ＝g(12 014)＋g(22 014)＋…＋g(2 0132 014)，倒序后得S ＝g(2 0132 014)＋g(2 0122 014)＋…＋g(1

2 014)，两式相加后得2S ＝[g(12 014)＋g(2 0132 014)]＋[g(22 014)＋g(2 0122 014)]＋…＋[g(2 0132 014)＋g(1

2 014)]＝2 013×2，所以S ＝2 013. 二、填空题

15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，则S 4＝________．答案 66 解析依题a n ＝2S n －1＋3(n≥2)，与原式作差得，a n ＋1－a n ＝2a n ，n ≥2，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5×（1－33）

1－3＝66.

16．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________．答案 2 2n ＋1－2

解析由等比数列的性质，得a 3＋a 5＝(a 2＋a 4)q ，解得q ＝a 3＋a 5

a 2＋a 4＝2，又∵a 2＋a 4＝a 1(q ＋q 3)

＝20，∴a 1＝2. ∴S n ＝a 1（1－q n ）

1－q

＝2n ＋1－2.

17．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －2

3，n ∈N *.则a 2＝_______，a n ＝________．答案 4 n 2

解析依题意，2S 1＝a 2－13－1－2

3，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4. 当n≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－2

3n ， 2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－2

3(n －1)，

两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－2

3，

整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n(n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n

＝1.又a 22－a 1

1＝1，

故数列{a n n }是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列．所以a n

n ＝1＋(n －1)×1＝n.所以a n ＝n 2. 18．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为_____．－49 解析由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，得???10a 1＋45d ＝0，15a 1＋105d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23. 则S n ＝－3n ＋n （n －1）2·23＝13(n 2－10n)，所以nS n ＝13

(n 3

－10n 2)．令f(x)＝13(x 3－10x 2)，则f ′(x)＝x 2－203x ＝x(x －203)，当x ∈(1，20

3)时，f(x)递减；当x ∈(203，＋∞)时，f(x)递增，又6<20

3<7，f(6)＝－48，f(7)＝－49，

19．已知奇函数f(x)是定义在R 上的增函数，数列{x n }是一个公差为2的等差数列，满足f(x 8)＋f(x 9)＋f(x 10)＋f(x 11)＝0，则x 2 017＝________．答案 4 015

解析因为f(x)是奇函数，在R 上是增函数，且数列{x n }是递增数列，所以由f(x 8)＋f(x 9)＋f(x 10)＋f(x 11)＝0可得x 8＋x 11＝x 9＋x 10＝0.由数列{a n }的公差为2，得x 1＝－17，所以x n ＝x 1＋(n －1)d ＝2n －19.所以x 2 017＝2×2 017－19＝4 015.

20.已知{a n }是等差数列，设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋

|a n |(n ∈N *)．某同学设计了一个求T n 的部分算法流程图(如图)，图中空白处理框中是用n 的表达式对T n 赋值，则空白处理框中应填入：T n ＝________．答案 n 2－9n ＋40

解析由流程图可知该等差数列的通项公式是a n ＝2n －10或a n ＝－2n ＋10.不妨令a n ＝2n －10，则当n≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝

－a 1－a 2－…－a 5＋a 6＋a 7＋…＋a n ＝20＋（n －5）（2＋2n －10）2

＝n 2－9n ＋40.

1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________．答案 20

解析方法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d)＝20.

方法二：∵{a n }为等差数列，∴3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋2a 6＝2(a 5＋a 6)＝

2(a 3＋a 8)＝20.

2．已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d(d≠1)，且a 1＝b 1， a 4＝b 4，a 10＝b 10，则a 1和d 的值分别为( )

，32 B ．－32，32 C ．－32，－32 ，－3

2 答案 D

3．设数列{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 4

a 1

＝( )

A ．3

B ．4

C ．6

D ．7 答案 D

解析由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4，即为(2a 1＋d)2＝a 1(4a 1＋6d)．又d≠0，故可化简为d ＝2a 1，所以a 4a 1

＝a 1＋3×2a 1

a 1＝7. 4．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 答案 D 解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8.

联立???a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得???a 4＝4，a 7＝－2或???a 4＝－2，a 7＝4.当???a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，

故a 1＋a 10＝a 4

q 3＋a 7q 3＝－7；

当???a 4＝－2，a 7＝4

时，q 3＝－2，同理，有a 1＋a 10＝－7. 数列大题专练

1．(2016·湖北)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2－3S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n . 解析 (1)当n≥2时，由a n ＝2－3S n ①，得a n －1＝2－3S n －1

②，

①－②即得4a n ＝a n －1，

而当n ＝1时，a 1＝2－3a 1，故a 1＝12.

因而数列{a n }是首项为12，公比为14的等比数列，其通项公式为a n ＝12·(14)n －1＝(1

2)2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝log 2a n ＝1－2n(n ∈N *)．

数列{a n ＋b n }的前n 项和

T n ＝a 1＋b 1＋a 2＋b 2＋…＋a n ＋b n ＝(a 1＋…＋a n )＋(b 1＋…＋b n ) ＝12[1－（14）n ]1－14

＋（－1＋1－2n ）n 2＝23－n 2－23×(14

，(n ∈N *)． 2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n ＝(n ＋1)a n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{

4a n （a n ＋2）

}的前n 项和为T n ，求证：1

2≤T n <1.

解析 (1)因为2S n ＝(n ＋1)a n ，当n≥2时，2S n －1＝na n －1，两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，即(n －1)a n ＝na n －1，所以当n≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 1

1. 因为a 1＝2，所以a n ＝2n.

(2)因为a n ＝2n ，令b n ＝4

a n （a n ＋2），n ∈N *，

所以b n ＝

42n （2n ＋2）＝1n （n ＋1）＝1n －1

n ＋1

所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n

n ＋1.

因为

1n ＋1>0，所以1－1

n ＋1

<1. 因为f(n)＝

1n ＋1在n ∈N *上是递减函数，所以1－1

n ＋1

在n ∈N *上是递增的，所以当n ＝1时，T n 取最小值12. 所以1

2≤T n <1.

3．(2016·长沙调研)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；

(2)若a 1＝6，b n ＝2n (n ∈N *)，且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解析 (1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5，所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，

所以{a n }是首项为a 1＝1，公差为6的等差数列．所以a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)因为b n ＝2n ，所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，

当n≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，

当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2(n ∈N *)，由

λa n >2n ＋n ＋2λ

得λ>2n ＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，所以当n ＝1，2时，2n ＋n 2

n ＋1取最大值34，

故λ的取值范围为(3

4，＋∞)．

4．(2016·衡中一调)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列． (1)求q 的值和{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1

，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．

解析 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q≠1，所以a 2＝a 3. 由a 3＝qa 1，得q ＝2. 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12

；

当n ＝2k(k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2

，

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝?????2n －12

，n 为奇数，

2n 2，n 为偶数.

(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n

2n －1，n ∈N *. 设数列{b n }的前n 项和为S n ，则

S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n×12n －1，

12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n×1

2n ，

上述两式相减，得12S n ＝120＋12＋122＋…＋12

n －1－n 2n ＝1－12n

1－12－n 2n ＝2－22n －n

2n ，整理，得S n ＝4－n ＋2

n －1，n ∈N *.

5．已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，且a 1＝1

2，a n ＋1＝n ＋12n a n .

(1)证明：数列{a n

n }是等比数列； (2)求通项公式a n 与前n 项的和S n ；

(3)设b n ＝n(2－S n )，n ∈N *，若集合M ＝{n|b n ≥λ，n ∈N *}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．

解析 (1)因为a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，当n ∈N *时，a n n ≠0.又因为a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝1

2(n ∈N *)

为常数，所以{a n n }是以12为首项，1

2为公比的等比数列．

(2)由{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列，得a n n ＝12×(12)n －1＝(12)n . 所以a n ＝n×(12)n . 由错位相减法得S n ＝2－(12)n －1－n(12)n

. (3)因为

b n ＝n(2－S n )(n ∈N *)，所以

b n ＝n(12)n －1＋n 2(12)n

因为b n ＋1－b n ＝(3－n 2)(1

2)n ＋1，所以b 2>b 1，b 2>b 3>b 4>….

因为集合M ＝{n|b n ≥λ，n ∈N *}恰有4个元素，且b 1＝b 4＝32，b 2＝2，b 3＝158，b 5＝3532，所以3532<λ≤3

数列专练(二)·

1．(2017·长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＋a 22＋…＋a n

n ＝2n ＋1， (1)求{a n }的通项公式； (2)求{a n }的前n 项和．

解析 (1)当n ＝1时，由题设知a 1＝4；当n≥2时，由题设a 1＋a 22＋…＋a n n ＝2n ＋1知a 1＋a 22＋…＋

a n －1n －1

＝2n ，两式相减得a n

n ＝2n ＋1－2n ，即a n ＝n×2n (n≥2)，故{a n }的通项公式为a n ＝???4，n ＝1，

n ×2n （n≥2，n ∈N *）.

(2)设{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×22＋2×22＋…＋n×2n ，

2S n ＝1×23＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n×2n ＋1，

两式相减得S n ＝n×2n ＋1－(22＋23＋…＋2n )＝n×2n ＋1－4×(2n －1－1)

＝(n －1)×2n ＋1＋4.

2．(2016·四川)已知等比数列{a n }的首项a 1＝1

3，前n 项和S n 满足S 1，2S 2，3S 3成等差数列． (1)求{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2－(11＋a n ＋11－a n ＋1

)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <13.

解析 (1)因为S 1，2S 2，3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3，当q ＝1时，不符合；当q≠1时，得4a 1（1－q 2）1－q ＝a 1＋3a 1（1－q 3）1－q ，故q ＝1

3或q ＝0(舍去)．

综上可知，a n ＝(13)n

(2)由(1)知a n ＝(13)n ，所以b n ＝2－[11＋（13）n ＋11－（13）n ＋1]＝2－11＋（13）n －1

1－（13）n ＋1＝

1－1

1＋（13）n ＋1－11－（13）

n ＋1＝(1－3n 3n ＋1)＋(1－3n ＋

13n ＋1－1)＝13n ＋1－1

3n ＋1－1

，由

13n ＋1<13n ，13n ＋1－1>13n ＋1得13n ＋1－13n ＋1－1<13n －13n ＋1

，所以b n <13n

－1

3n ＋1，从而T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n <(13－132)＋(132－133)＋…＋(13n －13n ＋1)＝13－13

n ＋1<13，因此T n <1

3．(2016·湖南)已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝43，B ＝60°，且a 2＋c 2＝2b 2；等差数列{a n }中，a 1＝a ，公差d ＝b.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *.

(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；

(2)设c n ＝???a n ，n 为奇数，

b n ，n 为偶数，求数列{

c n }的前2n ＋1项和P 2n ＋1.

解析 (1)∵S ＝1

2acsinB ＝43，∴ac ＝16，

又a 2＋c 2＝2b 2，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，∴b 2＝ac ＝16，∴b ＝4，从而(a ＋c)2＝a 2＋c 2＋2ac ＝64，a ＋c ＝8，∴a ＝c ＝4. 故可得???a 1＝4，d ＝4，

∴a n ＝4n.

∵T n －2b n ＋3＝0，∴当n ＝1时，b 1＝3，当n≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0，两式相减，得b n ＝2b n －1(n≥2)，

∴数列{b n }为等比数列，∴b n ＝3·2n －1. (2)依题意，c n ＝???4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数. P 2n ＋1＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n )

＝[4＋4（2n ＋1）]·（n ＋1）2＋6（1－4n ）1－4

＝22n ＋1＋4n 2＋8n ＋2. 4．(2017·保定调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，其前n 项和为S n ，且当n≥2时，a n ＋1S n －1－a n S n ＝0.

(1)求证：数列{S n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝9a n （a n ＋3）（a n ＋1＋3）

，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .

解析 (1)当n≥2时，a n ＋1S n －1－a n S n ＝(S n ＋1－S n )S n －1－(S n －S n －1)S n ＝S n ＋1S n －1－S n 2＝0， ∴S n 2＝S n －1S n ＋1(n≥2)，又由S 1＝1≠0，S 2＝4≠0，可推知对一切正整数n 均有S n ≠0，则数列{S n }是等比数列，S n ＝4n －1. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3×4n －2，又

a 1＝S 1＝1，∴a n ＝?

??1，（n ＝1），

3×4n －2，（n≥2）. (2)当

n≥2

时，b n

＝9a n

（a n ＋3）（a n ＋1＋3）＝9×3×4n －2（3×4n －2＋3）（3×4n －1＋3）

＝

3×4n －2

（4n －2＋1）（4n －

1＋1），又b 1＝3

8， ∴b n ＝?????38，（n ＝1），3×4n －

（4n －

2＋1）（4n

－1

＋1）

，（n≥2），

则T 1＝b 1＝38 当n≥2时，b n ＝3×4n －2（4n －2＋1）（4n －1＋1）＝14n －2＋1－1

4n －1＋1，

则T n ＝3

8＋(

142－2

＋1－142－1＋1)＋…＋(14n －2＋1－14n －1＋1)＝78－1

4n －1＋1

综上：T n ＝78－1

4n －1＋1

5．(2016·河南联考)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2

a n ＋1，且前n

项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的单调性；

(3)当n≥2时，T 2n ＋1－T n <15－7

12log a (a －1)恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1. ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝?????23，n ＝1，

1n ，n ≥2.

(2)∵c n ＝T 2n ＋1－T n ，∴c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1

2n ＋1.

∴c n ＋1－c n ＝

12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1

（2n ＋3）（2n ＋2）

<0. ∴数列{c n }是递减数列．

(3)由(2)知，当n≥2时，c 2＝13＋14＋1

5为最大， ∴13＋14＋15<15－7

12log a (a －1)恒成立，即log a (a －1)<－1.

由真数a －1>0，得a>1，∴a －1<1

a . 整理为a 2－a －1<0，解得1

∴a 的取值范围是(1，

5＋12)．

解三角形与数列Word版

解三角形及其数列专练 1．(2016·吉林)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosA，3sinA)，n＝(2cosA，－2cosA)，m·n＝－1. (1)若a＝23，c＝2，求△ABC的面积； (2)求 b－2c acos（ π 3 ＋C）的值．解析(1)因为m·n＝2cos2A－3sin2A＝cos2A－3sin2A＋1＝2cos(2A＋ π 3 )＋1＝－1，所以cos(2A＋ π 3 )＝－1.又 π 3 <2A＋ π 3 <2π＋ π 3 ，所以2A＋ π 3 ＝π，A＝ π 3 .由12＝4＋b2－2×2×b×cos π 3 ，得b＝4(舍负值)．所以△ABC的面积为 1 2 ×2×4×sin π 3 ＝2 3. (2) b－2c acos（ π 3 ＋C）＝ sinB－2sinC sinAcos（ π 3 ＋C）＝ sin（A＋C）－2sinC 3 2 cos（ π 3 ＋C）＝ 3 2 cosC－ 3 2 sinC 3 2 cos（ π 3 ＋C）＝ 3cos（ π 3 ＋C） 3 2 cos（ π 3 ＋C）＝2. 2．(2016·福建)在△ABC中，B＝ π 3 ，点D在边AB上，BD＝1，且DA＝DC. (1)若△BCD的面积为3，求CD； (2)若AC＝3，求∠DCA. 解析(1)因为S △BCD ＝3，即 1 2 BC·BD· sinB＝3，又B＝ π 3 ，BD＝1，所以BC＝4. 在△BDC中，由余弦定理得，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB，即CD2＝16＋1－2×4×1× 1 2 ＝13，解得CD＝13. (2)在△ACD中，DA＝DC，可设∠A＝∠DCA＝θ，则∠ADC＝π－2θ，又AC＝3，由正弦定

解三角形、数列2018年全国数学高考分类真题(含答案)

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题） 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（） A．B．C．D． 2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（） A．4 B． C． D．2 3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（） A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（） A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 二．填空题（共4小题） 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为． 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=． 7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为． 8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题） 9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高． 10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过

点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值． 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值． 12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC． 13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式． 15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）． 16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．

解三角形数列(2)

选择题 1．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，∠A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解 2．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4 D.π3 3．在△ABC 中，∠B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 4．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 5．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( ) A ．30 m B.152 3 m C ．15 3 m D ．45 m 6．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( ) A. 152 B.15 C ．2 D ．3 7．锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜3 B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定 8．△ABC 中，a ，b ，c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( ) A ．1＋ 3 B ．3＋ 3 C.3＋33 D ．2＋ 3 9．在△ABC 中，下列结论： ①a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设B ＝2A ，则b a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(0,2) C ．(2，2) D ．(2，3) 11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n ＋1＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列中a 10等于( ) A ．－7 B ．11 C ．12 D ．－6 12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝125 ，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的取值范围是( ) A ．d ＞875 B ．d ＜825

解三角形与数列知识整理(超好)

高二数学解三角形与数列知识整理 1. 三角基本关系式： 22sin cos 1αα+=，sin tan cos α αα =． 2. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +，变形：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -，变形：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-． 3. 重要的诱导公式： ()sin sin ααπ-=，()cos cos ααπ-=-，()tan tan ααπ-=-．三角形中常考点： sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-； tan()tan A B C +=-，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=??． 4. 二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=； ⑵2 222 cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，变形：2 1cos 2cos 2αα+=，2 1cos 2sin 2 αα-=； ⑶222 sin 22sin cos 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan αααα ααααα = ==--． 5. 一个综合性很强的例子： 22 222 cos 2cos sin (cos sin )(cos sin ) 1sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )cos sin 1tan 1tan tan()sin cos tan 11tan 4 ααααααααααααααααααααααα--+== ++++---π====-+++ 6. 辅助角公式（一角一函数）： ()sin cos a b ααα?+=+，其中tan b a ?= ．常见辅助角公式： sin cos x x x π? ?±=± ?4??， 2sin x x x π? ?=± ?4? ?， cos 2sin x x x π??±=± ?6??， sin 2sin x x x π? ?±=± ?3? ?， 3sin 2x x x π??=± ?6??， 3cos 2x x x π??±=± ?3? ?， 7. 根据“函数()()sin 00y x ω?ω=A +A >>，”的定义域，利用其单调性求其最值． 8. 设A 、B 两点的坐标分别为()11x y ，，()22x y ，，有： ⑴()1212,x x y y AB =--；⑵||(x AB =． 9. 设()11a x y =，，()22b x y =，，有： ⑴模长：21a x = +2b x =+ ⑵坐标运算：()1212a b x x y y +=++，，()1212a b x x y y -=--，，1212a b x x y y ?=+； ⑶平行与垂直：若a ∥b ，则12210x y x y -=；若a b ⊥，则12120a b x x y y ?=+=； ⑷数量积：cos a b a b θ?=， 12 1 cos a b a b x θ?== + 10. 正弦定理：在C ?AB 中，有 2sin sin sin a b c R C ===A B ，其中，R 为C ?AB 的外接圆的半径．正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 11. 射影定理：（要求会用两角和的正弦公式及正弦定理证明） cos cos cos cos cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+，，

高中数学解三角形及数列综合练习题

综合练习2 一、选择题 1．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22 2a b bc -=，sin 3sin C B =，则 A = ( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 2 ．在 ABC ?，内角,,A B C 所对的边长分别为 ,,.a b c 1sin cos sin cos ,2 a B C c B A b +=,a b B >∠=且则 A ． 6π B ．3π C ．23π D ．56 π 3．在△ABC 中，一定成立的等式是（） A. a A b B sin sin = B. a A b B cos cos = C. a B b A sin sin = D. a B b A cos cos = 4．若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c 若()cos a b c C =+,则△ABC 的形状是（） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2 2 245b c b c +=+-且2 2 2 a b c bc =+-，则△ABC 的面积为（） A. 3 B. 32 C. 2 2 D. 2 7．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（） A ． 18 5 B ． 43 C ．23 D ．8 7 8．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x 2 ＋3x －2＝0的根，则第三边长是( ) A ．20 B ．21 C ．22 D ．61 9．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若c o s s i n a A b B =，2 sin cos cos A A B += A ．－ 12 B ．1 2 C ．－1 D ．1

(完整版)高二数学必修5(解三角形和数列)练习题

高二数学必修5（解三角形与数列）练习题一、选择题 1在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2 已知,2 31,2 31-= += b a 则b a ,的等差中项为（） A ．3 B ．2 C ． 3 1 D ． 2 1 3等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?等于（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．32 4等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2462,10,S S S ==则等于（） A ．12 B ．18 C ．24 D ．42 5在ABC ?中，ο 120,3,33===A b a ，则Ｂ的值为（）Ａ、ο30 Ｂ、ο45 Ｃ、ο60 Ｄ、ο 90 6在⊿ABC 中，已知ba c b a 22 22+=+，则∠C= （） A 300 B 1500 C 450 D 1350 7在ABC ?中，已知?=30A ，?=45C ，2=a ，则ABC ?的面积等于（） A ．2 B ．13+ C ．22 D ． )13(2 1 + 8已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线2 23y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（）Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2- 9设ABC ?的三内角A 、B 、C 成等差数列，sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是（）Ａ．直角三角形Ｂ钝角三角形Ｃ．等腰直角三角形Ｄ．等边三角形二、填空题 11已知数列{n a }的前n 项和2 9n S n n =-，则其通项n a = 12已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1=4,d=－ 5 7 , 当S n 取得最大值时n= 13、在ABC ?中，2||,60==AB A ο ，且ABC ?的面积为 2 3 ，则=||AC ； 14、在等差数列{}n a 中，421,,a a a 这三项构成等比数列，则公比=q 三、解答题 15.在ABC ?中，A B C 、、是三角形的三内角，a b c 、、是三内角对应的三边，已知

高一下学期解三角形数列综合测试题

一、选择题的值为则，，中，已知在c C b a ABC ,12046.1?===? 76.A 76.B 28.C 28.D 应等于的规律，，，，，，，，，，观察数列x x 553421853211.2 11.A 12.B 13.C 14.D 的值为，则，中，已知在A c C a ABC 3,606.3=?==? ?45.A ?135.B ??13545.或C ??12060.或D 的值为，则，中，已知等差数列124115116}{..4a a a a a n ==+ 15.A 30.B 31.C 64.D 离为向，这时船与灯塔的距后，看见灯塔在正西方海里的方向航行方向，后来船沿南偏东偏东某船开始看见灯塔在南906030.5?? 海里230.A 海里330.B 海里345.C 海里245.D 的值为，则，中，已知等差数列158431204}{..6a a a a a a n =+=+ 26.A 30.B 28.C 36.D 的值为，则且项和是其前为等差数列，已知611tan 3 22,}{..7a S n S a n n π = 3.A 3 3 . B 3.± C 3.- D 等于时，的面积等于当，中，已知在C ABC B a ABC sin 32,3 24.8?= =?π 147. A 1414. B 714. C 14 21 .D 9.在ABC ?中，若7,3,8,a b c ===则面积为（） A 12 B 21 2 .28C D 为取最小值的则使，若项和为的前等差数列n S a a a S n a n n n ,14,5}{..101041=+-= 3.A 4.B 5.C 6.D 则最大角正弦值等于，，中，已知在,14 13 cos 87.11= ==?C b a ABC 73. A 732. B 733. C 73 4. D

2019年三角函数和解三角形大题

2018-2019学年高三一模理分类---三角函数和解三角形海淀（理） (15)（本小题满分13分）已知函数()cos()cos 4 f x x x a π =-+ (Ⅱ)求a 的值； (Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间．文）已知函数()cos()cos 4 f x x x a π =-+的图象经过点(O,l)，部分图象如图所示． (I)求a 的值； (Ⅱ)求图中0x 的值，并直接写出函数()f x 的单调递增区间．朝阳（理）15．（本小题满分13分）在ABC △中，a ，120A ∠=?，ABC △b c <．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求cos 2B 的值．（文）15.（本小题满分13分）已知函数2 ()cos cos f x x x x =. （Ⅰ）求( )3 f π 的值及()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求实数m 的最大值．石景山

（文理）15. （本小题13分）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，b=3c =，1 cos 3 B=-．（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC △的面积．丰台（理）15．（本小题13分）已知函数2()cos(2)2sin ()3f x x x a a π =--+∈R ，且()03 f π=. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在区间[0,]m 上是单调函数，求m 的最大值. 延庆（理）15.（本小题满分13分）如图，在ABC ?中，点D 在BC 边上，cos ADB ∠=，3cos =5 C ∠，7AC =． sin CA D ∠（求Ⅰ）的值；（Ⅱ）若10BD =，求AD 的长及ABD ?的面积．怀柔 15．（本小题满分13分）在中，角，，所的对边分别是a ，b ，c ，，．（Ⅰ）求边c 的值；（Ⅱ）若，求的面积．门头沟 A D B C

解三角形和数列练习题

解三角形和数列 1. (2016·山东淄博三模，16，12分)在△ABC 中，sin A ＝sin B ＝－cos C . (1)求角A ，B ，C 的大小；(2)若BC 边上的中线AM ＝7，求△ABC 的面积． 2. (2016·秦皇岛一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足2AB →·AC → ＝a 2－(b ＋c )2. (1)求角A 的大小；(2)求23cos 2C 2－sin ? ?? ?? 4π3－B 的最大值，并求取得最大值时角B ，C 的大小． 3. (2013·课标Ⅱ，17，12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 4. (2015·湖南，17，12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π 2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．

5. (2015·课标Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求sin B sin C ；(2)若AD＝1，DC＝2 2 ，求BD和AC的长． 6. (2016·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a cos B. (1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a2 4 ，求角A的大小． 7. (2016·山东，16，12分，中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan A＋tan B) ＝tan A cos B ＋tan B cos A. (1)证明：a＋b＝2c；(2)求cos C的最小值．

必修5解三角形和数列测试题及答案

必修五解三角形和数列综合练习解三角形一、选择题 1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，则角A等于( ) (A)(B)(C)(D) 2．在△ABC中，给出下列关系式： ①sin(A＋B)＝sin C②cos(A＋B)＝cos C③ 其中正确的个数是( ) (A)0(B)1(C)2(D)3 3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝3，sin A＝，sin(A＋C)＝，则b等于( ) (A)4(B)(C)6(D) 4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，sin C＝，则此三角形的面积是( ) (A)8(B)6(C)4(D)3 5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin B cos C，则此三角形的形状是( ) (A)直角三角形(B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形(D)等腰直角三角形二、填空题 6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝2，B＝45°，则角A＝________. 7．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝，则角C＝________. 8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝4，cos A＝，则此三角形的面积为 ________. 9．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，C(4，4)，则cos A＝________. 10．已知△ABC的三个内角A，B，C满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，那么边BC上的中线AD的长为________. 三、解答题 11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝3，b＝4，C＝60°. (1)求c； (2)求sin B. 12．设向量a，b满足a·b＝3，|a|＝3，|b|＝2. (1)求〈a，b〉； (2)求|a－b|.

历届高考中的三角函数与解三角形及数列精选题

历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试）一、选择题：（每小题5分，计40分） 1.（2009重庆理）在ABC ?中，,75,45,30 0=== C A AB 则BC =（） A.33- B.2 C.2 D.33+ 2.(2009山东文、理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A = 3 π ,a =3,b =1，则c =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 3.（2010全国Ⅰ卷文、理）A B C ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则c os B = （）A ． 14 B ． 34 C 4 D 3 4．（2009北京春招文、理）在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 5．（2011春招上海）在△ABC 中，若C c B b A a cos cos cos = = ，则△ABC 是（）（A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形. 6.（2005江苏）ABC ?中，3 π =A ，BC=3，则ABC ?的周长为（） A ．33sin 34 +??? ? ? +πB B ．36sin 34 +??? ? ? +πB C ．33sin 6+?? ? ? ?+πB D ．36sin 6+?? ? ? ?+πB 7．（2007春招北京、安徽文、理）设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确．．．的是（） A B C D ．αβ＜．αβ＜．αβ＞． αβ＜αβ tg tg tg tg 121 12 2 sin sin cos cos ()++++ 8．（2009全国Ⅳ卷文、理）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为 2 3，那么b =（）A ．2 3 1+ B ．31+ C ．2 3 2 + D ．32+ 二.填空题: （每小题5分，计30分） 9．（2010北京文）在△ABC 中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，则BC 的长为． 10．（2011上海春招）在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos . 11.（2011北京理）在A B C ?中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________. 12.（2010北京文、理) 在A B C △中，若1tan 3 A = ，150C = ，1B C =，则A B =________． 13．（2009全国Ⅱ卷理）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为． 14、在A B C △中，若1tan 3 A = ，150C = ，1B C =，则A B = ． 15．（2005上海理）在A B C ?中，若120A ∠= ，5A B =，7B C =，则A B C ?的面积S=_______ 三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分） 16.（2009福建文、理)在△ABC 中，tan A = 4 1,tan B = 5 3. (I)求角C 的大小; (II)若AB 边的长为17，求BC 边的长 17. (2011广东理)已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （1）若5=c ，求sin ∠A 的值; （2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围. 18.（2011全国Ⅰ理）设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a =2b sin A (Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求C A sin cos +的取值范围.

高一数学必修5月考试卷《解三角形》与《数列》

高二数学（《解三角形》与《数列》） (满分：150分时间：120分钟) 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（） A 12-=n a n B )21()1(n a n n --= C )12()1(--=n a n n D )12()1(+-=n a n n 2．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q =（） A ．2 1- B ．2- C ．2 D ．21 3．若?中，2:3:4，那么（） A. 14- B. 14 C. 23 - D. 23 4．设数}{n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（） A ．1 B ．2 C ．2± D ．4 5．在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ?=，则 3132log log b b ++……314log b +等于（） (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 6．在ABC ?中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（） A. 10, 450, 600 B. 6, 5, 60 0 C. 7, 5, 600 D. 14, 16, 450 7．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a =（） A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 8．在ABC ?中，若cos cos a B b A =，则ABC ?的形状一定是（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 9．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为（） A m 3400 B m 33400 C m 33200 D 3 10．等差数列{}和{}的前n 项和分别为和，且132+=n n T S n n ，则5 5b a （） A 32 B 149 C 3120 D 9 7 11．已知{}n a 为公比q ＞1的等比数列，若20052006a a 和是方程24830x x -+=的两根，则20072008a a +的值是（） A 18 B 19 C 20 D 21 12．已知数列{}n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上，则 1231111n S S S S ++++L =（）

解三角形、数列2020年全国数学高考分类真题(含答案)

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题） 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（） A．B．C．D． 2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（） A．4 B． C． D．2 3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（） A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 二．填空题（共4小题） 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为． 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=． 7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题） 9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高． 10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值． 12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC． 13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式． 15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）． 16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m． 17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；

解三角形、数列知识点归纳

解三角形知识点归纳 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ．正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③a sin ::sin :sin :sin sin ； A =A B =B a b c C b ； ④+b sin sin sin sin sin sin ++===A +B +A + a b c a a C B A ． 2、两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解个数的情况（一解、两解、无解）) 3、三角形面积公式： 111sin sin sin 222C S bc ab C ac ?AB =A ==B ．=2R 2 sinAsinBsinC=R abc 4. 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2 2cos =b )22cos ;（=+-A +--A a b c bc c bc bc …… 余弦定理的推论：222 cos 2b c a bc +-A =，……． 5、余弦定理主要解决的问题： ①已知两边和角(夹角或对角)，求其余的量；②已知三边或三边比例(a:b:c 或sinA:sinB:sinC)； ○3若222a b c +=，则90C = ；；②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ．【综合问题---与三角恒等变换综合】常用知识：三角函数图像，诱导公式，和（差）角公式，二倍角公式，辅助角公式等技巧：①换边为角，利用正弦或余弦定理;○2减元变换，如（1）-A B C π+=(2)sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ，cos sin 2 2 2 2 A B C A B C ++==221cos 21cos 2sin 22sin cos ,sin ,cos 22 A A A A A A A -+=?= =, 【常见结论】（1）若B A 2sin 2sin =，则A=B 或 2π = +B A （2）若A B C >>?c b a >>?C B A sin sin sin >>（大边对大角，小边对小角）（3）三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（4）三角形中最大角大于等于 60，最小角小于等于 60 (5) 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.（注意：是锐角A ?ABC 是锐角三角形? ）钝角三角形?最大角是钝角?最大角的余弦值为负值（6）ABC ?中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B . 数列知识点归纳 1、数列中与n n a S 之间的关系：11,(1) ,(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?此性质对任何一种数列都适用 2、等差数列（1）等差数列的基本公式①通项公式：11(1)==+-+-n a a n d nd a d ； ()n m n m n m a a nd a a n m d a a d n m - =?? = +-??-=?-?

解三角形与数列测试题(含答案)

阶段性检测模拟数学试题一一、选择题：（共12小题，每小题5分，满分60分.每小题有且只有一个正确答案.） 1、已知在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150° 2、已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ). A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 3、等差数列{a n }共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是( ). A.3 B.5 C.7 D.9 4、等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 5、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =( ). A.3 B.4 C.5 D.6 6、如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）. A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加长度决定 7、已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ). A. 24 B. 26 C. 27 D. 28 8、在?ABC 中，AB=3，，AC=4，则边AC 上的高为（）. A C ．3 2 D ．9、已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（）. A.21 B.20 C.19 D. 18 10、等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1，则a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于( ). A 2)12(-n B )12(31-n C 14-n D )14(3 1 -n 11、已知两线段2a = ，b =a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（）. A ．(,)63ππ B ．(0,]6π C ．(0,)2π D ．(0,]4π 12、对正整数m 的3次幂进行如下方式的“分裂”：仿此规律，若3m 的“分裂”中最小的数是211, 则m 的值是（）. A.13 B.15 C.17 D.19 二、填空题：（共4小题，每小题4分，满分16分，请将正确答案填写在答题纸上.） 13、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = ． 14、在△AB C 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且C ab B ca A bc c cos cos cos 2++=, 则△ABC 的形状为____________. 15、三角形两边之差为2，夹角的正弦值为3 5 ，面积为9 2 ，那么这个三角形的两边长分别是________． 16、已知数列 {}n a 满足 =n a ．三、解答题：（共6小题，满分74分，要求写出必要的文字说明、推演步骤或证明过程.） 17、（本小题12分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =5c =，求b ．

解三角形与数列

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