2011年高考数学一轮复习必备 复数-复数的有关概念

第104-106课时：第十四章复数——复数的有关概念

法及复数的运算法则，复数与实数的区别和联系。

三．教学过程：

（一）主要知识：

1.数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；

2.复数的代数表示与向量表示；

3.复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；

4.复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。

复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。

从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。有关复数n次乘方、求辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。

复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。

基于上述情况，我们在学习“复数”一章内容时，要注意以下几点：

（1）复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复数概念上下功

夫。除去复数相等、模、辐角、共轭等外，还要注意一些重要而常不引起重视的概念。如：若有“3

1

z

z

+ 4”。

就是说

1

z R

z

+∈，而且很快联系到

11

1

z z z

z z

+=+?=或z R

∈，又∵1

z=是不可能的，∴z R

∈。

复数的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。

复数的几何意义也是解题的一个重要手段。

（2）对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的难点，应掌握规律及典型题型的技巧解法，并加以强化训练以突破此难点；

(3)重视以下知识盲点：

①不能正确理解复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向；

②忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数；

③盲目地将实数范围内数与形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范围中来；

④容易混淆复数的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚轴的交集问题，复数辐角主值的范围问题等。

（二）知识点详析

1．知识体系表解

2．复数的有关概念和性质：

(1)i 称为虚数单位,规定2

1i =-,形如a+bi 的数称为复数,其中a ，b ∈R ． (2)复数的分类(下面的a ，b 均为实数)

(3)复数的相等设复数1112221122,(,,,)z a bi z a b i a b a b R =+=+∈，那么12z z =的充要条件是：

1122a b a b ==且．

(4)复数的几何表示复数z=a+bi （a ，b ∈R ）可用平面直角坐标系内点Z(a ，b)来表示．这时称此平面为复平面，x 轴称为实轴，y 轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C 与复平面上全体点集是一一对应的．

复数z=a+bi (),a b R ∈．在复平面内还可以用以原点O 为起点，以点Z(a ，

b)

向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O ，看成零向量)． (7)复数与实数不同处

①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．

②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．

3．有关计算： ⑴n

i

()*

n N ∈怎样计算？（先求n 被4除所得的余数，r r

k i i

=+4 ()*,k N r N ∈∈）

⑵i i 2

321232121--=+-

=ωω、是1的两个虚立方根，并且： 13231==ωω221ωω=1

2

2ωω=2

11ωω=12

1ωω=

21ωω=12ωω=121-=+ωω

⑶ 复数集内的三角形不等式是：212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边在复数z 1、z 2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z 1、z 2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。

⑷ 棣莫佛定理是：[]))(sin (cos )sin (cos Z n n i n r i r n

n

∈+=+θθθθ

⑸ 若非零复数)sin (cos ααi r z +=，则z 的n 次方根有n 个，即：

)1210)(2sin 2(cos

-=+++=n k n

k i n k r z n k ，，，， α

παπ 它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？

都位于圆心在原点，半径为n r 的圆上，并且把这个圆n 等分。 ⑹ 若121)3

sin 3(cos 32z i z z ?+==π

π

，，复数z 1、z 2对应的点分别是A 、B ，则△AOB （O 为坐标原点）

的面积是

333

sin 6221=???π

。 ⑺ z z ?=2

z 。

⑻ 复平面内复数z 对应的点的几个基本轨迹： ①?=)(arg 为实常数θθz 轨迹为一条射线。

②?=-是实常数）是复常数，θθ00()arg(z z z 轨迹为一条射线。 ③?=-是正的常数）r r z z (0轨迹是一个圆。

④?-=-)(2121是复常数、z z z z

z z 轨迹是一条直线。

⑤?=-+-是正的常数）是复常数，、a z z a z z z z 2121(2轨迹有三种可能情形：a)当212z z a ->时，轨迹为椭圆；b)当212z z a -=时，轨迹为一条线段；c)当212z z a -<时，轨迹不存在。 ⑥?=---)(221是正的常数a a z z z z 轨迹有三种可能情形：a)当212z z a -<时，轨迹为双曲线；b)当212z z a -=时，轨迹为两条射线；c)当212z z a ->时，轨迹不存在。 4．学习目标

(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；

(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z =r (cosθ+i sinθ)?OZ →

(Z (a ,b ))?z =a +bi

(3)正确区分复数的有关概念；

(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；

(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i 及1的立方虚根ω的性质；模及共轭复数的性质；

(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；

(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。

（三）例题分析： Ⅰ.2004年高考数学题选

1. (2004年四川卷理3)设复数ω＝－

21＋2

3i ，则1＋ω

＝

A.–ω

B.ω2

C.ω-1

D.21ω

2．(2004重庆卷2）)设复数z z i z 2,212

-+=则, 则2

2Z Z -=（ ）

A ．–3

B ．3

C ．－3i

D ．3i

3. （2004高考数学试题广东B 卷14）已知复数z 与 (z +2)2

-8i 均是纯虚数,则 z = . Ⅱ.范例分析

①实数？②虚数？③纯虚数？

①复数z 是实数的充要条件是：

复数集

纯虚数集

虚 数 集 实数集

∴当m＝-2时复数z为实数．

②复数z是虚数的充要条件：

∴当m≠-3且m≠-2时复数z为虚数

③复数z是纯虚数的充要条件是：

∴当m＝1时复数z为纯虚数．

【说明】要注意复数z实部的定义域是m≠-3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件．要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．

[ ]

()2

22

21441

z z z z

=-+=-++，所以

5

4

z=，代入①得

3

4

z i

=+，故选B．

解法3：选择支中的复数的模均为

2

3

1

4

??

+

?

??

，又0

z≥，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为

正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B．

【说明】解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点．

求：z

【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z．

运算简化．

解：设z=x+yi(x，y∈R)

将z=x+yi 代入|z -4|＝|z -4i|可得x ＝y ，∴

z=x+xi

(2)当|z -1|2＝13时，即有x 2-x -6=0则有x=3或x=-2 综上所述故z ＝0或z=3+3i 或z=-2-2i

【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质．其性质有：

(3)1+2i+32

i +…+1000999

i

【说明】计算时要注意提取公因式，要注意利用i 的幂的周期性，

要记住常用的数据：2

(1)2i i ±=±，

11i i i -=-+，11i

i i

+=-。 （2）原式156

124

41313[2()][2()]

222212(1)(1)

2

i i i --+---=-?+

1535632

62

413132[()]2[()]

22221

2(2)(2)2

i i i i --+---=-?

156********(22)102622i i i

---+===??

(3)解法1：原式=(1+2i -3-4i)+(5+6i -7-8i)+…+(997+998i -999-1000i)

=250(-2-2i)=-500-500i 解法2：设S ＝1+2i+32

i +…+1000999

i ，则iS ＝i+22i +33i +…+999999

i

+10001000

i

，

∴(1-i)S ＝1+i+2

i +…+999i

-10001000i

【说明】充分利用i 的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法．

【例5】（1）若34

(3)(34)i i

z

-+=，求：z （2）已知121,,1z z C z ∈=，求

12

12

1z z z z --?的值。

解：（1）3

4

344

4

4334251250(2)

1i i

z i

-+=

==?=-

【例6】已知三边都不相等的三角形ABC 的三内角A 、B 、C 满足

)

2

0(sin cos ,sin cos sin sin cos sin 1πθπθθθ≠

<<+=+=+且设复数i z C C A B B A 、 )arg(),sin (cos 2212z z A i A z 求+=的值.

【解】B C C B A C

C A B B A sin sin )cos (cos sin sin cos sin sin cos sin -=-∴+=+

得2

cos 2sin 2)2sin 2sin (2cos 2sin 4C B C B C B C B A A +--=-?+-……3分

,02

,2cos 2sin ,2sin 2cos

2

22≠-=+=+∴-=+C

B A

C B A C B A C B 又π

.02sin ,02sin

≠-≠∴C

B A 上式化简为2

2

12cos 2π=

∴=A A ……6分

)]2sin()2[cos(221πθπθ-+-=i z z ……9分θππθ+=<<∴2

3)arg(,2021z z 时当

当2

)arg(,2

21πθπθπ-=<

【例7】设z 1=1-cosθ+i sinθ，z 2=a 2

+ai (a ∈R )，若z 1z 2≠0，z 1z 2+z 1z 2=0，问在（0，2π）内是否存在θ使(z 1-z 2)2

为实数？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．

【分析】这是一道探索性问题．可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件，直接进行解答．

【解】假设满足条件的θ存在．

因z 1z 2≠0，z 1z 2+z 1z 2=0，故z 1z 2为纯虚数．

又z 1z 2=(1-cos θ+i sin θ)(a 2

+ai ) =[a 2(1-cos θ)-a sin θ]+[a (1-cos θ)+a 2

sin θ]i ，

于是，???a 2

(1-cos θ)-a sin θ=0 ， ①a (1-cos θ)+a 2sin θ≠0 ．

② 因θ∈(0，2π)，故cos θ≠1．于是，由①得a =sin θ

1-cos θ

．

另一方面，因(z 1-z 2)2

∈R ，故z 1-z 2为实数或为纯虚数．又z 1-z 2=1-cos θ-a 2

+(sin θ-a )i ，于是

sin θ-a =0，或1-cos θ-a 2

=0．

若sin θ-a =0，则由方程组?????sin θ-a =0，

a = sin θ1-cos θ

， 得

sin θ1-cos θ=sin θ，故cos θ=0，于是θ=π2 或θ=3π

2

．

若1-cos θ-a 2

=0，则由方程组

???

??1-cos θ-a 2

=0，a = sin θ1-cos θ

， 得(sin θ1-cos θ)2

=1-cos θ． 由于sin 2

θ=1-cos 2

θ=(1+cos θ)(1-cos θ)，故1+cos θ=(1-cos θ)2

． 解得cosθ=0，从而θ=π2 或θ=3π

2 ．

综上所知，在(0，2π)内，存在θ=π2 或θ=3π2

，使(z 1-z 2)2

为实数．

【说明】①解题技巧：解题中充分使用了复数的性质：z ≠0，z+z =0?z ∈{纯虚数}????Re(z )=0，

Im(z )≠0．

以

及z 2

∈R ?z ∈R 或z ∈{纯虚数}．（注：Re(z )，Im(z )分别表示复数z 的实部与虚部）

②解题规律：对于“是否型存在题型”，一般处理方法是首先假设结论成立，再进行正确的推理，若无矛盾，则结论成立；否则结论不成立．

【例8】设a 为实数，在复数集C 中解方程： z 2+2|z |=a ．

【分析】由于z 2

=a -2|z |为实数，故z 为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．

【解】设|z |=r ．若a ＜0，则z 2=a -2|z |＜0，于是z 为纯虚数，从而r 2

=2r –a ．

解得 r =1+ 1-a (r =1- 1-a ＜0，不合，舍去)．故 z =±(1+ 1-a )i ． 若a ≥0，对r 作如下讨论：

（1）若r ≤12

a ，则z 2

=a -2|z |≥0，于是z 为实数．

解方程r 2

=a -2r ，得r =-1+ 1+a (r =-1- 1+a ＜0，不合，舍去)．

故 z =±(-1+ 1+a )．

（2）若r ＞12a ，则z 2

=a -2|z |＜0，于是z 为纯虚数．

解方程r 2=2r -a ，得r =1+ 1-a 或r =1- 1-a (a ≤1)．

故 z =±(1± 1-a )i (a ≤1)． 综上所述，原方程的解的情况如下：

当a ＜0时，解为：z =±(1+ 1-a )i ；

当0≤a ≤1时，解为：z =±(-1+ 1+a )，z =±(1± 1-a )i ；

当a ＞1时，解为：z =±(-1+ 1+a )．

【说明】解题技巧：本题还可以令z=x+yi(x 、y ∈R)代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x ，y 的实系数的二元方程组来求解． 【例9】（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷18）

已知实数p 满足不等式

02

1

2<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明. 【解】由0212<++x x ，解得212-<<-x ，2

12-<<-∴p .方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=?p . 2

12-<<-p ，4241

<<∴p ，0

【例10】给定实数a ，b ，c ．已知复数z 1、z 2、z 3满足

?

????|z 1|=|z 2|=|z 3|， (1)

z 1

z 2 + z 2z 3 + z 3z 1 =1． (2)求｜az 1+bz 2+cz 3｜的值． 【分析】注意到条件(1)，不难想到用复数的三角形式；注意到条件（2），可联想使用复数为实数的充要

条件进行求解．

【解】解法一由|z 1|=|z 2|=|z 3|=1，可设z 1z 2 =cos θ+i sin θ，z 2

z 3 =cos φ+i sin φ，

则z 3z 1 =1 z 2z 3 · z 1z 2

=cos(θ+φ)-i sin(θ+φ)．因z 1z 2 + z 2z 3 + z 3

z 1

=1，其虚部为0， 故0=sin θ+sin φ-sin(θ+φ)=2sin θ+φ2cos θ-φ2-2sin θ+φ2cos θ+φ

2

=2sin θ+φ2（cos θ-φ2-cos θ+φ2）=4sin θ+φ2sin θ2sin φ2

．

故θ=2k π或φ=2k π或θ+φ=2k π，k ∈Z ．因而z 1=z 2或z 2=z 3或z 3=z 1． 若z 1=z 2，代入（2）得z 3

z 1

=±i ，此时

｜az 1+bz 2+cz 3｜=|z 1|?|a +b ±ci ｜=(a +b )2

+ c 2

．

类似地，如果z 2=z 3，则｜az 1+bz 2+cz 3｜=(b +c )2 + a 2

；

如果z 3=z 1，则｜az 1+bz 2+cz 3｜=(a +c )2 + b 2

．

解法二由（2）知z 1z 2 + z 2z 3 + z 3z 1 ∈R ，故 z 1z 2 + z 2z 3 + z 3z 1 =z 1z 2 + z 2z 3 + z 3

z 1_

， 即

z 1z 2 + z 2z 3 + z 3z 1

=

1

33

22

1z z z z z z +

+

．

由（1）得z k =1z k (k =1，2，3)，代入上式，得z 1z 2 + z 2z 3 + z 3z 1 =z 2z 1 + z 3z 2 + z 1

z 3

，

即z 12

z 3+z 22

z 1+z 32

z 2=z 22

z 3+z 32

z 1+z 12

z 2，分解因式，得(z 1-z 2)(z 2-z 3)(z 3-z 1)=0，

于是z 1=z 2或z 2=z 3或z 3=z 1．下同解法一．

【说明】①解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件：z ∈R ?z =z _ ，以及视z 1z 2 ，z 2

z 3 等为整体，从而

简化了运算．

②解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔，而不注意充分观察题目的已知条件，结论特征等，从而使问题的求解或是变得异常的复杂，或干脆就无法解出最终的结果．

（四）巩固练习：

设复数z =3cos θ+2i sin θ，求函数y =θ-arg z (0＜θ＜π

2 )的最大值以及对应角θ的值．

【分析】先将问题实数化，将y 表示成θ的目标函数，后利用代数法（函数的单调性、基本不等式等）以及数形结合法进行求解．

解法一、由0＜θ＜π2 ，得tan θ＞0，从而0＜arg z ＜π

2 ．

由z =3cos θ+2i sin θ，得 tan(arg z )=2sin θ3cos θ=2

3

tan θ＞0．

于是 tan y =tan(θ-arg z )=tan θ-tan(arg z )1+tan θtan(arg z )

=1

3

tan θ1 + 23

tan 2

θ

=

1

3

tan θ

+ 2tan θ

≤

1

2

3

tan θ

·2tan θ=612． 当且仅当3tan θ =2tan θ ，即tan θ=6

2时，取“=”．

又因为正切函数在锐角的范围内为增函数，故当θ=arctan

6 2时，y 取最大值为arctan 6

12

．

解法二、因0＜θ＜π2 ，故cos θ＞0，sin θ＞0，0＜arg z ＜π

2 ，且

cos(arg z )=

3cos θ

9cos 2θ+4sin 2θ，sin(arg z )=2sin θ

9cos 2θ+4sin 2

θ

．

显然y ∈(-π2 ，π

2

)，且sin y 为增函数．

sin y =sin(θ-arg z )=sin θcos(arg z )-cos θsin(arg z )=

sin θcos θ

9cos 2θ+4sin 2

θ =

1

9csc 2θ+4sec 2θ=19+9cot 2θ+4+4tan 2θ≤113+29cot 2θ·4tan 2θ=1

5． 当且仅当9cot 2

θ = 4tan 2

θ，即tan θ=

6 2，取“=”，此时y max =arctan 6

12

．

解法三、设Z 1=2(cos θ+i sin θ)，Z 2=cos θ，则Z =Z 1+Z 2，而Z 1、Z 2、Z 的辐角主值分别为θ、0，arg z ．如

图所示，必有y =∠ZOZ 1，且0＜y ＜π

2 ．

在△ZOZ 1中，由余弦定理得

cos y =|OZ 1|2+|OZ |2-|Z 1Z |22|OZ 1|?|OZ | =4+4+5cos 2θ-cos 2

θ 2×24+5cos 2

θ

=

4+5cos 2

θ5+654+5cos 2

θ

≥265． 当且仅当4+5cos 2

θ=6，即cos θ=105

时，取“=”．

又因为余弦函数在0＜θ＜π2 为减函数，故当θ=arccos 105时，y max =arccos 26

5

．

【说明】①解题关键点：将复数问题通过化归转化为实数问题，使问题能在我们非常熟悉的情景中求

解．②解题规律：多角度思考，全方位探索，不仅使我们获得了许多优秀解法，而且还使我们对问题的本质认识更清楚，进而更有利于我们深化对复数概念的理解，灵活驾驭求解复数问题的能力．③解题易错点：因为解法的多样性，反三角函数表示角的不唯一性，因而最后的表述结果均不一样，不要认为是错误的．

四．课后作业：

1、下列说法正确的是 [ ]

A ．0i 是纯虚数

B ．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点

C ．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数

D ．2

i 是虚数 2、下列命题中，假命题是 [ ]

A ．两个复数不可以比较大小

B ．两个实数可以比较大小

C ．两个虚数不可以比较大小

D ．一虚数和一实数不可以比较大小 3、已知对于x 的方程2

x +（1-2i ）x+3m -i=0有实根，则实数m 满足[ ]

4、复数1+i+2

i +…+10

i 等于 [ ]

A ．i

B ．- i

C ．2i

D ．-2i

5、已知常数||||,0,101100z z z z z C z =-≠∈满足复数且，又复数z 满足11-=zz ，求复平面内z 对应的点的轨迹。

6、设复数62z i =-+，记3

4u z ??

= ???

。

（1）求复数u 的三角形式；（2）如果

2a b

z u z u

+=+，求实数a 、b 的值。 7、（2003年普通高等学校招生全国统一考试(理17)）

已知复数z 的辐角为?60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z 8、已知复数12,z z 满足121z z ==，且122z z -=。

(1)求12z z +的值；(2)求证：2

120z z ??

< ???

；

(3)求证对于任意实数a ，恒有1212z az z az -=+。 9、（1992·三南试题）求同时满足下列两个条件的所有复数z ：

(1)z +10z 是实数，且1＜z +10

z

≤6；(2)z 的实部和虚部都是整数．

参考答案

1、解0i=0∈R 故A 错；原点对应复数为0∈R 故B 错，i2=-1∈R ，故D 错，所以答案为C 。

2、解本题主要考察复数的基本性质，两个不全是实数的复数不能比较大小，故命题B ，C ，D 均正确，故A

命题是假的。

3、解本题考察复数相等概念，由已知

4、解：因为i 的四个相邻幂的和为0，故原式=1+i+i2+0+0=i ，答案：A 。

5、解：)0(|

|1|1||,1||1|,1,1000

011≠=+=--∴-=∴-=?z z z z z

z z

z

z z z 即

∴Z 对应的点的轨迹是以0

1z -对应的点为圆心，以|1|0

z 为半径的圆，但应除去原点。

6、答案：（1）3322cos

sin 22

u i ππ?

?

=+ ??

?

；（2）8,8a b ==- 7、解：设)60sin 60cos

r r z +=，则复数.2

r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .

12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---?=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 8、答案（1）2；（2）、（3）省略。

9、分析：按一般思路，应设z ＝x ＋yi （x ，y ∈R ），或z=r （cos

∵1＜t ≤6∴Δ=t2-40＜0，解方程得

又∵z 的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6

故z=1±3i 或z=3±i 解法二：∵z +10

z

∈R ，

从而z =z _ 或zz _ =10．若z =z _ ，则z ∈R ，因1＜z +10z ≤6，故z ＞0，从而z +10

z

≥210＞6，此时无解；若

zz _ =10，则1＜z +z _ ≤6．设z =x +yi (x 、y ∈Z )，则1＜2x ≤6，且x 2+y 2=10，联立解得???x =1，y =3，或???x =1，y = -3，或??

?x =3，y =1，或??

?x =3，y = -1．

故同时满足下列两个条件的所有复数z ＝1+3i ，1-3i ，3+i ，3-i 。

高考文科数学二轮专题复习：11 复数

专题11 复数 本章内容主要是复数的概念、复数的运算．引入虚数，这是中学阶段对数集的最终扩充．需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系，掌握复数代数形式的运算(包括加、减、乘、除)，了解复数的几何表示．由于向量已经单独学习，因此复数的向量形式与三角形式就不作要求，主要解决代数形式． 【知识要点】 1．复数的概念中，重要的是复数相等的概念．明确利用“转化”的思想，把虚数问题转化为实数问题加以解决，而这种“转化”的思想是通过解实数的方程(组)的方法加以实现． 2．复数的代数形式：z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )．应该注意到a ，b ∈R 是与z ＝a ＋bi 为一个整体，解决虚数问题实际上是通过a ，b ∈R 在实数集内解决实数问题． 3．复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数)的运算． 【复习要求】 1．了解数系的扩充过程．理解复数的基本概念与复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法及其几何意义． 3．能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 【例题分析】 例1 m (m ∈R )取什么值时，复数z ＝(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是(1)实数?(2)纯虚数?(3)零? 【分析】此类问题可以应用复数的定义加以解决． 解：(1)当m 2－5m －6＝0，即m ＝－1或m ＝6时，复数z 为实数； (2)当，即m ＝4时，复数z 为纯虚数； (3)当，即m ＝－1时，复数z 为零． 【评析】本题主要考查实数、纯虚数的定义，需要对复数的实部、虚部加以研究．应该注意到复数的实部、虚部都是实数，解决复数的问题时实际上是在进行实数运算．这一点大家在后面的运算中更加能够体会到． 例2 判断下列命题的对错： ?????= /--=--06504322m m m m ?????=--=--0 6504322m m m m

高中数学复数专题知识点整理

专题二 复数 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解

高考数学复数专题复习(专题训练)百度文库

一、复数选择题 1．复数2 1i =+（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i + 2．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ?? ? D ．43,55?? - ??? 3．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．6．设1z 是虚数，211 1 z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22?? - ??? ? C ．[]22-, D ．11,00,22 ????-?? ????? ? 7．设2i z i +=，则||z =（ ） A B C ．2 D ．5 8．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） A B C ．3 D ．5 9．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若2 2 (2)4x y ++=，则（ ） A ．22z += B ．22z i += C ．24z += D ．24z i += 10．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（ ） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-1 11．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知i 是虚数单位，2i z i ?=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ） A ．5 B C D ．3

浙江省名校协作体高考数学复数专题复习(专题训练)

一、复数选择题 1．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ） A ． 12 B ． 22 C ．2 D ．2 2．已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．0或1 3．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ） A 2 B ．2 C ．2 D ．8 4．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A 5B ．52C ．32D ．255．已知复数5 12z i =+，则z =（ ） A ．1 B 5 C 5 D ．5 6．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i - 7．设复数z 满足方程4z z z z ?+?=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z 2，则z 为（ ） A ．1 B 2 C ．2 D ．4 8．若复数()4 1i 34i z += +，则z =（ ） A ． 4 5 B ． 35 C ． 25 D ． 25 9．若1i i z ，则2z z i ?-=（ ）

A ． B ．4 C ． D ．8 10．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．1- 12．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ） A ．68i + B ．68i - C ．68i -- D ．68i -+ 13．已知i 是虚数单位，设复数22i a bi i -+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A ．7 5 B ．75- C ． 15 D ．15 - 14．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a i b i i +=+，则复数a bi -的模等于（ ） A B C D 15．题目文 件丢失！ 二、多选题 16．已知复数2020 11i z i += -(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ） A ．z 的实部为2 B ．z 的虚部为1 C ．z i = D ．||z =17．已知复数z 满足2 20z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0 B ．2- C ．2i D ．2i+1- 18．已知复数z 满足2 20z z +=，则z 可能为（ ） A ．0 B ．2- C ．2i D ．2i - 19．下面是关于复数2 1i z =-+的四个命题，其中真命题是（ ） A ．||z = B ．22z i = C ．z 的共轭复数为1i -+ D ．z 的虚部为1- 20．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ） A ．1z z ?= B ．2z z = C ．31z =- D ．2020122 z =- + 21．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．2 0z B ．z 的虚部是yi

高考数学复数专题

高考专题：复 数 1、 已知0

高考数学压轴专题最新备战高考《复数》真题汇编及答案

【最新】数学《复数》高考复习知识点(1) 一、选择题 1．已知为虚数单位， m R ∈，复数()()22288z m m m m =-+++-，若z 为负实数， 则m 的取值集合为（ ） A ．{}0 B ．{}8 C ．()2,4- D ．()4,2- 【答案】B 【解析】由题设可得2280{280 m m m m -=-++<，解之得8m =，应选答案B 。 2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v 向左平移一个单位后得到00 O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( ) A ．1－i B ．1－2i C ．－1－i D ．－i 【答案】D 【解析】 【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000 OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数 【详解】 因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数， 即0 OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题． 3．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】

设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】 设()z x yi x y R =+∈、， 1x yi ++= ，()11iz i x yi +=++= y x =-， 所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题． 4．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A B C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】 () 11z i i i =-=+，故z = A. 5．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1 B ．2 C D ．3 【答案】D 【解析】 因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D. 6．已知复数z 满足()1i z i += ，i 为虚数单位，则z 等于（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A 【解析】 因为|2(1)11(1)(1) i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A ． 7．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于

高考数学复习 专题17 复数(解析版)

专题17 复数 考纲解读三年高考分析 1.复数的概念(1)理解复数的基本概念. (2)理解复数相等的充要条件. (3)了解复数的代数表示法及其几何意义. 2.复数的四则运算 (1)会进行复数代数形式的四则运算. (2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 复数的运算是考查的重点，解题时常用到复 数的运算法则、复数的模的计算、共轭复数的概 念，考查学生的数学数学运算能力，题型以选择 题，较小难度. 主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、 共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件， 考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数 的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减 法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思 想．一般以选择题、填空题形式出现，难度为低 档. 1．【2019年新课标3理科02】若z（1+i）＝2i，则z＝（） A ．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i 【解答】解：由z（1+i）＝2i，得 z ＝1+i． 故选：D． 2．【2019年全国新课标2理科02】设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 【解答】解：∵z＝﹣3+2i， ∴， ∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限． 故选：C．

3．【2019年新课标1理科02】设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1 C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1 【解答】解：∵z在复平面内对应的点为（x，y）， ∴z＝x+yi， ∴z﹣i＝x+（y﹣1）i， ∴|z﹣i|， ∴x2+（y﹣1）2＝1， 故选：C． 4．【2019年北京理科01】已知复数z＝2+i，则z?（） A．B．C．3 D．5 【解答】解：∵z＝2+i， ∴z?． 故选：D． 5．【2018年新课标1理科01】设z2i，则|z|＝（） A．0 B．C．1 D． 【解答】解：z2i2i＝﹣i+2i＝i， 则|z|＝1． 故选：C． 6．【2018年新课标2理科01】（） A．i B．C．D． 【解答】解：． 故选：D． 7．【2018年新课标3理科02】（1+i）（2﹣i）＝（） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 【解答】解：（1+i）（2﹣i）＝3+i． 故选：D．

高考数学专题讲解：复数

高考数学专题讲解：复数 第一部分：n i 和 n i 1的题型 【题型一】：计算n i 。 第一种类型：当n 为偶数时： 2 22 2)(n n n i i i ==?，2 222)1()(1n n n i i i -==?-=。 第一种：当2n 为奇数：1)1(1)1(22-=-=?-=-n n n i 。 第二种：当2n 为偶数：1)1(1)1(22=-=?=-n n n i 。 第二种类型：当n 为奇数时： i i i i i i i n n n n ?=?=?=--? -2 12 2 121 ) (，i i i i i n n n ?-=?=?-=--2 12 12 2) 1() (1。 第一种：当21 -n 为奇数：i i i i n n n -=?-=?-=?-=---1)1(1) 1(2 12 1。 第二种：当21 -n 为偶数：i i i i n n n =?=?-=?=---1) 1(1) 1(2 12 1。 例题一：化简：2020i 。 本题解析：1)1()(101010102101022 202022020 =-====?? i i i i 。 例题二：化简：999i 。 本题解析：i i i i i i i i i i i i -=?-=?-=?=?=?=?=?? 1)1()(499499249922 9982998 999 。 【训练】：化简下列复数关系式。 （Ⅰ）1482i ；（Ⅱ）383i ；（Ⅲ）1405i ；（Ⅳ）88i 。 【训练参考答案】：（Ⅰ）1)1()(741741274122 1482 21482 -=-====?? i i i i ； （Ⅱ）i i i i i i i i i i i i -=?-=?-=?=?=?=?=?? 1)1()(191191219122 3822382 383 ；

高考数学《复数》专项练习(含答案).doc

《复数》专项练习参考答案 1．（2016全国Ⅰ卷，文2，5分）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) （A ）?3 （B ）?2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 【解析】(12i)(i)2(12)i a a a ++=-++，由已知，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A ． 2．（2016全国Ⅰ卷，理2，5分）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】B 【解析】因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |2,x x y x y x x y +==+=所以故故 选B ． 3．（2016全国Ⅱ卷，文2，5分）设复数z 满足i 3i z +=-，则z ＝( ) （A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C 【解析】由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C ． 4．（2016全国Ⅱ卷，理1，5分）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限， 则实数m 的取值范围是( ) （A ）(31) -， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 5．（2016全国Ⅲ卷，文2，5分）若43i z =+，则|| z z ＝( ) （A ）1 （B ）1- （C ）43i 55+ （D ）43 i 55 - 【答案】D 【解析】∵43i z =+，∴z ＝4－3i ，|z |＝2234+．则2243i ||5543 z z ==-+，故选D ． 6．（2016全国Ⅲ卷，理2，5分）若z ＝1＋2i ，则 4i 1 zz =-( ) (A)1 (B)?1 (C)i (D)?i 【答案】C 【解析】∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，则 4i 4i i (12i)(12i)1 1zz ==+---，故选C ． 7．（2015全国Ⅰ卷，文3，5分）已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i 【答案】C 【解析一】(z －1)i ＝1＋i ? zi －i ＝1＋i ? zi ＝1＋2i ? z ＝＝ ＝ 2－i ．故选C ． 【解析二】(z －1)i ＝1＋i ? z －1＝ ? z ＝ ＋1 ?z ＝ ＋1＝2－i ．故

高中数学复数专题知识点整理和总结人教版

【１】复数的基本概念 (1)形如a + ｂi 的数叫做复数(其中)；复数的单位为ｉ,它的平方等于-1，即.其中a 叫做复数的实部，ｂ叫做虚部 实数:当b = ０时复数a + ｂi 为实数 虚数:当时的复数a + b i 为虚数; 纯虚数：当a = 0且时的复数a ＋ ｂｉ为纯虚数 （2)两个复数相等的定义： (３)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （４)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习) (5)复数的模：对于复数z a bi =+ ，把z = 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法:()()121212z z a a b b i +=+++; （2） 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 (4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi += ?≠+，当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是ｚ可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数()312a i z a R i +=∈-（i 为虚数单位)， R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且

高考数学复数专题复习(专题训练)百度文库

一、复数选择题 1．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i - D ．12i + 2．已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．0或1 3．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 4．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ． 35 B ．35i - C ．15 - D ．1 5 i - 5．已知复数3 1i z i -=，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 6．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．7．设1z 是虚数，211 1 z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22?? - ??? ? C ．[]22-, D ．11,00,22 ????-?? ????? ? 8．若复数z 满足()322i z i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ． 35 B ．35i - C ．35 D ．35 i 9．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） A B C ．3 D ．5 11．若1i i z ，则2z z i ?-=（ ） A ． B ．4 C ． D ．8 12．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ）

2019年高考数学真题分类汇编-专题15-复数-理科及答案

专题十五 复数 1.【2015高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 【考点定位】复数的运算． 【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题． 2.【2015高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i -( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i 【答案】C 【解析】 32222i i i i i i i i -=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算. 【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可. 3.【2015高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ） A ．32i - B ．32i + C ．23i + D ．23i - 【答案】D ． 【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ． 【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念． 【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-． 4.【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z +-=i ，则|z|=( ) （A ）1 （B （C （D ）2 【答案】A

高考数学专题 复数

第91炼 复数 一、基础知识： 复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )， 2、几类特殊的复数： （1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等 （2）实数： 0b = 3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈ （1）2 1i =- （2）()()12z z a c b d i ±=+++ （3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ?=+?+=+++=-++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =- （4）()()()()()()122 2a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。 4、共轭复数：z a bi =-， 对于z 而言，实部相同，虚部相反 5、复数的模：22z a b =+ 2z z z =? (2 2z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等 7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。 8、处理复数要注意的几点： （1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈ （2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。例如：平方差公式，立方和差公式，二项式定理等 二、典型例题

高考数学数学专题练习-复数

(专题十五 复数) 1．复数z 满足i z z 2 2 -2--1=5，则它在复平面对应的点的轨迹是( )． A ．圆 B ．直线 C ．双曲线 D ．椭圆 2．若复数z 满足1z =，则z 的最大值与最小值是 ． 3． 满足方程02=-z z 的复数的个数有 个． 4．已知复数z 满足z z =2 ，11=+z ，则z = ． 5．已知复数1i z =+． （1）设432 -+=z z ω，求ω； （2）如果22 1i 1 z az b z z ++=--+，求实数b a ,的值． 选做题： 6． 设复数3 4z z μ?? == ??? （1）求μ的模的大小； （2）是否存在实数y x ,使得μμ 2+=+z y z x 成立，若存在，求出y x ,的值，若不存在，请说明理由． 7. 已知关于x 的方程()2 4i 4i 0x x m -++-=()m ∈R 有实根λ． （1）分别求实数根λ以及相应的m 的值； （2）在（1）的条件下，若{(,)|M x y =存在,R b n ∈, 使得(i)(1i)i,m n b x y --=+,x y }R ∈，是否存在,t α∈R 满足点(cos )P t M αα∈，若存在，求出t 的取值范围； 若不存在，请说明理由．

(专题十六 排列、组合与二项式定理、概率与统计（1）) 1．某餐厅供应客饭，每位顾客可在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种，现餐厅准备了5种不同的荤菜，若保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 ． 2．A B C D E ，，，，五个人并排站成一排，若B 必须站在A 的右边，那么不同的排法共有( ) 种． A ．24 B ．60 C ．90 D ．120 3． 在5双不同的手套中，任取4只，四只手套中至少有两只配成一双的可能取法种数是( )． A ．20 B ． 30 C ．130 D ．140 4 ．设( n 展开式的各项系数和为t ，其二项式系数和为h ，若272t h +=，则展 开式的2x 项的系数是( )． A ．12 B ．1 C ．6 D ．3 5．设n l 为()1n x +的展开式中的2x 项的系数，则23 111lim n n l l l →∞?? +++ ???L 等于( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 选做题： 6． 已知n a 是函数23()(12)(12)(12)(12)()*N n n f x x x x x n =++++∈L 的展开式中的2x 的系数． （1）计算321,,a a a ； （2）求证：1212(222)n n n n a a ++=++++L ； （3）是否存在常数b a 、，使得对不小于2的自然数n ，有下列关系式 )2)(12(3 8 1b a a n n n +?-=-恒成立？并证明你的结论．

高考数学复数专题复习(专题训练)doc

一、复数选择题 1．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知复数z 满足()3 11z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12 y x =- B ．直线12 y x = C ．直线1 2 x =- D ．直线12 y 3．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．5．设1z 是虚数，211 1 z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22?? - ??? ? C ．[]22-, D ．11,00,22 ????-?? ????? ? 6．设()2 211z i i =+++，则||z =（ ） A B ．1 C ．2 D 7．已知复数2021 11i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i 8．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 9．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若2 2 (2)4x y ++=，则（ ） A ．22z += B ．22z i += C ．24z += D ．24z i += 10． 3 （ ） A ．i - B ．i C ．i D ．i - 11．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i 12．已知i 是虚数单位，设11i z i ，则复数2z +对应的点位于复平面（ ）

【2020高考数学】复数的三角表示专题复习

【2020高考数学】复数的三角表示专题复习 运用一 代数式转为三角形式 12=-3i,z =1i 【例1】把复数z 表示成三角形式

【举一反三】 1.化下列复数为三角形式： （1）2（sin π5 +icos π5 ）； （2）－２（－sin π5 ＋icos π5 ）； （3）－２（sin π5 －icos π 5 ） 运用二 三角式转代数式 【例2】把下列复数化成三角形式： （1）6（2）-5（3）2i （4）-i （5）-2+2i 【举一反三】 1.下面复数化为三角形式：（1）);5sin 5(cos 2ππ i -（2）).5 sin 5cos (2π πi +- （3）)5sin 5(cos 2ππ i +-；（4）)5 cos 5(sin 2π πi +.

运用三 辅角主值 【例3】复数5 2sin 52cos 1π πi ++-的辐角主值是多少. 【举一反三】 1、已知复数z 满足(z ＋1)(z ＋1)=|z|2 ，且1 1 +-z z 是纯虚数. (1)求z ；(2)求z 的辐角主值. 2、满足z z 5+是实数,且z+3的辐角主值是4 3π的虚数z 是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,说明理由.

3、设虚数z1,z2满足2 1 z = z2. (1)若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两个根,求z1,z2. (2)若z1=1＋mi(m＞0,i为虚数单位)w=z2－2,w的辐角主值为θ,求θ的取值范围. 1．（2019·湖南高三（理））若θ为第二象限角．则复数cos sin z i θθ =+（i为虚数单位）对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．（2019·上海师范大学附属外国语中学高二期末）若cos sin z i θθ =+(R i θ∈，是虚数单位),则22 z i --的最小值是（） A. C.1 D.1 3．（2019·湖南长沙一中高三月考）若,0 2 π θ?? ∈- ? ?? ，则复数cos sin z i θθ =+（i为虚数单位）对应的点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．（2019·广东高二期末（理））在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（） A. B. C. D. 5、已知复数z满足等式 z z1 - ＝ 2 1 ，且 6 arg π = z，求z 。

高考数学复数专题复习(专题训练) 百度文库

一、复数选择题 1．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ?? ? D ．43,55?? - ??? 2．已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．0或1 3．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1 C ．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 4．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．5．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1 B ．i C i D i 6．设1z 是虚数，211 1 z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22?? - ???? C ．[]22-, D ．11,00,22 ????-?? ????? ? 7．已知复数()2 11i z i -= +，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 8．设复数2i 1i z =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．已知复数2021 11i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i 10．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 11． 122i i -=+（ ）

高中数学复数专题知识点整理和总结人教版

专题二 复数 一．基本知识 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为

高考数学专题复习——复数

高考数学专题复习——复数 复数在现教材中虽被“淡化”，但根据近年高考试题分析，它依然是高考得“基础分”的热点试题之一. 一、考点阐释、命题趋向与应试策略 考点阐释 复数的概念是复数理论的基础，在解题活动中它经常是思维的突破口；围绕复数的代数形式和三角形式给出的两类运算，体现了复数知识的广泛联系性和普遍渗透性，这两种形式及其运算也为我们处理复数问题提供了代数思考方法和三角思考方法；复数概念及其运算的几何意义，为我们从几何上处理复数问题或几何问题复数化提供了广阔的空间.正确地进行复数各种形式间的转换，选准复数的表示形式是灵活运用复数知识处理复数与三角、复数与几何、复数与方程综合题的关键. 命题趋向与应试策略 1.由于复数内容在新的教学大纲中已被列为选学内容，所以近几年复数部分在高考中考查的难度与题量都呈下降趋势. 2.本章内容在高考中，以选择题和解答题为主.选择题主要考查： （1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部和虚部、复数的模、辐角主值、复数相等、共轭复数等概念. （2）复数代数形式与三角形式的基本运算，包括复数的四则运算，乘方、开方运算，代数形式与三角形式的互化及基本运算的技能与技巧等. （3）复数的几何意义，特别是复数乘法的几何意义——向量旋转，复数运算的几何意义在平面图形中的应用等.在高考中常见的类型有： （1）与基本计算有关的问题； （2）与复数模的最值有关的问题； （3）与复数几何意义有关的问题. 解答题主要考查： （1）在复数集中解一元二次方程和二项方程. （2）复数的三角运算. （3）复数与代数、几何、三角的综合性知识运用. 在高考中常见的类型有： （1）解复数方程的问题； （2）求复数的模和辐角主值的问题； （3）复数与代数几何、三角相关联的综合性问题. 从上述我们可以看到高考常以考查复数运算为主，估计这一命题趋势还将继续下去. 3.坚持全面复习与重点复习相结合. 由于目前试题多以中低档题目出现，难度不大，但涉及面广，对基本问题掌握的熟练程度要求较高，所以对基本问题不能放松要求. 复数的三角形式问题是重点内容.首先，应熟练地确定复数的三角形式、复数的模与辐角主值、复数三角形式的结构特征.其次，要准确把握复数三角形式的运算特点，恰当选择运算形式. 4.重视复数与相关知识的联系. ①复数问题可以转化成三角问题； ②复数问题转化为实数范围内的代数问题； ③复数问题转化成平面几何问题.

高中数学复数专题

复数专题 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理）） i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ （ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 2 ．（2012年高考（新课标理））下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1 - （ ） A ．23,p p B ．12,p p C ．,p p 24 D ．,p p 34 3 ．（2012年高考（浙江理））已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= （ ） A ．1-2i B ．2-i C ．2+i D ．1+2i 4 ．（2012年高考（四川理））复数2(1)2i i -= （ ） A ．1 B ．1- C ． i D ．i - 5 ．（2012年高考（上海理））若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个 复数根,则 （ ） A ．3,2==c b . B ．3,2=-=c b . C ．1,2-=-=c b . D ．1,2-==c b . 6 ．（2012年高考（陕西理））设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7 ．（2012年高考（山东理））若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为 虚数单位),则z 为 （ ） A ．35i + B ．35i - C ．35i -+ D ．35i -- 8 ．（2012年高考（辽宁理））复数 22i i -=+ （ ） A ．3455 i - B ．3455 i + C ．415 i - D ．3 15i + 9 ．（2012年高考（湖北理））方程26130x x ++=的一个根是 （ ） A ．32i -+ B ．32i + C ．23i -+ D ．23i +