运筹学习题集
判断题
判断正误，如果错误请更正
第二章线形规划的对偶理论
1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.
2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.
3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.
4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.
5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.
6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有
(1)CX<=Yb;
(2)CX是w的上界;
(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;
(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;
(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=C B B-1是最优解;
(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优
解.
7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.
8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.
9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.
10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.
11影子价格就是资源的价格.
12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.
13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.
14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.
15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.
16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.
17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.
18.减少一个非基变量, 目标值不变.
19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。
选择题
在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第二章线性规划的对偶理论
1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划 A约束条件相同
B目标函数相同 C最优目标函数值相同 D以上结论都不对
2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证 A使原问题保持可行 B使对偶问题保持可行
C逐步消除原问题不可行性 D逐步消除对偶问题不可行性
3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A若最优解存在，则最优解相同 B原问题
无可行解，则对偶问题也无可行解 C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解 D一个问题无界，则另一个问题无可行解 E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量
的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为 A—（λ1，λ2，……
λn） B （λ1，λ2，……λn） C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D（λn+1,λn+2,……
λn+m）
5.原问题与对偶问题都有可行解，则 A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原
问题与对偶问题可能都没有最优解 C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D 原问题与对偶问题都有最优解
计算题
线性规划问题和对偶问题
对于如下的线性规划问题
min z = 3x
1 + 2x
2
+x
3
. x
1 + x
2
+ x
3 ≤ 15 (1)
2x
1 - x
2
+ x
3≥ 9 (2)
-x
1 + 2x
2
+2x
3≤ 8 (3)
x
1 x
2
x
3 ≥ 0
1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；
2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；
解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；
解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3
. y
1 + 2y
2
- y
3 ≤ 3 (1)
y
1 - y
2
+ 2y
3≤ 2 (2)
y
1 + y
2
+ 2y
3≤ 1 (3)
y
1≤0、 y2 ≥0、y3 ≤0
2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；
解：先将原问题化成以下形式，则有
mi n z = 3x1 + 2x2 + x3
. x
1 + x
2
+ x
3
+ x
4
= 15 (1)
-2x
1 + x
2
- x
3
+ x
5
= -9 (2)
-x
1 + 2x
2
+2x
3
+x
6
= 8 (3)
原始问题的最优解为（X1 X2 X3 X4 X5 X6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11
对偶问题的最优解为（y1 y2 y3 y4 y5 y6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=11对于以下线性规划问题
max z = -x
1 - 2x
2
. -2x
1 + 3x
2≤ 12 (1)
-3x
1 + x
2≤ 6 (2)
x
1 + 3x
2≥ 3 (3)
x
1≤ 0， x2≥ 0
1、写出标准化的线性规划问题；
2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；
3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；
4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；
5、第（2）个约束右端常数b2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。解答：1、写出标准化的线性规划问题:令x1*=- x1
max z = x1*- 2x2
. 2x
1* + 3x
2
+ x
3
= 12 (1)
3x
1* + x
2
+ x
4
= 6 (2)
-x
1* + 3x
2
-x
5
= 3 (3)
x
1* x
2
x
3
x
4
x
5≥ 0
2、（6分）用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值
此时最优解为（X1、X2、X3、X4 X5）=（-3/2，3/2，9/2，0，0）maxz=-3/2 3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；
min w = 12y
1 + 6y
2
+ 3y
3
. -2y
1 - 3y
2
+ y
3 ≤ -1 (1)
3y
1 + y
2
+ 3 y
3≥ -2 (2)
y 1 ≥0、 y 2 ≥0、y 3 ≤ 0
4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；
此时最优解为（y 1、y 2、y 3、y 4 y 5）=（0，1/10,-7/10，0，0）minw =-3/2 5、则有1≤b 2≤11，最优解不变。
已知LP 问题：
max z = x 1 + 2x 2 +3x 3 + 4x 4
. x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 ≤ 20 (1) 2x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 ≤ 20 (2) x 1 、 x 2 、 x 3 、 x 4 ≥ 0
的最优解为（0，0，4，4）T ，最优值为Z=28。请用互补松弛定理计算其对偶问题的最优解。
解答：首先写出此LP 问题的对偶问题为：
min w = 20y 1 + 20y 2
. y 1 + 2y 2 ≥ 1 (1)
2y 1 + y 2 ≥ 2 (2)
2y 1 + 3y 2 ≥ 3 (3)
3y 1 + 2y 2 ≥ 4 (4)
y 1 、 y 2 、 ≥ 0
将上述对偶问题的化成标准型，取松弛变量分别为v 1 、v 2、、 v 3 、v 4，则有
min w = 20y 1 + 20y 2
. y 1 + 2y 2 - v 1 = 1 (5)
2y 1 + y 2 - v 2 = 2 (6)
2y 1 + 3y 2 - v 3 = 3 (7)
3y 1 + 2y 2 - v 4 = 4 (8)
y 1 、 y 2 、 ≥ 0
利用互补松弛定理可知：
x 3 = 4 > 0 ,又有 x 3 v 3 = 0 ， 所以有 v 3 = 0 代入(7)式
x 4 = 4 > 0，又有 x 4 v 4= 0 ， 所以有 v 4 = 0 代入(8)式，则有
2y 1 + 3y 2 = 3 (9)
3y 1 + 2y 2 = 4 (10) 从中可计算出y 1 = 6/5 、 y 2 = 1/5，则 w* =28
一个工厂用四种原料生产三种产品，生产每种产品要消耗的各种原料
数量（表中“—”表示相应的产品不需要这种原料）、各种产品的利润以及各 种原料的限量如下表所示。
1、 写出原料限制条件下利润最大化的线性规划模型；
2、 写出以上问题的对偶问题；
3、 已知利润最大的线性规划问题的最优解是产品A 生产120件，产品B 不生产，
产品C 生产52件，用互补松弛关系求四种原料的影子价格。
解答：一个工厂用四种原料生产三种产品，生产每种产品要消耗的各种原料 数量（表中“—”表示相应的产品不需要这种原料）、各种产品的利润以及各 种原料的限量如下表所示。
1. 写出原料限制条件下利润最大化的线性规划模型；
max z = 120x 1 + 180 x 2 +210 x 3
. 12x 1 + 8x 2 +10 x 3 ≤ 2400 (1) 6x 1 + 10x 2 +15 x 3 ≤ 1500 (2) 15x 1 + 18x 2 ≤ 1800 (3) 20x 2 + 22x 3 ≤ 2000 (4) x 1≥ 0， x 2 ≥ 0 x 3 ≥ 0
2. 写出以上问题的对偶问题；
min w = 2400y 1 + 1500 y 2 +1800 y 3 +2000 y 4
. 12y 1 + 6y 2 + 15y 3 ≥ 120 (1)
8y 1 + 10y 2 + 18 y 3 + 20 y 4 ≥ 180 (2) 10y 1 + 15y 2 +22y 4 ≥ 210 (3) y 1≥ 0， y 2 ≥ 0 y 3 ≥ 0 y 4 ≥ 0
3. 已知利润最大的线性规划问题的最优解是产品A 生产120件，产品B 不生产，
产品C 生产52件，用互补松弛关系求四种原料的影子价格。 max z = 120x 1 + 180 x 2 +210 x 3
. 12x 1 + 8x 2 +10 x 3 +x 4 = 2400 (1) 6x 1 + 10x 2 +15 x 3 + x5 = 1500 (2) 15x 1 + 18x 2 + x 6 = 1800 (3) 20x 2 + 22x 3 + x 7 = 2000 (4) x 1≥0， x 2 ≥0 x 3 ≥0 x 4 ≥0 x 5 ≥0 x 6 ≥0 x 7 ≥0 x 4 =440 x 5 =0 x 6 =0 x 7 =856
min w = 2400y 1 + 1500 y 2 +1800 y 3 +2000 y 4 . 12y 1 + 6y 2 + 15y 3 - y 5 = 120 (1)
8y 1 + 10y 2 + 18 y 3 + 20 y 4 - y 6 = 180 (2) 10y 1 + 15y 2 +22y 4 - y 7 = 210 (3) y 1≥ 0， y 2 ≥0 y 3 ≥0 y 4 ≥0 y 5 ≥0 y 6 ≥0 y 7 ≥0 由互补松弛关系可知，x 1 x 3 x 4 x 7≥0，得到y 5= y 7= y 1= y 4=0
6y 2 + 15y 3 = 120
10y 2 + 18 y 3 - y 6 = 180 15y 2 = 210
解得y 2=14 y 3= y 6=
原材料甲的影子价格为：0万元/吨 原材料乙的影子价格为：14万元/吨 原材料丙的影子价格为：万元/吨
原材料丁的影子价格为：0万元/吨