高三函数复习讲义
2013-2014学年度???学校12月月考卷
1．长方体的一个顶点三条棱长分别为1，2，3，该长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（s=42r π） （ ）
A B ．14π C ．56π D ．96π
2．已知三棱锥的底面是边长为2正三角形，侧面均为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）
A C 3是球面上三点，已知A 到
B 、
C 两点的球面距离
，且二面角B OA C --的大小是，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回 ）
（B
（D
4的长是 （ ）
()6C 5．下面的集合中三个元素不可能分别是长方体(一只“盒子”) 的三条外对角线的长度(一条外对角线就是这盒子的一个矩形面的一条对角线) 是( )
A 、{}456，
，. B 、{}457，，. C 、{}467，，. D 、{}567，，. 6．在一个棱长为4的正方体内，你认为能放入几个直径为1的球（ ） A ．64 B ．65 C ．66 D ．67
37．四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则
CD = .
A 、7 ；
B 、13 ；
C 、18 ；
D 、27．
8．连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于
，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，
有下面四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1其中真命题为
A.①③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④ 9．正方体的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形； 下述选项正确的是： ( ) (A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 10．将边长为4的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A-BD-C,若点A 、B 、C 、D 都在一个以E 为球心的球面上，则球E 的体积与面积分别是（ ）
11．如图，正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PE ＦＱ的体积
（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 （Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 （Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关
12．已知某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体
的侧面积为（ ）cm 2
A. π50300+
B. π100200+
13的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，折成直二面角后，在
D C B A ,,,四点所在的球面上，B 与D 两点之间的球面距离为 ．
14．A 、B 是半径为R 的球O A 、B 的平
面中，与球心的最大距离是
15．在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体： ①有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ②每个面都是等边三角形的四面体； ③每个面都是直角三角形的四面体；
④有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体。 以上结论其中正确的是 （写出所有正确结论的编号）。
16．已知平面βα//，在α内有4个点，在β内有6个点，以这些点为顶点，最多可作 个三棱锥，在这些三棱锥中最多可以有 个不同的体积． 17．若多面体的各个顶点都在同一球面上，则称这个多面体 内接于球.如图，设长方体1111ABCD A B C D -内接于球,O 则A B 、两点之间的球面距离 为________.
18．顶点在同一球面上的正四棱锥ABCD S -中，，则C A ,两点间的球面距离为 ．
19．如图4，在三棱锥P —A BC 中，PA ⊥平面ABC 、△ABC 为正三角形，且PA=AB=2，则三棱锥P —ABC 的侧视图面积为 。
20．
Let a and 矩形)，rotate(旋转)the rectangle
about its
diagonal(对角线)，then the volume(体积) of the revolution(旋转休) obtained is equal to________。
21．在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=______________________。
22．将一个半圆面围成圆锥的侧面,则其任意两条母线间夹角的最大值为_________. 23．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，对角线长为l ，则下列结论正确的是 （所有正确的序号都写上）。 （1）l a b c <++；（2）2222l a b c =++；（3）3333l a b c <++；（4）
3333.l a b c >++
24．水平桌面儿上放置着一个容积为V 的密闭长方体玻璃容器ABCD —A 1B 1C 1D 1，其中装
的水。
（1）把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD 保持在桌面上，这个过程中水的形状始终是柱体；（2）在（1）中的运动过程中，水面始终是矩形；（3）把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内的一个定点；（4）在（3）中水与容器的接触面积始终不变。
以上说法正确的是_____.
25．如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有 条。
26．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P
是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为__ _ ．
27．把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为_______________.
28．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A
则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 。 个四面体，则k 的最小值是 .
30．正四棱台的上、下两底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则四棱台的高为_____________. 31球的体积为 ．
32．如图1，在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中， P 、Q 是对角 线AC 1
上的点，若，则三棱锥P BDQ -的体积为 ________
'B P
33．已知OAB ?顶点的坐标为)00(，O ，)31(，A ，)24(，B . （1）求点A 到直线OB 的距离d 及OAB ?的面积OAB S ?；
（2）求OAB ?外接圆的方程. 34．（满分12分）
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为1CC 、11B C 、1DD 的中点，O 为BF 与1B E 的交点，
（1）证明：BF ⊥面11A B EG
（2）求直线1A B 与平面11A B EG 所成角的正弦值.
35．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，G E D 、、分别是
11AC
BB AB 、、的中点,21==BB AB ．
（Ⅰ）在棱11C B 上是否存在点F 使DE GF //？如果存在，试确定它的位置；如果不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求截面DEG 与底面ABC 所成锐二面角的正切值； （Ⅲ）求点1B 到截面DEG 的距离．
36．（本小题满分12分）
如图6，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB=1。 （1）求证：平面AB 1D ⊥平面B 1BCC 1； （2）求证：A 1C//平面AB 1D ；
（3）求二面角B —AB 1—D 的正切值。
D
1 B 1
37．（本小题满分12分）
如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，PA ⊥AD ，且PA =AD =2，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点。
（1）求证：BC //平面EFG ；
（2）求三棱锥E —AFG 的体积。
38．如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE//DF, ∠DEF=900。
（1）求证：BE//平面ADF ；
（2）若矩形ABCD 的一个边AB=3, 另一边
ABCDEF 的体积。
39．如图，圆O 与离心率为（0>>b a ）相切于点(01)M ,.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过点M 引两条互相垂直的两直线1l 、
2l 与两曲线分别交于点A 、C 与点B 、D （均不重合）.
(ⅰ)若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为1d 、2d ，求2
221d d +的最大值；
(ⅱ)若MD MB MC MA ?=?43，求1l 与2l 的方程.
A
B C D E F
40．曲线C 上任一点到定点(0. (1)求曲线C 的方程； (2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线、1l 2l 分别交曲线C 于A 、B 两点，且1l ⊥2l ，
设M 是AB 中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M 到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在，说明理由.
41．如图,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.
(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”;
(3)求证:1—C 2型点”. 42．给定椭圆C ： (0)a b >>，称圆心在原点O ，半径为是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为，且其短轴上的一个端点到F
(Ⅰ)求椭圆C 的方程和其“准圆”方程； (Ⅱ)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断12,l l 是否垂直，并说明理由．
参考答案
1．B
【解析】
2．C
【解析】略
3．选C ．
4．
D
【解析】
由已知不妨设长1,a =宽故选()D
5．B
【解析】 提示：令a ，b ，c(a ≤b ≤c) 表示长方体三条边的长度.p ，q ，r(p ≤q ≤r) 表示三个对角线的长度. 由勾股定理, 得222p a b =+,222p a c =+,222r b c =+.
则22222r p q a =+-＜22p q +.经验证, 只有{}457，，不满足这个关系. 6．C
【解析】第一层放16个球；第二层在空档中放9个球，使每个球均与底层的16个球中的4个球相切；第三层再放16个球；第四层又放9个球；第五层再放16个球，这样共放了66
C 。 7．B .
【解析】：四面体中，除CD 外，其余的棱皆与AB 相邻接，若长13的棱与AB 相邻，不妨设13BC =，据构成三角形条件，可知{}7,18,27AC ?，36, 7AC BD ?=?=， {}{},18,27AD CD ?=，于是ABD ?中，两边之和小于第三边，矛盾。 因此只有13CD =.另一方面，使41,13AB CD ==的四面体ABCD 可作出，例如取7,36,18,27BC AC BD AD ====.故选B
8．
【解析】：假设AB 、CD 相交于点N ，则AB 、CD 共面，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，而过圆的弦CD 的中点N 的弦AB 的长度显然有CD AB ≥，所以②是错的．容易证明，当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN 最大为５，故③对．当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN 最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．
9．B
【解析】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。 ∴ 选 【 B 】
10．A
【解析】
11．D
【解析】
12．C
【解析】三视图复原几何体是一个圆锥的一半，根据三视图的数据，求出几何体的侧面积即可．
解：这个空间几何体是圆锥的一半，
圆锥的母线高为20，底半径为10=，
其侧面由两部分组成，一个是圆锥的轴截面，一个是圆锥的侧面的一半，
其侧面积为
12×π×10×12×20×． 故选C ．
13
【解析】
14【解析】
15．①②③④
【解析】
16．194,114
【解析】
17【解析】
18【解析】
19【解析】
20【解析】
【解析】略 22．60° 【解析】略 23．（1）（2）（4）
【解析】本题属开放性试题，这类题型仍是高考的热点问题，要熟练把握。 24． 【解析】因运动过程中水始终是矩形，且水柱部分始终与空柱部分分别与中心O 成中心对称。所以（1）（2）（3）（4）均正确。 25． 156
【解析】据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共27623122
24=?=C ，
其中所有的棱都在原立方体的表面，有36条.原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，
6个面共120条都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部。
26【解析】把圆柱侧面展开，并把里面也展开，如图所示，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的
最短路程为展开图中的线段AP ，则,3,AB BP AP π===
27【解析】4个小球在大球内两两相切，4个小球的球心连线构成1个正四面体，正四面体的中心与大球的球心重合，大球的半径等于正四面体的外接球半径加上小球的半径，所以大球
其中,h 表示正四面体的高,a 表示正四面体的棱长.)
28【解析】如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的
三个面上，即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上。在面AA 1B 1B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，
AA 1=1
EF
BB 1C 1C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，
所以弧FG
29．5
【解析】据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明4个不够，若为4个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要
切割成两个三角形，
以这种三角形为底的四面体，
，故四个不同的四面体的体积之和
所以5k ≥，另一方面，可将单位正方体切割成5个四面体； 例如从正方体
1111ABCD A B C D -中间挖出一个四面体11A
BC D ，剩下四个角上的四面体，合计5个四面
体. 30．2 【解析】
31【解析】略
32【解析】
33．(1)解：直线OB 方程为：02=-y x 点)31(，A 到直线OB 的距离d =
P
E
∴OAB S ?=(2)设OAB ?外接圆的方程为：02
2
=++++F Ey Dx y x
把三点)00(，O ，)31(，A ，)24(，B 分别代入，得：D=4-，2-=E ，F=0 求的OAB ?外接圆的方程为02422
=--+y x y x 【解析】略
34．（1）证明：因为 111BB B C =，11B F C E =，1BF B E = 所以 111BB F B C E ???[来源:Z §xx §https://www.wendangku.net/doc/e812583323.html,] 从而 111C EB BFB ∠=∠
在11Rt B C E ?中 111190C EB C B E ∠+∠=o 故11190BFB C B E ∠+∠=o 从而 190FOB ∠=o 即 1BF B E ⊥………2分
又因为 11DC BCC B ⊥平面，GE ∥DC 所以 11GE BCC B ⊥平面 ………4分 又因为 11BF BCC B ?平面 故 BF GE ⊥
又因为 1B E GE E ?= 所以 11BF A B EG ⊥平面………6分 （2）解：如右图，连接1AO
由（1）知，11BO A B EG ⊥平面
故 1BA O ∠即为直线1A B 与平面11A B EG 所成角………8分 设正方体的棱长为1 ，则
在Rt 1BB F ?中，有
故
10分 所以
12分 【解析】
35．（Ⅰ）存在且为11C B 的中点
【解析】解法一：（Ⅰ）存在且为11C B 的中点，连接1AB ,
∵G E D ,,分别是11,,AC BB AB 的中点, ∴GF AB DE ////1． （3分） （Ⅱ）延长FE 与CB 的延长线交于M ，连接DM ， 则DM 为截面与底面所成二面角的棱，
取BC 的中点N ，连FN ,
∴B 为MN 的中点． 由题设得1====BD BE BN BM ,且0120=∠DBM , 作DM BH ⊥于H ,则030==∠BMD BDM ,连EH , 又ABC BE 底面⊥,
由三垂线定理可知EH DM ⊥，
∴EHB ∠为截面与底面所成的锐二面角． （6分）
在EBH Rt ?中， （8分）
（Ⅲ）在BDM ?中,
在EBH Rt ?中,
（12分） 1,AA AC 的方向分别作为z y ,轴的正方向建立空间直角坐标系,
∵G E D 、、分别是11AC BB AB 、、
设平面DEG 的法向量为),,(z y x n =，
由0,0=?=?n DG n DE 得 解得z y x 2,0-==，取1=z 得)1,2,0(-=n ；
又平面ABC 的一个法向量为)2,0,0(1=AA , （6分） 设截面DEG 与底面ABC 所成锐二面角为
与底面2． （8分）[来源:学。科。网Z 。X 。X 。K]
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面DEG 的一个法向量为
)1,2,0(-=n ，(0,0,1)1=EB ； 设点1B 到截面DEG 的距离为d ，
故点1B 到截面DEG 的距离为
（12分） 36．（1）证明见解析。
（2）证明见解析。
（3）二面角B —AB 1—D
【解析】
解法一：
证明：（1）因为B1B⊥平面ABC，AD?平面ABC，
所以AD⊥B1B （1分）
因为D为正△ABC中BC的中点，[来源:学。科。网]
所以AD⊥BD （2分）
又B1B∩BC=B，
所以AD⊥平面B1BCC1（3分）
又AD?平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1（4分）（2）连接A1B，交AB1于E，连DE （5分）
因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点（6分）又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，
所以DE//A1C （7分）
又DE?平面AB1D，所以A1C//平面AB1D （8分）
（3）解：过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB1于G，连接DG。
因为平面A1ABB1⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A1ABB1。
又AB1?平面A1ABB1，所以AB1⊥DF。
又FG⊥AB1，所以AB1⊥平面DFG，所以AB1⊥DG。（9分）
又AB1⊥FG，所以∠DGF为二面角B—AB1—D的平面角。（10分）因为AA1=AB=1，
所以在正△ABC来源:学+科+网]
（11分）
（12分）
解法二：
解：建立如图所示的直角坐标系，依题意有：
（1
得110,,,0,
AD BC AD BC AD BB AD BB ??=⊥????⊥?=???
所以 又BC ∩⊥BB 1=B ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1。 （4分）
又AD ?平面AB 1D ，所以平面AB 1D ⊥B 1BCC 1 （5分）[来源:学科网] （2）证明：连接A 1B ，交AB 1于E ，连DE ，
因为点E 为正方形A 1ABB 1对角线的交点，所以E 为AB 1的中点，
（6分）
又DE ?平面AB 1D ，所以A 1C//平面AB 1D （8分）[来源:Z+xx+https://www.wendangku.net/doc/e812583323.html,]
（3）解：设平面ABB 1的一个法向量为1111(,,),n x y z =
（9分） 设平面AB 1D 的一个法向量为2222(,,),n x y z =
（10分）
（11分）
依图可得二面角B —AB 1—D
（12分） 37．
（2【解析】（1）证明：F E , 分别是线段PA 、PD 的中点，
.//AD EF ∴
…………2分 又∵ABCD 为正方形，
∴BC //AD ，∴BC //EF 。 …………4分 又?BC 平面EFG ，EF ?平面EFG ， ∴BC //平面EFG …………6分
（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，
∴CD ⊥平面PAD ，即GD ⊥平面AEF 。 …………8分 又∵EF //AD ，PA ⊥AD ，
∴EF ⊥AE 。 …………10分
…………12分
38．33
【解析】
1）由矩形ABCD 得BC//AD ，推出BC//平面ADF ，由CE//DF 得CE//平面DCF 。 所以平面BCE//平面ADF ，从而BE//平面DCF 。 （6分） （2）连接BD ，几何体ABCDEF 的体积ABCDEF F ABD B CEFD V V V
--=+ 在梯形CEFD 中，EF ⊥
DE ，CE ⊥CD ，CE ⊥
DF ，由
C D
E
F
39．(Ⅰ
(Ⅱ) 1l 的方程为，2l 的方程为或1l 的方程为，2l 的方程为 【解析】
试题分析：(Ⅰ)由题意
分
分
(Ⅱ)（ⅰ）设00()P x y ,因为1l ⊥2l ,则2
020
2
22
21
)1(++==+y x PM d d 因为
分 因为011y -≤≤ 时2
221d d +取得最大值为
分
（ⅱ）设1l 的方程为1+=kx y ,由???=++=1
12
2y x kx y 解得
分
分
由34MA MC MB MD ?=? 得
分 所以1l 的方程为，2l 的方程为或1l 的方程为，2l 的方程为分 考点：本题主要考椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线椭圆的位置关系，圆的切线。 点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e 的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）结合向量的坐标运算，确定得到k 的方程，为进一步确定直线方程奠定基础。
40．（1）y=2x 2；
（2）M 轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M 到定点的距离等于它到定直线的
【解析】
试题分析： 思路分析：（1）曲线C 上任一点到定点(0
.所以，由抛物线的定义，其方程为2x =2py
，而
y=2x 2； （2）利用“参数法” 得到y=4x 2
根据图象的平移变换得到结论：定直线方程为 解：（1）因为，利用抛物线的定义，确定得到y=2x 2；
（2）设1l ：y-2=k(x-1)(k≠0) 1l :y=2=由???
=-+=222x
y k kx y 得2x 2-kx+k-2=0 同理得B
高考复习函数知识点总结
高考复习 函数知识点总结 一．函数概念的理解以及函数的三要素 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则（函数关系式）也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ； 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ； 满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [,)a b ，(,]a b ； 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b < ． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① 分式的分母不为0； ② 偶次根式下被开方数大于0； ③ 0y x = ，则有0x ≠ ； ④ 对数函数的真数大于0，底数大于0切不等于1 注意：①解析式为整式的函数定义域为R ； ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则
其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集； ③对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知() f x的定义域 为[,] a g x b ≤≤解出． f g x的定义域应由不等式() a b，其复合函数[()] （4）求函数的值域或最值 常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=，则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时，由于,x y为实数，故必须有 2()4()()0 ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值． b y a y c y ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代 数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的 值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． （5）函数解析式 ①换元法；（用于求复合函数的解析式） ②配凑法；（用于求复合函数的解析式）
高中数学完整讲义指数与指数函数1指数基本运算
题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值： ⑴ 33(5)-；⑵ 2(3)-； ⑶ 335； ⑷ 2()()a b a b -<； ⑸ 4334(3)(3)ππ---．⑹2 3 8；⑺12 25- ；⑻5 12-?? ???；⑼34 1681- ?? ??? ． 【例2】 求下列各式的值： ⑴ 44100；⑵ 55 (0.1)-；⑶ 2(4)π-；⑷ 66 ()()x y x y ->． 【例3】 用分数指数幂表示下列各式： （1）3 2x （2）43)(b a +（a ＋b ＞0） （3）32 )(n m - （4）4 )(n m -（m ＞n ） （5） 5 6 q p ?（p ＞0） （6）m m 3 典例分析 板块一.指数基本运算
【例4】 用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) （1）43a a ? （2）a a a （3）3 22b a ab + （4）4233)(b a + 【例5】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0)a >：3a ；2a ． 【例6】 用根式的形式表示下列各式(a ＞0) 15 a ，34 a ，35 a -，23 a - 【例7】 用分数指数幂的形式表示下列各式： 2 a a ，3 3 2a a ,a a (式中a ＞0) 【例8】 求值：23 8，12 100 -,314-?? ???,3 41681- ?? ??? . 【例9】 求下列各式的值： (1)12 2 （2）1 2 6449- ?? ??? （3）34 10000- （4）23 12527- ?? ???
高中常用三角函数公式大全
高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa
cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
高考函数知识点总结
高中函数大全 一元二次函数 定义域区间 定 义 对应法则一元二次不等式 值域 指 根式分数指数 映射数 函 数指数函数的图像和性质 指数方程 对数方程 函 数 性 质奇偶性 单调性 对数的性质 积、商、幂与周期性 根的对数 对数 反函数互为反函数的 函数图像关系 对 数 对数恒等式 和不等式 函 数常用对数 自然对数 对数函数的图像和性质 函数概念 （一）知识梳理 1．映射的概念 设 A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的 元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f:A B，f表示对应法则 注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2．函数的概念 (1)函数的定义： 设 A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一 确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y f(x),x A (2)函数的定义域、值域 在函数y f(x),x A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y f(x)的定义域；与x的值相对应的y值
叫做函数值，函数值的集合 f(x)x A称为函数y f(x)的值域。 (3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 （1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4．分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 （二）考点分析 考点1：映射的概念 例1．（1）A R，B{y|y0}，f:x y|x|； （2）* A{x|x2,x N}，B y|y0,y N， 2 f:x y x2x2； （3）A{x|x0}，B{y|y R}，f:x y x． 上述三个对应是A到B的映射． 例2．若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,c R，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B 的函数有个 例3．设集合M{1,0,1}，N{2,1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与 它在 N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是（） (A)8个(B)12个(C)16个(D)18个 考点2：判断两函数是否为同一个函数 例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1） 2 f(x)x， 3 3 g(x)x； （2） x f(x)， x g(x) 1 1 x x 0, 0; （3）212 1 n x n f(x)， 2n x) 12n1 *）；g(x)(（n∈N 2 （4）f(x)x x1，g(x)x x； 2x2t （5）()2 1 f x x，g(t)t2 1 考点3：求函数解析式
2018年指数与指数函数高三第一轮复习讲义
2018《高三第一轮复习课：指数与指数函数》 咸丰一中数学组：青华 高考要求： （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 重点难点： 对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质； 指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较 简单的函数的有关问题． 知识梳理 1．根式的概念 (1)根式 如果一个数的n 次方等于a ( n >1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是， 若x n ＝a ，则x 叫做___________，其中n >1且n ∈N *.式子n a 叫做_______，这里n 叫做_________，a 叫做__________． (2)根式的性质 ①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号________表示． ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号________表示，负的n 次方根用符号________表示．正负两个n 次方根可以合写成________(a >0)．负数没有偶次方根 ______(_____(0) ||(_____(0)n n n a a a n a ??=≥??=??
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全 2009年07月12日星期日19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3+a)·tan(3-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A cos(2 A )=2cos 1A tan(2 A )=A A cos 1cos 1cot(2A )= A A cos 1cos 1tan(2A )=A A sin cos 1=A A cos 1sin 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a cos 2 b a
sina-sinb=2cos 2b a sin 2 b a cosa+cosb = 2cos 2b a cos 2 b a cosa-cosb = -2sin 2b a sin 2 b a tana+tanb=b a b a cos cos )sin(积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2-a) = cosa cos( 2-a) = sina sin( 2+a) = cosa cos(2 +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2)2 (tan 12tan 2a a cosa=22)2 (tan 1)2(tan 1a a
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指数与指数函数 一?填空题 1. 已知f(x)=(a2-1)x是减函数,则a的取值范围是________. 2. (-1.8)0+(1.5)-2× 2 3 3 3 8 ?? ? ?? -(0.01)-0.5+ 3 2 9=________. 3. 指数函数y=? ? ?? ?b a x的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的顶点横坐 标的取值范围是________. 4. 已知0≤x≤2,则y= 1 2 4325 x x - -?+的最大值为________. 5. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=a x+b的图象是________. 6. (2011·新沂一中模拟)已知f(x)= ()1 1,0 2 ,0 x a x a x a x ? -++< ? ? ?≥ ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数a的取值范围是________. 7. 若函数f(x)?g(x)分别是R上的奇函数?偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有________. ①f(2)
二?解答题 10. 计算 ÷ 3a －73a 13; (2)2 3338-??- ??? +120.002--10(5-2)-1+(2-3)0; (3)已知1 1224m m -+=,求33221122m m m m -- -+的值. 11. 函数f (x )= 2－x x －1 的定义域为集合A ,关于x 的不等式22ax <2a +x (a ∈R )的解集为B , 求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 12. (2011·丹阳中学期中)设函数f (x )=ka x -a -x (a >0且a ≠1)是奇函数. (1)求k 的值; (2)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集; (3)若f (1)=32 ,且g (x )=a 2x +a -2x -2mf (x )在[1,+∞)上的最小值为-2,求m 的值
高中数学函数知识点总结
高中数学函数知识点总结 （1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量 ,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当 =0时，称是的正比例函数。（3）高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 0， O，则经2、3、4象限；当 0， 0时，则经1、 2、4象限；当 0， 0时，则经1、 3、4象限；当 0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当 0时，的值随值的增大而增大，当 0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数： ①一般式： ( )，对称轴是 顶点是； ②顶点式： ( )，对称轴是顶点是； ③交点式： ( )，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 （5）高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 9 高中函数的图形的对称 （1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 （2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
高中数学三角函数公式大全 (1)
三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：21 1||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y = αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
艺术生高考数学专题讲义：考点7 指数与指数函数
考点七 指数与指数函数 知识梳理 1．根式 如果a ＝x n ，那么x 叫做a 的n 次实数方根(n >1且n ∈N *)，当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数，记为：n a ；当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±n a .式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (1)两个重要公式 ① n a ＝?????a （n 为奇数），|a |＝?????a （a ≥0），－a （a <0）（n 为偶数）； ② (n a )n ＝a (注意a 必须使n a 有意义)． (2)0的任何次方根都是0． (3)负数没有偶次方根． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的概念： ①正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a m n -＝ 1 a m n ＝ 1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋ s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a r s (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂a r (a >0，r 是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 4．指数函数的图象与性质
图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过点(0,1)，即x ＝0时y ＝1 当x >0时，y >1； 当x <0时，0
高中部分三角函数知识点总结
★高中三角函数部分总结 1.任意角的三角函数定义： 设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为22y x r += ，则： )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值： sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值 3.同角三角函数公式： αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式： （1）)(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos( ,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ （3）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- （函数名称不变，符号看象限）
高三三角函数公式大全
第一部分三角函数公式 2两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα2cosβ-sinα2sinβ cos(α-β)=cosα2cosβ+sinα2sinβ sin(α±β)=sinα2cosβ±cosα2sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα2tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα2tanβ) 2和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 2积化和差公式： sinα2cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα2sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα2cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα2sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 2倍角公式： sin(2α)=2sinα2cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2 tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα) sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α) csc(2α)=1/2*secα2cscα 2三倍角公式： sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα2sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα2cos(60°+α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+ α)tan(π/3-α)
高中数学函数知识点总结
高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合A 有2n 个子集。 当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。 如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个；A 到B 的函数有 个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有 个。 函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义：第2篇 第5讲 指数与指数函数
第5讲指数与指数函数 [考纲] 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底 数为2,3,10，1 2， 1 3的指数函数的图象． 4．体会指数函数是一类重要的函数模型. 知识梳理1．根式 (1)根式的概念 ①n a n＝ ?? ? ??a，n为奇数， |a|＝ ? ? ?a，a≥0， －a，a＜0， n为偶数． ②(n a)n＝a. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝1 a p(a≠0，p∈N *)； ③正分数指数幂：a n m＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
④负分数指数幂：a n m -＝ a n m 1 ＝ 1n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 辨 析 感 悟 1．指数幂的应用辨析 (1)(4 －2)4＝－2.( ) (2)(教材探究改编)(n a n )＝a .( ) 2．对指数函数的理解 (3)函数y ＝3·2x 是指数函数．( ) (4)y ＝? ?? ?? 1a x 是R 上的减函数．( ) (5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ]
高考复习文科函数知识点总结
函数知识点 一．考纲要求 注：ABC分别代表了解理解掌握 二．知识点 一、映射与函数 1、映射f：A→B 概念 （1）A中元素必须都有象且唯一； （2）B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2、函数f：A→B 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域A 和值域B都是非空数集。函数y=f(x)是“y是x 的函数” 这句话的数学表示，其中x是自变量，y是自变量x的函数，f 是表示对应法则， 它可以是一个解析式，也可以是表格或图象，
也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与 x 轴至多有一个公共 点，但与 y 轴的公共点可能没有，也可能是任意个。（即一个x 只能对应一个y ，但一个y 可以对应多个x 。） （2）、函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决 定作用的 要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二、函数的单调性 它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的。判断方法如下： 1、作差（商）法（定义法） 2、导数法 3、复合函数单调性判别方法（同增异减） 三．函数的奇偶性 ⑴偶函数：)()(x f x f =- 设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1) () (=-x f x f . ⑵奇函数：)()(x f x f -=- 设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时， 1)() (-=-x f x f ※四．函数的变换 ①()()y f x y f x =?=-：将函数()y f x =的图象关于y 轴对称得到的新的图像 就是()y f x =-的图像； -a -c -b d c b a y=f(x) o y x ? -a -c -b d c b a y=f(-x) o y x ②()()y f x y f x =?=-：将函数()y f x =的图象关于x 轴对称得到的新的图像就是()y f x =-的图像；
指数以及指数函数的整理讲义经典-(含答案)
指数与指数函数 一、指数 （一）n 次方根： 1的3次方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．以上都不对 2、若4 a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≥2且a ≠4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 （二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,?? ?<-≥==0 ,0 ,a a a a a a n n 1．下列各式正确的是( ) ＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝1 2、.(a －b )2＋5 (a －b )5的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0 4、求下列式子 (1)．33 4433)32()23()8(---+- (2)223223--+ （三）、分数指数幂 1、求值 4 3 52 13 2811621258- --?? ? ????? ??；；； 243 的结果为 A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 3、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42 a - （3） 3432x x x （四）、实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( )
高中三角函数公式大全及经典习题解答
高中三角函数公式大全及经典习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
用心辅导中心 高二数学 三角函数 知识点梳理: ⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=2 1R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=2 1a a h ?=2 1ab C sin =2 1bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg =x y =θ θ cos sin =θθsec sin ? ② θθθ θθcsc cos sin cos ?=== y x ctg ③θθθtg r y ?== cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?== =tg x r ⑤θθθctg r x ?== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?== =ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++= +b a b a （其中辅助角?与点（a,b ） 在同一象限，且a b tg =?） ⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω）
高中数学必修1函数知识点总结
高中数学必修1函数知识总结 一、函数的有关概念 1．函数的概念：设A 、B 是非空的 ，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．函数的三要素为 找错误：①其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域； ②与x 的值相对应的y 值叫做函数值，所以集合B 为值域。 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 专项练习1.求函数的定义域： 类型1.⑴22153x x y x --= + ⑵0 (21)y x =- ⑶2214log (1) y x x = +-+ 总结： 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 类型2 抽象函数求定义域： 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 方法总结 练习1.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域为 练习2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，求函数()f x 的定义域． 练习2. 已知函数2 (22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 练习2、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为________。
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